高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——4.5函数的应用（二）（较易）（含解析）

一、单选题
1．若是函数的一个零点，则的另一个零点为（ ）
A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）
2．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是（ ）
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时
3．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
4．某手机生产线的年固定成本为250万元，每生产x千台需另投入成本万元，当年产量不足80千台时，(万元)；当年产量不小于80千台时，(万元).每千台产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完.当年产量为（ ）千台时，该厂当年的利润最大？
A．60 B．80 C．100 D．120
5．某工厂使用过滤仪器过滤排放的废气，过滤过程中体积一定的废气中的污染物浓度与过滤时间之间的关系式为（，k为常数），且根据以往的经验，前2个小时的过滤能够消除的污染物.现有如下说法：①；②经过1个小时的过滤后，能够消除的污染物；③经过5个小时的过滤后，废气中剩余的污染物低于原来的.则其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．声强级（单位：）与声强的函数关系式为：.若普通列车的声强级是，高速列车的声强级为，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
二、多选题
7．已知函数，如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．.
8．甲、乙两位股民以相同的资金进行股票投资，在接下来的交易时间内，甲购买的股票先经历了一次涨停（上涨10%），又经历了一次跌停（下跌10%），乙购买的股票先经历了一次跌停（下跌10%），又经历了一次涨停（上涨10%），则甲，乙的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ）
A．甲、乙都亏损 B．甲盈利，乙亏损 C．甲亏损，乙盈利 D．甲、乙亏损的一样多
三、填空题
9．已知函数，若关于的方程有四个根，则实数的取值范围为______．
10．规定记号""表示一种运算，即，若，函数的图象关于直线对称，则___________.
11．燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究发现，燕子的飞行速度（单位：）可以表示为（其中是实数，表示燕子的耗氧量的单位数），据统计，燕子在静止的时候其耗氧量为个单位.若燕子为赶路程，飞行的速度不能低于，其耗氧量至少需___________个单位
12．某城市出租车按如下方法收费：起步价8元，可行3(含3)，3到10(含10)每走1加价1.5元，10后每走1加价0.8元，某人坐该城市的出租车走了20，他应交费________元.
四、解答题
13．美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示.
（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；
（2）现在公司准备投入0千万元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.
14．《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人所得税起征点为3500元(即3500元以下不必纳税，超过3500元的部分为当月应纳税所得额)，应缴纳的税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额 税率%
不超过1500元的部分 3
超过1500元至4500元部分 10
（1）列出公民全月工资总额x(0（2）刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元，那么她当月工资总额是多少？
15．已知二次函数.
（1）若二次函数有零点，求实数的取值范围；
（2）如果是满足（1）的最大整数，且二次函数的零点是二次函数的一个零点，求的值及二次函数的另一个零点.
16．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（，均为非零常数，e为自然对数的底数），其中为时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.
（1）求常数的值；
（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1h，参考数据：，，，，）
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】由是函数的一个零点，可得值，再利用韦达定理列方程解出的另一个零点．
【详解】因为是函数的一个零点，所以，解得．设另一个零点为，则，解得，所以的另一个零点为1．
故选：A．
2．C
【分析】根据食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，求出k、b，然后再将x＝33代入即可得出答案.
【详解】解：由题意，得，即，
于是当x＝33时，＝24(小时).
故选：C.
3．D
【分析】函数在上是连续增函数，根据，根据零点存在定理可得零点所在的大致区间．
【详解】解：对于函数在上是连续增函数，
由于，，
所以，
根据零点存在定理可知，函数的零点所在的大致区间是，
故选：．
4．C
【解析】求得当年的利润的解析式，结合二次函数的性质、基本不等式求得正确选项.
【详解】设年产量为x千台，当年的利润为y万元，
则由已知有，
即，
当时，由二次函数的性质可知当时y取最大值950，
当时，.
当且仅当时，y取得最大值1000，
又，所以当年产量为100千台时，该厂当年的利润取得最大值1000万元.
故选：C
5．B
【分析】利用时来求得的值，进而判断出三个说法的正确性.
【详解】初始状态下，，，即废气中的污染物浓度为，
则时，，则，解得，故①错误；
当时，，此时消除的污染物为原来的，故②错误；
当时，，故③正确.
故选：B
6．B
【分析】设普通列车的声强为，高速列车的声强为，由声强级得，，求出相除可得答案.
【详解】设普通列车的声强为，高速列车的声强为，
因为普通列车的声强级是，高速列车的声强级为，
所以，，
，解得，所以，
，解得，所以，
两式相除得，
则普通列车的声强是高速列车声强的倍.
故选：B.
7．BD
【解析】在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，观察函数图象即可得出答案.
【详解】在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，如图，
由图象可知，当时，函数f (x)有两个零点和，当时，函数f (x）有两个零点和.
故选：BD
8．AD
【分析】设投资总额为a元，分别求出甲、乙经历一次涨停与一次跌停后的资金数，即可判断；
【详解】解：设投资总额为a元，甲先经历一次涨停，再经历一次跌停后的资金为：元，
乙先经历一次跌停，再经历一次涨停后的资金为：元，
故选：AD.
9．
【分析】分离变量，画出特定函数的图像即可.
【详解】由，得
令，画出图像
由图可知，当时，方程有四解，
即方程有四个根.
故答案为:
10．1
【分析】根据新运算的定义，得到函数解析式为，再根据函数图象关于直线对称，得到函数的四个零点两两对称，列出方程求解，即可得出结果.
【详解】由题意可得：，，
则函数有四个零点，从大到小依次是，，，，
因为函数的图象关于直线对称，
所以与关于直线对称，与关于直线对称，
所以，解得
故答案为：1.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于由函数新定义得到函数解析式，确定函数零点，再由对称性，即可求解.
11．80
【分析】根据给定条件求出常数a，再建立不等关系即可得解.
【详解】依题意，时，，于是得，解得，即，
由得：，即，解得，
所以其耗氧量至少需80个单位.
故答案为：80
12．26.5
【分析】根据题意求出收费钱数y关于行车路程x的解析式，即可求解.
【详解】设x为行车路程，y为收费钱数，则，
∴当x=20时，.
故答案为：26.5.
13．（1）生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式分别为， ，（2）9千万元
【分析】（1）根据待定系数法可求出函数解析式，
（2）将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解
【详解】解：（1）因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设，因为当时，，所以，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式为，
对于生产芯片的，因为函数图像过点，所以
，解得，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为 ，
（2）设投入千万元生产芯片，则投入千万元生产芯片，则公司所获利用
，
所以当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元
14．（1）；（2）7550元.
【分析】(1)根据给定条件分段求出应缴纳税款额y元的表达式即可；
(2)判断当月工资总额所在区间，再列式即可得解.
【详解】(1)依题意，当0当3500当5000综上可得y=；
(2)由(1)知，当0因缴纳个人所得税款300元，则有5000于是得300=0.1x-455，解得x=7550，
所以刘丽十二月份工资总额为7550元.
15．（1）；（2），另一个零点为4.
【分析】（1）转化条件为，运算即可得解；
（2）由零点的概念可得方程的一个根为2，求出后运算即可得解.
【详解】（1）由题意得，所以，解得.
（2）由（1）可知，
所以方程的根，二次函数的零点是，
∴二次函数的一个零点是，
∴方程的一个根为2，
∴，解得，
∴，解得或，
所以二次函数的另一个零点为4.
16．（1）（2）42h
【分析】（1）根据题意，得到，求解，即可得出结果；
（2）根据（1）的结果，得到，由题意得到，求解，即可得出结果.
【详解】（1）由已知得，当时，；当时，.
于是有，解得（或）.
（2）由（1）知，当时，有，
解得.
故污染物减少到40%至少需要42h.
【点睛】本题主要考查函数模型的应用，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型.
答案第1页，共2页
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