高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——5.2三角函数的概念（较难）（含解析）

一、单选题
1．已知函数的图象关于直线对称，且当时，，设，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
2．函数的最大值和最小值分别为（ ）
A． B． C．，0 D．
3．执行如图所示的程序框图，若输入的依次为，，，其中，则输出的为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则角所在的区间可能是
A． B． C． D．
5．已知长方形的四个顶点是，，，，一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的后，依次反射到，和上的，，和（入射角等于反射角）.设的坐标是，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．函数和的图像在上交点的个数为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
二、多选题
7．已知，则下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
E．
8．（多选题）已知，则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．在中，若，则的最大值为_____.
10．已知是定义在上的偶函数，并且，当时，，则________.
11．已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是___
12．若sin2018α–(2–cosβ)1009≥(3–cosβ–cos2α)(1–cosβ+cos2α)，则sin(α+)=__________．
四、解答题
13．设函数，为常数，
（1）当时，取最大值，求此函数在区间上的最小值；
（2）设，当时，不等式对恒成立，求实数的取值范围.
14．已知,，函数，
（1）若，，求的值；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．
15．已知，，求的值.
16．已知向量，，，且A为的内角.
（1）求角A的大小；
（2）若中，角，，的对边分别为，，，，，求边BC上的中线AD的长.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】可分析出是偶函数，当时，单调递减，所以当时，单调递增，根据单调性即可比较的大小关系.
【详解】由题：函数的图象关于直线对称，
所以的图象关于直线对称，当时，，
即在单调递减，在单调递增，
，
，
，
以原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，作出角，与单位圆交于点，
单位圆交轴的正半轴于点，作于， 过作轴的垂线交的终边于，
则，
记扇形面积，
由图易得：，
所以，
所以.
故答案为：A
【点睛】此题考查函数的平移与奇偶性和单调性的判断，结合三角函数利用三角函数线比较大小，综合性比较强.
2．D
【分析】根据二倍角公式和同角的基本关系化简可得，再令，，可得，再根据二次函数的性质即可求出结果.
【详解】设，则，则
，
由，得，所以，
所以当，即时，；当，即时，.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了二倍角公式、同角基本关系，以及换元法在求函数值域中的应用，属于中档题.
3．B
【分析】由程序框图判断程序的功能是输出中的最大值，由三角函数线得到，进而利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，得到答案.
【详解】由程序框图知，该程序输出的的值为中的最大值，
∵，画出如图所示的三角函数线，
显然，，
又∵，∴，即，
显然
综上，,
∴指数函数是单调减函数，，
幂函数是上的单调递增函数，,
∴输出的值为，
故选：B.
【点睛】本题考查程序框图的输出值的确定，涉及三角函数的性质，利用指数函数、幂函数的性质比较大小，，难度较大，其中由三角函数线得到，是整个问题的关键.
4．C
【详解】令，则，又由，得，解得，舍去，则，在第二或第四象限，排除A和D，又而，当时，排除B，只有C答案满足，故选C.
点睛：本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，以及排除法在选择题中的应用，具有一定难度；令，可将已知等式转化为关于的一元二次方程，结合三角函数的有界性可得，即和的符号相反，可排除A和D，当时，可求出与所求矛盾，排除B.
5．C
【分析】根据题意，由，利用对称性得到角的关系为，，再利用三角函数来解答，可以设，得到这些角的三角函数值关于的关系式，再由的坐标以及，求得的取值范围。
【详解】设，
则，
所以
又，
所以；
而


所以；
又

所以
根据题设，即
所以
即
故选：C
【点睛】本题主要考查三角函数特别是正切函数定义的应用、解不等式等基本知识，以及对称法、解析法等基本数学方法的应用。
6．B
【分析】函数图象交点的个数可转化为方程根的个数，解方程即可求解.
【详解】由得，
所以，亦即或，
当时，的值在内可以为，，0，，，
当时，的值在内可以为，0，，
所以在的根为，，0，或，
故选:B
【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变形、三角函数求值,考查了转化思想，属于中档题.
7．DE
【解析】方程化简得到，对比选项得到答案.
【详解】∵，∴
整理得，
∴，
即，
即∴DE正确．
故选：
【点睛】本题考查了同角三角函数关系，意在考查学生的计算能力.
8．CD
【解析】对原式进行切化弦，整理可得：，结合因式分解代数式变形可得选项.
【详解】∵， ，
整理得，
∴，
即，
即，∴C、D正确.
故选：CD
【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.
9．
【解析】根据同角三角函数中的商数关系式，结合正弦和角公式化简， 并由正弦定理将角化为边，代入余弦定理即可表示出，再由基本不等式即可求得的取值范围，进而结合同角三角函数关系式求得的取值范围，即可求得的最大值.
【详解】在中，，
则，
通分化简可得，
由正弦和角公式可得，
所以，
由正弦定理代入可得，即，
又由余弦定理，
代入可得，
所以，当且仅当时取等号，
则，所以，
即，所以，
则的最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的综合应用，正弦和角公式化简三角函数关系式，正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题.
10．
【解析】由求出函数的周期是，再结合偶函数的性质，把转化为，代入所给的解析式进行求解.
【详解】解：，
.
则函数是周期为的周期函数，
.
是定义在上的偶函数，
.
而，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性，将所求的函数值进行转化到已知范围内是关键，属于中档题.
11．
【分析】利用单位圆中的终边位置研究，可知，存在正整数,使得，，由此求得的最小值.
【详解】在单位圆中分析，由题意，
的终边要落在图中阴影部分区域
（其中），
必存在某个正整数，使得终边在OB的下面，而再加上，即跨越空白区域到达下一个周期内的阴影区域内，
∴，
∵对任意要成立，所以必存在某个正整数，使得以后的各个角的终边与前面的重复（否则终边有无穷多，必有两个角的终边相差任意给定的角度比如1°，进而对于更大的,次差的累积可以达到任意的整度数，便不可能在空白区域中不存在了），
故存在正整数,使得，即，，
同时，
∴的最小值为,
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数的性质，主要思想是在单位圆中利用数形结合思想进行研究分析.得出存在正整数,使得，是关键.
12．1
【详解】由已知得：
因为左边，右边，
所以，
所以 ，所以
所以,所以，故填1.
点睛：本题首先要通过化简处理，注意观察式子中 ，右边配凑为，利用平方差公式，可化简为，然后利用三角函数的有界性，将不等式化为等式处理.
13．（1）的最小值是.（2）
【分析】（1）根据辅助角公式，联立方程可解得，得出函数表达式之后，利用正弦函数的性质求得即可.
（2）利用分离参数法，将不等式问题转化为求的最大值.
【详解】解：（1）由题意得，解得，
.
又，，
当时，的最小值是.
（2）法一：对恒成立，则，即恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是.
法二：利用分离变量法可得，只要恒成立，即求的最大值.
因为，令，得. 利用单调性（或图象）易得函数的最小值为，则，所以.
【点睛】本题考查了三角函数中辅助角公式的运用，正弦函数的性质，不等式问题的求解.熟练掌握三角函数中辅助角公式的运用是解本题的关键.
14．(1)（2）见解析.
【详解】试题分析：（1）利用同角三角函数基本关系式进行求解；（2）作差，分离参数，将问题转化为求函数的最值问题，再利用换元思想进行求解.
试题解析：(1)依题意得，
，即
，即
由，，得，

（2）即不等式对任意恒成立，
即
下求函数的最小值
令则且
令
1°当上单调递增，
2°当，即时，
3°当
4°当
，所以当时，；当或0<时,
15．
【分析】对题目所给已知等式因式分解，由此求得的值，将题目所求表达式转化为只含的表达式，进而求得所求表达式的值.
【详解】由已知得.
即或.
因为，所以，.
所以.
.
将代入上式，
得.
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查弦化切的齐次式的计算，考查两角和的正弦公式，属于中档题.
16．（1）；（2）
【解析】（1）根据向量共线坐标所满足的关系可得，从而求得，结合三角形内角的范围，可以确定；
（2）根据，可以求得，根据题中所给的三角形的边长，以及正弦定理可得，进而求得，利用三角形内角和以及余弦差角公式，求得，利用余弦定理求得，之后应用余弦定理求得，得到结果.
【详解】（1）因为，所以，所以.
因为，所以.
（2）因为，所以.又，，
所以在中，由正弦定理，可得，所以，
所以在中，.
在中，由余弦定理，可得，所以.
在中，由余弦定理，得.
所以.
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，正弦定理，同角三角函数关系式，余弦定理，属于较难题目.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页