高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——5.6（一般）（含解析）

一、单选题
1．已知函数的最小正周期为，且图象向右平移个单位长度后得到的图象，则的对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知曲线的图像，，则下面结论正确的是（ ）
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
3．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在单调递增，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．函数（，，）的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，那么下列判断正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数在上的最小值为
C．函数的图象关于直线对称
D．要得到函数的图象只需将的图象向右平移个单位长度
二、多选题
7．已知函数，则（ ）
A．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
B．在上单调递增
C．在内有2个零点
D．在上的最大值为
8．已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则（ ）
A．为偶函数
B．的最小正周期是
C．的图象关于直线对称
D．在区间上单调递减
三、填空题
9．已知函数，将的图象上所有点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到图象，若在有个不同的解，则__________.
10．已知函数与函数的部分图象如图所示，且函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到，则______．
11．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则__________.
12．函数f(x)＝3sin的图象为C，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)
①图象C关于直线x＝对称；
②图象C关于点对称；
③函数f(x)在区间内是增函数；
④由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．
四、解答题
13．已知函数的最小值为，且图象相邻的最高点与最低点的横坐标之差为，又的图象经过点；
（1）求函数的解析式；
（2）若方程在有且仅有两个不同根，求的取值范围．
14．函数（，）的部分图象如图所示．
(1)求的值及的增区间；
(2)若图象的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将所得图象向右平移个单位长度，最后向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若在上函数的图象与x轴恰有10个交点，求实数b的取值范围．
15．已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为π.
（1）若，求的值；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.
16．已知同时满足下列四个条件中的三个：①；②的图象可以由的图像平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为；④最大值为2.
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）若曲线的对称轴只有一条落在区间上，求m的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】由函数的周期求出，从而得到，进而可求得，再由三角函数的对称性求解即可
【详解】的最小正周期为，
所以，即，
故，
由，解得，
从而的对称中心为，
故选：C．
2．D
【分析】先将转化为，再根据三角函数图像变换的知识得出正确选项.
【详解】对于曲线，，要得到，则把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，即得到曲线.
故选：D.
3．D
【分析】由三角函数平移变换可得平移后函数为，根据对称性得到，结合可得所求最小值.
【详解】将向左平移个单位长度得：，
图象关于原点对称，
，解得：，又，
当时，取得最小值.
故选：D.
4．C
【分析】先化简的解析式，得到周期，根据题意可得，从而得出的大致范围，在根据函数的单调性，求出函数的单调区间，利用为某一增区间的子集， 从而得出答案.
【详解】，周期
函数在单调递增，则 ,解得
则
函数的单调递增区间满足
即
当，，当时，，当时，
所以，则，解得
故选：C
5．A
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A的值，由周期求出的值，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，结合图象的变换规则，可得出的解析式，再利用正弦函数的单调性即可求解.
【详解】根据函数（，，）的部分图象，可得，，∴．结合五点法作图可得，∴，．
将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），可得的图象．再把所得的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象．令，求得，可得函数的单调递增区间为，，令，可得一个增区间为.
故选：A.
6．D
【分析】利用二倍角公式和两角和的正弦展开式化简得，求出的单调递减区间可判断A；求出函数在上的最小值可判断B；求出可判断C；利用图象平移规律和诱导公式可判断D.
【详解】，
由得，
所以的单调递减区间为，
当时，单调递减区间为，当时，单调递减区间为，
当时，单调递减区间为，所以A错误；
当时， ，，
所以函数在上的最小值为，故B错误；
因为，函数的图象不关于直线对称，故C错误；
将的图象向右平移个单位长度后，
得，故D正确.
故选：D.
7．BC
【分析】A.根据函数的平移判断；B.求出函数的单调增区间来判断；C.求出函数的零点来判断；D.求出函数的最大值来判断；
【详解】由题得，
由的图象向右平移个单位长度，得到的图象，所以选项A错误；
令，
得其增区间为，
所以在上单调递增，所以选项B正确；
令得，
得，又．
所以可取，即有2个零点，所以选项正确；
由得，
所以，所以选项D错误．
故选：BC．
8．BC
【分析】根据已知条件求出的解析式，在通过三角函数的伸缩变化求出的解析式，结合三角函数的单调性、周期性、对称性、奇偶性即可求出答案.
【详解】由图知，，则，即，因为，所以.
因为为的零点，则，得.由图知，，
则，所以，，从而.
由题设，，
则为非奇非偶函数，所以A错；的最小正周期，所以B正确；
当时， ，则的图象关于直线对称，所以C正确.
当时， ，不单调，所以D错误.
故选：BC.
9．
【分析】根据三角函数平移伸缩变换法则求出函数的解析式，再利用函数的对称性即可求出在的解，即可得解．
【详解】根据题意可知，，由得，由，可得，所以函数关于对称，因为，所以由可得，因此．
故答案为：．
10．
【分析】求出点向右平移个单位长度可得，结合函数图象可得
，解方程组可求出的值，结合平移求出的解析式，进而求出.
【详解】由题意可知将函数图象上的点向右平移个单位长度，
可得的图象与轴负半轴的第一个交点，坐标为，
因为的图象与轴正半轴的第一个交点为，
所以，解得，所以，
，故.
故答案为：.
11．1
【分析】先根据图象求出的周期，则可求出的值，再将代入函数中可求出的值，然后由三角函数图象变换规律可求出，从而可求出
【详解】由题图可知，周期，，
所以，
因为在的图象上，
所以，所以，
得，
因为，所以，
所以，
所以，
故.
故答案为：1
12．②③
【分析】对于①：直接求出即可验证；对于②：用代入法进行判断；对于③：直接求出增区间即可；对于④：利用相位变换即可判断.
【详解】因为f(x)＝3sin
对于①：由得：，
所以f(x)＝3sin的对称轴方程为：，
令，解得：，故①错误；
对于②：因为，
所以图象C关于点对称；故②正确；
对于③：令，
解得：，
所以f(x)的递增区间为，
当k=0时，是f(x)的一个递增区间，故③正确；
对于④：y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到，故④错误.
故答案为：②③
13．（1）；（2）.
【分析】(1)由题意求出周期从而可求出，结合最值可得，再由在图象上即可求出，进而可求出函数的解析式.
(2)由题意知 与图象只有两个交点，设，则函数为，且，即函数与在且仅有两个交点，画出函数在上的图象，即可求出的取值范围，
【详解】解：（1）由题意得：，，则，即，
所以，又的图象经过点，则，
由得，所以；
（2）由题意得，在有且仅有两个解，
即函数与在且仅有两个交点，
由得，，
则，
设，则函数为，且，
即函数与在且仅有两个交点，
画出函数在上的图象
由图可知，的取值范围为：，
【点睛】关键点睛：本题考查根据三角函数的图形性质求解析式，根据三角方程根的个数求参数，解答本题的关键是将根的问题转化为直线和三角函数图象有两个交点问题，设，则函数为，且，即函数与在且仅有两个交点，画出函数在上的图象，数形结合即可求出参数的取值范围.属于中档题.
14．(1)；
(2)
【分析】（1）由三角函数图象得，进而得，再待定系数求解得，最后整体换元求解即可；
（2）由三角函数平移变换得，进而得函数的零点或，再结合三角函数性质分析即可得答案.
(1)
解：由图易知，则，，
由题意结合图象知，又，故，
则．
令，
解得，
所以的增区间是．
(2)
解：（2）由题意知．
令，即，即或，得或．
所以在上函数的图象与x轴恰有两个交点，若在上函数的图象与x轴恰有10个交点，则b不小于第10个交点的横坐标，小于第11个交点的横坐标，
即b的取值范围为且，解得．
故实数b的取值范围为．
15．（1）；（2）.
【分析】运用辅助角公式化简，结合函数的奇偶性和相邻对称轴的距离求解出的解析式
（1）依据题给条件化简计算即可得出答案.
（2）根据三角函数的图形变换规则求解出的解析式，进而求解出单调减区间.
【详解】解：（1）f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）
=2[sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）]=2sin（ωx+φ﹣），
因为f（x）为偶函数，所以φ﹣+kπ，k∈z，
即φ=+kπ，k∈Z.又因为0＜φ＜π，所以φ=.
所以f（x）=2sin（ωx+）=2cosωx.
由题意得=2π，所以ω=1，故f（x）=2cosx，
（1）
由得:
（2）将f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到y=2cos（x﹣）的图象.
再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y=2cos（x﹣）的图象.
所以g（x）=2cos（x﹣）.
令2kπ≤﹣≤2kπ+π（k∈Z），求得 8kπ+≤x≤8kπ+（k∈Z），
所以g（x）的单调递减区间为
16．（1）①③④，理由见解析；（2）.
【分析】（1）先分析②③④成立时的情况，然后推出矛盾即可确定出满足的三个条件；
（2）先根据（1）求解出的解析式，然后采用整体替换的方法求解出的对称轴方程，然后对进行赋值，确定出在区间上仅有一条对称轴时的取值范围.
【详解】（1）三个条件是：①③④，理由如下：
若满足②：因为，所以；
若满足③：因为，所以，所以，
若满足④：，
由此可知：若满足②，则③④均不满足，
所以满足的三个条件是：①③④；
（2）由③④知：，
由①知：，所以，所以，
又因为，或，
所以或，
所以，所以，
不妨令，所以，
当时，；当时，；当时，，
所以若要的对称轴只有一条落在区间上，只需,
所以的取值范围是.
【点睛】方法点睛：已知函数，
若求函数图象的对称轴，则令，；
若求函数图象的对称中心或零点，则令，．
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