高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——5.2三角函数的概念（一般）（含解析）

一、单选题
1．赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形较小的锐角为，则sincos的值为（ ）
A． B． C． D．
2．我国著名数学家华罗庚先生曾倡导“0.618优选法”，0.618是被公认为最具有审美意义的比例数字，我们称为黄金分割．“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，华先生认为底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形．例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，在其中一个黄金中，黄金分割比为．试根据以上信息，计算（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O 为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是
A． B．
C． D．
4．若，则的一个可能值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则＝（ ）
A． B．2 C． D．6
6．定义在上的奇函数满足，当，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知θ，且sinθ+cosθ＝a，其中a∈（0，1），则关于tanθ的值，在以下四个答案中，可能正确的是（ ）
A．﹣3 B． C． D．
三、填空题
9．已知点P(sinα－cosα,tanα)在第一象限,则在[0,2π]内,α的取值范围是_______．
10．已知为锐角，且，则__________．
11．不等式在区间上的解集为______．
12．已知，则的取值范围是______．
四、解答题
13．已知，，，，，求证：.
14．已知，是关于x的一元二次方程的两根．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
15．如图，已知一个长为，宽为的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成的角.求点走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积.
16．求证：＝.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据题意求出直角三角形的两条直角边，即可求出答案.
【详解】设直角三角形的短边为，一个直角三角形的面积为，
小正方形的面积为20，则边长为.大正方形的面积为100，则边长为10.
直角三角形的面积为.
则直角三角形的长边为.
故.
即.
故选：B.
2．B
【解析】先由是一个顶角为36°的等腰三角形，作其底边上的高，再利用，结合腰和底之比求其结果即可.
【详解】依题意可知，黄金是一个顶角为36°的等腰三角形，如图，，，过A作于D，则AD也是三角形的中线和角平分线，
故.
故选：B.
【点睛】本题解题关键在于读懂题意，将问题提取出来，变成简单的几何问题，即突破结果.
3．C
【详解】分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.
详解：由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.
A选项：当点在上时，，
，故A选项错误；
B选项：当点在上时，，，
，故B选项错误；
C选项：当点在上时，，，
，故C选项正确；
D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.
综上，故选C.
点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.
4．C
【分析】利用同角三角函数关系和诱导公式，以及辅助角公式和二倍角正弦公式化简已知等式，可得，即可得出答案．
【详解】解：，
，
的一个可能值为.
故选：C．
【点睛】本题考查利用同角三角函数关系和诱导公式，以及辅助角公式和二倍角正弦公式进行化简，考查计算能力，属于基础题．
5．A
【分析】巧用1将所求化为齐次式，然后根据基本关系将弦化切，再代入计算可得.
【详解】因为
所以
故选：A
6．D
【分析】先由已知条件判断出为周期函数，且周期T=4，把转化为，代入即可.
【详解】因为满足，所以的图像关于x=1对称.
又为定义在上的奇函数，所以，
所以，
所以为周期函数，且周期T=4.
所以，
而，
所以.
故选：D
【点睛】综合利用函数性质求值的方法步骤：
（1）利用性质，将给定的自变量转换到有解析式的区间内；
（2）将转换后的自变量代入已知的解析式求解.
7．AB
【分析】由已知条件可知为第四象限角，利用同角三角函数关系、二倍角公式对各个选项进行判断即可.
【详解】因为，且，则为第四象限角，所以，
，A正确；，B正确；
，，，C不正确；
，D不正确；
故选：AB
【点睛】本题考查同角三角函数关系、二倍角公式的运用，熟练运用公式是解决问题的关键.
8．CD
【分析】先由已知条件判断，，得到，对照四个选项得到正确答案.
【详解】∵sinθ+cosθ＝a，其中a∈（0，1），
∴两边平方得：1+2，∴，
∵，∴可得，，
∴，
又sinθ+cosθ＝a，所以cosθ＞﹣sinθ，所以
所以，
所以tanθ的值可能是，．
故选：CD
【点睛】关键点点睛：求出的取值范围是本题解题关键．
9．∪
【分析】根据点P(sinα－cosα,tanα)在第一象限，可知横纵坐标的符号，结合即可求解.
【详解】因为点P(sinα－cosα,tanα)在第一象限，
所以，
即在第一或第三象限，且，
若在第一象限，则，故，
若在第三象限，则，故，
所以∪
【点睛】本题主要考查了三角函数在各象限的符号以及正余弦函数正切函数的性质，属于中档题.
10．
【解析】由已知条件，由同角三角函数关系，求出，利用凑角和两角差正弦公式，即可算出.
【详解】解：因为为锐角，，
则，
所以，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，运用到同角三角函数关系以及两角和与差的正弦公式，同时考查计算能力.
11．
【分析】利用余弦函数的定义及三角函数线即得.
【详解】如图所示，由于，
所以在上的解集为．
故答案为：
12．
【分析】利用三角函数的定义、三角函数线及基本不等式即得.
【详解】如图，作出单位圆中的三角函数线，则有，，，
在中，，
∴,
又，
∴即，
当且仅当取等号，
∴，
故答案为：.
13．证明见解析.
【分析】将给定的二等式都进行切化弦变形，再化比例式为等积式即可得解.
【详解】因，，，
由及，有，整理得，
又，同理得，
于是有，即，
所以.
14．(1)
(2)
【分析】（1）由韦达定理结合平方关系得出的值；
（2）先判断出，则，再代值计算即可.
(1)
因为，是关于x的一元二次方程的两根，
所以，，且，
所以，
所以，得，满足，
所以，即
(2)
因为，
又因为，所以，所以
所以
15．路程的长为，走过的弧度所对的扇形的总面积为.
【分析】确定每段弧所对的圆心角和半径，利用扇形的弧长公式以及面积求得每段弧长以及扇形的面积，相加可得出结果.
【详解】所在圆弧的半径是，圆心角为；
所在圆弧的半径是，圆心角为；
所在圆弧的半径是，圆心角为，
所以走过的路程是段圆弧之和，即，
段圆弧所对的扇形的总面积是.
【点睛】本题考查扇形弧长与面积的计算，确定每段路径所对的弧长与扇形面积是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
16．证明见解析.
【分析】先利用二倍角的正弦和余弦公式化简左式可得左边为，此式可进一步化简为，逆用二倍角的正弦公式和余弦公式可证该式即为右式.
【详解】证明：左边＝
＝＝
＝＝＝＝右边.
所以原等式成立.
【点睛】本题考查三角恒等式的证明，对于此类问题，一般是先化简较为繁琐一侧的三角函数式，注意根据代数式的特点选择合适的化简方法，如含有1及余弦，可以用二倍角的余弦公式消去1，又如含有的三角函数，可用二倍角公式统一角，本题属于中档题.
答案第1页，共2页
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