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绝密★启用前
专题21等腰三角形的判定
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·广东清远·八年级期中）在△ABC中，∠B=∠C，AB=5．则AC=（ ）
A．12 B．9 C．5 D．2
2．（2022·广东佛山·八年级阶段练习）如图，在中，，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点连接并延长，交于点有下列说法：①线段是的平分线；②；③点到边的距离与的长相等；④；其中正确结论的个数是（ ）
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A． B． C． D．
3．（2022·江苏·八年级）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝72°，∠ACB＝∠DBC＝36°，则图中等腰三角形的个数是( ) 21世纪教育网版权所有
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A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2022·福建漳州·八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，∠ABC的平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形( )
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2022·全国·八年级）如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( ).21·世纪*教育网
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A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
6．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，在平行四边形中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点E，交的延长线于点F，则的长度为（ ）【出处：21教育名师】
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A．1 B． C．2 D．3
7．（2022·河南安阳·八年级期末）如图，A，B两点在一个的正方形网格的格点上，每个小方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C的个数为（ ）21*cnjy*com
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A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
8．（2022·广东广州·八年级期末）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在□ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（ ）
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A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4
9．（2022·山西太原 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝5．现将△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置．若平移的距离为3，则CG的长为（ ）
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A． B． C．4 D．2
10．（2022·河南驻马店·八年级期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角和是360° B．等腰三角形的两底角相等
C．全等三角形的对应角相等 D．真命题的逆命题是真命题
11．（2022·陕西·无八年级期末）如图所 ( http: / / www.21cnjy.com )示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
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A．5 B．6 C．7 D．8
12．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F在斜边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD延长线上的点处，则线段的长为（ ）
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A． B． C．1 D．
13．（2022·河南安阳·八年级期末）在□ABCD中，已知AB＝6，BE平分∠ABC交AD边于点E，点E将AD分为两部分，则AD的长为（ ）21cnjy.com
A．8 B．8或24 C．9 D．9或24
14．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在△ABC中，，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，且．下列四个结论：①；②；③；④△AEC是等腰直角三角形．你认为正确的序号是（ ）
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A．②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
15．（2022·四川成都·八年级期末）如图， ABCD中，AB＝6，AD＝8，AE平分∠BAD，则EC之长为（ ）21教育名师原创作品
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A．6 B．5 C．4 D．2
16．（2022·广东梅州·八年级期末）如下图，在中，，，的角平分线与线段AC相交于点D，若，则CD的长( )
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A．10 B．8 C．6 D．4
17．（2022·广东梅州·八年级期末）如图，已知的顶点，，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线CM交边CD于点G．则G的坐标为( )
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A． B． C． D．
18．（2022·北京·通州区运河中学八年级阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，点的对应点记为，点的对应点记为，顺次连接、、得到四边形．所得到的四边形为（ ）
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A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
19．（2022·广东·常春 ( http: / / www.21cnjy.com )藤国际学校八年级期中）如图，已如平行四边形AOBC的顶点O(0，0)，A(﹣3，4)，点B在x轴正半轴上，作∠AOB的角平分线OF交边AC交点G．则点G的坐标为（ ）
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A．(2，4) B．(5，4) C．(﹣2，4) D．(3，4)
20．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在中，和的角平分线相交于点，过点做交于点，交于点，过点作于点，下列四个结论：①；②点到各边的距离相等；③；④设，，则．其中结论正确的是（ ）
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A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
21．（2022·上海市张江集团中学八年级期中）如图，已知等腰梯形ABCD，ABCD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延长线于E，EF⊥AD交AD的延长线于F，下列结论：①BDEF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE＋EF．其中错误的结论有（ ）
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A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
22．（2022·湖北武汉· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣3，2），点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
23．（2022·辽宁本溪·八年级期末）如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，于点，于点，连接．若，，，则的长是（ ）
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A． B． C． D．
24．（2022·河南周口·八年级期末）如图，直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数是（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
25．（2022·重庆市渝高中学校八年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，于点E，于点F，连接AP，给出下列结论：①；②四边形PECF的周长为8；③一定是等腰三角形；④；⑤EF的最小值为；其中正确结论的序号为（ ）
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A．①②④ B．①③⑤ C．②③④ D．①②④⑤
26．（2022·全国·八年级）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点的个数是（ ）
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A． B． C． D．
27．（2022·广东·高州市第 ( http: / / www.21cnjy.com )一中学附属实验中学八年级期中）点A的坐标是（2，2），若点P在x轴或y轴上且△APO是等腰三角形，这样的点P共有（ ）个
A．6 B．7 C．8 D．9
28．（2022·广东·高州市 ( http: / / www.21cnjy.com )第一中学附属实验中学八年级期中）如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°，其中正确的结论有（ ）个
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A．1 B．2 C．3 D．4
29．（2022·湖南师大附中博才实验中 ( http: / / www.21cnjy.com )学八年级期末）如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的的序号为（ ）21·cn·jy·com
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A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
第II卷（非选择题）
二、填空题
30．（2022·河南开封·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，∠B＝∠C，要使△ABD≌△ACE，只需增加的一个条件是________（只需填写一个你认为适合的条件）．www.21-cn-jy.com
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31．（2022·江西萍乡·八年级期中）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有_________个． 2·1·c·n·j·y
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32．（2022·安徽安庆·八年级期末）“等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：_________________．
33．（2022·广东潮州·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，在 ABCD中，AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长 _____．
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34．（2022·四川成都· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D在AB边上，连接CD，过CD的中点E作FG⊥CD，交BC于点F，交AC于点G，若∠CFG＝∠A，则CE＝________．www-2-1-cnjy-com
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35．（2022·福建泉 ( http: / / www.21cnjy.com )州·八年级期末）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C有________个．
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36．（2022·云南昭通·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过D作EFBC交AB于点E，交AC于点F，则△AEF的周长等于 _____．
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37．（2022·辽宁本溪·八年级期末）如图，一艘船从处出发向正北航行50海里到达处，分别从，望灯塔，测得，，则处到灯塔的距离是__________海里．21*cnjy*com
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38．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）如图所示，平行四边形ABCD中，，，与的平分线分别交BC于F、E，则____________．
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39．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）如图所示，平行四边形ABCD中，，，与的平分线分别交BC于F、E，则____________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
40．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学 ( http: / / www.21cnjy.com )附属中学校八年级期中）在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD所在直线于E点，若AB=6，ED=3，则边BC的长度为____________．【来源：21cnj*y.co*m】
41．（2022·河北沧州·八年级期末）如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BDAD于点D，过点D作，交AB于点E．【版权所有：21教育】
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（1）若AE＝4，则DE的长为______；
（2）若AB＝10，则DE的长为______．
42．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，AC＝5，BC＝4，E是AB边上一点，将△BEC沿EC所在直线翻折得到△DEC，DC交AB于F，当DE∥AC时，BE的长为 _____．
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43．（2022·山东济南·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，若DC＝5，CB＝3，则AE的长为________．
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三、解答题
44．（2022·吉林长春·八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的项点为格点，每个小正方形的边长均为1，在图①、图②中已画出AB，点A、B均在格点上，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一个以AB为腰且三边长都是无理数的等腰三角形ABC，点C为格点；
（2）在图②中，画一个以AB为底的等腰三角形ABD，点D为格点．
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45．（2022·广东汕头·八年级期末）已知：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．21教育网
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46．（2022·全国·八年级）如图，已知 ( http: / / www.21cnjy.com )点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
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（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
47．（2022·广东·平洲一中八年级期中）如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．
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（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）求证：△OBC是等腰三角形．
48．（2022·广东云浮·八年级期末）如图，在中，和的角平分线与相交于点，且点恰好落在上；
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求证：
若，求的周长．
49．（2022·广东揭阳·八年级期中）如图，在中，，，，，求的长．
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50．（2022·福建·福州三牧中学八年级期末）如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．2-1-c-n-j-y
(1)求证AD=ED；
(2)若AC=AB，DE=3，求AC的长．
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51．（2022·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，在中，已知，，平分，于点，为中点．求的长．
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52．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图，在中，和的平分线分别交于点，若，求的值．
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53．（2022·山东济南·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E．
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(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．
54．（2022·安徽合肥·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标分别为A（4，﹣4），B（1，﹣1），C（3，﹣1）．
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(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)直接写出点A1，B1，C1的坐标；
(3)在△A1B1C1中，求∠A1B1C1的度数．
55．（2022·海南省直辖县级单位·八年级期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点.
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(1)求直线的解析式；
(2)若直线上一点在第一象限，且点的坐标为，求的面积；
(3)在轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标.
56．（2022·陕西汉中·八年级期末）如图，在中，平分交于点，交于点，，，求的长度．【来源：21·世纪·教育·网】
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57．（2022·湖北·天门市教育科学研究院八年级期末）在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段的两个端点都在格点（网格线的交点叫格点）上，请按下列要求作图，所作图形的顶点都在格点上．
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(1)在图1中画一个以为斜边的等腰直角；
(2)在图2中画一个平行四边形，且满足两条对角线互相垂直．
58．（2022·广西百色·八年级期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，上午8时，一条船从A处测得灯塔C在北偏西30°，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达B处，测得灯塔C在北偏西60°，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处
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59．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，在等边三角形中，点E是边上的一点，过点E作交于点D，作，交的延长线于点F．
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(1)求证：；
(2)当时，请直接写出的面积．
60．（2022·河南省直辖县级单位·八年级期末）（1）如图，A，B，C是方格纸中的格点，请画出所有符合条件的格点P，使得，并说明你所得结论的正确性．
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（2）若图中每个小正方形的边长为1，在（1）的条件下，请求出的周长；
61．（2022·江西吉安·八年级期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式．
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62．（2022·广东·陆河县水唇中学八年级期中）如图，在中，，垂足为点，，，，求的长.
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63．（2022·广东广州 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期末）将一张矩形的纸片放到平面直角坐标系中，使矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴、y轴上．如图，将△OAB沿对角线OB翻折到△ONB，ON与CB交于点M．
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(1)重叠部分△OBM是什么形状的三角形，请说明你的理由；
(2)已知OC＝3，，请直接写出点M坐标（______，______）．
64．（2022·湖北湖北·八年级期末）如图，是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，、、是格点，是与网格线的交点，仅用无刻度直尺在给定的网格中画图
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(1)直接写出图中的长______；
(2)在图①中画出等腰，使；
(3)在图②中先平移线段至（对应，对应），再在线段上画一点；使得．
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专题21等腰三角形的判定
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·广东清远·八年级期中）在△ABC中，∠B=∠C，AB=5．则AC=（ ）
A．12 B．9 C．5 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的判定定理，等角对等边即可求解．
【详解】
解：∵∠B=∠C，
∴AC=AB=5．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定定理：在同一个三角形中，等角对等边，理解定理是关键．
2．（2022·广东佛山·八年级阶段练习）如图，在中，，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点连接并延长，交于点有下列说法：①线段是的平分线；②；③点到边的距离与的长相等；④；其中正确结论的个数是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义和含30°角的直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：由基本作图可知：AD是∠BAC的平分线，故①正确，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，
∴∠B＝∠DAB＝30°，
∴，AD＝DB，AD＝2CD，故②正确，
∵点D在AB的角平分线上，
∴点到 边的距离与 的长相等，故③正确；
∵AD＝DB，AD＝2CD，
∵BC＝3CD，
∴S△DAC：S△ABC＝1：3，故④正确，
∴结论①②③④都正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，读懂题意是解题的关键．
3．（2022·江苏·八年级）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝72°，∠ACB＝∠DBC＝36°，则图中等腰三角形的个数是( ) 【来源：21cnj*y.co*m】
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形外角性质和三角形内角和定 ( http: / / www.21cnjy.com )理求出∠AOB、∠DOC、∠ABC、∠DCB，推出∠A＝∠AOB、∠A＝∠ABC、∠OBC＝∠OCB、∠D＝∠DOC、∠D＝∠DCB，根据等腰三角形的判定得出即可．
【详解】
∵∠ACB＝∠DBC＝36°，
∴∠AOB＝∠DOC＝∠ACB＋∠DBC＝72°，
∵∠A＝∠D＝72°，
∴∠ABD＝∠DCA＝180° 72° 72°＝36°，
即∠A＝∠AOB、∠A＝∠ABC、∠OBC＝∠OCB、∠D＝∠DOC、∠D＝∠DCB，
∴△ABO、△ABC、△OBC、△DCO、△DBC都是等腰三角形.
故答案选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定的应 ( http: / / www.21cnjy.com )用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，解题的关键是求得各角的度数，掌握等角对等边与等边对等角定理的应用．
4．（2022·福建漳州·八年级期中）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，∠ABC的平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，利用三角形内角和定理求得∠BAC＝75°，然后可得等腰三角形．21教育名师原创作品
【详解】
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，AD是高，
∴∠DAC＝45°，
∴CD＝AD，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∵∠ABC＝60°，BE是∠ABC平分线，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
在△ABD中，∠BAD＝180° ∠ABD ∠ADB＝180° 60° 90°＝30°，
∴∠ABF＝∠BAD＝30°，
∴AF＝BF即△ABF是等腰三角形，
在△ABC中，∠BAC＝180° ∠ABC ∠ACB＝180° 60° 45°＝75°，
∵∠AEB＝∠CBE＋∠ACB＝30°＋45°＝75°，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝EB即△ABE是等腰三角形，
∴等腰三角形有△ACD，△ABF，△ABE；
故答案选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的高、角平分线，等腰三角形的判定，解题关键是要熟练掌握这些基础知识．
5．（2022·全国·八年级）如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( ).
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A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】B
【解析】
【分析】
本题需先根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，从而得出图中等腰三角形中的个数，即可得出正确答案．
【详解】
解：∵矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，
∴OA=OB=OC=OD，
∴图中的等腰三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC四个．
故选B．
6．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，在平行四边形中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点E，交的延长线于点F，则的长度为（ ）
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A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用基本作图得到BE平分∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC，则∠ABF＝∠CBF，再根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD＝2，再证明∠CBF＝∠F得到CF＝CB＝3，然后计算CF CD即可．
【详解】
解：由作法得BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝2，
∴∠ABF＝∠F，
∴∠CBF＝∠F，
∴CF＝CB＝3，
∴DF＝CF CD＝3 2＝1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了尺规作角平分线，平行四边形的性质，平行线的性质以及等角对等边，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
7．（2022·河南安阳·八年级期末）如图，A，B两点在一个的正方形网格的格点上，每个小方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C的个数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】D
【解析】
【分析】
分两种情况：①AB为等腰三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的底边，连接AB，作AB的垂直平分线，得到的格点C有6个符合要求；②AB为等腰三角形的一条腰，分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆，得到的格点C有4个；画出图形，即可得出结论．
【详解】
解：如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
①AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有6个；
②AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有4个．
所以符合条件的点C共有10个．
故选：D．
【点睛】
此题考查了画等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键，注意数形结合的解题思想．
8．（2022·广东广州· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，在□ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（ ）
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A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据角平分线及平行线的性质得出∠BAE=∠AEB，再由等角对等边得出BE=AB，从而求出EC的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=3，
∴EC=BC-BE=5-3=2，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，根据已知得出∠BAE=∠AEB是解决问题的关键．
9．（2022·山西太原·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝5．现将△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置．若平移的距离为3，则CG的长为（ ）
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A． B． C．4 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
由平移知，可得CE=2，且△ECG为直角三角形，由勾股定理求得结果．
【详解】
由题意得：BE=3，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝5，
∴∠A=∠BCA=45°，CE=BC BE=5 3=2，
由平移性质得：AB∥DE，
∴∠EGC=∠A=45°=∠BCA ,∠GEC=∠B=90°,
∴EG=CE=2，
由勾股定理得：．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平移的性质，等腰直角三角形的判定及勾股定理，由平移的性质得到等腰直角三角形是解题的关键．
10．（2022·河南驻马店·八年级期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角和是360° B．等腰三角形的两底角相等
C．全等三角形的对应角相等 D．真命题的逆命题是真命题
【答案】B
【解析】
【分析】
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【详解】
解：A、逆命题为：外角和是360°的多边形是三角形，错误，是假命题，不符合题意；
B、逆命题为：两角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题看，符合题意；
C、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；
D、逆命题为：真命题的逆命题为真命题，错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
考查了命题与定理的知识，解题的关键是写出原命题的逆命题，难度不大．
11．（2022·陕西·无八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
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A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
【详解】
解：如图，C为格点，为等腰三角形，
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
( http: / / www.21cnjy.com / )
综上：这样的点C有8个，
故选D
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，分类讨论，数形结合的思想是解题的关键．
12．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F在斜边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD延长线上的点处，则线段的长为（ ）
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A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，，，利用三角形的面积公式可得，利用勾股定理可得，然后根据角的和差可得，根据等腰直角三角形的判定可得，最后根据线段和差可得，由此即可得．
【详解】
解：，
，
由折叠的性质得：，
，即，
解得，
，
又，
，即，
是等腰直角三角形，，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
13．（2022·河南安阳·八年级期末）在□ABCD中，已知AB＝6，BE平分∠ABC交AD边于点E，点E将AD分为两部分，则AD的长为（ ）
A．8 B．8或24 C．9 D．9或24
【答案】B
【解析】
【分析】
因为BE平分∠ABC，所以∠ABE ( http: / / www.21cnjy.com )＝∠CBE，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，可证得AB＝AE=6，点E将AD分为1：3两部分，可得DE＝18或DE＝2两种情况，分别讨论即可求解.
【详解】
解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BEA＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠BEA，
∴AB＝AE＝6．
∵点E将AD分为1：3两部分，
∴DE＝18或DE＝2，
∴当DE＝18时，AD＝24；
当DE＝2，AD＝8；
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，以及等角对等边，熟悉掌握是关键．
14．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在△ABC中，，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，且．下列四个结论：①；②；③；④△AEC是等腰直角三角形．你认为正确的序号是（ ）
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A．②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
①根据AD⊥BC，若∠ABC ( http: / / www.21cnjy.com )=45°则∠BAD=45°，而∠BAC=45°，很明显不成立；②③可以通过证明△AEH与△CEB全等得到；④CE⊥AB，∠BAC=45°，所以是等腰直角三角形．
【详解】
解：①∵CE⊥AB，EH＝EB，
∴∠EBH＝45°，
∴∠ABC＞45°，
故①错误；
∵CE⊥AB，∠BAC＝45°，
∴AE＝EC，
在△AEH和△CEB中，
，
∴△AEH≌△CEB（SAS），
∴AH＝BC，故选项②正确；
又EC＝EH＋CH，
∴AE＝BE＋CH，故选项③正确．
∵AE＝CE，CE⊥AB，所以△AEC是等腰直角三角形，故选项④正确．
∴②③④正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要利用全等三角形的对应边相等进行证明，找出相等的对应边后，注意线段之间的和差关系．掌握等腰直角三角形的判定www-2-1-cnjy-com
15．（2022·四川成都·八年级期末）如图， ABCD中，AB＝6，AD＝8，AE平分∠BAD，则EC之长为（ ）
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A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质及角平分线的定义，可得，据此即可求得．
【详解】
解：四边形ABCD是平行四边形，
，AD=BC=8，
，
又AE平分∠BAD，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边，得到是解决本题的关键．
16．（2022·广东梅州·八年级期末）如下图，在中，，，的角平分线与线段AC相交于点D，若，则CD的长( )2·1·c·n·j·y
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A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
先由三角形的内角和定理和角平分线的定义求得∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ABD=∠CBD=30°=∠C，进而可得CD=BD，再根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半求得BD即可求解．
【详解】
解：∵在中，，，
∴∠ABC=180°-90°-30°=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠BDC=∠C，
∴CD=BD，
在Rt△ABD中，∠A=90°，∠ABD=30°，AD=4，
∴BD=2AD=8，则CD=8，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理、角平分线定义、等角对等边、含30°的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质和等腰三角形的判定是解答的关键．
17．（2022·广东梅州·八年级期末）如图，已知的顶点，，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线CM交边CD于点G．则G的坐标为( )2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据平行四边形的性质和角平分线的作图方法证得AD=DG，结合坐标与图形性质求得OA、OD，再根据勾股定理求得AD即可求解．21*cnjy*com
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠DGA=∠BAG，
由作图过程知，AM平分∠DAB，
∴∠DAG=∠BAG，
∴∠DAG=∠DGA，
∴DG=AD，
∵，，
∴OA=6，D（0,8）即OD=8，
∴在Rt△AOD中，AD==10，
∴DG=10，
∴G的坐标为（10，8），
故选：D．
【点睛】
本题考查尺规作图-作角平分线、平行四边形的性质、平行线的性质、等角对等边、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
18．（2022·北京·通州区运河中学八年级阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，点的对应点记为，点的对应点记为，顺次连接、、得到四边形．所得到的四边形为（ ）
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A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】B
【解析】
【分析】
先画出图形，根据旋转的性质可得，从而可得四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的判定可得，从而可得，然后根据矩形和正方形的判定即可得出结论．【版权所有：21教育】
【详解】
解：由题意，画出图形如下：
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由旋转的性质得：，
点共线，点共线，
是四边形的两条对角线，且相交于点，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
又，
，
，
平行四边形是矩形，
不一定等于，
四边形不一定是正方形，
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形和正方形的判定、等腰三角形的判定、旋转的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
19．（2022·广东·常春藤国际学校八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）如图，已如平行四边形AOBC的顶点O(0，0)，A(﹣3，4)，点B在x轴正半轴上，作∠AOB的角平分线OF交边AC交点G．则点G的坐标为（ ）
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A．(2，4) B．(5，4) C．(﹣2，4) D．(3，4)
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，先利用勾股定理计算出OA=5，由角平分线的性质和平行线的性质得到∠AOG=∠AGO，则AG=AO=5，从而得到G点坐标．
【详解】
解：如图，设AC与y轴交于点M，
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∵ AOBC的顶点A的坐标为（-3，4），
∴，AM=3，OM=4，
∴，
∵OG平分∠AOB，
∴∠AOG=∠BOG， 而，
∴∠AGO=∠BOG，
∴∠AOG=∠AGO，
∴AG=AO=5，
∴MG=5-3=2，
∴G点坐标为（2，4），
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，求出AG=AO=5是本题的关键．
20．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在中，和的角平分线相交于点，过点做交于点，交于点，过点作于点，下列四个结论：①；②点到各边的距离相等；③；④设，，则．其中结论正确的是（ ）
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A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质得出，根据角平分线的定义得出，，再逐个判断即可．
【详解】
解： 过作于，于，如图1，
平分，
，
，
，
，
，
同理，
，
故①正确；
和的平分线交于，，，，
，，
，即点到各边的距离相等，
故②正确；
和的平分线交于，
，，
，
，
故③正确；
连接，如图2，
，，
，
故④正确；
即正确的是①②③④，
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
21．（2022·上海市张江集团中学八年级期中）如图，已知等腰梯形ABCD，ABCD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延长线于E，EF⊥AD交AD的延长线于F，下列结论：①BDEF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE＋EF．其中错误的结论有（ ）
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A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等腰梯形的性质结合全等三角形的判定与 ( http: / / www.21cnjy.com )性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定、三角形的外角性质、三角形的中位线等知识进行逐个判断解答即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，又AD=BC、AB=AB，
∴△ABC≌△BAD（SSS），
∴∠BAC=∠ABD，∠ADB=∠BCA，又AC⊥BC，
∴OA=OB，OC=OD，∠ADB=∠BCA=90°即BD⊥AD，
∵EF⊥AD，
∴BD∥EF，故①正确；
∴∠AEF=∠AOD=∠BAC+∠ABD，
∴∠AEF=2∠BAC，故②正确；
∵BE⊥AB，
∴∠BAC+∠AEB=∠ABD+∠OBE=90°，
∴∠AEB=∠OBE，
∴OB=OE，
∴AO=OE，又OD∥EF，
∴AD=DF，故③正确；
∴EF=2OD=2OC，
∵OA=OE=OC+CE，
∴AC=OA+OC=OC+CE+OC=2OC+CE=EF+CE，故④正确，
综上，正确的结论有4个，即错误的结论有0个，
故选：A．
【点睛】
本题考查等腰梯形的性质、全等 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定、三角形的外角性质、三角形的中位线性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．21世纪教育网版权所有
22．（2022·湖北武 ( http: / / www.21cnjy.com )汉·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣3，2），点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知A，B是定点，C是动点，所以要分情况讨论：以AC、AB为腰；以AC、BC为腰；以BC、AB为腰，满足条件的点C即为所求．21·cn·jy·com
【详解】
解：如图，
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由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个(即C点位于图中E、F、G)，I点在直线BA上，不能构成三角形，不计入；
以AC、BC为腰的三角形有2个（即图中E、H点），因为E点与上一种情况中的点重合，故只计1个，即H点；
以BC、AB为腰的三角形有2个（即图中C、D点）．
则满足条件的点C个数是图中的C、D、E、F、G、H，共计6个点．
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定与坐标与图形的性质，分类别寻找正确答案为关键．
23．（2022·辽宁本溪·八年级期末）如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，于点，于点，连接．若，，，则的长是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，延长交于点，延长、交于点，利用等腰三角形的判定和性质和直角三角形两锐角互余可得到，点是的中点，点是的中点，再利用三角形中位线定理即可求解．
【详解】
解：如图，延长交于点，延长、交于点，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是边上的中线，即点是的中点，
∵，，
∴是边上的中线，即点是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：C．
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【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义．通过作辅助线构造等腰三角形是解题的关键．
24．（2022·河南周口·八年级期末）如图，直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数是（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
分AO=AB，BO=BA，OB=OA三种情况讨论．
【详解】
∵直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，
∴当OB=OA时，有两个B点是B1、B2，OB1=OA时，∠OB1A=∠OAB1= ∠1=25°，OB2=OA时，∠OB2A=∠OAB2= （180°-∠1）=65°；
当AO=AB时，有一个B点是B3，即AO=AB3，∠AB3O=∠1=50°；
当BO=BA时，有一个B点是B4，即B4O=B4A,∠OAB4=∠1=50°．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的个数是4个．
故选C．
【点睛】
本题考查了因动点产生的等腰三角形问题，解决问题的关键是三角形的三边两两相等都有可能，有三种可能情况，分类讨论．
25．（2022·重庆市渝高中学校八年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，于点E，于点F，连接AP，给出下列结论：①；②四边形PECF的周长为8；③一定是等腰三角形；④；⑤EF的最小值为；其中正确结论的序号为（ ）
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A．①②④ B．①③⑤ C．②③④ D．①②④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】
①据正方形的对角线平分对角的性质，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2＋PF2＝EC2＋EC2＝2EC2，求得DP＝EC．②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形；④由②可知，四边形PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP＝EF；⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于2．
【详解】
解：①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵GF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DBC＝45°
∴∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC＝DF，
∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2＋PF2＝EC2＋EC2＝2EC2，
∴DP＝EC．
故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE＋2PE＝2CE＋2BE＝2BC＝8，
故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，
∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误．
④∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
由正方形为轴对称图形，
∴AP＝PC，
∴AP＝EF，
故④正确；
⑤由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP＝BD＝×4＝2时，EF的最小值等于2，
故⑤正确；
综上所述，①②④⑤正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
26．（2022·全国·八年级）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分类讨论：作AB的垂直平分线和坐标轴 ( http: / / www.21cnjy.com )的交点，以A为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，以B为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．
【详解】
作AB的垂直平分线和坐标轴的交点，得到P5，此时AP=BP；
以A为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到P2和P6，此时AB=AP；
以B为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到P1、P3和P4，此时BP=BA；
( http: / / www.21cnjy.com / )
综上所述：符合条件的点P共有6个．
故选B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键．
27．（2022·广东· ( http: / / www.21cnjy.com )高州市第一中学附属实验中学八年级期中）点A的坐标是（2，2），若点P在x轴或y轴上且△APO是等腰三角形，这样的点P共有（ ）个
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质，要使△AOP ( http: / / www.21cnjy.com )是等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴出现2个交点；当OA是腰时，则分别以点O、点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现6个交点，这样的点P共8个．
【详解】
如图，分两种情况进行讨论：
( http: / / www.21cnjy.com / )
当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个；
当OA是腰时，以点O为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现2个交点；
∴满足条件的点P共有8个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义，坐标与图形的性质，解题的关键是根据OA为腰或底两种情况分类讨论，运用数形结合的思想进行解决．
28．（2022·广东·高州市第一中 ( http: / / www.21cnjy.com )学附属实验中学八年级期中）如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°，其中正确的结论有（ ）个
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件可知∠ABC+∠ACB=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，又因为CD、BE分别是△ABC的角平分线，所以得到∠FBC+∠FCB=45°，所以求出∠CFB=135°；有平行线的性质可得到：∠ABG=∠ACB，∠BAG=2∠ABF．所以可知选项①③④正确．21教育网
【详解】
∵AB⊥AC．
∴∠BAC＝90°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°
∵CD、BE分别是△ABC的角平分线，
∴2∠FBC+2∠FCB＝90°
∴∠FBC+∠FCB＝45°
∴∠BFC＝135°故④正确．
∵AG∥BC，
∴∠BAG＝∠ABC
∵∠ABC＝2∠ABF
∴∠BAG＝2∠ABF 故①正确．
∵AB⊥AC，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵AG⊥BG，
∴∠ABG+∠GAB＝90°
∵∠BAG＝∠ABC，
∴∠ABG＝∠ACB 故③正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
29．（2022·湖南师大附中博才实验 ( http: / / www.21cnjy.com )中学八年级期末）如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的的序号为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线性质即可推出②， ( http: / / www.21cnjy.com )根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；没有条件证明△BRP≌△QSP．
【详解】
试题分析：
解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，∴②正确；
∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴③正确；
没有条件可证明
△BRP≌△QSP，∴④错误；
连接RS，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵PR=PS，
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴点P在∠BAC的角平分线上，
∴PA平分∠BAC，∴①正确．
故答案为①②③．
故选A.
点睛：本题考查了等边三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题
30．（2022·河南开封·八年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠B＝∠C，要使△ABD≌△ACE，只需增加的一个条件是________（只需填写一个你认为适合的条件）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】或或
【解析】
【分析】
先根据等角对等边得出AB=AC，得出了一条边和一个角对应相等，有角边角、边角边或角角边定理，再补充一组对边相等或一组对角相等即可；
【详解】
解： ，
添加，，后可分别根据、、判定；
故答案为：或或．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法；判定 ( http: / / www.21cnjy.com )两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
31．（2022·江西萍乡 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有_________个．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】4
【解析】
【分析】
分三种情况讨论：①当A为顶角顶点时；②当B为顶角顶点时；③当C为顶角顶点时；分别作出图形即可得出结果．
【详解】
解：分三种情况：如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点有C点1个；
②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C1、C2点2个；
③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C3点1个；
综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1+2+1=4（个）；
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键．
32．（2022·安徽安庆·八年级期末）“等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：_________________．
【答案】有两个角相等三角形是等腰三角形
【解析】
【分析】
先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
【详解】
解：逆命题为：有两个角相等三角形是等腰三角形，
故答案为：有两个角相等三角形是等腰三角形．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理， ( http: / / www.21cnjy.com )根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
33．（2022·广东潮州·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，在 ABCD中，AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长 _____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】4cm
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得出BC=AD=12cm，AD∥BC，得出∠1=∠2，证出∠2=∠3，得出BE=AB，即可得出CE的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=12cm，AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵AE平分∠BAD，
∴∠3=∠1，
∴∠2=∠3，
∴BE=AB=8(cm)，
∴CE=BC-BE=4(cm)．
故答案为：4cm．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出BE=AB是解决问题的关键．
34．（2022·四川成都·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D在AB边上，连接CD，过CD的中点E作FG⊥CD，交BC于点F，交AC于点G，若∠CFG＝∠A，则CE＝________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【解析】
【分析】
利用同角的余角相等得，∠GCE=∠A，则AD=CD，同理得BD=CD，再利用直角三角形斜边上中线的性质得出CD的长，从而解决问题．
【详解】
解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴，
∵FG⊥CD，
∴∠CFG+∠ECF=90°，
∵∠ECF+∠GCE=90°，
∴∠GCE=∠CFG，
∵∠CFG=∠A，
∴∠GCE=∠A，
∴AD=CD，
同理BD=CD，
∴AD=BD，
∴点D是AB的中点，
∴，
∵点E为CD的中点，
∴，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，直角三角形的斜边上中线的性质等知识，证明点D是AB的中点是解题的关键．
35．（2022·福建泉州·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C有________个．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】3
【解析】
【分析】
根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【详解】
解：如图：分情况讨论：
( http: / / www.21cnjy.com / )
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个．
故满足条件的格点C有3个．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查利用格点确定等腰直角三角形，解题的关键是掌握等腰三角形的性质及勾股定理的逆定理，注意分情况讨论．
36．（2022·云南昭通·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过D作EFBC交AB于点E，交AC于点F，则△AEF的周长等于 _____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】18
【解析】
【分析】
根据EFBC，BD平分∠ABC，可得到∠EBD＝∠EDB，可得ED＝EB，同理可得DF＝FC，所以△AEF的周长即为AB+AC，可得出答案．
【详解】
解：∵EFBC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴ED＝EB，
同理可证得DF＝FC，
∴AE+AF+EF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝10+8＝18，
即△AEF的周长为18，
故答案为：18．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键．
37．（2022·辽宁本溪·八年级期末）如图，一艘船从处出发向正北航行50海里到达处，分别从，望灯塔，测得，，则处到灯塔的距离是__________海里．21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】50
【解析】
【分析】
由题意可知AB的距离，再根据三角形外角的性质得出∠C的度数，最后根据等角对等边即可求出答案．
【详解】
解：由题可知： (海里)，
∵∠NAC=42°，∠NBC=84°，
∴∠C=∠NBC ∠NAC=84° 42°=42 ，
∴BC=AB=50(海里)，
即从B处到灯塔C的距离为50海里．
故答案为：50 ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定及性质定理，利用数学知识来解决特殊的实际问题，其关键是结合图形，再利用数学知识来求解．
38．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）如图所示，平行四边形ABCD中，，，与的平分线分别交BC于F、E，则____________．
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【答案】1
【解析】
【分析】
由平行四边形的两组对边互相平行 ( http: / / www.21cnjy.com )，又AE平分∠BAD，由此可以推出∠BAE=∠DAE，则BE=AB=5，同理可得CF=CD=5，利用等量代换即可求解．
【详解】
解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
又∵，
∴∠AEB=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
则BE=AB=5，
同理可得CF=CD=5，
∴EF=BE+CF-BC=BE+CF-AD=3+3-5=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、平行四边形的性质和平行线的性质，根据等量关系找出边的关系是解题的关键．
39．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）如图所示，平行四边形ABCD中，，，与的平分线分别交BC于F、E，则____________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】1
【解析】
【分析】
由平行四边形的两组对边互相平行 ( http: / / www.21cnjy.com )，又AE平分∠BAD，由此可以推出∠BAE=∠DAE，则BE=AB=5，同理可得CF=CD=5，利用等量代换即可求解．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
又∵，
∴∠AEB=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
则BE=AB=5，
同理可得CF=CD=5，
∴EF=BE+CF-BC=BE+CF-AD=3+3-5=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、平行四边形的性质和平行线的性质，根据等量关系找出边的关系是解题的关键．
40．（2022·黑龙江 ( http: / / www.21cnjy.com )·哈尔滨工业大学附属中学校八年级期中）在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD所在直线于E点，若AB=6，ED=3，则边BC的长度为____________．
【答案】3或9##9或3
【解析】
【分析】
分E点在线段AD上和在AD延长线上两种情况讨论，根据平行四边形性质以及角平分线的定义，推出AB=AE即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=6，
当E点在线段AD上时，如图甲所示，
BC=AD=AE+DE=6+3=9；
当E点在AD延长线上时，如图乙所示，
BC=AD=AE－+DE=6-3=3；
故答案为：3或9．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了平行四边形性质、三角形的角平分线的定义，平行线的性质的应用，关键是推出AB=AE．
41．（2022·河北沧州·八年级期末）如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BDAD于点D，过点D作，交AB于点E．
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（1）若AE＝4，则DE的长为______；
（2）若AB＝10，则DE的长为______．
【答案】 4 5
【解析】
【分析】
(1)根据平行线的性质和角平分线的定义可得DE=AE=4．
(2)由∠ADB=90°，可 ( http: / / www.21cnjy.com )得 ∠ADE+∠BDE=∠BAD+∠ABD=90°．易证∠ADE=∠BAD, ∠BDE=∠ABD，可得EB=ED=AE,则可求出DE的长．
【详解】
(1)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠CAD，
∴∠BAD=∠ADE，
∴DE=AE．
∵AE=4，
∴DE=4．
故答案为4．
(2)∵BD丄AD，
∴∠ADB=90 ．
∴∠ADE+∠BDE=∠BAD+∠ABD=90 ．
∵DE=AE，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠BDE=∠ABD，
∴EB=ED，
∴EB=ED=AE=AB=，
∴DE=5．
故答案为5．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，以及等角对等边．熟练掌握以上性质是解题的关键．
42．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，AC＝5，BC＝4，E是AB边上一点，将△BEC沿EC所在直线翻折得到△DEC，DC交AB于F，当DE∥AC时，BE的长为 _____．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】2
【解析】
【分析】
作CH⊥AB于H，EM⊥BC于 ( http: / / www.21cnjy.com )M，求出BH＝CH＝4，根据AC＝5，可得AH＝3，AB＝7，然后再证明∠ACE＝∠AEC，得到AE＝AC＝5，即可求出BE＝2．
【详解】
解：如图，作CH⊥AB于H，EM⊥BC于M，
∵∠B＝45°，BC＝4，
∴BH＝CH＝4，
∵AC＝5，
∴AH＝3，
∴AB＝AH+BH＝3+4＝7，
∵将△BEC沿EC所在直线翻折得到△DEC，且DE∥AC，
∴∠ACD＝∠D＝∠B＝45°，∠DCE＝∠BCE，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝∠B+∠BCE＝∠AEC，
∴AE＝AC＝5，
∴BE＝AB﹣AE＝7﹣5＝2．
故答案为：2．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查翻折变换的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，等角对等边等知识，解题的关键是熟练掌握图形翻折的性质．
43．（2022·山东济南· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，若DC＝5，CB＝3，则AE的长为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】2
【解析】
【分析】
根据平行四边形性质得出AB＝DC，AB∥DC，推出∠DCE＝∠BEC，求出∠BEC＝∠BCE，推出BE＝BC＝AD，即可求出AE的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴∠DCE＝∠BEC，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC＝AD，
∵DC＝5，AD＝3，
∴AE＝AB BE＝5 3＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质， ( http: / / www.21cnjy.com )平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定的应用；熟练掌握平行四边形的性质，证出BE＝BC＝AD是解决问题的关键．
三、解答题
44．（2022·吉林长春·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的项点为格点，每个小正方形的边长均为1，在图①、图②中已画出AB，点A、B均在格点上，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一个以AB为腰且三边长都是无理数的等腰三角形ABC，点C为格点；
（2）在图②中，画一个以AB为底的等腰三角形ABD，点D为格点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解．
【解析】
【分析】
（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形；
（2）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形．
【详解】
（1）如图所示：即为所求；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）如图所示：即为所求．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题的关键．
45．（2022·广东汕头·八年级期末）已知：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据∠1＝∠2，得出DB＝DC，再根据“斜边、直角边”证明Rt△ABD≌Rt△ACD即可．
【详解】
证明：∵DB⊥AB，DC⊥AC
∴∠ABD＝∠ACD＝90°．
∵∠1＝∠2，
∴DB＝DC，
∵AD＝AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD．
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用等腰三角形的判定与全等三角形的判定进行推理证明．
46．（2022·全国· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析
【解析】
【分析】
（1）①根据平行线的性质得到∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ADB=∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，等量代换得到∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB=AD；②根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代换得到AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠ADC，求得∠ACD=∠DCE，即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，由∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，即可得到结论．
【详解】
（1）证明：平分
∴∠ABD=∠DBC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠ADB，
；
②，
平分
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（2）
理由：∵CD、BD分别平分∠ACE，∠ABE，
，∠DBC=∠ABC，
又
又∵∠BDC+∠DBC=∠DCE
∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，
∴．
【点睛】
本题考查三角形的外角性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和三角形的外角性质是解题的关键．www.21-cn-jy.com
47．（2022·广东·平洲一中八年级期中）如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．
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（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）求证：△OBC是等腰三角形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，用公理证：；
（2）利用的对应角相等得，从而OB=OC，即得是等腰三角形．
【详解】
证明：（1）在与中
（2），
∴，
∴OB=OC，即是等腰三角形．
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定和性质，关键是学生对直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定与性质的理解和掌握．【出处：21教育名师】
48．（2022·广东云浮·八年级期末）如图，在中，和的角平分线与相交于点，且点恰好落在上；
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求证：
若，求的周长．
【答案】（1）证明见解析；（2）12
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质和勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质解答．
【详解】
证明：分别平分和
，
平分
同理可证
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和勾股定理的逆定理解答．
49．（2022·广东揭阳·八年级期中）如图，在中，，，，，求的长．
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【答案】的长是．
【解析】
【分析】
先由题意算出∠BAC=120°,从而算出∠DAC=30°,即可利用DC=3,算出BD的长.
【详解】
证明：∵，,
∴（等边对等角）,
∴（三角形的内角和是）,
∵，
∴（垂直定义）,
∴,
∴，
∴（等角对等边）,
在中，,
∴（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边是斜边的一半）,
答：的长是．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质,关键在于角度和边长的转换.
50．（2022·福建·福州三牧中学八年级期末）如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．
(1)求证AD=ED；
(2)若AC=AB，DE=3，求AC的长．
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【答案】(1)证明见解析；(2)6.
【解析】
【分析】
（1）由AE是∠BAC的角平分线可得∠DAE=∠BAE，由DE∥AB，可得∠DEA=∠EAB，则∠DEA=∠DAE，可得结论．
（2）根据等腰三角形三线合一可得AE⊥BC，可证∠C=∠CED则CD=DE，即可求AC的长．
【详解】
证明：(1)∵AE是∠BAC的角平分线
∴∠DAE=∠BAE，
∵DE∥AB
∴∠DEA=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE-；
(2)∵AB=AC，AE是∠BAC的角平分线
∴AE⊥BC
∴∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90°，
∵∠CAE=∠DEA，
∴∠C=∠CED，
∴DE=CD，
∴AD=DE=CD=3，
∴AC=6.
故答案为(1)证明见解析；(2)6.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，关键是利用这些性质解决问题．
51．（2022·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，在中，已知，，平分，于点，为中点．求的长．
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【答案】2
【解析】
【分析】
延长交于点，证明为的中位线即可求解．
【详解】
如图，延长交于点．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，．
∴是的中点．
∵，，
∴．
∵为的中点，
∴为的中位线．
∴．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形中线的判定与性质，正确的添加辅助线是解题的关键．
52．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图，在中，和的平分线分别交于点，若，求的值．
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【答案】4
【解析】
【分析】
先由平行线的性质得∠DFB＝∠ ( http: / / www.21cnjy.com )FBC，∠EGC＝∠GCB，再由角平分线的定义求得∠DFB＝∠DBF，∠ECG＝∠EGC，从而由等角对等边得出BD＝DF，CE＝GE，即可求解．
【详解】
∵EDBC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠GCB，
∵BF平分∠ABC，CG平分∠ACB，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠GCB，
∴∠DFB＝∠DBF，∠ECG＝∠EGC，
∴BD＝DF，CE＝GE，
∵FG＝2，ED＝6，
∴DB+EC＝DF+GE＝ED﹣FG＝6﹣2＝4.
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，证得BD＝DF，CE＝GE是解题的关键．
53．（2022·山东济南·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E．21·世纪*教育网
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(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)30°
【解析】
【分析】
（1）根据BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠CBD，再由DE∥BC，可得∠BDE=∠CBD，从而得到∠BDE=∠ABD，即可求证；
（2）根据三角形内角和定理可得∠ABC=60°，再由BD平分∠ABC，DE∥BC，即可求解．
（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵DE∥BC，∴∠BDE=∠CBD，∴∠BDE=∠ABD，∴BE=DE；
（2）解：∵∠A＝80°， ( http: / / www.21cnjy.com )∠C＝40°，∴∠ABC=180°-∠C-∠A=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∵DE∥BC，∴∠BDE=∠CBD=30°，
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，有关角平分线的计算，三角形内角和定理是解题的关键．
54．（2022·安徽合肥·八年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标分别为A（4，﹣4），B（1，﹣1），C（3，﹣1）．
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(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)直接写出点A1，B1，C1的坐标；
(3)在△A1B1C1中，求∠A1B1C1的度数．
【答案】(1)作图见解析
(2)点A1（4，4），B1（1，1），C1（3，1）
(3)45°
【解析】
【分析】
（1）根据轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）根据点A1，B1，C1的位置写出坐标即可；
（3）利用网格特征解决问题即可．
（1）解：如图，△A1B1C1即为所求； ( http: / / www.21cnjy.com / ) ；
（2）解：点A1（4，4），B1（1，1），C1（3，1）；
（3）解：∵A1D=B1D，∠A1DB1=90°，∴△A1DB1是等腰直角三角形，∴∠A1B1C1＝45°．
【点睛】
本题考查作图-轴对称变换，等腰直角三角形的判定，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
55．（2022·海南省直辖县级单位·八年级期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求直线的解析式；
(2)若直线上一点在第一象限，且点的坐标为，求的面积；
(3)在轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标.
【答案】(1)
(2)
(3)，，
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法求函数解析式即可解答；
（2）将点C代入直线AB解析式中求出点C坐标，再利用面积公式即可解答；
（3）根据勾股定理得 ，再分AB=AP和AB=BP两种情况讨论即可得解．
（1）解：设直线的解析式为，∵直线过点、点，∴，解得，∴直线的解析式为；
（2）解：∵在直线上，∴，解得：，∴，∴，故的面积为2；
（3）解：∵，，∴，设点P坐标为（m，0）∵是以为腰的等腰三角形，且点P在x轴上，∴①当时 ，即 ，∴，∴ 或 ；②当时，则∴ ；综上，点的坐标为，，． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了待定系数法，以及在平面直角坐标系中求三角形面积和构造等腰三角形，解题的关键是准确地运用坐标系下点的坐标特征．
56．（2022·陕西汉中·八年级期末）如图，在中，平分交于点，交于点，，，求的长度．
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【答案】ED=3
【解析】
【分析】
先求出BE，再根据平行线的性质和角平分线的性质证得∠EDB=∠EBD，进而根据等角对等边证得ED=BE即可．
【详解】
解：∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．
57．（2022·湖北·天门市教育科学研究院八年级期末）在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段的两个端点都在格点（网格线的交点叫格点）上，请按下列要求作图，所作图形的顶点都在格点上．
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(1)在图1中画一个以为斜边的等腰直角；
(2)在图2中画一个平行四边形，且满足两条对角线互相垂直．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1），即找出点C，使 即可．
（2）根据（1）的直角三角形，将其直角边延长至原来的二倍即可．
（1） ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2） ( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查复杂作图，利用勾股定理、菱形与正方形的性质作图是解答本题的关键．
58．（2022·广西百色·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，上午8时，一条船从A处测得灯塔C在北偏西30°，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达B处，测得灯塔C在北偏西60°，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】当船继续航行，11时到达灯塔C的正东方向D处
【解析】
【分析】
根据三角形的外角的性质求出∠ACB，得到BC的长，根据直角三角形的性质求出BD，计算即可．
【详解】
解：∵为的外角，，，
，
，，
，
在中，，
，
∴从B到D用的时间为：（小时），
则当船继续航行，11时到达灯塔C的正东方向D处．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、方向角，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
59．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，在等边三角形中，点E是边上的一点，过点E作交于点D，作，交的延长线于点F．
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(1)求证：；
(2)当时，请直接写出的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F=30°，从而可得到∠CEF=30°，故此可得到CE=CF；
（2）先求得DF=2DC，根据DF=2BD求得DC=BD，所以BD=CD=2，然后进一步求△CEF的面积即可．
（1）证明：∵△ABC是等边 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°．∵DE∥AB，∴∠B=∠EDC=60°，∠A=∠CED=60°，∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，∵EF⊥ED，∴∠DEF=90°，∴∠F=30°∵∠F+∠FEC=∠ECD=60°，∴∠F=∠FEC=30°，∴CE=CF．
（2）解：过点E作EM⊥DC于点M， ( http: / / www.21cnjy.com / )由（1）可知∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，∴CE=DC．又∵CE=CF，∴DC=CF，∴DF=2CD，∵DF=2BD，∴CD=BD，∵AB=4，∴BC=4，∴BD=CD=CF=EC=2，∵EM⊥DC，∴DM=CM=1，在Rt△EMC中，，∴△CEF的面积为：．
【点睛】
本题主要考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
60．（2022·河南省直辖县级单位·八年级期末）（1）如图，A，B，C是方格纸中的格点，请画出所有符合条件的格点P，使得，并说明你所得结论的正确性．
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（2）若图中每个小正方形的边长为1，在（1）的条件下，请求出的周长；
【答案】（1）见解析；（2）或
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形顶角的外角等于底角的二倍作图即可，
（2）根据勾股定理计算三角形每边的长度，即可求出周长．
【详解】
解：（1）作图如图所示；理由如下：
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①当点P在BA的延长线上时，
∵，
∴，
∵，
∴；
②当点P在CA的延长线上时，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①由勾股定理可得：，
∵
∴的周长为：；
②由勾股定理可得：，
∵
∴的周长为：；
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，以及勾股定理的应用，本题的关键是等腰三角形顶角的外角等于底角的二倍．
61．（2022·江西吉 ( http: / / www.21cnjy.com )安·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知条件得到A（，0），B（0，﹣3），求得OA＝，OB＝3，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的判定与性质证明△AOB≌△FEA得到AE＝OB＝3，EF＝OA＝，求得F（，－），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论．
【详解】
解：∵一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，
∴当x=0时，y=－3，当y=0时，x=，
∴A（，0），B（0，﹣3），
∴OA=，OB=3，
过点A作AF⊥AB交BC于F，过点F作FE⊥x轴于E．
则∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°，
∴∠OAB=∠AFE．
又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°，
∴∠AFB＝45°，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴ AB＝AF
∴△AOB≌△FEA（AAS）
∴AE＝OB，EF＝OA，
∴ OE＝AE+OA＝3+＝，EF＝OA＝，
∴F（，－）．
设直线BC为y＝kx－3，把点F（，－）代入y＝kx－3中，
∴－＝k－3，
∴k＝，
∴直线BC的函数表达式为．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质、等角对等边，正确的作出辅助线是解题的关键．
62．（2022·广东·陆河县水唇中学八年级期中）如图，在中，，垂足为点，，，，求的长.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得出∠DAB=30°，利用含30度角的直角三角形的性质得出AB=4．结合勾股定理得出，再由等角对等边及勾股定理即可求得结果．
【详解】
解：∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形，
∵∠B=60°，
∴∠DAB=30°，
∴AB=2BD，
∵BD=2，
∴AB=4．
∴，
∵∠C=45°，AD⊥BC，
∴∠C=∠CAD=45°，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查勾股定理解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
63．（2022·广东广州·八年级期末）将一 ( http: / / www.21cnjy.com )张矩形的纸片放到平面直角坐标系中，使矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴、y轴上．如图，将△OAB沿对角线OB翻折到△ONB，ON与CB交于点M．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)重叠部分△OBM是什么形状的三角形，请说明你的理由；
(2)已知OC＝3，，请直接写出点M坐标（______，______）．
【答案】(1)等腰三角形，见解析；
(2)1，3
【解析】
【分析】
（1）△OBM是等腰三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )，根据矩形的性质得到OA∥BC，证得∠AOB=∠OBC，由折叠得∠AOB=∠BON，即可证得OM=BM，由此得到△OBM是等腰三角形；
（2）由矩形得到∠OCB=90°，OA=BC，勾股定理求出CM即可．
（1）解：△OBM是等腰三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形，理由如下，∵四边形OABC是矩形，∴OA∥BC，∴∠AOB=∠OBC，由折叠得∠AOB=∠BON，∴∠OBC=∠BON，∴OM=BM，∴△OBM是等腰三角形；
（2）∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB=90°，OA=BC，∵OC＝3，OM=，∴CM=，∴点M的坐标为（1，3），故答案为：1，3．
【点睛】
此题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定定理，勾股定理，正确理解折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．
64．（2022·湖北湖北·八年级期末）如图，是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，、、是格点，是与网格线的交点，仅用无刻度直尺在给定的网格中画图
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)直接写出图中的长______；
(2)在图①中画出等腰，使；
(3)在图②中先平移线段至（对应，对应），再在线段上画一点；使得．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）取格点H设AG交BE于点F，连接BD，根据勾股定理可得，再由勾股定理逆定理可得∠BAD=90°，设AE=x，根据，可得，再由勾股定理，即可求解；
（2）取格点T，M，连接BT，DT，BM，使DT的延长线交BM于点G，则等腰即为所求；理由：先证明四边形ABTD是正方形，可证得△ABE≌△BTG，从而得到BE=BG，即可；
（3）取格点F，P，N，连接BN交CD于点H，则线段，点即为所求．理由：延长DC交网格线于点M，由（2）得：AE=CM，BE=BM，然后证明△EBH≌△MBH，即可．
（1）解∶如图，取格点H设AH交BE于点F，连接BD， ( http: / / www.21cnjy.com / )根据题意得∶ ，∴，∴∠BAD=90°，设AE=x，∵，∴，∴，∵，∴，即，解得：或（舍去），故答案为：；
（2）解∶ 如图，取格点T，M，连接BT，DT，BM，使DT的延长线交BM于点G，则等腰即为所求； ( http: / / www.21cnjy.com / )理由：根据题意得：，∠EBG=90°，∴四边形ABTD是菱形，又∠BAD=90°，∴四边形ABTD是正方形，∴∠ABT=∠EBG=∠BTM=∠BAE=90°，∴∠ABE=∠TBG，∴△ABE≌△BTG，∴BE=BG，∴△EBG是等腰直角三角形；
（3）解∶如图，取格点F，P，N，连接BN交CD于点H，则线段，点即为所求． ( http: / / www.21cnjy.com / )理由：延长DC交网格线于点M，由（2）得：AE=CM，BE=BM，根据题意得：BF=FN=PN=BP=3，∴四边形BFNP为菱形，∵∠EBP=90°，∴四边形BFNP为正方形，∴∠EBN=∠MBN，∵BN=BN，∴△EBH≌△MBH，∴EH=MH，∵MH=CH+CM=CH+AE，∴EH=AE+CH．
【点睛】
本题主要考查了作图——平移变换， ( http: / / www.21cnjy.com )正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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