高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——5.6（较难）（含解析）

一、单选题
1．已知函数的图象既关于点中心对称，又关于直线对称，且函数在上的零点不超过2个，现有如下三个数据：①；②；③，则其中符合条件的数据个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．函数的图像向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数图象与函数图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且是钝角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设函数在区间上单调，且，当时，取到最大值2，若将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图像，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．关于函数y=sin（2x+φ）（）有如下四个命题：
甲：该函数在上单调递增；
乙：该函数图象向右平移个单位长度得到一个奇函数；
丙：该函数图象的一条对称轴方程为；
丁：该函数图像的一个对称中心为.
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、多选题
7．设函数，若在有且仅有5个最值点，则（ ）
A．在有且仅有3个最大值点
B．在有且仅有4个零点
C． 的取值范围是
D．在上单调递增
8．已知，具有下面三个性质：①将的图象右移个单位得到的图象与原图象重合；②，；③在时存在两个零点，给出下列判断，其中正确的是（ ）
A．在时单调递减
B．
C．将的图象左移个单位长度后得到的图象关于原点对称
D．若与图象关于对称，则当时，的值域为
三、填空题
9．设，若存在，使成立的最大正整数为9，则实数的取值范围是__________.
10．函数，已知且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为______.
11．如图，函数（其中，，）与坐标轴的三个交点、、满足，，为的中点，，则的值为______．
12．已知函数，有以下结论：
①的图象关于直线轴对称②在区间上单调递减
③的一个对称中心是④的最大值为
则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）.
四、解答题
13．已知函数，其图像与轴的相邻两个交点之间的距离为.
（1）求函数的解析式；
（2）若将的图像向左平移个单位后得到函数的图像，其恰好经过点，求当取得最小值时，在上的单调递增区间.
14．已知函数.
(1)当时，求在的值域；
(2)若至少存在三个，使得，求最小正周期的取值范围；
(3)若在上单调递增，且存在，使得，求的取值范围.
15．已知函数的图象与y轴的交点为(0，)．
(1)若ω=2，求f（x）在上的值域;
(2)若f（x）在上单调递减，且 a∈， ，求ω的取值范围．
16．已知函数的图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)若函数，当时，求的值域.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】根据对称中心和对称轴可求出 的集合，再根据的范围和零点的个数，可确定满足条件的的值，最后选择符合条件的的个数.
【详解】由题意得，，，两式相加得，
又因为，代入中，
得.当时，记，
令，得，
则，至多有2个实数根，
，解得，
结合，
观察可知，符合条件.
故选：B.
【点睛】三角函数的对称中心为，则.
三角函数的对称轴为，则.
2．D
【分析】利用函数的图象变换规律，利用三角函数的图象和三角恒等变形，可得，即，，从而得到，进而得到的值.
【详解】函数的图像向左平移个单位长度后，可得的图象.
由条件为奇函数，则，即
又，所以，即
关于的方程在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即，其中(为锐角) 在内有两个不同的解，
即方程即在内有两个不同的解，
由，则，
所以，
所以
则，即，
所以，
故选：D
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，诱导公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
3．D
【分析】画出两函数图象，求出A的纵坐标为，利用钝角三角形得到不等关系，求出答案.
【详解】作出函数和的图象，如图所示．由图可知．取的中点D，连接，则．因为是钝角三角形，所以，则，即．由，得，，即，，则，即A的纵坐标为，故．因为，所以，所以．
故选：D
4．A
【解析】首先设函数，由条件确定周期和的范围，再利用对称性求出对称中心和对称轴，求，代入求，利用伸缩变换求，最后解不等式.
【详解】函数的最大值为2，，
在区间上单调，所以，即，
，即，
，是函数的对称轴，
，是函数的对称中心，
和是函数相邻的对称轴和对称中心，，得，
当时，取到最大值2，，，
当时，，
，根据题意可知，
，
，解得：，.
的解集是.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对称性和周期性的灵活应用，关键由条件确定相邻的对称轴和对称中心.
5．A
【分析】根据三角函数平移变换,先求得的解析式.根据,可知,即.根据可分别求得的最大值和的最小值,即可求得的最大值.
【详解】根据平移变换将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再把所得的图象向左平移个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1个单位长度,
可得
由,
可知
即
所以
的最大值为,的最小值为
则的最大值为,的最小值为
所以的最大值为
故选:A
【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换,三角函数性质的综合应用,利用函数的最值求参数的取值情况,属于难题.
6．D
【分析】根据题意首先求出函数的增区间，平移后的解析式，对称轴和对称中心，进而分别讨论甲、乙、丙、丁为错误时其它命题的正误，进而得到答案.
【详解】令，则函数的增区间为…①；
函数图象向右平移个单位长度得到…②；
令…③；
令…④.
若甲错误，则乙丙丁正确，由②，由函数的奇偶性性，令，由①，函数的增区间为，则甲正确，矛盾.令，由①，函数的增区间为，则甲错误，满足题意.由③，函数的对称轴方程为，时，，则丙正确.由④，函数的对称中心为，令，丁错误.不合题意；
若乙错误，则甲丙丁正确，易知函数增区间的的两个端点的中点为对称中心，由①，令，结合④，令，由函数的奇偶性，取k=0，，由③，，令，则丙错误.不合题意；
若丙错误，则甲乙丁正确，由②，由函数的奇偶性，令，由①，函数的增区间为，则甲错误，不合题意.令，由①，函数的增区间为，甲正确.取区间中点，则丁错误.不合题意；
若丁错误，则甲乙丙正确. 由②，由函数的奇偶性，令，由①，函数的增区间为，则甲错误，不合题意.令，，由①，函数的增区间为，甲正确.由③，.k=-2时，，则丙正确.由④，，令，④错误.满足题意.
综上：该命题是丁.
故选：D.
7．ACD
【分析】令，利用图像逐项分析最值点、零点个数，单调性即可.
【详解】，
，，
令，，
画出图像进行分析:
对于A选项：由图像可知：在上有且仅有这3个最大值点，故A选项正确；
对于B选项：当，即时，在有且仅有个零点；
当，即时，在有且仅有个零点，故B选项不正确；
对于C选项：在有且仅有个最值点，
，，
的取值范围是，故C选项正确；
对于D选项：，，，
由C选项可知，，
，在上单调递增，故D选项正确.
故选：ACD.
8．BCD
【分析】根据①可得，再根据③可得，由此可得，从而可求得的值，再由②可知，可求得的值，从而可求出函数的解析式.求出函数的单调区间，即可判断A的正误；计算出的值，可判断B的正误；求出函数左移个单位长度后的解析式，判断其奇偶性，即可判断C的正误；根据对称性求出的对称区间后，再求函数的值域，可判断D的正误.
【详解】，
将右移个单位得到的函数解析式为，
又该函数的图象与原图象重合，所以，
所以，
又在时存在两个零点，所以，
所以，即，所以，所以，
所以，
又，，所以，
所以，所以，
又，所以，所以，
由得，
所以函数的单调递减区间为
当时，函数在上单调递减；
由得，
所以函数的单调递增区间为
当时，函数在上单调递增；
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
，
，
，
所以，故B正确；
将的图象左移个单位长度后得到的图象的解析式为，
又，所以函数为奇函数，
所以的图象关于原点对称，故C正确；
关于对称的区间为，
当时，，所以，
所以当时，的值域为，故D正确.
故选：BCD
9．##
【分析】依题意，分类讨论作出函数简图，求得最值解不等式组即可
【详解】
依题意
（1）当时, 函数草图如下图所示,
此时, ,
则 满足条件;
（2）当 时, 函数草图如下图所示,
此时, ,
则无解
（3）当时, 函数草图如下图
此时, ,,
则, 无解;
（4）当时, 函数草图如下图所示,
此时, , ,
则
解得 , 满足条件
故答案为：
10．5
【分析】根据已知条件，利用和建立起关于的等量关系，然后根据在上单调，卡出的范围，在前面的等量关系中选取合适的值即可.
【详解】因为函数，，
所以，
所以，,
因为于任意的都有，所以，
所以，
所以，
所以
或，
所以或，
即（舍去），所以，
因为，所以，即，
令，所以，在上单调，
所以，所以，而，
当，，所以，函数在不单调，舍去；
当，，舍去；
当，，所以，函数在不单调，舍去；
当，，所以，函数在单调，
所以的最大值为5.
故答案为：5.
11．
【分析】根据已知条件先表示出的坐标，然后根据为等腰直角三角形得到，再结合得到的方程组，由此求解出的值，根据点坐标求解出的值，则的值可求.
【详解】因为，，所以，
又当时，，所以，
又因为为中点，所以，
因为，所以为等腰直角三角形，所以，所以，
又因为，所以，
所以，解得（负值舍去），所以，
所以，代入，所以且，所以，
又因为，所以，所以，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于通过分析的形状以及的长度利用坐标构建关于的方程组，利用方程的思想逐步求解出参数的值，其中要注意分析的取值范围.
12．②④
【分析】根据三角函数性质，逐一判断选项得到答案.
【详解】，
根据图像知：
①的图象关于直线轴对称，错误
②在区间上单调递减，正确
③的一个对称中心是 ，错误
④的最大值为，正确
故答案为②④
【点睛】本题考查了三角函数的化简，三角函数的图像，三角函数性质，意在考查学生对于三角函数的综合理解和应用.
13．（1）（2）
【解析】（1）根据图像与轴的相邻两个交点之间的距离求出周期，得到，即可得到函数解析式；
（2）写出平移后的函数解析式，根据函数经过求出参数的值，再求出单调区间即可得解.
【详解】（1）由已知得函数的周期，即，解得，∴.
（2）将的图像向左平移个单位后，得到的图像，又函数的图像经过点，∴，即，
∴，∴.∵，∴当时，取得最小值，即，此时.又，∴.当，
即时，函数单调递增；当，即时，单调递增.∴在上的单调递增区间为.
【点睛】此题考查根据正弦型函数的周期求参数，根据平移后的函数经过的点求解参数，再讨论函数的单调性，考查三角函数性质的综合应用.
14．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）当时，求出的范围，根据三角函数的性质，可得答案；
（2）由题意，设f(x)最小正周期为T，则可得T满足的不等式，由此求得T的范围．
（3）由题意在上单调递增，列出相应不等式组，可得，再根据存在，使得能成立，列出不等式，即可求得ω的范围．
(1)
当时，，
由知，
,∴的值域为.
(2)
∵对于函数，
至少存在三个，使得，
设最小正周期为，
∴，即，∴，
∴的最小正周期的取值范围为.
(3)
若在上单调递增， ,
∴， ,∴,
当时，，又，故，
当时, , 不存在，同理k取其它整数时，不存在，
故
∵存在，使得，
即能成立，
即能成立.
∵，∴需，
∴.，
而，故
综上可得，.
15．(1)(-，2]
(2)
【分析】（1）代入交点坐标求出φ=，从而求出的解析式，从而求出值域；（2）由函数在上单调递减，求出ω的取值范围，再根据 a∈， 得到ω的取值范围，求交集得到答案.
(1)
由题意得f（0）=2sin φ=，得sin φ=，
因为|φ|<，所以φ=，故，
因为，所以2x+，
所以，，
故f（x）在上的值域为(-，2]
(2)
因为x∈[]，所以ωx+∈[ω+ω+]，
由题意得+2kπ≤ω+<ω+≤+2kπ，k∈Z，
解得：1+12k≤ω≤+6k，k∈Z，
由1+12k≤+6k，k∈Z，得k≤，k∈Z．
当k<0时，不符合题意，当k=0时，1≤ω≤
因为f(a-)=2sin[ω(a-)+]=2sin ωa≥，所以sin ωa≥，
所以+2kπ≤ωa≤+2kπ，k∈Z
因为a∈[]，所以ωa∈[ω，ω]，
所以+2kπ≤ω<ω≤+2kπ，k∈Z，
得2+16k≤ω≤+12k，k∈Z，
又1≤ω≤，所以2≤ω≤．
故ω的取值范围为[2，]．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数图象易知：、、且，结合已知即可求参数，进而写出的解析式；
（2）由（1）可得，应用换元法令，进而有并由题设确定的范围，最后利用二次函数的性质求的值域.
(1)
由图知：，则，
又，故，又，
∴，
，可得，
∴，又，则，
∴当时，，综上：.
(2)
由题设，，
又，令，
∴， 则，
∴且，又在上递增，
由，
∴.
答案第1页，共2页
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