高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——5.1任意角和弧度制（一般）（含解析）

一、单选题
1．某圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为（ ）
A． B． C．3 D．2
3．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形（）中作正方形，以为圆心，长为半径作圆弧；然后在矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作圆弧；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧，，的长度分别为，对于以下四个命题：①；②；③；④.其中正确的是（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
4．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景” 之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约m，则该月牙泉的面积约为（ ）（参考数据：）
A．572m2 B．1448m2 C．m2 D．2028m2
5．用弧度制表示为（ ）
A． B． C． D．
6．若角与角的终边关于y轴对称，则必有（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．下列结论中不正确的是（ ）
A．终边经过点的角的集合是
B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是
C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角
D．，，则
8．如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A 以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（ ）
A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B．经过 s后，扇形AOB的弧长为
C．经过s后，扇形AOB的面积为
D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
三、填空题
9．已知的终边与角的终边相同，则在之间与终边相同的角的集合为________.
10．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ .
11．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是__________.
12．如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为2，圆心角为，则图中阴影部分的面积是________.
四、解答题
13．写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
14．写出终边在图中阴影区域(包括边界)内的角的集合.
15．已知角α＝45°，
(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；
(2)设集合，判断两集合的关系．
16．若是第一象限角，问，，是第几象限角？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】设圆锥的母线长和底面圆半径，表示出底面圆的周长和面积，计算圆锥的侧面积，由已知写出等式，得到母线长与半径的关系，用圆心角的公式计算即可.
【详解】设圆锥的母线长为 ，底面圆半径为，
则底面圆面积为 ，底面圆周长为 ；
又圆锥的侧面展开图为扇形，其侧面积为 ；
由圆锥的侧面积是底面积的2倍得： ，所以
所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，
故选：C.
2．D
【分析】设出扇形半径并表示出弧长后，由扇形面积公式求出取到面积最大时半径的长度，代入圆心角弧度公式即可得解.
【详解】设扇形半径为,易得,则由已知该扇形弧长为.
记扇形面积为,则,
当且仅当，即时取到最大值，此时记扇形的圆心角为，则
故选：D
3．A
【解析】设，则，再由圆弧分别求出，再逐项判断即可得正确选项.
【详解】不妨设，则，
所以，
，
所以，
，
所以，
所以，故①正确；
，，
所以，故②正确；
，，
所以，故③不正确；
，，所以，
故④不正确；所以①②正确，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，正确求出扇形的半径，利用弧长公式求出弧长即的值.
4．D
【分析】由题意可得，求出内侧圆弧所在圆的半径，利用扇形的弧长公式和面积公式求出弓形的面积，再求出以为直径的半圆的面积，相减即可
【详解】设的外接圆的半径为，则，得，
因为月牙内弧所对的圆心角为，
所以内弧的弧长，
所以弓形的面积为
，
以为直径的半圆的面积为，
所以该月牙泉的面积为
，
故选：D
5．C
【解析】根据弧度制与角度制的关系求解即可.
【详解】因为弧度，
所以，
故选：C
6．D
【解析】根据角与角的终边关于y轴对称，有，即可得解.
【详解】角与角的终边关于y轴对称，
所以，
，
即，
故选：D
【点睛】此题考查根据两个角的终边的对称关系求解角的关系，关键在于准确将对称关系转化成代数关系求解.
7．BC
【分析】根据角的终边位置判断A，根据角的定义判断B，利用特殊值判断C，根据集合间的包含关系判断D．
【详解】对于选项A：终边经过点的角在第二和第四象限的角平分线上，故角的集合是， 正确；
对于选项B：将表的分针拨快10分钟，按顺时针方向旋转圆周角的六分之一，则分针转过的角的弧度数是， 错误；
对于选项C：若，不是第一象限角，错误；
对于选项D：而表示的奇数倍，
，而表示 的整数倍，所以，正确．
故选：BC
8．ABD
【分析】结合条件根据扇形面积，弧长公式逐项分析即得.
【详解】经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为，故A正确；
经过 s后，，故扇形AOB的弧长为，故B正确；
经过 s后，，故扇形AOB的面积为，故C不正确；
设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则，解得 (s)，故D正确.
故选：ABD.
9．
【解析】根据终边相同的角的表示方法得，再求出，解不等式即可得解.
【详解】∵，
∴.令，
则.∴.
将它们分别代入可得，，，，.
故答案为：
【点睛】此题考查终边相同的角的表示方法，再求出在之间的集合.
10．1
【分析】先根据侧面展开是面积为的半圆算出圆锥的母线，再根据侧面展开半圆的弧长即底面圆的周长求解.
【详解】如图所示：
设圆锥的半径为r，高为h，母线长为l，
因为圆锥的侧面展开图是半径为l，面积为的半圆面，
所以，解得，
因为侧面展开半圆的弧长即底面圆的周长，
所以，
故圆锥的底面半径.
【点睛】本题考查圆锥的表面积的相关计算.主要依据侧面展开的扇形的弧长即底面圆的半径，扇形的弧长和面积计算公式.
11．＋，－
【分析】设两个角的弧度分别为，又由，列出方程组，即可求解．
【详解】设两个角的弧度分别为，又由，
所以，解得，
即所求两角的弧度数分别为.
【点睛】本题主要考查了弧度制的运算问题，其中解答中熟记角度制与弧度制的互化，以及合理列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
12．
【分析】先求扇形的面积，再求扇形在四边形内面积，最后相减得结果.
【详解】扇形的面积为,连接,设
因此
即扇形在四边形内面积等于内面积，即为，
因此图中阴影部分的面积是，
故答案为：
【点睛】本题考查扇形面积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
13．{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}；元素β见解析
【解析】把α＝－1 910°加上可得与α＝－1 910°终边相同的角的集合，分别取k＝4，5，6，求得适合不等式－720°≤β＜360°的元素β.
【详解】与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴ (k∈Z)，故取k＝4,5,6.
k＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；
k＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；
k＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.
【点睛】该题考查的是有关角的概念的问题，涉及到的知识点有终边相同的角的集合，终边确定，落在某个范围内的角的大小的确定，属于简单题目.
14．(1);
(2);
(3).
【解析】写出终边在边界上的角，结合图象，利用不等式表示终边在阴影内的角.
【详解】（1）终边在边界上的角为，，
终边在阴影部分的角满足：，
所求角的集合为
（2）终边落在边界上的角为，，终边落在坐标轴上的角，，
终边落在阴影区域内的角为，
故所求角的集合为，
（3）终边落在边界上的角为，，，
终边在阴影部分的角满足：，
故所求角的集合为
【点睛】本题主要考查了终边在指定区域的角的表示，终边相同的角，属于中档题.
15．（1）β＝－675°或β＝－315°.(2).
【分析】（1）所有与角有相同终边的角可表示为 列出不等式解出整数，即得所求的角．
（2）先化简两个集合，分整数k是奇数和偶数两种情况进行讨论，从而确定两个集合的关系．
【详解】(1)所有与角α有相同终边的角可表示为：
β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
则令－720°≤45°＋k×360°<0°，
得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－，
从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.
(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；
而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而.
【点睛】（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；（2）可对整数的奇、偶数情况展开讨论．
16．是第四象限角；是第一、二象限角或终边在轴的非负半轴上；是第一、二或第三象限角．
【分析】根据已知写出角的取值集合，再分别求出，，集合即可得到答案．
【详解】因为是第一象限角，所以，
所以，
所以所在区域与范围相同，故是第四象限角；
，
所以所在区域与范围相同，故是第一、二象限角或终边在轴的非负半轴上；
．
当时，，所以是第一象限角；
当时，，所以是第二象限角；
当时，，所以是第三象限角．
综上可知：是第一、二或第三象限角．
【点睛】方法点睛：若已知角是第几象限角，判断等是第几象限角，主要方法是解不等式并对进行分类讨论，考察角的终边的位置．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页