高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——5.3诱导公式（较难）（含答案）

一、填空题
1．已知函数是奇函数，则__________．
2．已知函数，若方程在的解为，，则________.
3．如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和，并将两弧各五等分，分点依次为、、、、、以及、、、、、．一只蚂蚁欲从点出发，沿正方体的表面爬行至，则其爬行的最短距离为________．参考数据：；；）
4．已知函数是奇函数，则_____________.
二、解答题
5．已知函数.
（1）化简；
（2）若，且，求的值；
（3）若，求的值.
6．如图是一个“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中是过抛物线的两条互相垂直的弦（点在第二象限），且交于点，点为轴上一点，，其中为锐角
（1）设线段的长为，将表示为关于的函数
（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时的大小
7．(1)请化简：．
(2)已知,,求.
8．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）设函数，试求的相伴特征向量；
（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；
（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】设，则，计算，故，得到，计算得到答案.
【详解】函数 是奇函数
设，则，
即
故，当时满足
故答案为：
【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求参数，意在考查学生对于函数奇偶性的应用.
2．.
【分析】由题意可知关于对称轴对称令，求得函数对称轴方程之间的关系代入化简，再结合三角函数知识即可求解.
【详解】由题意：令，函数对称轴方程为：，
又方程在的解为，，
，，
，
又，，
，， ，
又，
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数性质的综合运用，考查理解辨析能力及求解运算能力.
3．
【解析】根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解.
【详解】棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和.
将平面绕旋转至与平面共面的位置，如下图所示：
则，所以；
将平面绕旋转至与平面共面的位置，将绕旋转至与平面共面的位置，如下图所示：
则，所以；
因为，且由诱导公式可得，
所以最短距离为，
故答案为：.
【点睛】本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应用，综合性强，属于难题.
4．-1
【详解】当时，，
∵函数为奇函数，
∴，
即
，
∴，
∴．
∴．
答案：
5．（1）（2）（3）
【详解】试题分析：
（1）利用诱导公式可化简；
（2）代入已知，从而得，结合平方关系可求得值；
（3）同样由诱导公式化已知为，代入平方关系可求得，也即得的值．
试题解析：
（1）.
(2) ，因为，所以，可得，结合，，所以.
（3）由（2）得即为，联立，解得，所以.
点睛：诱导公式：公式一：，公式二：，公式三：，公式四：，公式五：，公式六：，这六公式可统一写成：，，可归纳为：奇变偶不变，符号看象限．
6．（1）（2）“蝴蝶形图案”面积的最小值为,取最小值时.
【分析】（1）过点作轴于点,,在中利用三角函数的定义可得,,即点的坐标为,代入抛物线的方程,可得关于的函数.
（2）由题意结合图形,可由逆时针旋转得到,即可得到关于的函数,进而可得“蝴蝶形图案”面积关于的函数,换元后利用配方法求其面积的最小值.
【详解】
（1）过点作轴于点,
在中,
即:，
由此可得点的坐标为
点是抛物线上的点,将其代入可得:
,即:
解得:
故:
表示为关于的函数为:
（2）根据（1）得: 表示为关于的函数为:
由题意可知:
可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为.
可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为.
可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为.
, ,
设“蝴蝶形图案”面积为:
令:
为锐角
则 可得:
则,
故时, 即:
化简为: (为锐角)解得:
综上所述:“蝴蝶形图案”面积的最小值为,取最小值时.
【点睛】本题考查了抛物线与直线交点问题,三角函数诱导公式和换元法.能够根据题意求出“蝴蝶形图案”面积为关于的函数是本题的关键.利用换元法时要保证换元前后范围相等.
7．（1）；（2）
【分析】（1）根据诱导公式化简即可（2）计算的平方，分析的大小即可求值.
【详解】（1）原式=
（2）因为，两边平方得，
有
所以
又因为，所以，，则
所以．
【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，同角三角函数的关系，正余弦函数的性质，属于中档题.
8．（1）；（2）；（3）存在，点.
【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可可得特征向量；（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；（3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可.
【详解】解：（1）
的相伴特征向量.
（2）向量的相伴函数为，
，.
，，.
.
（3）由为的相伴特征向量知：
.
所以.
设，，
，，
又，.
，
，，
.
又，
当且仅当时，和同时等于，这时式成立.
在图像上存在点，使得.
【点睛】关键点点睛：熟练使用三角函数诱导公式、三角恒等变换是本题的关键.本题还考查了三角函数图象变换后的解析式以及向量垂直的数量积关系，属于中档题.
答案第1页，共2页
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