高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——5.5三角恒等变换（一般）（含解析）

一、单选题
1．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则等于（ ）
A．1 B． C． D．2或6
3．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
5．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，将角的终边逆时针旋转得到角，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
8．在中，给出下列四个式子，其中为常数的是　　
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知，，则的值为______．
10．若，且，则____
11．计算：___________.
12．已知)，则)__．
四、解答题
13．计算：
（1）；
（2）．
14．已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)若，求函数的值域．
15．已知，，．
求：（1）的值．
（2）的值．
16．的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
（1）求角C的大小；
（2）若，求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】设大的正方形的边长为1，由已知可求小正方形的边长，可求，，且，，进而利用两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可计算得解.
【详解】设大的正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为，
可得:小正方形的边长为，
可得:，①
，②
由图可得:，，
①×②可得:
，
解得:，
故选:A.
【点睛】本题主要考查了两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题.
2．C
【分析】由已知可得，再由诱导公式及，结合差角正切公式即可求.
【详解】因为，则，解得，又，
所以.
故选：C.
3．B
【分析】本题首先可根据得出，然后根据诱导公式以及二倍角公式即可得出结果.
【详解】，即，
，，
则
，
故选：B.
4．C
【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．
【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．
5．B
【分析】将解析式用正余弦的和差角公式展开化简，即可得到结果.
【详解】因为



所以，
故选: B.
6．A
【分析】利用两角和与差的三角的正弦，将，转化为，其中，，则有，然后求解、，求出的值，利用二倍角的正切公式可求得的值.
【详解】因为，所以，
即，，即，其中，，
，，，，
，，
，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的正用和逆用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题．
7．AC
【解析】选项A，由题得，所以选项A正确；
选项B，由题得，所以，所以选项B错误；
选项C，由题得，所以，所以选项C正确；
选项D，，所以选项D错误.
【详解】选项A，由题得，所以选项A正确；
选项B，由题得，所以，所以选项B错误；
选项C，由题得，所以，所以选项C正确；
选项D，，所以选项D错误.
故选：AC
【点睛】结论点睛：看到角的终边上一点的坐标，要马上联想到三角函数的坐标定义，，再利用它求解.
8．BC
【分析】由题意利用两角和差的三角公式，诱导公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】解：在中，
对于选项；
对于选项；
对于选项
；
对于选项
，
故选：BC．
【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，诱导公式，属于基础题.
9．##－0.6
【分析】结合两角和与差的余弦公式、同角三角函数的基本关系式进行化简，从而求得的值.
【详解】由题知，①
，②
由①②整理得，
则．
故答案为：.
10．
【分析】利用诱导公式、二倍角正弦公式，将题设条件转化为，结合角的范围求值，再应用二倍角正切公式求即可.
【详解】∵，
∴或，又，
∴，则．
故答案为：
11．##
【分析】先切化弦，再根据二倍角的正弦公式、诱导公式、两角差的余弦公式化简即可得解.
【详解】
.
故答案为：
12．
【分析】先求出，，再利用和差角公式即可求解.
【详解】，．
，．
．
．
．
故答案为：.
13．（1）； （2）0.
【分析】（1）根据，结合两角和与差的正弦公式化简即可求得答案.
（2）根据两角和与差的正切公式求得，进而代入化简即可得出答案.
【详解】解：（1）由
．
；
（2）由，
可得，
所以
，
故原式.
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，涉及两角和与差的正弦公式和两角和与差的正切公式的应用，考查化简求值能力.
14．(1)最小正周期；单调递增区间为，
(2)
【分析】（1）由二倍角公式降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的周期和单调性求解；
（2）求出的范围，由正弦函数性质得函数值取值范围．
(1)
最小正周期,
得，
所以单调递增区间为，
(2)
因为，所以，
因此，函数的值域．
15．（1）．（2）．
【分析】（1）利用两角差的余弦公式展开可得，平方化简可得，根据，， 求得的值．
（2）利用（1）的结果及倍角公式，即可求得的值．
【详解】（1），，，，
，平方化简可得． 又，，
，，．
（2）
。
【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系的应用，考查转化与化归思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力．
16．(1) ；(2)．
【分析】(1)将等式化简，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角；
(2)利用正弦定理求出，再根据，可知，进而可根据同角三角函数关系，求出，再利用两角差的余弦公式可求得答案.
【详解】(1)由化简，
得，由正弦定理，得，
由余弦定理得，又，所以.
(2)因为，，所以由正弦定理，得，
因为，所以，所以，
所以．
所以．
【点睛】易错点睛：本题在利用同角三角函数求时，需要注意利用大边对大角确定角的范围.
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