高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——4.3对数（较难）（含解析）

一、单选题
1．函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调函数；②区间，使在上的值域是，那么就称为“和谐函数”，若函数是“和谐函数”，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．形如(n是非负整数)的数称为费马数，记为数学家费马根据都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那的位数是（ ）
(参考数据: lg2≈0.3010 )
A．9 B．10 C．11 D．12
3．若， 则（ ）
A． B．2a>b C． D．2a4．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a5．已知定义在上的函数满足：，，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
6．音乐是有不同频率的声音组成的，若音1（do）的频率为f，则简谱中七个音1（do）、2（er）、3（mi）、4（fa）、5（so）、6（la）、7（si）组成的音阶频率分别是f、、、、、、．其中相邻两个音的频率比是一个到另一个音的台阶，上述“七声音阶”只有两个不同的值，记为α、β（α＞β），α称为全阶，β称为半音，则下列关系式成立的是（　　）（参考数据：lg2≈0.3010、lg3≈0.4771）
A．α＝2β B．α＝β2
C．|lgα﹣lgβ|＜0.01 D．|lgα﹣2lgβ|＜0.01
二、多选题
7．对定义在上并且同时满足以下两个条件的函数称为函数：①对恒有；②当，，时，总有成立，则下列函数是函数的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动.点Q沿直线作匀速运动，；点P沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（）.令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系是，其中e为自然对数的底，当点P从线段的三等分点移动到中点时，经过的时间为______.
10．设实数a、b、c满足a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，alga blgb clgc≥10，则a+b+c＝____
11．设函数（且），若是等比数列（）的公比，且
，则的值为_________.
12．设定义在区间上的函数是奇函数，且，则的范围为________.
四、解答题
13．已知函数f（x）＝log2（2x+1）．
（1）若关于x的方程f（x）＝x+m有实根，求实数m的取值范围；
（2）若函数，则是否存在实数，使得函数的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
14．已知函数，.
（1）当时，判断函数的奇偶性并证明；
（2）给定实数且，问是否存在直线，使得函数的图像关于直线对称？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，请说明理由.
15．已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式.
16．设函数，.
（1）若，且，求实数的值；
（2）若，记函数在上的最大值为，最小值为，求时的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】因为是“和谐函数”，所以由题意有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，由此即可求出的取值范围．
【详解】解：由题意，因为是“和谐函数”，
所以在其定义域内为增函数，且在上的值域是，
，即，
有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，
令，则，
有两个不相等的正实数根，
，解得．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是，由复合函数单调性的判断原则得在其定义域内为增函数，又由在上的值域是，从而得，即有两个不相等的实数根.
2．B
【解析】,设,两边取常用对数估算的位数即可.
【详解】,设，则两边取常用对数得
.
，
故的位数是10，
故选：B．
【点睛】解决对数运算问题的常用方法：
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的简化计算.
3．A
【分析】依题意得到，构造函数，可得在上是增函数. 进而可得，从而.
【详解】因为，
所以，即，
所以.
令，
因为和在上都是增函数，所以函数在上是增函数.
所以，从而.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：得到之后，构造函数，并且得到在上是增函数.
4．A
【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
5．B
【分析】由题意，可得函数的对称性，进而得到周期性，整理函数值，可得答案.
【详解】，为奇函数，即图象关于原点对称，
，的图象关于直线对称，
则函数的周期，由，
则，即，
则，
由，则，
即，
故选：B.
6．D
【分析】由题意先求出相邻两个音的频率比，然后利用对数的运算性质依次判断四个选即可．
【详解】由题意可知，相邻两个音的频率比分别为：，，故选项A错误，选项B错误；
由0.0287＞0.01，故选项C错误；
|12lg3﹣19lg2|≈0.0062＜0.01，故选项D正确．
故选：D．
7．ABC
【分析】根据函数的定义对四个函数分别进行验证两个条件
【详解】解：对于A选项：显然满足①，
，满足②，
∴是函数，
对于B选项：根据指数函数的单调性得满足①；
，，，
，满足②，
∴是函数，
对于C选项：根据对数函数性质，满足①；
，
，
∵，，，∴，
∴，满足②，
∴是函数，
对于D选项：根据二次函数性质得函数满足①；
当，时，，，
∴不满足②，
∴不是函数，
故选：ABC.
【点睛】本题考查函数的新定义，解题关键是理解新定义，应用新定义，通过新定义转化为证明相应的不等式成立．
8．ABD
【分析】根据条件求得表达式，根据对数性质结合放缩法得A正确，根据不等式性质得B正确，通过作差法判断C错，结合指数函数单调性与放缩法可得D正确．
【详解】解：∵，，
∴，，
因为，
又由，所以，选项A正确；
，，则，，所以，选项B正确；
因为，，则，，此时，
所以，故选项C不正确；
由和知与均递减，
再由，的大小关系知，故选项D正确.
故选：ABD
【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．
9．
【解析】设点P运动到线段的三等分点的时间为，此时Q运动的距离为，点P运动到线段的中点的时间为，此时Q运动的距离为，再利用Q沿直线作匀速运动，利用路程，速度，时间的关系列式即可.
【详解】设点P运动到线段的三等分点的时间为，此时Q运动的距离为，点P运动到线段的中点的时间为，此时Q运动的距离为,
因为两点P，Q以相同的初速度运动，点Q作匀速运动，此时初速度为，即,也是点Q的匀速运动.
当点P靠近线段的三等分点时，此时，即，解得
当点P在的中点时，此时，即，解得
，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查数学中的新定义问题，对数的运算，指数式与对数式的互化，解题的关键是认真分析题目，将已知条件转化成对数的运算，考查学生的逻辑思维与运算能力，及转化与化归思想，属于中档题.
10．12
【解析】由已知可得0≤lga≤1，0≤lgb≤1，0≤lgc≤1，得到lg2a≤lga，lg2b≤lgb，lg2c≤lgc，进而得出lg2a+lg2b+lg2c≥lga+lgb+lgc，从而得到lg2a＝lga，lg2b＝lgb，lg2c＝lgc，由此得到a，b，c的值，则答案可求．
【详解】由a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，可得0≤lga≤1，0≤lgb≤1，0≤lgc≤1．
可得lg2a≤lga，lg2b≤lgb，lg2c≤lgc，
又由alga blgb clgc≥10，可得lg（alga blgb clgc）≥lg10，
可得lg2a+lg2b+lg2c≥1
又由lgabc＝lga+lgb+lgc =lg10=1，可得lg2a+lg2b+lg2c≥lga+lgb+lgc，
所以lg2a＝lga，lg2b＝lgb，lg2c＝lgc，
则a＝10或1，b＝10或1，c＝10或1，
由对称思想，不妨a＝10，则b＝1，c＝1，
所以a+b+c＝12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质及其应用，其中解答中熟记对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
11．
【详解】，，，故答案为.
12．
【详解】试题分析：函数是奇函数,所以=
，，，，又当时，，这与矛盾，所以.,易知，所以由区间得，又、有意义，故.，即，所以的范围为.
考点：函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性
13．（1）；（2）
【分析】（1）对方程分类常数，然后根据函数的单调性，求得的取值范围.
（2）求得的表达式，利用换元法，结合二次函数的性质以及在区间上的最大值为，对进行分类讨论，由此列方程求得的值.
【详解】（1）由得，根据复合函数单调性同增异减可知在上递减，而，所以，所以实数的取值范围是.
（2）依题意.令，则，.对称轴为，，所以
当时，；
当时，（舍去）.
综上所述，存在，使在区间上的最大值为.
【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查符合函数最大值有关计算，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
14．（1）偶函数，证明见解析；（2）存在符合题意．
【分析】（1）当时，函数为偶函数，结合对数的运算性质利用偶函数的定义证明即可；
（2）假设存在直线满足题意，则，代入后利用对数的运算性质化简得，从而可求得符合题意．
【详解】解：（1）当时，，函数为偶函数，证明如下：
∴，
又函数的定义域为，
∴函数为偶函数；
（2）假设存在直线，使得函数的图像关于直线对称，
则，
∴，
即，即，
∴，即，
∴，
∴，即，
∵且，
∴，
故存在，使得函数的图像关于直线对称．
【点睛】本题主要考查对数型复合函数的奇偶性与对称性，考查对数的运算性质，属于难题．
15．见解析
【分析】利用对数换底公式，原不等式左端化简，对n是偶数，奇数分类解不等式，即可.
【详解】利用对数换底公式，原不等式左端化为：
logax﹣4 +12 -...+
=[1﹣2+4+...+（﹣2）n﹣1]logax
=logax.
故原不等式可化为logax＞loga（x2﹣a），①
当n为奇数时，＞0，不等式①等价于：logax＞loga（x2﹣a），②
因为a＞1，②式等价于
，
因为＜0，＞，
所以，不等式②的解集为{x|＜x＜}.
当n为偶数时，＜0，不等式①等价于logax＜loga（x2﹣a），③
因为a＞1，③式等价于或，
因为，
所以，不等式③的解集为{x|x＞}.
综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是{x|}；
当n为偶数时，原不等式的解集是{x|}.
【点睛】本小题主要考查含有对数的不等式的解法，考查对数运算，考查等比数列前项和的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
16．（1）；（2）.
【分析】（1）由解析式求出、，根据求的值；
（2）由题意，且对称轴为，结合其函数的性质，讨论与的位置关系确定最大、最小值求参数.
【详解】（1）由题意，，而，
∴由知：，可得.
（2）由题意，，开口向上且对称轴，
∵在上的最大值为，最小值为，
∴当，时，，则，得；
当，时，，则，得；
当，时，，则，得；
当，时，，则，无解；
∴综上，.
【点睛】关键点点睛：
（1）根据函数解析式求对应的函数值，利用等式列方程求参数；
（2）利用二次函数对称轴与区间的位置关系，讨论函数的最值，结合已知条件求参数范围.
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