高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——5.4三角函数的图像与性质（一般）（含解析）

一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称
C．的最大值为 D．的图象关于直线对称
2．设函数，在上的图象大致如图，将该图象向右平移个单位后所得图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图像关于直线对称
C．的图像关于点对称 D．在单调递减
4．设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若点是函数的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（ ）
A．的最小正周期是 B．的值域为
C．的初相 D．在上单调递增
6．设函数，，则下列结论错误的是（ ）
A．的值域为 B．是偶函数
C．不是周期函数 D．不是单调函数
二、多选题
7．关于函数，下列叙述正确的是（ ）
A．是偶函数 B．在区间单调递增
C．的最大值为2 D．在有4个零点
8．已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．点是图象的一个对称中心
C．的值域为
D．不等式的解集为
三、填空题
9．若，则的值域为______．
10．若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为_________．
11．已知函数，给出下列四个命题：
①函数是周期函数； ②函数的图象关于原点对称；
③函数的图象过点； ④函数为R上的单调函数.
其中所有真命题的序号是___________.
12．已知，则的值是_____.
四、解答题
13．在①将函数f(x)图象向右平移个单位所得图象关于y轴对称：②函数是奇函数；③当时，函数取得最大值.三个中任选一个，补充在题干中的横线处，然后解答问题.
题干：已知函数，其中，其图象相邻的对称中心之间的距离为，___________.
（1）求函数y=f(x)的解析式；
（2）求函数y=f(x)在上的最小值，并写出取得最小值时x的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
14．已知函数（m∈R）．
(1)若关于x的方程在区间上有三个不同解，求m与的值；
(2)对任意，都有，求m的取值范围．
15．设函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．
16．设函数，已知的图像与轴相邻两个交点的距离为，且图像关于点对称.
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】解：
对于选项，因为，故不正确；
对于选项，因为，故不正确；
对于选项，因为当时，，故不正确；
对于选项，因为，是的最大值，
所以的图象关于直线对称，故正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质，属于中档题.
2．C
【分析】根据五点作图法可构造方程求得，得到；由三角函数平移变换可求得平移后解析式，利用代入检验的方法，根据图象关于可构造方程求得，由此确定最小值.
【详解】根据五点法作图知：，解得：，；
将向右平移个单位得：，
图象关于对称，，
解得：，
由，可令得的最小值.
故选：C.
【点睛】方法点睛：根据余弦型函数的对称轴、对称中心和单调区间求解参数值时，通常采用代入检验的方式，即将的取值代入，整体对应的对称轴、对称中心和单调区间，由此求得结果.
3．B
【分析】根据余弦函数的周期，对称轴，对称性，单调区间的结论求函数相关性质，确定正确选项.
【详解】函数的周期，故A正确，
因为，故B错误，
因为，故C正确，
由可得，又余弦函数在上单调递减，
所以函数在单调递减，故D正确，
故选：B.
4．D
【分析】先用诱导公式化简，再根据正弦函数的单调性可得，结合条件即得.
【详解】，
由，，可得，
根据正弦函数的单调性，可得：，又，
所以，即.
故选：D.
5．D
【分析】根据函数的性质求出，再根据得到函数的最小正周期、值域、单调性、初相，从而可得答案.
【详解】由题意得，且函数的最小正周期为，
故.代入，得，
又，所以.
所以.
故函数的值域为，初相为.故A，B，C不正确，
当时，，而在上单调递增，所以在上单调递增，故正确.
故选：D.
【点睛】本题考查了由函数的性质求正弦型函数解析式中的参数，考查了正弦型函数的周期、值域、单调性，属于中档题.
6．C
【分析】求出函数的值域，判断函数的奇偶性，函数的周期性，以及函数的单调性，即可得到选项．
【详解】解：因为函数，，所以函数的值域为，，A正确．
因为，所以函数是偶函数，B正确．
因为，所以函数是周期函数，C不正确．
因为，不具有单调性，D正确．
故选：C．
7．AC
【分析】根据函数的奇偶性、单调性、最值，零点等概念结合正弦函数性质判断各选项．
【详解】，是偶函数，A正确；
时，，单调递减，B错误；
，且，因此C正确；
在上，时，，
时，，
的零点只有共三个，D错．
故选：AC．
8．CD
【分析】把函数用分段函数表示，再作出的图象，观察图象即可判断选项A，B，C，解不等式即可判断选项D而作答.
【详解】，作出的图象，如图，观察图象，
的最小正周期为，A错误；
的图象没有对称中心，B错误；
的值域为，C正确；
不等式，即时，得，解得，
所以的解集为，D正确.
故选：CD
9．
【分析】分，两种情况求函数的值域，再整体讨论求解即可.
【详解】解：当时，可得，，此时，则；
当时，可得，，此时，则．
所以函数的值域为．
故答案为：
10．
【分析】设，，得到不等式等价于在恒成立，变量分离得到，函数在上是单调递减的，故即可得到答案.
【详解】设，∵，∴，
则不等式即为在恒成立，
即在恒成立，函数在上是单调递减的，
故.
∴．
故答案为：．
11．①②③
【分析】直接利用三角函数的性质，函数的单调性，对称性，函数的周期的应用判断①、②、③、④的结论．
【详解】解：函数，
对于①，函数，故①正确；
对于②，由于函数，故②正确；
对于③，当时，，故③正确；
对于④，函数和都不是单调函数，故④错误．
故答案为：①②③．
12．.
【分析】由题意首先求得的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.
【详解】由，
得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.
13．条件选择见解析；（1）；（2）时，函数f(x)取得最小值，最小值为.
【分析】（1）由相邻中心距离得周期，从而可得，
选择①，写出平移后解析式，由对称性得新函数为偶函数，结合诱导公式求得，
选择②，求出，由函数为奇函数，结合诱导公式求得，
选择③，求出，代入，结合正弦函数最大值可得，
从而得函数解析式；
（2）由，求得的范围，然后由正弦函数性质得最小值．
【详解】（1）因为函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象相邻的对称中心之间的距离为，
所以周期，即T=π，所以.
若选择①，
因为函数f(x)图象向右平移个单位所得图象关于y轴对称，
所以的图象关于y轴对称，所以，，
因为，所以.所以函数y=f(x)的解析式为.
若选择②，
因为是奇函数，
所以，，因为，所以.所以函数y=f(x)的解析式为.
若选择③，
，
由题设，当时，函数取得最大值，
所以当，即，
因为，所以.所以函数y=f(x)的解析式为.
（2）因为，，所以，
所以当，即时，函数f(x)取得最小值，最小值为.
【点睛】关键点点睛：本题考查由三角函数的图象与性质求解析式，解题关键是掌握正弦函数的图象与性质，解题时注意“五点法”和整体思想的应用．对于奇偶性问题注意诱导公式的应用，由此计算比较方便．
14．(1)m＝4，；
(2).
【分析】（1）由题设及同角三角函数平方关系有，令，根据已知条件、二次函数的性质及三角函数的对称性求参数m，以及的关系，进而求.
（2）由（1）得且恒成立，讨论t的范围，结合对勾函数的性质求参数m的范围.
（1）
,
设，在上，则，
若有三个不同解，则有两个不同的根，其中，，
所以，得：m＝4，
由得：，
由，知：两个解关于对称，即，
综上，；
（2）
由（1），当时，，
要使恒成立，即，得，
当t＝0时，不等式恒成立，
当t＞0时，恒成立，又，当且仅当时取等号，此时，
当t＜0时，，而时为减函数，而，此时，
综上，实数m的取值范围是．
15．（1），单调递增区间是；（2）时，，时，．
【分析】（1）由正弦函数性质求得周期与单调增区间；
（2）可求得的范围，然后由正弦函数性质得最值．
【详解】（1）最小正周期，
由，得，所以函数的单调递增区间是．
（2）令，则由可得，
所以当即时，，所以当即时，．
16．（1）；（2）.
【分析】（1）由题意求出函数的周期，代入周期公式求得，再图象关于点对称．求得，则函数解析式可求；
（2）由已知求得，利用正切函数的图象及性质即可求得的取值集合．
【详解】解：（1）函数的图象与轴相邻两交点的距离为，即，，
，
图象关于点对称．，，
，，
则．
（2）由（1）知，．
由，
得，，
即，，
不等式的解集为，．
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