24.1.4圆周角
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课件36张PPT。24.1.4 圆周角回 忆1.什么叫圆心角?顶点在圆心的角叫圆心角2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。∠ACB与 ∠AOB 有何异同点？
你知道∠ACB这一类的角名字吗？ 顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周角。 圆周角的概念 ： 问题探讨：判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。PPPP不是是不是不是顶点不在圆上。顶点在圆上，两边和圆相交。两边不和圆相交。有一边和圆不相交。有没有圆周角？有没有圆心角？它们有什么共同的特点？它们都对着同一条弧⌒⌒⌒当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?.你能发现什么规律？实践活动猜想： 同弧所对的圆周角的度数没有变化， 并且它的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。圆心在一边上圆心在角内圆心在角外验证:为了验证我们的猜想，我们根据圆周角与圆心的相对位置关系分三种情况来证明：
（1）圆心在圆周角的一边上；
（2）圆心在圆周角的内部；
（3）圆心在圆周角的外部
圆周角和圆心角的关系1.首先考虑第一种情况：
当圆心O在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即 ∠ABC = ∠AOC.你能写出这个命题吗?同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.期望:你可要理解并掌握这个模型.第二种情况：如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
2.当圆心O在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?提示:能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得: ∴ ∠ABC = ∠AOC.能写出这个命题吗?同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.∠ABD = ∠AOD, ∠CBD = ∠COD,第三种情况：如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
3.当圆心O在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?提示:能否也转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:∴ ∠ABC = ∠AOC.你能写出这个命题吗?同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，等于它所对的圆心角的一半。即∠BAC= ∠BOC练一练.1试找出下图中所有相等的圆周角。 ∠2=∠7∠1=∠4∠3=∠6∠5=∠8练一练如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
则∠AOC等于（ ）
A、50°； B、80°；
C、90°； D、100°D如图，△ABC是等边三角形，
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ ）
A、30°； B、60°；
C、90°； D、45°B6,如图，已知圆心角∠AOB=100°,求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？
7,一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？推论：
半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角).反过来也是成立的,即90°的圆周角所对的弦是圆的直径探究二：OABC2. 90°的圆周角所对的弦是
否是直径？ 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，
它们所对的弧一定相等吗？为什么？A′结论在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧一定相等 问题3
在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？
练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.40°练一练如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ）
A、70°； B、110°；
C、90°； D、120°B如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 。解：连接OA、OB∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形∴OA=OB=AB=2，即半径为2。2例: 如图，AB是⊙O的直径AB=10cm,
弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D . 求 BC, AD ,BD 的长.106 如图所示，已知⊿ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊿ABC的高，AE是⊙O的直径.
求证：∠BAE＝∠CAD已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?
(2)求证：⌒ ⌒BD=DE 连结AD.∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD,
AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，∴ ⌒ ⌒BD= DE（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）。解:BD=CD.理由是:在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图2)．此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？分析 在真正的足球比赛中情况会很复杂，这里仅用数学方法从两点的静止状态加以考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点分别对球门MN的张角大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截.怎样比较A、B两点对MN张角的大小呢？解 考虑过M、N以及A、B中的任一点作一圆，这里不妨作出⊙BMN，显然，A点在⊙BMN外，设MA交圆于C，则
∠MAN＜∠MCN，而∠MCN=∠MBN，
所以∠MAN＜∠MBN．
因此，甲应将球回传给乙，让乙射门.5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．DOOO方法一方法二方法三练 习求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）·ABCO求证： △ABC 为直角三角形.证明：CO= AB,以AB为直径作⊙O，∵AO=BO， ∴AO=BO=CO.∴点C在⊙O上.又∵AB为直径,∴∠ACB= ×180°= 90°.∴ △ABC 为直角三角形.练 习新课讲解： 若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。OACDEB如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边形ABCD的外接圆。 CODBA如图：圆内接四边形ABCD中，∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角∴∠A＋∠C＝180° 同理∠B＋∠D＝180°圆的内接四边形的对角互补。 (1)四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=__ ，∠B+∠ADC=_____;若∠B=800， 则∠ADC=______ ∠CDE=______ (2)四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=1000 则∠B=______∠D=______ (3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则∠A=_____, 180° 180° 100° 80°
?
50° 130° 45° 填空若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（ ）（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4 （B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4 （C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4 （D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1B在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A。解法1：∵∠CBD=300，∠BDC=200
∴∠C=1800-∠CBD-∠BDC=1300
∴∠A=1800-∠C=500（圆内接四边形对角互补）巩固： 2、如图，在⊙O中，AB为直径，CB = CF,
弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E
求证：BE=EC
⌒⌒课堂练习1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？ 2.如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，且
∠BCD=100°，求∠BOD（ 所对的圆心角）
和∠BAD的大小。·ABC1OC2C3归纳：
你知道∠ACB这一类的角名字吗？ 顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周角。 圆周角的概念 ： 问题探讨：判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。PPPP不是是不是不是顶点不在圆上。顶点在圆上，两边和圆相交。两边不和圆相交。有一边和圆不相交。有没有圆周角？有没有圆心角？它们有什么共同的特点？它们都对着同一条弧⌒⌒⌒当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?.你能发现什么规律？实践活动猜想： 同弧所对的圆周角的度数没有变化， 并且它的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。圆心在一边上圆心在角内圆心在角外验证:为了验证我们的猜想，我们根据圆周角与圆心的相对位置关系分三种情况来证明：
（1）圆心在圆周角的一边上；
（2）圆心在圆周角的内部；
（3）圆心在圆周角的外部
圆周角和圆心角的关系1.首先考虑第一种情况：
当圆心O在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即 ∠ABC = ∠AOC.你能写出这个命题吗?同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.期望:你可要理解并掌握这个模型.第二种情况：如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
2.当圆心O在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?提示:能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得: ∴ ∠ABC = ∠AOC.能写出这个命题吗?同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.∠ABD = ∠AOD, ∠CBD = ∠COD,第三种情况：如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
3.当圆心O在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?提示:能否也转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:∴ ∠ABC = ∠AOC.你能写出这个命题吗?同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，等于它所对的圆心角的一半。即∠BAC= ∠BOC练一练.1试找出下图中所有相等的圆周角。 ∠2=∠7∠1=∠4∠3=∠6∠5=∠8练一练如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
则∠AOC等于（ ）
A、50°； B、80°；
C、90°； D、100°D如图，△ABC是等边三角形，
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ ）
A、30°； B、60°；
C、90°； D、45°B6,如图，已知圆心角∠AOB=100°,求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？
7,一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？推论：
半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角).反过来也是成立的,即90°的圆周角所对的弦是圆的直径探究二：OABC2. 90°的圆周角所对的弦是
否是直径？ 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，
它们所对的弧一定相等吗？为什么？A′结论在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧一定相等 问题3
在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？
练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.40°练一练如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ）
A、70°； B、110°；
C、90°； D、120°B如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 。解：连接OA、OB∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形∴OA=OB=AB=2，即半径为2。2例: 如图，AB是⊙O的直径AB=10cm,
弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D . 求 BC, AD ,BD 的长.106 如图所示，已知⊿ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊿ABC的高，AE是⊙O的直径.
求证：∠BAE＝∠CAD已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?
(2)求证：⌒ ⌒BD=DE 连结AD.∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD,
AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，∴ ⌒ ⌒BD= DE（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）。解:BD=CD.理由是:在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图2)．此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？分析 在真正的足球比赛中情况会很复杂，这里仅用数学方法从两点的静止状态加以考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点分别对球门MN的张角大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截.怎样比较A、B两点对MN张角的大小呢？解 考虑过M、N以及A、B中的任一点作一圆，这里不妨作出⊙BMN，显然，A点在⊙BMN外，设MA交圆于C，则
∠MAN＜∠MCN，而∠MCN=∠MBN，
所以∠MAN＜∠MBN．
因此，甲应将球回传给乙，让乙射门.5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．DOOO方法一方法二方法三练 习求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）·ABCO求证： △ABC 为直角三角形.证明：CO= AB,以AB为直径作⊙O，∵AO=BO， ∴AO=BO=CO.∴点C在⊙O上.又∵AB为直径,∴∠ACB= ×180°= 90°.∴ △ABC 为直角三角形.练 习新课讲解： 若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。OACDEB如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边形ABCD的外接圆。 CODBA如图：圆内接四边形ABCD中，∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角∴∠A＋∠C＝180° 同理∠B＋∠D＝180°圆的内接四边形的对角互补。 (1)四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=__ ，∠B+∠ADC=_____;若∠B=800， 则∠ADC=______ ∠CDE=______ (2)四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=1000 则∠B=______∠D=______ (3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则∠A=_____, 180° 180° 100° 80°
?
50° 130° 45° 填空若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（ ）（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4 （B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4 （C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4 （D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1B在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A。解法1：∵∠CBD=300，∠BDC=200
∴∠C=1800-∠CBD-∠BDC=1300
∴∠A=1800-∠C=500（圆内接四边形对角互补）巩固： 2、如图，在⊙O中，AB为直径，CB = CF,
弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E
求证：BE=EC
⌒⌒课堂练习1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？ 2.如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，且
∠BCD=100°，求∠BOD（ 所对的圆心角）
和∠BAD的大小。·ABC1OC2C3归纳：
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