高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——5.6三角函数表达式（较易）

一、单选题
1．已知函数的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
2．要得到函数的图象，需（ ）
A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
C．将函数图象上所有点向左平移个单位．
D．将函数图象上所有点向左平移个单位
3．已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，为了得到函数的图象只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
5．要得到函数的图像,可以将函数的图像沿轴
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
6．要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
二、多选题
7．设函数的图象为，则下列结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．图象关于直线对称
C．图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
D．函数在区间，上是增函数
8．已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于对称
B．在上单调递减
C．≥的解为
D．方程在上有2个解
三、填空题
9．定义运算“★”：．设函数，给出下列四个结论：①是的最小正周期；②在有2个零点；③在上是单调递增函数；④的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到．其中所有正确结论的序号是__________．
10．已知函数的最大值为1，有最小值，则________.
11．将函数（）图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若直线是 的图象的一条对称轴，则_________.
12．汽车正常行驶中，轮胎上与道路接触的部分叫轮胎道路接触面.如图，一辆小汽车前左轮胎道路接触面上有一个标记， 标记到该轮轴中心的距离为.若该小汽车启动时，标记离地面的距离为，汽车以的速度在水平地面匀速行驶，标记离地面的高度（单位：）与小汽车行驶时间（单位：）的函数关系式是，其中，，，则_______________________.
四、解答题
13．已知函数(其中，)的图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图象，求当时，函数的单调递增区间.
14．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝ ，
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
15．已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，若先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.
(1)求函数与的解析式；
(2)设函数中，试判断在内的零点个数
16．已知函数，且当时的最小值为.
（1）求的值；
（2）先将函数的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求方程在区间上所有根之和.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据条件求出ω的值，结合函数图象变换关系求出的解析式，结合条件求出A的值，利用代入法进行求解即可．
【详解】∵的最小正周期为，∴＝π，得ω＝2，
则f（x）＝Asin2x，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．
则＝Asinx，若g（）＝，则g（）＝Asin＝A＝，即A＝2，得，
则f（）＝2sin（2×）＝2sin＝2×＝.
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出A，ω的值是解决本题的关键，属于基础题．
2．D
【分析】根据三角函数图象平移的规律可得答案.
【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故A错误；
将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到
的图象，故B 错误；
将函数图象上所有点向左平移个单位得到图象，故C错误；
D. 将函数图象上所有点向左平移个单位得到的图象，故D正确.
故选：D.
3．A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故选：A．
4．A
【分析】利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解.
【详解】解：因为
所以，只需将f(x)的图象向左平移个单位，
故选：A.
5．C
【解析】由，根据三角函数的变换规则即可判断.
【详解】解：∵,
∴将函数的图像上的所有点向左平移个单位,可得到函数的图像.
故选：
【点睛】本题考查三角函数的变换，属于基础题.
6．A
【分析】利用诱导公式将平移前的函数化简得到，进而结合平移变换即可求出结果.
【详解】因为，
而，故将函数的图象向右平移个单位长度即可，
故选：A.
7．CD
【分析】利用正弦函数的最小正周期判断A的正误；通过确认函数是否取得最值判断B的正误；利用函数的图象的平移判断C的正误, 利用函数的单调区间判断D的正误．
【详解】解：.由知，的最小正周期为，故正确；
.当时，取得最大值，故图象关于直线，故正确；
.将向左平移个单位得，故不正确；
.函数的单调递增区间是，单调递减区间是，取，得函数的一个单调递增区间是，一个单调递减区间是，故在区间上不是单调递增的，而是先递增后递减，故不正确.
故选：.
8．AC
【分析】根据三角函数的平移变换原则求出，再根据三角函数的性质求出，由三角函数的性质逐一判断 即可.
【详解】将的图象上所有点向右平移个单位长度，
可得，
横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
可得，
由为偶函数，且最小正周期为，
则，且，
解得，，
所以，
对于A，当时，，即，
故的图象关于对称，故A正确；
对于B，由，则，
正弦函数的单调递减区间为，
由不是的子集，故B不正确；
对于C，≥，即，即，
即，
解得，故C正确；
对于D，，即，
作出函数图象与的图象，如下：
由图象可知，两函数的图象在上交点个数为个，故D不正确.
故选：AC
9．①②
【分析】①：先化简得到，故由求出最小正周期；②：求出时或；③：整体法求解函数单调区间，进而作出判断；④：根据左加右减求出解析式，作出判断.
【详解】，故是的最小正周期，①正确；
，，故在或时，即或时，故在有2个零点，②正确；
，，此时在上单调递增，在上单调递减，故③错误；
的图象向右平移个单位长度得到，故④错误.
故选：①②
10．
【分析】根据正弦函数的性质可知，于是当可得出，当时可得，分别解得A的值.
【详解】解：由题意得：
当时，
于是根据解得
当时，
于是根据解得
故答案为：
11．
【分析】求出平移后的解析式，根据对称轴，求出，，结合，求出，从而求出.
【详解】，因为是 的图象的一条对称轴，
所以，，
解得：，
因为，所以时，符合要求，
所以.
故答案为：
12．
【分析】根据速度、车轮直径，计算出周期，利用三角函数的图像和性质进行求解.
【详解】由题意，汽车的速度，轮胎的半径，所以周长
所以，又，所以，.
因为到该轮轴中心的距离为，所以，，
即，
∵刚开始启动时，离地面的距离为，
∴时，，即，得，
∵，∴，即.
故答案为：.
13．（1）；（2）增区间为.
【解析】（1）由函数最值求得,由周期得到，再将特殊点代入解析式可求，即可得到函数解析式；
（2）由图像变换得到函数解析式，然后利用正弦函数图像的性质可得函数在上的单调增区间，对 取值即可得当时的单调递增区间.
【详解】（1）根据函数(，，)的部分图象，
可得，，∴.
再根据五点法作图，，∴，
∴.
（2）若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，
得到函数的图象，
对于函数，令，求得，
可得的增区间为，.
结合，可得增区间为.
14．(1) φ＝－π;(2) 单调增区间为.
【详解】(1)∵x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，∴sin(2×＋φ)＝±1，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－.
(2)y＝sin(2x－)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数y＝sin(2x－)的单调增区间为
[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
15．(1)，
(2)2
【分析】（1）根据周期可得，根据对称中心可得，结合题意得，根据函数图像变换可得；（2）令可得或，结合题意求解．
(1)
根据题意可得：，则
∵图象的一个对称中心为，则，即
又∵，则
∴
函数的图象向左平移个单位长度，得到
然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到
∴，
(2)
令，则或
∵，则有：
若，则或；若，无解
∴在内有2个零点
16．（1）；（2）.
【分析】（1）由于当时的最小值为，所以，从而可求出的值；
（2）由图像变化可得，由得，从而可求出的值
【详解】（1），∵，∴，
∴，∴；
（2）依题意得，由得，
∴()或()，
∴或，解得或，
∴所有根的和为.
【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像的变换，考查转化能力和计算能力，属于基础题
答案第1页，共2页
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