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绝密★启用前
专题18线段的垂直平分线的性质
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·四川凉山·八年级期末）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为30cm，△ABD的周长为20cm，则AE的长为（ )21世纪教育网版权所有
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A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
2．（2022·河北衡水·八年级期末）如图，在中，，的垂直平分线交边于D点，交边于E点，若与的周长分别是20，12，则为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4 B．6 C．8 D．10
3．（2022·广东深圳·八年级期末）在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝12，AC＝19，则△ABD的周长为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．30 B．31 C．24 D．38
4．（2022·安徽阜阳·八年级期末）如图，在中，DE是AB的垂直平分线，若，，则BC的长是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2022·陕西宝鸡·八年级期末）某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三个角的平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
6．（2022·全国·八年级专题练习）下列尺规作图，能判断是的边上的高是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
7．（2022·江苏·八年级专题练习）三角形的外心是三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
8．（2022·山西晋中·八年级期中） ( http: / / www.21cnjy.com )近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（ ）【出处：21教育名师】
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A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
9．（2022·四川成都·八年级期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，则的长度为（ ）
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A． B． C． D．
10．（2022·安徽池 ( http: / / www.21cnjy.com )州·八年级期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为（ ）
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A．10 B．13 C．16 D．19
11．（2022·陕西西安·八年级期末）在△ABC中，，．用尺规在BC边上找一点D，仔细观察、分析能使的作法图是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
12．（2022·河南驻马 ( http: / / www.21cnjy.com )店·八年级期末）如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，DE⊥AB，DE交AC于点E，连接BE．若BC＝8，△BCE的周长为18，则AC的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．8 C．10 D．12
13．（2022·江西抚州·八年级期末）如图，已知AB＝AC＝7，BC＝5，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BCD的周长是（ ）21教育名师原创作品
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A．12 B．14 C．15 D．17
14．（2022·广东深圳·八年级期末）如图，在中，边的垂直平分线交于E，交于点D，若，，则的周长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．8 B．9 C．7 D．10
15．（2022·浙江宁波·八年级期末）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等
C．对顶角相等 D．等腰三角形两腰上的高线相等
16．（2022·江西上饶·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，A，B，C均为新建居民小区，分别连接AB，AC，BC，形成一个三角形，若想建一个超市，使其到A，B，C这三个小区的距离相等（不考虑其它因素），则超市的位置应该选在（ ）21*cnjy*com
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A．△ABC三条中线的交点处 B．△ABC三边的垂直平分线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处 D．△ABC三条高所在直线的交点处
17．（2022·浙江湖州·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
18．（2022·广东·普宁市红领 ( http: / / www.21cnjy.com )巾实验学校八年级期中）如图所示，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（ ）21*cnjy*com
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A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③
19．（2022·江苏盐城·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD+AE的值为（ ）
A．6 B．14 C．6或14 D．8或12
20．（2022·河南新乡·八年级期末）如图，在中，，，，，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（ ）
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A．7 B．6 C．12 D．8
21．（2022·福建泉 ( http: / / www.21cnjy.com )州·八年级期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DG交∠ACB的平分线CD于点D，过D作DE⊥AC于点E，若AC＝10，CB＝4，则AE＝（ ）
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A．2 B．3 C．6 D．7
22．（2022·广东·深圳市龙岗 ( http: / / www.21cnjy.com )区平湖外国语学校八年级期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝5，AC＝8，BC＝10，则△AEF的周长为（ ）2·1·c·n·j·y
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A．5 B．8 C．10 D．13
23．（2022·福建省漳州第一中学八年级期中）在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（ ）【版权所有：21教育】
A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点
24．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，则的值为（ ）
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A．1 B． C．2 D．3
25．（2022·山西晋中·八年级期中）如图，，，垂足分别为D，E，BD与CE交于点O，且，下列结论错误的是（ ）
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B．
C． D．OE垂直平分AB
26．（2022·山西太原·八年级期中）如图，中，，将沿BC方向平移得到，其中A，B，C的对应点分别是点D，E，F，DE与AC交于点G．若点E是BC的中点，则下列结论中不一定正确的是（ ）
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B．
C．AC与DE互相垂直平分 D．
27．（2022·山东菏泽·八年级期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）2-1-c-n-j-y
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A． B．
C． D．
28．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ）
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A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④
第II卷（非选择题）
二、填空题
29．（2022·江苏·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级专题练习）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝4，CF＝1，则AC的长为_____．【来源：21cnj*y.co*m】
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30．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，所画的弧交于两点，再连接该两点所在直线交于点D，连接．若，则的长为______．www-2-1-cnjy-com
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31．（2022·吉林市第五中学 ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=7．MN为BC边上的垂直平分线，若点D在直线MN上，连接AD，BD，则△ABD周长的最小值为_____．
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32．（2022·湖南永州·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，在△ABC中，AC=12，线段AB的垂直平分线交AC于点N，BN=8，则CN的长为________．
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33．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，垂直平分线段，且垂足为点M，则图中一定相等的线段有________对．
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34．（2022·辽宁阜新·八年级期末）如图，点O为△ABC三边垂直平分线的交点．∠BOC＝120°，则∠BAC＝_____度．
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35．（2022·湖北随州·八年级期末）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则的周长为______．
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36．（2022·四川甘孜·八年级期末）如图, 在 中, 边的垂直平分线分别交于点, 边的垂直平 分线分别交于点, 若, 则的周长为________21·世纪*教育网
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37．（2022·广东深圳·八年级期末）如图，在△ABC中，，，边BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E、D，则△ACE的周长为______．
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38．（2022·湖南长沙·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，已知AC=10cm，BC=7cm，则△BCD的周长是________cm．
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39．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在中，是的垂直平分线，分别交，于，，，的周长为14cm，则的周长为______cm．
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三、解答题
40．（2022·陕西·无 ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期中）如图，已知△ABC，AB＞AC，∠B＝45°．请用尺规作图法，在AB边上求作一点P，使∠PCB＝45°．（保留作图痕迹，不写作法）
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41．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在中，点在的垂直平分线上，连接，作于点，交的延长线于点，且．
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(1)求证：；
(2)如果，求的度数．
42．（2022·北京怀柔·八年级期末）老师布置了如下尺规作图的作业：
已知：如图ABC．
求作：ABC边BC上的高AM．
下面是小红设计的尺规作图过程：
作法：
①延长线段BC ；
②以点A为圆心，AC长为半径作弧交BC的延长线于点D；
③分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在CD下方交于点E；
④连接AE，交CD于点M．
所以线段AM就是所求作的高线．
根据小红设计的尺规作图过程和图形，完成（1）（2）两小题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）将该作图证明过程补充完整：
由②可得：AC = ．
由③可得： = ．
∴ （ ）．（填推理的依据）
即AM是ABC边BC上的高线．
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43．（2022·广东茂名·八年级期中）如图，在中，是的中垂线，分别交，于点，．若的周长为8，，求的长．21cnjy.com
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44．（2022·陕西西安·八年级阶段练习）如图，已知ABC，以A为圆心，AC为半径画弧与BC相交于另一点E．
（1）用尺规作图的方法，作出ABC的高AD（垂足为D）．
（2）求证：ED＝CD．
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45．（2022·福建·厦门市第十一中学八年级期末）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，B=D，画出四边形ABCD的对称轴m；
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，A=D，画出边BC的垂直平分线n．
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46．（2022·广东广州·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）尺规作图：如图，已知△ABC，作BC边的垂直平分线交AB于点D，连接DC．（不写作法，保留作图痕迹）．
47．（2022·广东清远·八年级期末）如图，在中，．
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(1)利用尺规作图作的垂直平分线，垂足为，交于点，延长至点，使；
(2)若，求的周长．
48．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图所示，在中，请用尺规作图法在边上做一点，使得的周长等于边的长与边的长之和．（不写作法，保留作图痕迹）
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49．（2022·广西百色·八年级期末）在图中按要求作出点P：（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
如图：已知和两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即，且P到，两条公路的距离相等．
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50．（2022·湖北随州·八年级期末）如图，在中，已知，．
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(1)在图中分别作出BC边上的高AD和的平分线AE（只保留作图痕迹并标注字母即可）；
(2)求的度数．
51．（2022·重庆南川·八年级期中）如图，是平行四边形的对角线．
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(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，直线分别交、、于点、、不写作法，保留作图痕迹）；21·cn·jy·com
(2)证明：．
52．（2022·福建福建·八年级期中）如图在△ABC中，解决以下问题
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(1)尺规作图，做出角A平分线AD，AD与边BC交于点D；
(2)在（1）的条件下用三角板画出△ABD和△ACD的高DE和DF，再连接EF，证明：AD是线段EF的垂直平分线．21教育网
53．（2022·河南驻马 ( http: / / www.21cnjy.com )店·八年级期末）如图，已知△ABC，求作点P，使AP＝CP，且点P到边AB、AC的距离相等，并说明作图理由．（注意：保留作图痕迹，不写作图步骤）
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54．（2022·重庆梁平·八年级期末）如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F．
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(1)证明：；
(2)如果，，求AE、BE的长．
55．（2022·江苏扬州·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）已知：如图，△ABC中∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC的延长线于点F．
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(1)求证：BE＝CF；
(2)若AB=16，CF=2，求AC的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·四川凉山·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为30cm，△ABD的周长为20cm，则AE的长为（ )21世纪教育网版权所有
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A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据垂直平分线的性质得到AD ( http: / / www.21cnjy.com )＝CD，即AD+BD＝CD+BD＝BC，再由△ABC和△ABD的周长分别为30cm和20cm，可求出AC的长，再由DE是AC的垂直平分线即可求出AE的长．21教育网
【详解】
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，即AD+BD＝CD+BD＝BC，
∵△ABD的周长是20cm，
∴AB+AD+BD＝AB+BC＝20cm，
∵△ABC的周长为30cm，
∴AB+BC+AC＝30cm，
∴AC＝C△ABC﹣C△ABD＝30﹣20＝10（cm），
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AEAC10＝5（cm）．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，熟记性质是解题的关键．【出处：21教育名师】
2．（2022·河北衡水·八年级期末）如图，在中，，的垂直平分线交边于D点，交边于E点，若与的周长分别是20，12，则为（ ）
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A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，从而得到AC= BE+CE，再由与的周长分别是20，12，可得AB+BC+AC=20，AC+BC=12，即可求解．
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴AC=AE+CE=BE+CE，
∵与的周长分别是20，12，
∴AB+BC+AC=20，BE+CE+BC=12，
∴AC+BC=12，
∴AB=8．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
3．（2022·广东深圳·八年级期末）在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝12，AC＝19，则△ABD的周长为（ ）21教育名师原创作品
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A．30 B．31 C．24 D．38
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知尺规作图所作MN为BC是线段垂直平分线，则，故△ABD的周长为．
【详解】
根据题意可得，MN为BC是我垂直平分线，
则
△ABD的周长为
故选B．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质、三角形的周长，解决本题的关键是正确理解尺规作图所作图形为垂直平分线，并合理运用线段垂直平分线的性质．
4．（2022·安徽阜阳·八年级期末）如图，在中，DE是AB的垂直平分线，若，，则BC的长是（ ）
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A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质得出BE=AE=4，结合图形即可得出结果．
【详解】
解：∵DE是AB的垂直平分线，AE=4，
∴BE=AE=4，
∵EC=2，
∴BC=BE+EC=6，
故选：C．
【点睛】
题目主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．
5．（2022·陕西宝鸡·八年级期末）某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ）
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A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三个角的平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
【答案】D
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质即可解答．
【详解】
解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
∴充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处．
故答案为D．
【点睛】
本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答本题的关键．
6．（2022·全国·八年级专题练习）下列尺规作图，能判断是的边上的高是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，以及利用尺规作图作垂线的方法对各个选项进行判断．
【详解】
解：A. 所作图BC的垂线未过点A，故此项错误；
B.所作图过点A作BC的垂线，垂足为D，故此项正确；
C.所作图过点A作的线AD不垂直BC，故此项错误；
D.所作图仅为过点A的AB边上的垂线，不符合题意，故此项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形高的定义及基本尺规作图，熟练掌握三角形高的定义是解题的关键．
7．（2022·江苏·八年级专题练习）三角形的外心是三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的外心的定义（三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点）即可得．
【详解】
解：三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的外心，熟记定义是解题关键．
8．（2022·山西晋中·八年级期中）近 ( http: / / www.21cnjy.com )年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（ ）
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A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质可直接进行求解．
【详解】
解：因为决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，所以高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处，www.21-cn-jy.com
理由是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
故选A．
【点睛】
本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9．（2022·四川成都·八年级期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，则的长度为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
解：是的垂直平分线，
，
的周长等于，
，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答的关键．
10．（2022·安徽池州·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．10 B．13 C．16 D．19
【答案】D
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
解：是的垂直平分线，，
，，
的周长为13，
，
的周长，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
11．（2022·陕西西安·八年级期末）在△ABC中，，．用尺规在BC边上找一点D，仔细观察、分析能使的作法图是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【解析】
【分析】
由于，则点D为AB的垂直平分线与BC的交点，然后根据基本作图对各选项进行判断．
【详解】
解：∵，
∴当时，，
∴点D为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质和作 ( http: / / www.21cnjy.com )图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
12．（2022·河南驻马店·八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，DE⊥AB，DE交AC于点E，连接BE．若BC＝8，△BCE的周长为18，则AC的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
由AB的垂直平分线交AB边于点D，交AC ( http: / / www.21cnjy.com )边于点E，可得AE＝BE，又由△BCE的周长等于18，即可求得AC＋BC＝18，然后由BC＝10，求得AC的长．
【详解】
解：∵点D是边AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长等于18，
∴BE＋CE＋BC＝AE＋CE＋BC＝AC＋BC＝18．
∵△ABC中，BC＝8，
∴AC＝18 8＝10．
故选：C．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
13．（2022·江西抚州·八年级期末）如图，已知AB＝AC＝7，BC＝5，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BCD的周长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．12 B．14 C．15 D．17
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本作图得到MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AB+BC．
【详解】
解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
又∵AB＝AC＝7，BC＝5
∴△BDC的周长=DB+DC+BC
=DA+DC+BC
=AC+BC
=AB+BC
=7+5
=12．
故选：A．
【点睛】
本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
14．（2022·广东深圳·八年级期末）如图，在中，边的垂直平分线交于E，交于点D，若，，则的周长为（ ）
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A．8 B．9 C．7 D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质得到BE=CE，即可得到的周长．
【详解】
解：∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴的周长=AC+AE+CE=AC+AE+BE=AC+AB=5+3=8，
故选：A．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
15．（2022·浙江宁波·八年级期末）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等
C．对顶角相等 D．等腰三角形两腰上的高线相等
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对顶角相等，垂直平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的对称性逐项分析判断即可．
【详解】
解：A、两直线平行，同位角相等，逆命题为：同位角相等，两直线平行，故该选项的逆命题是真命题，不符合题意；
B. 线段垂直平分线上的点 ( http: / / www.21cnjy.com )到线段两端的距离相等，逆命题为：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故该选项的逆命题是真命题，不符合题意；
C. 对顶角相等，逆命题为：若两个角相等，则这两个角是对顶角，故该选项的逆命题是假命题，符合题意；
D. 等腰三角形两腰上的高线相等，逆命题为：若三角形两条边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形，故该选项的逆命题是真命题，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了判断真假命题及写出逆命题，掌握对顶角相等，垂直平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的对称性是解题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
16．（2022·江西上饶 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期末）如图，A，B，C均为新建居民小区，分别连接AB，AC，BC，形成一个三角形，若想建一个超市，使其到A，B，C这三个小区的距离相等（不考虑其它因素），则超市的位置应该选在（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．△ABC三条中线的交点处 B．△ABC三边的垂直平分线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处 D．△ABC三条高所在直线的交点处
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质即可判断并得出结论．
【详解】
解：∵超市到A，B，C这三个小区的距离相等，
∴超市的位置应选在△ABC三边的垂直平分线的交点处，
故选：B．
【点睛】
本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（2022·浙江湖州·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【解析】
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质判断即可．
【详解】
解：选项C正确．
( http: / / www.21cnjy.com / )
理由：如图，连接AP，由作图可知，EF垂直平分线段AC，
∴PA＝PC，
∴PA+PB＝PC+PB＝BC，
故选：C．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是理解线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
18．（2022·广东·普宁市 ( http: / / www.21cnjy.com )红领巾实验学校八年级期中）如图所示，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③
【答案】B
【解析】
【分析】
本题的关键是证明Rt△ABC≌Rt△ADC，易求解．
【详解】
解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB＝AD，AC＝AC，所以Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．
所以∠ACB＝∠ACD，∠BAC＝∠DAC，即AC平分∠BAD，CA平分∠BCD．
故①②正确；
在△ABD中，AB＝AD，∠BAO＝∠DAO，
所以BO＝DO，AO⊥BD，即AC垂直平分BD．
故③正确；
不能推出∠ABO＝∠CBO，故④不正确．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．难度一般．21cnjy.com
19．（2022·江苏盐城·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD+AE的值为（ ）
A．6 B．14 C．6或14 D．8或12
【答案】C
【解析】
【分析】
分两种情况，当BD与CE无重合，当BD与CE有重合．
【详解】
解：∵AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
∴AD＝BD，AE＝EC，
分两种情况：
当BD与CE无重合时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BC＝10，DE＝4，
∴AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6，
当BD与CE有重合时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BC＝10，DE＝4，
∴AD+AE＝BD+CE＝BC+DE＝10+4＝14，
综上所述：AD+AE的值为：6或14．
故选：C．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．2·1·c·n·j·y
20．（2022·河南新乡·八年级期末）如图，在中，，，，，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（ ）
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A．7 B．6 C．12 D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的值最小，即可得到△ABP周长最小．21*cnjy*com
【详解】
解：∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
设AC交EF于D，
∴当P和D重合时，即A、P、C三点共线时，AP+BP的值最小，
∵EF垂直平分BC，
∴AD=CD，
∴AD+BD=AD+CD=AC=4，
∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正确．
故选：A．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，轴对称-最短路 ( http: / / www.21cnjy.com )线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．【版权所有：21教育】
21．（2022·福建泉州·八年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，△ABC中，AB的垂直平分线DG交∠ACB的平分线CD于点D，过D作DE⊥AC于点E，若AC＝10，CB＝4，则AE＝（ ）
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A．2 B．3 C．6 D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
由角平分线的性质得出．证明，得出，同理，得出，进而得出答案．
【详解】
解：连接、，作于，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
点在的垂直平分线上，
点在的平分线上，，，
在和中，，
，
，
同理：，
，
，
，
，
，
；
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
22．（2022·广东·深圳市龙岗区平湖外 ( http: / / www.21cnjy.com )国语学校八年级期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝5，AC＝8，BC＝10，则△AEF的周长为（ ）
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A．5 B．8 C．10 D．13
【答案】C
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，FA=FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
解：∵EG是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
同理，FA＝FC，
∴△AEF的周长＝EA＋EF＋FA＝EB＋EF＋FC＝BC＝10，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
23．（2022·福建省漳州第一中学八年级期中）在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
【详解】
解：∵点到三角形三个顶点的距离相等，
∴这个点一定是三角形三条边的垂直平分线的交点，
故选： B ．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
24．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，则的值为（ ）
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A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
首先连接CD，BD，由∠BAC的 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．
【详解】
如图，连接CD，BD，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=11cm，AC=5cm，
∴BE=3cm．
故应选D．
【点睛】
此题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．解题关键在于注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
25．（2022·山西晋中·八年级期中）如图，，，垂足分别为D，E，BD与CE交于点O，且，下列结论错误的是（ ）21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
0
B．
C． D．OE垂直平分AB
【答案】D
【解析】
【分析】
证明Rt△AEC≌Rt△ADO（HL）， ( http: / / www.21cnjy.com )得出∠OAE=∠OAD，AE=AD即可判断选项A、B，△BEO≌△CDO（ASA），得出∠B=∠C即可判断选项C，根据线段垂直平分线的定义即可判断选项D．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：在Rt△AEC和Rt△ADO中，
∴Rt△AEC≌Rt△ADO（HL），
∴∠OAE=∠OAD，AE=AD，
∴选项A、B不符合题意；
在△BEO和△CDO中，
∴△BEO≌△CDO（ASA），
∴∠B=∠C，
∴选项C不符合题意；
∵OE⊥AB，但OE不一定平分AB，
∴OE垂直平分AB说法错误，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的定义等知识，掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的定义是解题的关键．
26．（2022·山西太原·八年级期中）如图，中，，将沿BC方向平移得到，其中A，B，C的对应点分别是点D，E，F，DE与AC交于点G．若点E是BC的中点，则下列结论中不一定正确的是（ ）
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B．
C．AC与DE互相垂直平分 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平移的性质、平行线的性质判断即可．
【详解】
解：由平移的性质可知，AB=DE，AC//DF，故选项A、B结论正确，不符合题意；
由平移的性质可知，AB//DE，
∵点E是BC的中点，
∴CG=GA，GE=AB=DE，
∴AC与DE互相垂直平分，故选项C结论正确，不符合题意；
∵∠B与∠ACB不一定相等，
∴∠DAG与∠DEC不一定相等，故选项D结论中不一定正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、平移的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
27．（2022·山东菏泽·八年级期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先通过作图过程可得AD平分∠BAC ( http: / / www.21cnjy.com ),DE⊥AB,然后证明△ACD≌△AED说明C、D正确，再根据直角三角形的性质说明选项A正确，最后发现只有AE=EB时才符合题意．
【详解】
解：由题意可得：AD平分∠BAC,DE⊥AB,
在△ACD和△AED中
∠AED=∠C，∠EAD=∠CAD,AD=AD
∴△ACD≌△AED（AAS）
∴DE=DC,AE=AC,即C、D正确；
在Rt△BED中，∠BDE=90°-∠B
在Rt△BED中，∠BAC=90°-∠B
∴∠BDE=∠BAC，即选项A正确；
选项B，只有AE=EB时，才符合题意．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．
28．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
证明△BDF≌△ADC，可判 ( http: / / www.21cnjy.com )断①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延长CF交AB于H，证明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判断③；根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．
【详解】
解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∠ABC=45°，
∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，
而∠ADB=∠ADC=90°，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF=AC，FD=CD，故①正确，
∵∠FDC=90°，
∴∠DFC=∠FCD=45°，
∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，
∴∠FCD≠∠DAC，故②错误；
延长CF交AB于H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，
∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，
∴CH⊥AB，
即CF⊥AB，故③正确；
∵BF=2EC，BF=AC，
∴AC=2EC，
∴AE=EC=AC，
∵BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AF=CF，BA=BC，
∴△FDC的周长=FD+FC+DC
=FD+AF+DC
=AD+DC
=BD+DC
=BC
=AB，
即△FDC的周长等于AB，故④正确，
综上：①③④正确，
故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与 ( http: / / www.21cnjy.com )判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜
第II卷（非选择题）
二、填空题
29．（2022·江苏·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )专题练习）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝4，CF＝1，则AC的长为_____．21·世纪*教育网
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【答案】5
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线得到AF＝BF＝4，即可求出AC＝AF+CF＝4+1=5．
【详解】
解：∵EF是AB的垂直平分线，BF＝4，
∴AF＝BF＝4，
∴AC＝AF+CF＝4+1＝5，
故答案为：5．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
30．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，所画的弧交于两点，再连接该两点所在直线交于点D，连接．若，则的长为______．
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【答案】2
【解析】
【分析】
由作图可得，DQ为线段AB的垂直平分线，再利用线段的垂直平分线的性质可得答案.
【详解】
解：如图，记AB的垂直平分线为DQ，
( http: / / www.21cnjy.com / )
故答案为：2
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线的作图与性质”是解本题的关键.
31．（2022·吉林市第五中学八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=7．MN为BC边上的垂直平分线，若点D在直线MN上，连接AD，BD，则△ABD周长的最小值为_____．
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【答案】12
【解析】
【分析】
MN与AC的交点为D，AD+BD的值最小，即△ABD的周长最小值为AB+AC的长．
【详解】
解：MN与AC的交点为D，
∵MN是BC边上的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴AD+BD=AD+CD=AC，
此时AD+BD的值最小，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AC最小，
∵AB=5，AC=7，
∴AB+AC=12，
∴△ABD的周长最小值为12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的的方法，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
32．（2022·湖南永 ( http: / / www.21cnjy.com )州·八年级期末）如图，在△ABC中，AC=12，线段AB的垂直平分线交AC于点N，BN=8，则CN的长为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】4
【解析】
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到NB=NA，由CN=AC－AN即可得出答案．
【详解】
∵MN垂直平分线段AB，BN=8，
∴BN=AN=8，
∵AC=12，
∴CN=AC－AN=12－8=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
33．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，垂直平分线段，且垂足为点M，则图中一定相等的线段有________对．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】3
【解析】
【分析】
由CD垂直平分线段AB，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线商店的点到线段两端点的距离相等，可得，，，从而求得答案．
【详解】
∵垂直平分线段，
∴．
∴图中一定相等的线段有3对．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质，掌握其性质并能灵活运用是解题关键．
34．（2022·辽宁阜新·八年级期末）如图，点O为△ABC三边垂直平分线的交点．∠BOC＝120°，则∠BAC＝_____度．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】60
【解析】
【分析】
连接OA，根据线段垂直平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质可得AO=BO=CO，从而得到∠ABO+∠ACO+∠BAC=2∠BAC，再由∠BOC＝120°，可得∠OBC+∠OCB=60°，进而得到2∠BAC=180°-60°=120°，即可求解．
【详解】
解：如图，连接OA，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点O是△ABC三边垂直平分线的交点，
∴AO=BO=CO，
∴∠ABO=∠BAO，∠ACO=∠CAO，
∴∠ABO+∠ACO+∠BAC=2∠BAC，
∵∠BOC＝120°，
∴∠OBC+∠OCB=180°-120°=60°，
∴∠ABO+∠ACO+∠BAC=2∠BAC=180°-60°=120°，
∴∠BAC=60°．
故答案为：60．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
35．（2022·湖北随州·八年级期末）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则的周长为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】17
【解析】
【分析】
先根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，再根据三角形的周长公式即可得．
【详解】
解：由作图可知，MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∵BC=12，AC=5，
∴△ACD的周长为AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=17，
故答案为：17．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
36．（2022·四川甘孜·八年级期末）如图, 在 中, 边的垂直平分线分别交于点, 边的垂直平 分线分别交于点, 若, 则的周长为________
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】10
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质可得，，进而求得的周长．
【详解】
的垂直平分线分别交于点，
，
的垂直平分线分别交于点，
，
的周长为，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
37．（2022·广东深圳·八年级期末）如图，在△ABC中，，，边BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E、D，则△ACE的周长为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】16
【解析】
【分析】
先根据线段垂直平分线的性质可得，通过观察图形可知周长等于，再根据已知条件代入数据计算即可得解．
【详解】
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴的周长，
故答案是：．
【点睛】
本题涉及到的知识点主要是线段垂直平分线的性质，能够灵活运用知识点将求三角形周长的问题进行转化是解题的关键．
38．（2022·湖南长沙· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期中）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，已知AC=10cm，BC=7cm，则△BCD的周长是________cm．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】17
【解析】
【分析】
根据DE垂直平分线AB，得，进而求△BCD的周长；
【详解】
解：∵DE垂直平分线AB，
∴，
∵AC=10cm，BC=7cm，
∴△BCD的周长为：cm；
故答案为：17．
【点睛】
本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
39．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在中，是的垂直平分线，分别交，于，，，的周长为14cm，则的周长为______cm．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】22
【解析】
【分析】
根据是的垂直平分线，，可知cm、，再借助的周长为14cm，即cm，由即可计算的周长．
【详解】
解：∵是的垂直平分线，，
∴cm，，
∵的周长为14cm，即cm，
∴的周长为：cm．
故答案为：22．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质，理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解决此题的关键．
三、解答题
40．（2022·陕西·无八年级期中 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，已知△ABC，AB＞AC，∠B＝45°．请用尺规作图法，在AB边上求作一点P，使∠PCB＝45°．（保留作图痕迹，不写作法）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在边上求作一点，使，根据可知,即为的垂直平分线与的交点．
【详解】
解：作法：以、为圆心，以为半径画弧，分别交于、两点，连接交 于，连接，即。
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了作图——基本作图．解决本题的关键是掌握基本作图方法．
41．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在中，点在的垂直平分线上，连接，作于点，交的延长线于点，且．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：；
(2)如果，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)44°
【解析】
【分析】
（1）由点在的垂直平分线上，得到CB=CD，即可证明，得到，等量代换得到，即可得出结论；（2）由,得到，再由，解得∠CBD，得出∠ABC和∠A的度数．
(1)
证明：，，
∴和均是直角三角形，
∵点在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和、外角和的性质等知识点，解题的关键是找到全等三角形，利用其性质解题．
42．（2022·北京怀柔·八年级期末）老师布置了如下尺规作图的作业：
已知：如图ABC．
求作：ABC边BC上的高AM．
下面是小红设计的尺规作图过程：
作法：
①延长线段BC ；
②以点A为圆心，AC长为半径作弧交BC的延长线于点D；
③分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在CD下方交于点E；
④连接AE，交CD于点M．
所以线段AM就是所求作的高线．
根据小红设计的尺规作图过程和图形，完成（1）（2）两小题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）将该作图证明过程补充完整：
由②可得：AC = ．
由③可得： = ．
∴ （ ）．（填推理的依据）
即AM是ABC边BC上的高线．
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【答案】（1）见解析；（2）AD；CE；DE；AE是CD的垂直平分线；与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上2-1-c-n-j-y
【解析】
【分析】
（1）根据题中作法作图即可；
（2）根据垂直平分线的作法即可证明．
【详解】
解：（1）如图，根据题中作法作图即可得；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）由②可得：，（均为圆的半径）
由③可得：，（相同圆的半径）
∴AE是CD的垂直平分线（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
故答案为：；；；AE是CD的垂直平分线；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【点睛】
题目主要考查垂直平分线的作法及证明，理解题意，熟练掌握作图方法是解题关键．
43．（2022·广东茂名·八年级期中）如图，在中，是的中垂线，分别交，于点，．若的周长为8，，求的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】5
【解析】
【分析】
根据题意可知，然后根据是的中垂线，得，即可得的长度．
【详解】
解：∵的周长为8，
又∵，
∴，
又∵是的中垂线，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是根据题意推出．
44．（2022·陕西西安·八年级阶段练习）如图，已知ABC，以A为圆心，AC为半径画弧与BC相交于另一点E．
（1）用尺规作图的方法，作出ABC的高AD（垂足为D）．
（2）求证：ED＝CD．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用基本作图，过A点作BC的垂线；
（2）根据等腰三角形的”三线合一“进行证明．
【详解】
（1）解：如图，AD为所作；
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作法如下：
分别以为圆心，以大于长为半径，作弧，相较于点，连接，并延长，交于点；
（2）证明：由作法得AC＝AE，
∴△ACE为等腰三角形，
∵AD⊥CE，
∴
又∵
∴
∴ED＝CD．
【点睛】
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的证明，熟练掌握基本作图方法和全等三角形的证明方法是解题的关键．
45．（2022·福建·厦门市第十一中学八年级期末）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，B=D，画出四边形ABCD的对称轴m；
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，A=D，画出边BC的垂直平分线n．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析；
【解析】
【分析】
（1）连接AC，AC所在直线即为对称轴m．
（2）延长BA，CD交于一点，连接AC，BC交于一点，连接两点获得垂直平分线n．
【详解】
解：（1）如图①，直线即为所求
（2）如图②，直线即为所求
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了轴对称作图，根据全等关系可以确定点与点的对称关系，从而确定对称轴所在，即可画出直线.
46．（2022·广东广州·八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）尺规作图：如图，已知△ABC，作BC边的垂直平分线交AB于点D，连接DC．（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
分别以B、C为圆心，以大于BC的二分之一的长为半径画弧，两弧两两相交然后连接两弧的交点，交AB于点D，连接DC即可．
【详解】
如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的作法，关键是掌握用尺规作线段垂直平分线的方法．
47．（2022·广东清远·八年级期末）如图，在中，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)利用尺规作图作的垂直平分线，垂足为，交于点，延长至点，使；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)图见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）依据线段垂直平分线的作法和作一条线段等于已知线段的作法画出图形即可；
（2）连接，根据线段垂直平分线的性质求解即可．
（1）解：作法： ①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，②作直线，垂足为，交于点，③以点为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点．如图即为所作． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）如图，连接，由（1）得的垂直平分线交于点，∴，∴的周长为：，∵，，∴，∴的周长为． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查作图—基本作图， ( http: / / www.21cnjy.com )线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，采用了恒等变形的思想方法．掌握基本作图和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
48．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图所示，在中，请用尺规作图法在边上做一点，使得的周长等于边的长与边的长之和．（不写作法，保留作图痕迹）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析
【解析】
【分析】
作AC的垂直平分线交BC于D，点D为所作．
【详解】
解：如图，作AC的垂直平分线交BC于D，点D为所作．
∵AC的垂直平分线交BC于D，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋CD＝AB＋BC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了尺规作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，根据题意得出点D是线段AC的垂直平分线与BC的交点是解题的关键．
49．（2022·广西百色·八年级期末）在图中按要求作出点P：（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
如图：已知和两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即，且P到，两条公路的距离相等．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析
【解析】
【分析】
作∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线，它们的交点为P点．
【详解】
解：连接CD，作线段CD的垂直平分线，然后作∠AOB的角平分线，它们交于一点P，如图，点P即为所求．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了尺规作角平分线和线段的垂直平分线，熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，是解题的关键．
50．（2022·湖北随州·八年级期末）如图，在中，已知，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)在图中分别作出BC边上的高AD和的平分线AE（只保留作图痕迹并标注字母即可）；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)40°
【解析】
【分析】
（1）利用尺规过A点作BC的垂线即可得到AD，再利用尺规作的平分线；
（2）利用角平分线的定义求出，利用外角的性质求出，再利用直角三角形两锐角互余求出，则．
(1)
解：如图所示，AD是BC边上的高，AE是的平分线．
( http: / / www.21cnjy.com / )
作法如下：
以A点为圆心，适当长为半径作弧，交直线BC于M，N两点；
分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，交于F点；
连接AF交直线BC于D点，连接AD即可；
以A点为圆心，适当长为半径作弧，交AC于G点，交AB于H点；
分别以G，H为圆心，大于长为半径作弧，交于P点；
连接AP并延长，交BC于点E，连接AE即可．
(2)
解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查尺规作图——作垂线、角平分线，角 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线的定义以及三角形外角的性质等，熟练掌握尺规作图的基本步骤，找出图中相关角的和差关系是解题的关键．
51．（2022·重庆南川·八年级期中）如图，是平行四边形的对角线．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，直线分别交、、于点、、不写作法，保留作图痕迹）；
(2)证明：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）分别以点AC为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，即为所求作，并标注三个交点；
（2）先利用垂直平分得到，再根据平行四边形的性质得到，，则∠EAF=∠GCF，接着证明≌得到，从而得到．
（1）如图，为所作； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）证明：∵垂直平分，∴，∵四边形为平行四边形，∴，，∴∠EAF=∠GCF，在和中，，∴△GCF≌△EAF（ASA），∴CG=AE，∴CD-CG=AB-AE，即．
【点睛】
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质．
52．（2022·福建福建·八年级期中）如图在△ABC中，解决以下问题
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)尺规作图，做出角A平分线AD，AD与边BC交于点D；
(2)在（1）的条件下用三角板画出△ABD和△ACD的高DE和DF，再连接EF，证明：AD是线段EF的垂直平分线．
【答案】(1)画图见解析；
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用基本作图，作的平分线即可；
（2）先根据角平分线的性质得到，再证明，得到，然后根据线段垂直平分线的性质定理得逆定理可判断AD线段EF的垂直平分线．
(1)
解：如图所示为所求．
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(2)
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴D在线段EF的垂直平分线上．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE=AF．
∴A在线段EF的垂直平分线上．
∴AD是线段EF的垂直平分线．
∴EF⊥AD．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：解决 ( http: / / www.21cnjy.com )此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
53．（2022·河南驻马 ( http: / / www.21cnjy.com )店·八年级期末）如图，已知△ABC，求作点P，使AP＝CP，且点P到边AB、AC的距离相等，并说明作图理由．（注意：保留作图痕迹，不写作图步骤）
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【答案】作图见解析
【解析】
【分析】
分别作∠BAC的平分线和线段AC的垂直平分线，两线交点即为所求．
【详解】
解：如图所示，点P即为所求．
作法：1、以点A为圆心，任意长为半径画弧，交∠A的两边于两点，再分别以两交点为圆心，大于量交点距离的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接点A和该点并延长，该射线为∠BAC的平分线；
2、分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于两点，连接两交点，该线为线段AC的垂直平分线；
∠BAC的平分线和线段AC的垂直平分线的交点即为所求点P．
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【点睛】
本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握角平分线和线段中垂线的尺规作图及其性质．
54．（2022·重庆梁平·八年级期末）如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F．
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(1)证明：；
(2)如果，，求AE、BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)AE=4，BE=1
【解析】
【分析】
（1）连接BD、CD，先由垂直平分线性质得 ( http: / / www.21cnjy.com )BD=CD，再由角平分线性质得DE=CF，然后证Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出结论；
（2）证明Rt△AED≌Rt△ ( http: / / www.21cnjy.com )AFD（HL），得AE=AF，则CF=AF-AC=AE-AC，又因为BE=AB-AE，由（1）知BE=CF，则AB-AE= AE-AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE长．
（1）证明：如图，连接BD、CD， ( http: / / www.21cnjy.com / )∵且平分BC，∴BD=CD，∵AD平分，于E，于F，∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；
（2）解：∵AD平分，于E，于F，∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△AED与Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，∴CF=AF-AC=AE-AC，由（1）知：BE=CF，∴AB-AE=AE-AC即5-AE=AE-3，∴AE=4，∴BE=AB-AE=5-4=1，
【点睛】
本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
55．（2022·江苏扬州· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）已知：如图，△ABC中∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC的延长线于点F．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：BE＝CF；
(2)若AB=16，CF=2，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)12
【解析】
【分析】
（1）连接BD，根据垂直平分线的性质和角平分线的性质可得DE=DF，DC=DB，利用HL可证Rt△DCF≌Rt△DBE，从而证出结论；
（2）利用HL可证Rt△ADF≌Rt△ADE，利用全等三角形的性质即可求解．
(1)
连接DB，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB=DC，
在Rt△DCF与Rt△DBE中，
DE=DF，DB=DC，
∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），
∴CF=BE；
(2)
∵CF=BE=2，AB=16，
∴AE=AB-BE=16-2=14，
在Rt△ADF与Rt△ADE中，
DE=DF，AD=AD，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AF=AE=14，
∴AC=AF-CF=14-2=12．
【点睛】
此题考查的是角平分线的性质、垂直平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线的性质和全等三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质、垂直平分线的性质和全等三角形的判定及性质是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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