高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——5.4三角函数的图像与性质（较难）（含解析）

一、单选题
1．已知函数（）的一个对称中心为，且将的图象向右平移个单位所得到的函数为偶函数.若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．若和是定义在实数集上的函数，且方程有实数解，则不可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则表达式（ ）
A．既有最大值，也有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．既无最大值，也无最小值
4．已知函数，现给出如下结论：①是奇函数；②是周期函数；③在区间上有三个零点；④的最大值为.其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
5．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知函数，下列命题正确的为（ ）
A．该函数为偶函数 B．该函数最小正周期为
C．该函数图象关于对称 D．该函数值域为
8．已知为上的奇函数，且当时，，记，下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．若的一个零点为，且，则
C．在区间的零点个数为3个
D．若大于1的零点从小到大依次为，则
三、填空题
9．已知函数的图像与函数的图像交于A，B两点，则（为坐标原点）的面积为_______．
10．已知函数 ，记方程在上的根从小到大依次为，，，求=____.
11．定义在上的函数满足且.当时，.则函数在区间上所有的零点之和为__________.
12．已知，，若对于，使得，则实数m的取值范围是_________．
四、解答题
13．已知中，函数的最小值为．
(1)求A的大小；
(2)若，方程在内有一个解，求实数m的取值范围．
14．不等式对于所有实数x都成立，求的取值范围.
15．已知函数，的部分图象，如图所示，、分别为该图象的最高点和最低点，点的坐标为，点的坐标为，且.
（1）求解析式；
（2）若方程在区间内恰有一个根，求的取值范围.
16．已知函数． 请在下面的三个条件中任选两个解答问题．①函数的图象过点；②函数的图象关于点对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为．
（1）求函数的解析式；
（2）若是函数的零点，求的值组成的集合；
（3）当 时，是否存在满不等式？若存在，求出
的范围，若不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】由是对称中心，可得，由平移后的函数为偶函数可得，可求得的关系式及，由代入可知恒成立，转化为恒成立，结合可求得实数m的取值范围.
【详解】是函数（）的一个对称中心，
①
的图像向右平移个单位得到的函数为，
为偶函数，②
由①②可知，，解得：
又
所以对任意，不等式恒成立，即恒成立
即恒成立，
又且，
，解得：
所以实数m的取值范围是
故选：B
【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值或恒成立.
2．C
【分析】由题设令为原方程的解：可得，即可将问题转化为是否有实数解，根据各选项函数，应用数形结合确定正确选项.
【详解】设为的实数解，即，令，则.
∴，即为的实数解，有实数解，
∴结合各选项的函数，判断与是否有交点即可，如下图示：
由图知：当时无交点，无实数解，
故选：C.
3．D
【分析】结合余弦函数，可分别得到，，的范围，再确定端点值是否可以同时取等，即可判断.
【详解】由，，易知.
同时，由于是无理数，因此当时，；当时，，故两端均不能取得等号.
补充证明：二元表达式（）可以取到任意接近和的值，从而该式无最值.
①取，（），则.
对任意，由抽屉原理，存在，使得.
再考虑，使得（由的无理性，两头都不取等）.
则时，，从而，，即证.
②取，（），则.
对任意，由抽屉原理，存在，使得.
再考虑，使得（不取等的理由同上）.
则时，，从而，，即证.
故选：D
【点睛】易错点点睛：，，均有最值，但三者加和后，需确定能否同时取得最值.
4．A
【分析】根据函数的奇偶性的定义，可判定①正确；根据周期的定义，可判定②错误；根据函数零点定义和三角函数的性质，可判定③正确.根据三角函数的性质，可判定④错误，即可求解.
【详解】对于①中，函数的定义域为关于原点对称，
由，
所以是奇函数，所以①正确.
对于②中，假设存在周期，则，
，
所以 ①，
存在，使得，而，
，，
由于，故，
所以
所以，，
可得，，，所以，矛盾，
所以函数，没有周期，所以②错误.
对于③中，函数，
函数的零点为方程，可得或，
即，所以在区间上有三个零点，故③正确.
对于④中，函数，
若，则，，
若，则，，
所以，和，两者不会同时成立，
即和不可能同时成立，故的最大值不是，所以④错误；
则四个命题中正确的为①③；
故选：A.
【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
5．D
【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围
【详解】因为，所以.由，得.
当时，，又，则.
因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.
故选：D.
6．A
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
7．BCD
【解析】化简函数，得到函数图像，计算，，讨论，，计算得到答案.
【详解】当时，，
当时，，
画出函数图像，如图所示：
根据图像知：函数不是偶函数，错误；
，该函数最小正周期为，正确；
，故该函数图象关于对称，正确；
根据周期性，不妨取，，
，，故值域为.
故选：.
【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性，周期，对称性，值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用能力.
8．ABD
【分析】运用奇函数的定义和诱导公式可判断A；由零点的定义和同角三角函数关系可判断B；由零点的定义和图象的交点个数，可判断C；由时，和的图象，结合正切函数的性质，可判断D.
【详解】因为，
所以函数为奇函数，故A正确；假设，即，时，
，
所以当，时，，
当，时，，
当，，则，由于的一个零点为，则，故B正确；
如图：
当时，令，，则大于0的零点为，，的交点，由图可知，函数在区间的零点有2个，由于函数为奇函数，则函数在区间的零点有1个，并且，所以函数在区间的零点个数为4个，故C错误；
由图可知，大于1的零点，，，所以，
而，故推出，故D正确.
故选：ABD.
9．
【分析】联立，解得，该方程在上有两个不同的解，根据解的特征可得，点关于点对称且，的纵坐标的绝对值为，从而可求的面积.
【详解】令，化简得即.
解得，因为，
所以在上有两个不同的解，设为且.
故，且.
故，，所以，点关于点对称，
所以的面积为.
故答案为：.
10．
【分析】由已知写出的对称轴方程及其周期，判断端点、的值，问题转化为在上与的交点问题，画出函数图象的草图即可确定根，进而根据目标表达式及对称轴求值.
【详解】由，则，而，知：关于对称，
又最小正周期为，，
∴在上的函数图象如下，其与的交点横坐标，即为的根，，，，，，
∴如图，区间内共有6个根，且有，
∴.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：转化为两个函数在某闭区间上的交点问题，结合正弦函数的性质得到草图，应用数形结合的方法确定根及各根之间的对称轴.
11．
【解析】由是周期函数，奇函数，得对称中心，又也有对称性，利用对称性及单调性得的图象与图象的交点的性质，也即零点的性质，从而可得和．可画出图象说明．
【详解】得，是偶函数，，是周期为4的周期函数，因此可得的图象也关于直线对称．
是奇函数，它关于直线对称，也关于对称，
函数在区间上所有的零点，即为方程的解，
在同一坐标系中作出和的大致图象，如图，
它们在上有6个交点，横坐标从小到大依次为，
其中，，由对称性知，
∴，
∴题中零点和为．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：本题考查函数零点之和，解题时把函数零点转化为函数图象交点的横坐标，作出函数图象，利用函数的性质特别是对称性，观察出交点的对称性，得出交点横坐标的和．
12．
【解析】先分析题意即，再利用单调性求解的最小值和的最小值，解不等式即得结果.
【详解】依题意，对于，使得，只需.
时，，，
故当，即时，单调递增，
当，即时，单调递减.
而函数，显然在单调递减.
故根据复合函数单调性可知，在单调递减，在上单调递增，故.
对于，，
当时，故是单调递减的，
当时，故是单调递增的，
故.
故依题意知，，即.
所以实数m的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集.
13．(1)
(2)或或且
【分析】（1）根据三角恒等变换化简可得，再根据三角函数的最值求解即可；
（2）方法一：先求得，再令，分析在上的值域，结合零点存在性定理与二次函数的性质，分类讨论的范围判断即可；
方法二：参变分离得时在只有一个解，再根据对勾函数的图象性质数形结合分析即可
(1)
所以，故
因为，所以
(2)
方法一：因为，
所以，当时，，因为在上单调递增，值域为；在上单调递减，值域为.令，，则由的图象知，考虑在上的解，
若，则或4，当时，方程的解为，舍去
当时，方程的解为，此时仅有一解，故方程在内有一个解，符合
若，则或，
此时在R上有两个不同的实数根，，令，则，由韦达定理，.
当时，则，，要使得方程在内有一个解，则，.当时，此时解得或，不符合题意，舍去．所以要使符合题意，只需，解得
当时，则，，要使得方程在内有一个解，则，，当时，此时解得或，不符合题意，舍去.所以要使符合题意，只需，解得
综上，m的取值范围是或或且
方法二：因为，所以，
令，，由的图象知，
考虑在上的解，
因为不是的解，
所以时在只有一个解，设
由对号函数图象可知函数在上单调递增，单调递减，在上单调递减，且，，，
∴或或且．
14．的取值范围是.
【分析】将原不等式按参数分离，利用判别式法可得，利用正弦函数的图象性质解不等式可求的取值范围.
【详解】将原不等式按参数分离，得.
即.①
由“判别式法”可求得：.从而.
要使原不等式对一切都成立，当且仅当①对一切都成立，这又等价于，即，
，
∴的取值范围是.
15．（1）=；（2）.
【分析】（1）由题设求的周期，根据P的坐标并结合图象有求，过作x轴的垂线，垂足为，利用列方程求A，写出解析式即可.
（2）令，将问题转化为在在区间内恰有一个零点，应用换元法令可得且，讨论在区间内的零点情况，并结合正弦函数、二次函数的性质确定a的范围.
【详解】（1）由解析式知： 又点的横坐标为，
∴，即．过作x轴的垂线，垂足为，则，
故，
∴，故=.
（2）令，
∴方程在区间内恰有一个根等价于函数在在区间内恰有一个零点.
设，当时，，又，
∴，，
令，则函数在内恰有一个零点，可知在内最多有一个零点.
①当0为的零点时，显然不成立；
②当为的零点时，由，得，把代入中，得，解得，，不符合题意.
③当零点在区间时，
若，得，此时零点为1，即，由的图象知不符合题意；
若，即，设的两根分别为，，由，且抛物线的对称轴为，则两根同时为正，要使在内恰有一个零点，则一个根在内，另一个根在内，所以，解得.
综上，的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：
（1）由最高点坐标及图象求φ，应用线段的几何关系，结合三角函数列方程求参数A，写出解析式；
（2）利用辅助角公式、换元法，将问题转化为二次函数在闭区间内最多只有一个零点，注意所得零点需结合换元前的三角函数，验证是否只存在一个零点.
16．（1）选择①②、①③、②③都有；（2）；（3）存在，的范围，利用见解析.
【解析】（1）选择①②，将点代入，结合可求，由点是的对称中心可得，结合，可得，即可得解析式；选择①③：将点代入，结合可求，由，所即，可得，即可得解析式；选择②③由，所即，可得，若函数的图象关于点对称，则，结合，可得，即可得解析式；
（2）若是函数的零点，则，解得
或，可得或，进而可得可能的取值，即可求解；
（3）由得，当时，函数可转化为，，，利用偶函数的性质原不等式可化为，即可求解.
【详解】选择①②：
因为函数的图象过点，
所以，解得，因为，所以，
因为函数的图象关于点对称，则，
可得，因为，所以，，
所以，
选择①③：
若函数的图象过点，
所以，解得，因为，所以，
因为函数相邻两个对称轴之间距离为，
所以，所以，，解得：，
所以，
选择②③：
因为函数相邻两个对称轴之间距离为，
所以，所以，，解得：，
若函数的图象关于点对称，则，
可得，因为，所以，，
所以
（2）若是函数的零点，则，
可得，
所以或
解得：或，
若是函数的零点，则，，
当时，，
当时，，
当时，
所以的值组成的集合为；
（3）当时，，
令，则，令，
则，，
因为，
所以，即，
所以，即，，
解得：.
所以实数的范围是：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由余弦函数的性质求出的解析式，再利用余弦函数的零点可求可能的取值，求的范围的关键是构造偶函数，利用单调性脱掉，解关于的不等式.
答案第1页，共2页
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