高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——4.4对数函数（较难）（含解析）

一、单选题
1．已知函数，则在同一个坐标系下函数与的图像不可能是（ ）
A． B． C． D．
2．若（），则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，，，对于都有，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数的定义域为，，若存在实数，，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a二、多选题
7．已知函数的定义域为，且满足，当时，，为非零常数，则（ ）
A．当时，
B．当时，在区间内单调递减
C．当时，在区间内的最大值为
D．当时，若函数的图像与的图像在区间内的个交点记为，且，则的取值范围为
8．已知函数在区间I上连续，若对于任意，，且，都有，则称函数为区间I上的下凸函数，下列函数在定义域上为下凸函数的是（ ）
A．
B．
C．，
D．
三、填空题
9．已知函数，则使不等式成立的的取值范围是_______________
10．已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数m的取值范围为__________．
11．已知函数，若实数满足，且，则的取值范围是__________.
12．已知函数满足：当时，；当时，；当时，（且）．若函数的图象上关于原点对称的点至少有3对，有如下四个命题：①的值域为R．②为周期函数．③实数a的取值范围为．④在区间上单调递减．其中所有真命题的序号是__________．
四、解答题
13．设函数是定义域为R的奇函数.
(1)求；
(2)若，求使不等式对一切恒成立的实数k的取值范围；
(3)若函数的图象过点，是否存在正数，使函数在上的最大值为2，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
14．已知函数
(1)当时，求的定义域；
(2)若存在使得成立，求实数a的取值范围．
15．已知函数.
（1）用定义证明：函数在区间]上为减函数，在区间[0，上为增函数；
（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.
16．如果函数满足在集合上的值域仍是集合，则把函数称为函数．例如：就是函数．
（1）下列函数：①，②，③中，哪些是函数（只需写出判断结果）？
（2）判断函数是否为函数，并证明你的结论．
（3）证明：对于任意实数a，b，函数都不是函数．
（注：“”表示不超过x的最大整数）
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】设，由奇偶性的定义及性质可得是R上的奇函数，且是R上的增函数，然后分、和三种情况讨论即可求解.
【详解】解：设，
因为，
所以是R上的奇函数，
又时，在上单调递增，
所以在R上单调递增，且有唯一零点0，
所以的图像一定经过原点，
当时，与的图像相同，不符合题意．
当时，是R上的奇函数，且在上单调递增，所以与的图像可能为选项C；
当时，若，所以与的图像可能为选项A或B.
故选：D．
2．A
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由，可得，
令，则在上单调递增，且，，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
3．C
【分析】对给定的幂或对数变形，借助幂函数和对数函数单调性并结合“媒介”数即可判断作答.
【详解】依题意，，函数在上单调递增，而，于是得，即，
函数在单调递增，并且有，
则，
于是得，即，则，
又函数在单调递增，且，则有，
所以.
故选：C
【点睛】思路点睛：同指数的幂或同底数的幂，同底数的对数大小比较可分别利用幂函数、指数函数、对数函数单调性进行比较，
如果既有幂，又有对数，一般是选取适当的“媒介”数，分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小.
4．C
【解析】由题意可得，判断g（x）在[0，1]递增，可得其最小值；再讨论m＝0，m＜0，m＞0，结合函数y＝x和的单调性，判断f（x）的单调性，可得其最小值，解不等式可得m的取值范围．
【详解】由 x1∈[0，1]，对于 x2∈[0，4]都有g（x1）＜f（x2），可得，
由，得在[0，1]递增，
∴g（x）min＝g（0）＝0，
∵，
∴当m＝0，f（x）＝2＞0恒成立；
当m＞0时，f（x）在[0，4]递增，可得f（x）min＝f（0）＝﹣2m+2，
由﹣2m+2>0，解得m<1，即0＜m<1成立；
当m＜0时，f（x）在[0，4]递减，可得f（x）min＝f（4）＝4m+2，
由4m+2>0，解得，即．
综上，m的范围是．
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对，对于都有的理解，理解为是解题的关键所在，属中档题．
5．D
【分析】由已知求得函数定义域，得到函数的解析式，然后化简，
得，最后换元后利用配方法求得函数最值求解
【详解】的定义域为，由，解得，
的定义域为，
，
令，，，则,
当时为增函数 ,，，
存在实数, 使得，
即，解得
故选：D
【点睛】本题考查不等式的有解问题，化简得①，第一个难点在于通过令，把①换元为
第二个难点在于通过换元把题目的条件转化成式子来进行求解，属于难题
6．A
【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
7．BD
【分析】利用函数的周期性变化，结合函数图像进行分析.
【详解】对于A，当时，，则，
当时，，
所以
，故A错误；
对于B，当时，，则，
当时，，
所以在区间内单调性与在区间内的单调性相同，
当时，，所以在区间内单调性与在区间内的单调性相反，故B正确；
对于C，当时，当，，
即当，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，所以在区间内的最大值
为4.故C错误；
对于D，当时，当，，
即当，，由图像有：
若函数的图像与的图像在区间内的个交点
记为，且，则的取值范围为，
故D正确.
故选：BD.
8．ACD
【分析】利用下凸函数的定义逐项分析即得.
【详解】对于A，由，可知，任意，，且，
则
，故A正确；
对于B，，，函数在定义域上不连续，故B错误；
对于C，，，任意，，且，
∴，
∵，
∴
，
即，故C正确；
对于D，，可知，任意，，且，
∵，，，
∴ ，故D正确．
故选：ACD．
9．
【分析】由奇偶性定义可判断出为偶函数，结合复合函数单调性的判断可得到在上单调递增，由偶函数性质知其在上单调递减，利用函数单调性解不等式即可求得结果.
【详解】由，解得：或，故函数的定义域为，
又，
为上的偶函数；
当时，单调递增，
设，，
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，又为偶函数，在上单调递减；
由可知，解得．
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：
（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；
（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.
10．
【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解
【详解】，
，
由题意得
故答案为：
11．
【分析】根据对数的运算性质把函数的解析式写成分段函数的形式，并判断出单调性，结合已知、可以确定实数的取值范围以及它们之间的关系，根据这个关系可以把代数式写成关于中一个变量的形式，再构造新函数，用单调性的定义判断出新函数的单调性，最后利用新函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为，
因为两段函数均为单调函数，实数满足，且，
所以有,
由得，，
于是，则，
所以，
令 ，任取，
则，
因为，所以，，
因此，
所以函数在上单调递增；
因此，即.
故答案为：
12．①③
【分析】根据题意结合函数的性质可作出函数的部分图象，结合时，的性质，可判断①②；结合图象列出满足函数的图象上关于原点对称的点至少有3对的条件，可判断③；结合图象和函数的性质可判断④.
【详解】根据题意作出函数的部分图象如图：（实线部分）
对于①，因为当时，（且），此时函数值域为R，故①正确；
对于②，当时，（且）不是周期函数，故②错误；
对于③，函数的图象上关于原点对称的点至少有3对，那么的图象与时的函数图象关于原点对称的曲线（图中虚线部分）至少有三个，则需满足： ，解得 ，故③正确；
对于④，由时，知，时，为增函数，
再由当时，可知当时，，故在区间上的情况和时相同，也为增函数，故④，
故答案为：①③
13．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据是定义域为R的奇函数，由求解；
（2），得到b的范围，从而得到函数的单调性，将对一切恒成立，转化为对一切恒成立求解；
（3）根据函数的图象过点，求得b，得到，令，利用复合函数求最值的方法求解.
(1)
解：函数是定义域为R的奇函数，
所以，解得，
此时，满足；
(2)
因为，
所以，解得，
所以在R上是减函数，
等价于，
所以，即，
又因为不等式对一切恒成立，
所以对一切恒成立，
所以，解得，
所以实数k的取值范围是；
(3)
因为函数的图象过点，
所以，解得，
则，
令，
则，
当时, 是减函数，，
因为函数在上的最大值为2，
所以，即，
解得，不成立；
当时，是增函数，，
因为函数在上的最大值为2，
所以，即，
解得或（舍去），
所以存在正数，使函数在上的最大值为2.
14．(1)；
(2).
【分析】（1）把代入函数式，再利用函数有意义列出不等式组，求解作答.
（2）由给定条件列式，分离参数构造函数，借助均值不等式求出函数值域作答.
(1)
当时，函数有意义，必有，
即，则有，解得，
所以函数的定义域是.
(2)
依题意，，，
则有，即，而当时，，
则，
当且仅当，即时取“=”，因此，当时，的值域是，依题意，，
所以实数a的取值范围是.
【点睛】结论点睛：对于能成立问题，(1)函数f(x)定义区间为D，，成立，则有；
(2)函数f(x)定义区间为D，，成立，则有.
15．（1）证明见解析；（2）为上的偶函数，证明见解析；（3）.
【分析】（1）设，，，且，作差，利用对数的性质化简变形，到能直接判断符号为止，根据函数单调性的定义，即可证得结论函数在区间，上为减函数，同理可证，在区间，上为增函数；
（2）利用函数奇偶性的定义，判断与的关系，即可证得答案；
（3）欲使对一切实数恒成立，只需，利用对数的运算法则进行化简，最后利用基本不等式求出右侧函数的最大值即可求出实数的取值范围．
【详解】解：（1），设，，，且，
，
，
则，，，，
，
，即，函数在区间，上为减函数，
同理可证，函数在区间，上为增函数，
故函数在区间，上为减函数，在区间，上为增函数；
（2）为上的偶函数.
证明：，
为上的偶函数.
（3），
对一切实数恒成立，
则
不妨令，则，
当且仅当时，即时取等号，，
即实数的取值范围.
16．（1）只有是函数；（2）函数是函数；证明见解析 ；（3） 证明见解析．
【分析】（1）根据函数的定义可判断只有是函数．
（2）任意，．设，，由，可得．一定存在，满足，由此能证明函数是函数．
（3）当时，有（2），函数都不是函数；当时，若，有（1），函数都不是函数．若，由指数函数性质得，函数都不是函数．若，令，则一定存在正整数，使得，推导出函数都不是函数．由此得到对于任意实数，，函数都不是函数．
【详解】（1）解：只有是函数
（2）解：函数是函数．
证明如下：显然，，．
不妨设，，由，可得，即，
因为，恒有成立，所以一定存在，满足，所以设，总存在，满足，
所以函数是函数．
（3）证明：当时，有，
所以函数都不是函数．
当时，①若，有，所以函数都不是函数．
②若，得，所以，都有，
所以函数都不是函数．
③若，令，则，
所以一定存在正整数k，使得，所以，，
使得，所以．
又因为当时，，所以；
当时，，所以，
所以，都有，
所以函数都不是函数．
综上所述，对于任意实数a，b，函数都不是函数．
【点睛】本题考查函数的判断与证明，考查函数性质、新定义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
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