高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——5.5三角恒等变换（较难）（含答案）

一、单选题
1．已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．设函数（，）的部分图象如图所示.若，则（ ）
A． B．
C． D．
3．在锐角中，若，则的最小值为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
4．我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，已知，其中（其中），若为定值，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增 B．的最小正周期是
C．的图象关于原点对称 D．的图象关于直线对称
二、多选题
7．已知函数，则（ ）
A．函数的值域为
B．函数是一个偶函数，也是一个周期函数
C．直线是函数的一条对称轴
D．方程有且仅有一个实数根
8．设函数，给出的下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，为偶函数
B．当，时，在区间上是单调函数
C．当，时，在区间上恰有个零点
D．当，时，设在区间上的最大值为，最小值为，则的最大值为
三、填空题
9．意大利著名画家、数学家、物理学家达·芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为，并称其为双曲余弦函数．若对恒成立，则实数m的取值范围为______．
10．当时，函数取得最大值，则__________.
11．已知是关于的方程的两个根，则________.
12．已知，且，则______.
四、解答题
13．定义：为实数对的“正弦方差”.
（1）若，证明：实数对的“正弦方差”的值是与无关的定值；
（2）若，若实数对的“正弦方差”的值是与无关的定值，求值.
14．已知函数.
(1)解不等式；
(2)若，且的最小值是，求实数的值.
15．已知，，且，求、的值.
16．已知函数的部分图象如图所示，且的面积等于.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若，且，求的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】本题首先可根据函数是偶函数得出，通过计算得出，然后通过转化得出，通过图像变换得出，最后根据正弦函数对称性得出且，通过求出此时的值域即可得出结果.
【详解】因为函数是偶函数，
所以，即，
，解得，，
则
，
则，
向左平移个单位长度后，得到，
向上平移个单位长度，得到，
当时，，
结合正弦函数对称性易知，
在有两个不相等实根，则且，
此时，实数的取值范围是，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图像变换、正弦函数性质、偶函数的性质的应用以及两角差的正弦公式，能够根据偶函数的性质求出是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.
2．A
【分析】由图像可求出函数的解析式，由已知结合诱导公式知，再利用二倍角公式可求解.
【详解】由图可知，，
，，
，，
，，，
又，，
，
故选：A
3．C
【分析】根据和可得，令，结合正切和角公式可求m范围.要求的式子可化为，可继续化为用m表示的式子，根据m的范围可求其最小值.
【详解】由，得，
两边同时除以，得.
令，
∵是锐角三角形，
∴，∴.
又在三角形中有：
，
故当时，取得最小值
故选：C.
4．B
【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，求得，再结合已知及余弦定理，求得的值，代入已知公式，即可求解.
【详解】由题意，因为，所以，
即，
又由，所以，
由因为，所以，所以，即，
因为，
由余弦定理可得，解得，
则的面积为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和两角和与差的正弦函数公式的化简求值的综合应用，意在考查推理与运算能力，属于中档试题.
5．A
【分析】，化简得，再由为定值，化简得到恒成立，列出方程组，即可求解.
【详解】由，可得，，
因为，得，
即，
又由
（定值），
即，
即恒成立，
可得，解得，.
故选：A．
【点睛】方法点拨：解答中把为定值，利用三角函数的基本关系式和题设条件，转化为恒成立，结合多项式相等的条件，列出方程组是解答的关键.
6．A
【分析】化简，根据三角函数图像变换的性质得到函数的解析式，再根据三角函数的性质分析各选项得出答案.
【详解】，
则，
其最小正周期为，故B错误；
，所以C错误；
令，
解得，
当时，，
因为，
所以在上单调递增，则A正确；
令．解得．
因为，所以，则D错误．
故选：A.
7．ABD
【分析】利用函数的奇偶性、周期性分析判断A，B；利用对称的性质验证判断C；利用零点存在性定理分析判断D作答.
【详解】显然，，即函数是偶函数，
又，函数是周期函数，是它的一个周期，B正确；
当时，，的最小值为，最大值为，
即当时，的取值集合是，因是偶函数，则当时，的取值集合是，
因此，当时，的取值集合是，而是的周期，所以，的值域为，A正确；
因，，即函数图象上的点关于直线的对称点不在此函数图象上，C不正确；
因当时，恒有成立，而的值域为，方程在上无零点，
又当或时，的值与的值异号，即方程在、上都无零点，
令，，显然在单调递减，
而，，于是得存在唯一，使得，
因此，方程在上有唯一实根，则方程在上有唯一实根，又定义域为，
所以方程有且仅有一个实数根，D正确.
故选：ABD
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
8．ACD
【分析】利用余弦型函数的奇偶性可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；在时解方程，可判断C选项；对实数的取值进行分类讨论，求出的取值范围，可判断D选项.
【详解】对于A选项，当，时，为偶函数，A对；
对于B选项，当，时，，
当时，，此时函数在区间上不单调，B错；
对于C选项，当，时，，
当时，，
由可得，解得，
此时在区间上恰有个零点，C对；
对于D选项，当，时，，
因为，则，
①若，即当时，
函数在区间上单调递增，
则
；
②若时，即当时，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，，
因为，
则，，
所以，；
③若，即当时，
函数在区间上单调递减，
则
；
④若时，即当时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，，
因为，
则，，
所以，.
综上所述，，D对.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数基本性质的综合，难点在于判断D选项，要注意对实数的取值进行分类讨论确定函数在区间上的单调性，求得、的值或表达式，结合三角函数的有界性来求解.
9．
【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的单调性和奇偶性，结合换元法、正弦型函数的性质、同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】因为，所以函数是偶函数，
设是上任意两个实数，且，即
，
因为，所以，
因此，即，
所以函数是偶函数，且在是增函数，
若在上恒成立，
，
又因为，，
所以在恒成立，
令，而
由，，故时，
由，，故时，，
所以的取值范围为．
故答案为：
【点睛】关键点睛：判断函数的奇偶性和单调性，运用换元法进行求解是解题的关键.
10．
【分析】利用辅助角公式得出，分析可得出，利用诱导公式及两角和的正切公式可求解.
【详解】利用辅助角公式，其中
当时，函数取得最大值，则，
所以，
所以
又，
所以
故答案为：.
11．
【分析】将原式化简为，根据韦达定理得到计算出，代入式子得到答案.
【详解】原式.
由一元二次方程根与系数的关系得
根据同角三角函数基本关系式可得，
即.解得，
又因为，所以，
所以.
故答案为
【点睛】本题考查了韦达定理，三角恒等变换，同角三角函数基本关系，综合性大，技巧性强，需要同学们灵活运用各个公式和方法.
12．
【分析】利用将条件整理可得从而可得解.
【详解】，
，
【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和差的展开公式，解题的关键是配凑出“”，属于难题.
13．（1）见解析；（2）或.
【分析】（1）直接由公式计算可得解；
（2）将条件代入公式可得，进而得，由，得或，由得或或，进而列方程求解即可.
【详解】（1）因为，
所以
，
所以正弦方差”的值是与无关的定值，
（2）因为，
所以
，
因为实数对的“正弦方差”的值是与无关的定值，
所以，
因为，所以，
由，得或，
即或
由，得，
又因为，所以或或，
即或或，
当时，解得，经检验不符合题意；
当时，解得，经检验符合题意；
当时，解得，经检验符合题意.
综上可知：或
【点睛】关键点点睛：本题的难点在第二问，解题的关键是根据题中公式得到，进而得，从而再由两个式子求解即可.
14．(1)，；(2).
【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简，再结合三角函数图像解不等式；
(2) 利用三角恒等变换公式化简，再转化为关于的一元二次不等式，利用分类讨论的思想求出的值.
【详解】(1)∵
由，得，
解集为，
(2)
∵，∴，，
①当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知不相符；
②当时，当且仅当时，取最小值，由已知得，解得；
③当时，当且仅当时，取得最小值，由已知得，解得，这与相矛盾.综上所述，.
【点睛】解三角函数的不等式问题需要利用数形结合的思想，而二次函数含参的最值问题需要利用分类讨论的思想.
15．
【分析】首先利用和差化积以及二倍角公式对已知条件变形整理，得到一个可看作一元二次类的方程，通过对判别式、三角函数值的性质以及、的范围即可求解.
【详解】对 进行变形整理得，
，
即，
上式可看作的一元二次方程，此方程有实根，
，得，
但，∴，
∵，，
∴，
故，即，
将代入，解得，
故.
16．(1)，
(2)
【分析】（1）根据图像求出的解析式，进而求出函数的单调递减区间；
（2）令，由求出，，由此可求的值.
（1）
由题意可得，
，
所以，即.
所以，图像过点，
则，
又因为，所以，
所以，
由可得：
所以函数的单调减区间为，.
（2）
由可得，
所以，
令，
则，，，
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