高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——5.7三角函数的应用（较易）（含解析）

一、单选题
1．如图所示，有一广告气球，直径为6m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC＝30°时，测得气球的视角为β＝1°，当θ很小时，可取sinθ≈θ，试估算气球的高BC的值约为（ ）
A．70m B．86m C．102m D．118m
2．已知某摩天轮的旋转半径为60米，最高点距地面135米，运行一周大约30分钟，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10分钟时他距地面大约为（ ）
A．95米 B．100米 C．105米 D．110米
3．若电流ⅠA．随着时间t（s）变化的函数的图象如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t（s）时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：
s1＝5sin，s2＝5cos．
则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是（ ）
A．s1＞s2 B．s1＜s2
C．s1＝s2 D．不能确定
5．铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于对称 B．在上有2个零点
C．在区间上单调递减 D．在上的值域为
二、多选题
7．如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的周期是16
B．该函数图象的一条对称轴是直线
C．该函数的解析式是
D．这一天的函数关系式也适用于第二天
E．该市这一天中午12时天气的温度大约是27℃
8．一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（ ）
A．点第一次到达最高点需要秒
B．在水轮转动的一圈内，有秒的时间，点在水面的上方
C．当水轮转动秒时，点在水面上方，点距离水面米
D．当水轮转动秒时，点在水面下方，点距离水面米
三、填空题
9．海水受日月的引カ，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：m）记录表．
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
试用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值y与时间的函数关系，则这个函数关系式是________．
10．将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
11．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.某中学开展暑期社会实践活动，学生通过测量绘制出月牙泉的平面图，如图所示.图中，圆弧是一个以点为圆心 为直径的半圆，米.圆弧的圆心为点，米，圆弧与圆弧所围成的阴影部分为月牙泉的形状，则该月牙泉的面积为___________平方米.
12．下面是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O距离水面1米，已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M距水面的高度d（米）（在水平面下d为负数）与时间t（秒）满足函数关系式，则函数关系式为________.
四、解答题
13．2020年一场突如其来的疫情让亿万中华儿女的心再一次凝结在一起，为控制疫情，让广大发热患者得到及时有效的治疗，武汉市某社区决定临时修建一个医院.医院设计平面图如图所示：矩形中，米，米，图中区域为诊断区（、分别在和边上），、及区域为治疗区.受诊断区医疗设备的实际尺寸影响，要求的大小为.
(1)若按照米的方案修建医院，问诊断区是否符合要求？
(2)按照疫情现状，病人仍在不断增加，因此需要治疗区的面积尽可能的大，以便于增加床位，请给出具体的修建方案使得治疗区面积最大，并求出最大值.
14．已知函数+1.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的递增区间.
15．如图，某海港一天从的水位高度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数．
（1）求该函数的解析式；
（2）若该海港在水位高度不低于时为轮船最佳进港时间，那么该海港在，轮船最佳进港时间总共多少小时？
16．已知函数.
(1)试用“五点法”画出它的图象；
列表：
x
y
作图：
(2)求它的振幅、周期和初相.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】中，求出，然后再在中求出．
【详解】AC＝，
又∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝86m.
故选：B．
【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握仰角、视角等概念是解题基础．
2．C
【分析】设函数关系式为，根据题意求得各参数得解析式，然后计算可得．
【详解】设该游客在摩天轮上离地面高度（米）与时间t（分钟）的函数关系为，
由题意可知，，，所以，即．
又，得，故，
所以，
所以．
故选：C．
3．A
【分析】由图可知，，求出周期，从而可求出的值，然后将代入函数中可求出的值
【详解】由题可知，，，，
所以
代入最值点坐标，得，
所以，得，
因为
所以．
故选：A．
4．C
【解析】将t＝代入求值，可得s1＝s2
【详解】当t＝时，s1＝5sin－5，s2＝5cos－5，∴s1＝s2
故选：C
5．B
【分析】设为内切圆的圆心，为内切圆的半径，根据正多边形的性质，可得，再根据锐角三角函数计算可得；
【详解】解：如图，
设为内切圆的圆心，为内切圆的半径．正十边形的每个外角为，内角为，所以，所以，，
，得，解得．
故选：B．
6．B
【解析】求出的解析式，并整理后，根据正弦函数性质判断．
【详解】由题意，
不是函数的最值，不是对称轴，A错；
由，，，其中是上的零点，B正确；
由得，，因此在是递减，在上递增，C错；
时，，，D错．
故选：B．
【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查三角函数的性质．掌握正弦函数性质是解题关键．
7．ABE
【解析】由图像最大值与最小值求出A，B，根据函数周期求出，将特殊点代入函数解析式可求得，当时，，逐项判断正误.
【详解】由题意以及函数的图象可知，，，∴，.
∵，∴，A正确；∵，∴，
∴，∵图象经过点，
∴，∴，
∴可以取，∴，B正确，C错；这一天的函效关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，∴D错；当时，，故E正确.综上，ABE正确.
故选：ABE
【点睛】本题考查三角函数的应用，根据函数图像求正弦型函数解析式，属于基础题.
8．BC
【分析】利用周期和角度的关系求解.
【详解】如图所示：
作OM垂直于水面，
则OM=1.8，,,
A.点第一次到达最高点需要转，时间是，故错误；
B.，则点在水面的上方的时间是，故正确；
C.，则点P转动了，点P在图中位置，在水面上方，点距离水面米，故正确；
D. 当水轮转动秒时，转动了，点P在图中位置，在水面下方，点距离水面1.8米，
故选：BC
9．
【分析】设与之间的函数关系式为，根据表中数列可得周期和函数的最值，从而可求出，再利用最大值可求，故可求解析式.
【详解】设与之间的函数关系式为，
则由表中数据可得，且，
故且，所以
因为当时，，所以，
解得，故，其中.
故答案为：.
10．##
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
【详解】
当时
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．
【分析】连接，利用题目所给条件结合解三角形知识解出，从而得出的大小，则根据题意可知，该月牙泉的面积为半圆的面积减去弓形的面积，然后计算各部分的面积作差即可.
【详解】如图所示，连接，易知，
因为，所以，.
则弓形的面积为：，
又半圆的面积为：，
所以月牙泉的面积为：
(平方米).
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数知识的实际应用，考查扇形面积公式的运用，较简单.
12．
【解析】先阅读题意，再求出即可得解.
【详解】解：水轮的半径为2，水轮圆心O距离水面1，.
又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，
，.
顺时针旋转时，，
，
，.
，
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法，重点考查了对数据的处理能力，属中档题.
13．(1)不符合要求
(2)按照修建，治疗区面积最大，最大值为（平方米）
【分析】(1)依题意求即可判断.
(2)设，用表示诊疗区域的面积即可.
(1)
当时，，
所以
因此诊断区不符合要求
(2)
设，则，
在中，，
在中，，,
所以
，其中，
所以，当且仅当即取等号
故按照修建，治疗区面积最大，最大值为（平方米）.
14．（1）；（2）.
【解析】（1）利用余弦的二倍角公式化简函数，再函数的周期公式求得其最小正周期；
（2）原问题等价为求的递减区间，由余弦函数的性质，整体代入可求得函数单调递增区间.
【详解】解：（1）+1+1，
则函数最小正周期；
（2）要求函数的递增区间，等价为求的递减区间，
由2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
所以函数单调递增区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z.
15．（1），；（2）．
【分析】（1）由图可得，，，再由周期公式可求出，再把将，代入可求出的值，从而可求得函数的解析式；
（2）由可求出结果
【详解】（1）由图可知，，．
∵，∴，解得，
∴．
将，代入上式，解得，，
∵，∴，
故该曲线的函数解析式为，．
（2）由题意得，即，解得，，即，．
∵，∴当时，即，
∴该海港在的轮船最佳进港时间总共为．
16．(1)答案见解析
(2)振幅为，周期，初相为
【分析】(1)利用换元法，描绘出五个关键点，进一步求出自变量，然后作图即可；(2)根据解析式分别写出振幅和初相，然后利用最小正周期公式求出周期即可.
（1）
列表如下：
0
0 2 0 0
描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：
（2）
由可知，振幅，初相为，
最小正周期.
答案第1页，共2页
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