高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——4.4对数函数（较易）（含解析）

一、单选题
1．已知函数，则的增区间为（ ）
A．（–∞，–1） B．（–3，–1）
C．[–1，+∞） D．[–1，1）
2．已知函数，则的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
3．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．方程的解为（ ）
A． B．
C． D．或
5．若函数在上是单调增函数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．设，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．若，则下列命题正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点（0，0）中心对称
C．没有最小值 D．没有最大值
8．已知，，，其中，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知函数是偶函数，则___________．
10．已知函数的定义域为，则实数a的取值范围为________．
11．已知函数若，则实数__________.
12．函数的单调递增区间为______.
四、解答题
13．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.
（1）求出V关于Q的函数解析式；
（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
14．已知函数， 其中a>0且a≠1，b>0且b≠1；
（1）若f(x)为偶函数，试确定a， b满足的等量关系；
（2）已知，试比较f(n)和的大小关系，并证明你的结论.
15．已知函数.
（1）判断在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）解关于的不等式.
16．已知是偶函数，是奇函数.
(1)求，的值；
(2)判断的单调性；（不需要证明）
(3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
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参考答案：
1．B
【分析】先求出函数的定义域，然后由复合函数的单调性可得出答案.
【详解】由，得，
当时，函数单调递增，所以函数单调递增；
当时，函数单调递减，所以所以函数单调递减，
故选：B.
2．D
【分析】根据题意，利用排除法分析，先计算的值，排除，再比较与的值，结合函数单调性的定义排除，即可得答案．
【详解】解：根据题意，，
所以，在区间上，在轴下方有图象，排除，
又，而，有，不会是增函数，排除，
故选：．
3．D
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
4．C
【分析】根据对数运算性质化为同底的对数方程，结合对数真数大于零可求得结果.
【详解】，，解得：.
故选：C.
5．C
【解析】若函数在上是单调增函数，根据对数函数及复合函数单调性可知，解不等式即可得到的取值范围．
【详解】由题意得，设，根据对数函数及复合函数单调性可知：
在上是单调增函数，且，所以，所以，
故选:C．
6．B
【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】由可得，所以，
所以有，
故选：B.
【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.
7．AD
【分析】由题意得出的奇偶性，从而可判断选项A,B;由，结合对数函数的单调性可判断选项C,D.
【详解】，所以为偶函数. 则选项A正确，选项B不正确.
设，所以（当时取得等号）
当或时，，则，所以没有最大值.
所以选项C不正确，选项D正确.
故选：AD
8．CD
【分析】根据求出，，，借助指数函数与对数函数的单调性分别判断选项即可.
【详解】因为，所以，，，且，所以，故A错误；
因为，，即，故B错误，C正确；
因为，，即，故D正确.
故选：CD.
9．##0.5
【分析】依据偶函数的定义建立方程即可求解.
【详解】由题意知：是偶函数，
则，
即：
即：
即：，解得：.
故答案为：.
10．
【分析】首先把题目转化为在上恒成立，再利用即可得解.
【详解】因为的定义域为，
所以恒成立，
所以，所以．
故实数a的取值范围是．
故答案为：.
11．##1.5
【分析】先整体代换，令，然后结合分段函数进行分段讨论，结合范围求解方程，求得实数t的值.
【详解】令，
则当时，，解得；
当时，，解得
所以当，此时，有，解得，不满足条件；
当，若，则，解得，此时不满足条件；
当，则，解得
故答案为：．
12．
【分析】根据复合函数的单调性及定义域解答即可.
【详解】由题意，，解得或，
所以的定义域为.由二次函数的图象与性质，知函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.
故答案为：
13．（1）；（2）2700个单位．
【分析】（1）根据成正比的性质，结合代入法进行求解即可；
（2）利用代入法，结合对数与指数式互化公式进行求解即可.
【详解】解：（1）设V＝k·log3，
∵当Q＝900时，V＝1，∴1＝k·log3，
∴k＝，∴V关于Q的函数解析式为;
（2）令V＝1.5，则，∴Q＝2 700，
即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2700个单位．
14．（1）；（2）；证明见解析.
【解析】（1）若是定义在R上的偶函数，可得，代入解析式可得，从而可得，再根据偶函数的定义进行判断即可.
（2）利用作差法：，再利用作差法比较与的大小即可求解.
【详解】（1）因为是定义在R上的偶函数，所以，
即，所以，
由，由题知，所以，
此时，
因为函数是定义域为R，关于坐标原点对称，
又，所以是偶函数.
故当时，满足题意.
综上：.
（2）
因为，
所以
即，所以.
即.
15．（1）在R上是增函数，证明见解析；（2）.
【分析】（1）由题可判断函数为奇函数且为增函数，利用定义法的步骤证明即可；
（2）利用函数的单调性及对数函数的单调性即解.
【详解】（1），则函数是奇函数，
则当时，设，
则
，
，
，即，，
则，即，
则在，上是增函数，
是上的奇函数，
在上是增函数.
（2）在上是增函数，
不等式等价为不等式，
即.
即不等式的解集为.
16．(1)，
(2)单调递增
(3)
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求，的值；
（2）根据指数函数的单调性即可判断的单调性；
（3）根据函数的单调性将不等式在上恒成立，进行转化，即可求实数的取值范围．
(1)
解：因为是偶函数，
所以，即，
则，即，
所以，即，解得．
若是奇函数，
又定义域为，则，即，解得；
(2)
解：因为，所以，
因为函数单调递增，函数单调递减，所以单调递增；
(3)
解：由（2）知单调递增；
则不等式在上恒成立，
等价为在上恒成立，
即在上恒成立，
则，
设，则在上单调递增，
∴，
则，
所以实数的取值范围是．
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