高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——4.4对数函数（一般）（含解析）

一、单选题
1．函数在单调递增，求a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
2．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．已知奇函数在单调递增，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知0A．m6．如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设P点运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S=f(x)的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知函数，，则（ ）
A．函数为偶函数
B．函数为奇函数
C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0
D．设，则的解集为
8．若正实数满足，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．若函数是定义在上的奇函数，且当时，,则不等式的解集为_________.
10．已知函数，若，则实数的取值范围为______.
11．已知函数在上的最小值为1，则的值为________.
12．设，若t在上变化时，y恒取正值，则x的取值范围是________．
四、解答题
13．已知函数.
（1）当时，求；
（2）求解关于的不等式；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
14．如图，已知过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数的图象交于C，D两点.
（1）试利用相似形的知识，证明O，C，D三点在同一条直线上；
（2）当轴时，求A点的坐标.
15．已知函数（且）．
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)若，求函数的值域．
16．已知函数=logax，=loga(2x+m2)，其中x∈[1,3]，a>0且a≠1，m∈R.
（1）若m=6且函数F=+的最大值为2，求实数a的值.
（2）当a>1时，不等式<2在x∈[1,3]时有解，求实数m的取值范围.
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参考答案：
1．C
【分析】分析单调性和定义域可得，解不等式组即得解.
【详解】解：令，二次函数抛物线的对称轴方程为，
由复合函数的单调性可知，.
又在上恒成立，所以，即，
所以，解可得，．
故选：C
2．A
【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
3．D
【分析】利用函数为奇函数，将不等式转化为，再利用函数的单调性求解.
【详解】因为函数为奇函数，
所以，又，，
所以不等式，可化为，
即，
又因为在上单调递增，
所以在R上单调递增，
所以，
解得.
故选：D.
4．D
【分析】首先由条件判断，以及求出，再根据对数函数，幂函数，指数函数的性质判断选项.
【详解】，，，，．
，，，所以A，B错误；在上为增函数，，所以C错误；
在上为减函数，，所以D正确．
故选:D
【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的单调性，以及基本初等函数的性质，本题的关键是根据条件可得，再利用函数的性质判断出.
5．A
【分析】由给定条件可得，，再用作商法比较m，n的大小即可.
【详解】因00，
又m<0，n<0，则，于是得m所以m故选：A
6．D
【分析】根据给定信息求出函数f(x)的解析式，再借助解析式即可选择图象.
【详解】依题意：P点在BC上时，，，P点在CD上时，，，
P点在DA上时，，，
于是得，函数f(x)的图象是三条线段组成的折线，只有选项D符合.
故选：D
7．BCD
【分析】根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案
【详解】对于A：，定义域为，，
则为奇函数，故A错误；
对于B：，定义域为，
，
则为奇函数，故B正确；
对于C：，，都为奇函数，
则为奇函数，
在区间上的最大值与最小值互为相反数，
必有在区间上的最大值与最小值之和为0，故C正确；
对于D：，则在上为减函数，
，则在上为减函数，
则在上为减函数，
若即，
则必有，解得，
即的解集为，故D正确；
故选：BCD
8．AC
【分析】通过构造函数，可判断函数为减函数，采用，结合代换，由指数和对数函数单调性即可判断.
【详解】设，则在为减函数，
因为
所以，
因为所以，所以，
即，从而所以A正确，B错误；
而
所以所以，所以C正确，D错误.
故选：AC.
9．
【解析】根据时，的解析式，可判断的单调性，又，根据是定义在上的奇函数，可得，根据的单调性，即可得答案.
【详解】当时，为增函数，为减函数，
所以在上为增函数，又，
所以当时，，
当时，，
又函数是定义在上的奇函数，所以，且在上单调性与上单调性相同，也为增函数，
所以时，，
当时，，
又奇函数，
所以不等式的解集为，
故答案为：
【点睛】解题的关键是熟练掌握函数的单调性、奇偶性，对于奇函数，，左右两侧单调性相同，若在处有定义，则，灵活应用，即可得答案.
10．或
【分析】令，分析出函数为上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】令，对任意的，，
故函数的定义域为，
因为，
则，所以，函数为奇函数，
当时，令，由于函数和在上均为减函数，
故函数在上也为减函数，
因为函数在上为增函数，故函数在上为减函数，
所以，函数在上也为减函数，
因为函数在上连续，则在上为减函数，
由可得，即，
所以，，即，解得或.
故答案为：或.
11．1
【分析】分，讨论，利用函数的单调性求最值即得.
【详解】由题意得，
当时，在上单调递减，
∴的最小值为，，
所以不成立；
当时，，在单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为，符合题意.
故.
故答案为：1.
12．
【分析】由题设知对恒成立，由一次函数的性质有，即可求x的范围.
【详解】设，，则问题转化为：对恒成立，
∴，则，
∴，即，得或．
故x的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：转换主元，将看作函数的自变量，将问题转化为函数在恒成立，根据一次函数的性质求x的范围.
13．（1）；（2）当时，的解集为，当时；（3）.
【分析】（1）将直接代入解析式计算即可.
（2）将整理为，解得或，再对讨论即可解不等式.
（3）将问题转化为，分别分和讨论，求最小值，令其大于，即可求解.
【详解】（1）当时，
（2）由得：
或
当时，解不等式可得：或
当时，解不等式可得：或
综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为
（3）由得：
或
①当时，，
或，解得：
②当时，，
或，解得：
综上所述：的取值范围为
【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性、考查函数的最值和恒成立问题、考查分类讨论的思想，属于中档题.
14．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）设出、的坐标，解出、的坐标，根据三角形相似可得，，即证出O，C，D三点在同一条直线上．
（2）由平行轴，可知、纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合（1）即可求出的坐标．
【详解】（1）如图所示：
设点、的横坐标分别为、，由题设知，，．则点、纵坐标分别为、．因为、在过点的直线上，，，所以，从而，即．因为点、坐标分别为，，，．由于，，而， ，所以，即，而，所以，，即有．由此可知，即、、在同一条直线上．
（2）由平行于轴知，即得，．
代入得．
由于知，．考虑解得．
于是点的坐标为．
15．(1)奇函数，证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义判断并证明作答.
（2）利用指数函数的值域，对数函数定义及性质求解作答.
（1）
函数是奇函数，
依题意，，解得或，即的定义域为，
又，
所以函数是奇函数．
（2）
当a＝2时，，，显然，
则有，即，而在上递增，因此，
所以的值域是.
16．（1）；（2）.
【分析】（1）由题设可得，讨论、，结合已知最大值求参数a，注意判断a值是否符合题设.
（2）由对数函数的性质可得，再由对数函数的单调性可得，利用二次函数的性质求不等式右边的最小值，即可得m的取值范围.
【详解】（1），，则，.
当时，，所以；
当时，，所以，不合题意.
综上，.
（2）要使在上有意义，则，解得.
由，即，又，
∴，即，得.
令，，记，对称轴，
∴，故.
综上，.
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