高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——4.5函数的应用（二）（较难）（含解析）

一、单选题
1．已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A． B．4 C．8 D．或8
2．已知函数，若函数有13个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数（且），若函数的零点有5个，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或或 D．或
4．已知正方形的四个顶点都在函数图象上，且函数图象上的点都满足，则这样的正方形最多有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知，若，分别是方程，的根，则下列说法：①；②；③，其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知函数，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知定义域为R的奇函数，当时，下列说法中正确的是（ ）
A．当时，恒有
B．若当时，的最小值为，则m的取值范围为
C．不存在实数k，使函数有5个不相等的零点
D．若关于x的方程所有实数根之和为0，则
8．定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确的有（ ）
A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解
C．方程有且仅有八个解 D．方程有且仅有一个解
三、填空题
9．设，函数，若函数恰有个零点，则实数的值为__________.
10．已知，设函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是__________.
11．为实数，表示不超过的最大整数.，若的图像上恰好存在一个点与的图像上某点关于轴对称，则实数的取值范围为___________.
12．某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型．
已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是__________．
四、解答题
13．已知函数.
（1）试判断函数的单调性，并画出函数图象的草图；
（2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.
14．已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设．
（1）求的值；
（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围
15．若函数同时满足：
①函数在整个定义域是严格增函数或严格减函数；
②存在区间，使得函数在区间上的值域为，则称函数是该定义域上的“闭函数”.
（1）判断是不是上的“闭函数”？若是，求出区间；若不是，说明理由；
（2）若是“闭函数”，求实数的取值范围；
（3）若在上的最小值是“闭函数”，求、满足的条件.
16．已知函数）为奇函数，
(1)求实数m的值；
(2)，使得f）在区间]上的值域为]，求实数a的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解.
【详解】作出函数在时的图象，如图所示，
设，
则关于的方程的方程等价于
解得：或，
如图，
当t=1时，即对应一个交点为，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况:
（1），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为8；
（2），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为.
故选：D
【点睛】解决此类问题的关键有两点，第一换元后对方程等价转化求解或，
第二结合函数图象处理方程有四个根，即要转化为数形结合，看图象交点的个数及横坐标即可求解.
2．D
【分析】先根据题意将问题转化为数与函数的图象交点个数问题，再画出图形，数形结合即可解决.
【详解】解：函数有13个零点，
令，有，
设，
可知恒过定点，
画出函数，的图象，如图所示：
则函数与函数的图象有13个交点，
由图象可得：，则，
即，解得：.
故选：D.
【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.
3．D
【分析】依题意函数的零点即为方程的根，对分四种情况讨论，结合函数图形即可得解；
【详解】解：依题意函数的零点即为方程的根，
①当时函数的函数图象如下所示：
所以有两个根，（，），
而对应2个根，所以需要对应3个根，
所以，即，解得；
②当时函数的函数图象如下所示：
所以有两个根，（，），而对应2个根，
对应2个根，即共四个根，所以不满足题意；
③当时函数的函数图象如下所示：
所以有三个根，，，
从而，，，所对应2、2、1个根，
即共5个根，所以满足题意；
④当时函数的函数图象如下所示：
所以有三个根，，，（，，），
而，，分别对应2、2、0个根，即共四个根，
所以不满足题意；
综上可得实数的取值范围为或；
故选：D
4．B
【分析】设，得到，
根据的奇偶性，得到，得到，设对角线所在的直线为，联立方程组求得，，结合，得到，令，求得的值，即可求解.
【详解】设函数，则函数是上的奇函数，且在上单调递增，
可得，
所以，所以，即，
其对称中心为原点，所以正方形的中心为原点，
设正方形的对角线所在的直线为，
由，整理得，所以，同理可得，
由，可得，即，
令，则，所以或，
所以这样的正方形最多有2个．
故选：B.
【点睛】对于函数的基本性质综合应用问题解答时，有时需要通过构造函数的奇偶性进行转化.
5．D
【分析】由题意可得的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称，在同一坐标系中画出3个函数的图象，可求得的范围，然后逐个分析判断即可
【详解】，
因为，所以，
所以，且在上单调递减，
，分别是方程，的根，
因为与互为反函数，
所以与的图象关于直线对称，
由，得，
画出函数，和的图象，
由图可得
，
因为当时，，
当时，，
所以，
所以，所以①正确，
对于②，由图可得，所以，
因为，所以，所以②正确，
对于③，因为的图象关于直线对称，
因为和互为反函数，
所以与关于直线对称，
所以或，化简得，所以③正确，
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合的思想，解题的关键是正确画出函数图象，根据图象分析求解的范围，考查数学转化思想，属于较难题
6．C
【分析】由题对取特殊值，利用数形结合，排除不合题意的选项即得.
【详解】令，
当时，方程为，即，
作出函数及的图象，
由图象可知方程的根为或，即或，
作出函数的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD错误；
当时，方程为，即，
由图象可知方程的根，即，
结合函数的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，故A错误.
故选：C.
7．BC
【解析】根据函数的奇偶性及时的解析式作出函数的图象，结合图象可判断AB选项，联立与可判断相切时切点横坐标为1，当，时最多一个交点，可判断C，根据函数奇偶性与对称性判断D．
【详解】当时，且为R上的奇函数，
作函数f（x）的图象如图：
对于A，当时，函数f（x）不是单调递减函数，则f（x1）＞f（x2）不成立，故A不正确；
对于B，令，解得，由图象可知，当时，的最小值为，则，故B正确；
对于C，联立，得，
△＝（k+1）2﹣4＝k2+2k﹣3=0，存在，使得△=0，此时,可知最多有3个不同的交点，
∴不存在实数k，使关于x的方程f（x）＝kx有5个不相等的实数根，故C正确；
对于D，由 可得或，
∵函数f（x）是奇函数，若关于x的两个方程与所有根的和为0，
∴函数的根与根关于原点对称，则，
但x＞0时，方程有2个根，分别为，两根之和为，
若关于x的两个方程与所有根的和为0，
则的根为，此时 ，故D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：利用奇函数的对称性得出函数的图象是解决本题的关键所在，结合函数的单调性，函数值的变换，函数图象的交点，利用数形结合解决问题，属于难题.
8．ABD
【解析】通过利用和，结合函数和的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.
【详解】由图象可知，对于方程，当或，方程只有一解；
当时，方程只有两解；当时，方程有三解；
对于方程，当时，方程只有唯一解.
对于A选项，令，则方程有三个根，，，
方程、、均只有一解，
所以，方程有且仅有三个解，A选项正确；
对于B选项，令，方程只有一解，
方程只有三解，所以，方程有且仅有三个解，B选项正确；
对于C选项，设，方程有三个根，，，
方程有三解，方程有三解，方程有三解，
所以，方程有且仅有九个解，C选项错误；
对于D选项，令，方程只有一解，方程只有一解，
所以，方程有且仅有一个解，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数和外层函数；
（2）确定外层函数的零点；
（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.
9．
【分析】分和两种情况讨论，由解出的值，然后分、解关于的方程，结合已知条件可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.
【详解】①当时，由，可得，
当时，由，可得或，
当时，.
即当时，函数只有个零点，不合乎题意；
②当时，由，可得或.
当时，由，可得或，方程无解，
当时，由，即，，
解方程可得，
其中合乎题意，舍去，
所以，方程在时有唯一解，
函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，，
故，解得.
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
10．
【分析】根据时，若方程无解求出，然后分别讨论时根的情况，进而可以求解．
【详解】解：当时，令，则，
因为为增函数，所以当该方程在时无实数根时，
，所以，
①时，时有一个解，所以时，有一个解，
当时，是递减的，
则，
所以时有一个解，
即当时，恰有两个互异的实数解；
②时，在时无解，
此时，即，解得或（舍去），
所以方程在时有1个解，
即当时，方程只有一个实数解，
③时，在时无解，
则时，，
所以，该方程要在时有2个不等的实数解，
即函数在上有2个不同的零点，
所以，解得，
综上所述，的范围为，
【点睛】本题考查了函数的零点与方程根的问题，涉及到分类讨论思想，考查了学生的分析问题的能力与运算能力，有一定的难度．
11．
【分析】将分离参数，得到 ，转化为， 与有一个交点，数形结合可求解.
【详解】设，点关于 轴对称，由题意可知在 有一个解
故在 有一个解
设，
写成分段函数形式即为
作出函数图象可知
与， 只有一个交点，由图象可知，的取值范围为
或
故答案为：
【点睛】函数零点或方程的根的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
12．①②④
【分析】利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即得.
【详解】设甲与乙的工人工作效率，工作年限，劳累程度，劳动动机，
对于①，，，，，
∴，，
则，
∴，即甲比乙工作效率高，故①正确；
对于②，，，，
∴，，
则，
∴，即甲比乙工作效率高，故②正确；
对于③，，，，，
∴，，
，
所以，即甲比乙劳累程度弱，故③错误；
对于④，，，，
∴，，
∴，
所以，即甲比乙劳累程度弱，故④正确.
故答案为：①②④.
13．（1）当时，函数为单调减函数；当时，函数为单调增函数；图象见解析；（2）.
【分析】（1）对去绝对值写成分段函数的形式，根据图象的平移和翻折变换即可得其图象；
（2）设，一元二次方程有两个不相等的实数根，结合图象讨论的范围，从而得到满足题意的等价条件即可求解.
【详解】（1）
当时，函数为单调减函数，值域为；
当时，函数为单调增函数，值域为.
首先作的图象，向下平移个单位可得的图象，将轴下方的图象关于轴对称的翻折到轴上方即可得的图象，
画出函数的草图如图所示：
（2）因为关于的方程有两个不等实数根，
设，结合图象可知，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
令
①当 ，时，则有解之，得；
②当，时，由得，所以可得：不合题意；
③当时，则，解之得或，
当时， (舍去)，当时，符合题意；所以
④当且都在内时，则有即可得：，所以.
综上所述，的范围是.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是令，将原方程转化为，要准确作出的图象，结合图象由和的根的分布情况进行分析，先确定的范围，再确定结果的范围.
14．（1）； （2）； （3）.
【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出方程组，即可求解；
（2）由题意得到，根据转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解；
（3）化简得到，令，得到，根据题意转化为方程有两个根且，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，可得对称轴为，
当时，在上为增函数，可得，即，
解得；
当时，在上为减函数，可得，即，
解得，
因为，所以.
（2）由（1）可得，所以，
方程化为，所以，
令，则，
因为，可得，令，
当时，可得，所以，即实数的取值范围是.
（3）方程，可化为，
可得且，
令，则方程化为，
方程有三个不同的实数解，
所以由的图象知，
方程有两个根且，
记，则或，
解得，
综上所述，实数的取值范围是.
15．（1）不是，理由见解析；（2）；（3）且.
【分析】（1）利用“闭函数”的定义判断函数是否满足①②，由此可得出结论；
（2）分析可知函数在有两个零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（3）利用二次函数的基本性质求得，然后分、、三种情况讨论，分析函数的单调性，结合“闭函数”的定义可得出关于、的等式，由此可得出、满足的条件.
【详解】（1）函数为上的增函数，
若函数为“闭函数”，则存在、，使得函数在上的值域为，
则，则关于的方程至少有两个不等的实根，
因为，故方程无实根，
因此，函数不是“闭函数”；
（2）因为函数为上的增函数，
若函数为上的“闭函数”，
则存在、，使得函数在上的值域为，
则，所以，关于的方程在上有两个不等的实根，
令，设，则函数在有两个零点，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是；
（3）因为.
当时，函数在上单调递增，则；
当时，.
综上所述，.
所以，函数在上为减函数，在上也为减函数.
①当时，则，
上述两式作差得，因为，故，
因为，则，矛盾；
②当时，则有，消去可得，解得，不合乎题意；
③当时，则，可得.
因此，、满足的条件为且.
【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
16．(1)
(2)（0）
【分析】（1）根据奇函数的定义列等式求解参数即可；
（2）根据（1）中所得函数解析式确定函数的解析式，并运用函数单调性确定其单调性，再根据单调性和值域列等式，将问题转化为函数与方程问题，最后求解出参数的取值范围.
【详解】解：（1）∵f（x）为奇函数，∴…
∴在定义域内恒成立，
即在定义域内恒成立，
整理，得在定义域内恒成立.
∴
解得
当时，的定义域为，关于原点对称，
当时，的定义域为，不关于原点对称，舍去.
综上， ；
（2）任取，且，令
则ln
易知
∴
∴H（x）在（0，+∞）上单调递减.
∵H（x）在区间上的值域为[
∴，即
令
易知，关于b的方程在（1，+∞）上有两个不等实数根b1，，
等价于关于x的方程在（1，+∞）有两个不等实数根.
令，对称轴
解得，
∴a的取值范围是（0）.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页