中小学教育资源及组卷应用平台
绝密★启用前
专题20 等腰三角形的性质
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·重庆巴蜀中学八年级期末）如图，RtABC中，∠A＝90°，∠ABC＝40°，将RtABC绕着点C逆时针旋转得RtEDC，且点E正好落在BC上，连接BD，则∠CBD的度数为（ ）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．40° B．55° C．60° D．65°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝50°，
∵将Rt△ABC绕着点C逆时针旋转得Rt△EDC，
∴∠ECD＝∠ACB＝50°，CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣50°）＝65°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
2．（2022·湖北恩施·八年级期末）等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是（ ）
A．65° B．80° C．50°或65° D．50°或80°
【答案】A
【解析】
【分析】
由等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，即可求出底角．
【详解】
解：∵等腰三角形的顶角是50°，
∴它的底角是：．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形两个底角相等．
3．（2022·浙江衢州·八年级期末）等腰三角形的底角为50°，则它的顶角度数是（ ）
A．50° B．80° C．65°或80° D．50°或80°
【答案】D
【解析】
【分析】
等腰三角形一内角为50°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
【详解】
解：当50°角为顶角，顶角度数为50°；
当50°为底角时，顶角=180°-2×50°=80°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
4．（2022·河北张家口·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）用一条长为16cm的细绳首尾连接围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm
【答案】B
【解析】
【分析】
分已知边4cm是腰长和底边两种情况讨论求解．
【详解】
解：4cm是腰长时，底边为16-4×2=8，
∵4+4=8，
∴4cm、4cm、8cm不能组成三角形；
4cm是底边时，腰长为12×（16-4）=6cm，
4cm、6cm、6cm能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为6cm．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形，掌握等腰三角形的定义以及三角形的三边关系是解题的关键．
5．（2022·辽宁本溪·八年级期中）等腰三角形一个角是80°，则它的的底角的度数为（ ）
A．80° B．20° C．80°或20 D．80°或50°
【答案】D
【解析】
【分析】
因为题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分两种情况进行分析．
【详解】
解：①当顶角是80°时，它的底角=（180°-80°）=50°；
②底角是80°．
所以底角是50°或80°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
6．（2022·广东·汕头市澄海区教师 ( http: / / www.21cnjy.com )发展中心八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OM0M1的直角边OM0在x轴上，点M1在第一象限，且OM0＝1，以点M1为直角顶点，OM1为一直角边作等腰直角三角形OM1M2，再以点M2为直角顶点，OM2为直角边作等腰直角三角形OM2M3，……，依此规律，则点M2021的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．(，0) B．(，0) C．(，) D．(，)
【答案】C
【解析】
【分析】
本题点M坐标变化规律要分别从旋转次数与点M所在象限或坐标轴、点M到原点的距离与旋转次数的对应关系．
【详解】
解：由已知，点M每次旋转转动45°，则转动一周需转动8次，每次转动点M到原点的距离变为转动前的倍，21·cn·jy·com
∵2021=252×8+5，
∴点M2021的在第三象限的角平分线上，
OM2020=（）2020=21010，
故选：C．
【点睛】
本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意各个象限内点的坐标符号．21教育名师原创作品
7．（2022·贵州毕节·八年级期中）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠C=35°，则∠B的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先利用等腰三角形的性质求得∠DAC的度数，然后求得∠BDA的度数，最后利用等腰三角形的性质求得∠B的度数．
【详解】
解：∵AD=DC，
∴∠DAC=∠C，
∵∠C=35°，
∴∠DAC=35°，
∴∠BDA=∠C+∠DAC=70°，
∵AB=AD，
∴∠BDA=∠B=70°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等．
8．（2022·四川泸州·八年级期末）如图，是等腰的顶角平分线，，则等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质确定AD是中线，即可求出CD的长度．
【详解】
解：∵AD是等腰△ABC的顶角平分线，
∴AD是等腰△ABC的中线．
∵BC=10，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．
9．（2022·安徽淮南·八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．7cm B．9cm
C．12cm或者9cm D．12cm
【答案】D
【解析】
【分析】
由等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm，分别从若2cm为腰长，5cm为底边长与若2cm为底边长，5cm为腰长去分析求解即可求得答案．
【详解】
若2cm为腰长，5cm为底边长，
∵2+2=4＜5，不能组成三角形，
∴不合题意，舍去；
若2cm为底边长，5cm为腰长，
则此三角形的周长为：2+5+5=12cm．
故选D．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用．
10．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，在中，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连结，下列结论中错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．四边形的面积为
【答案】D
【解析】
【分析】
根据作图过程可得AD=C ( http: / / www.21cnjy.com )D=AC，判定BD垂直平分AC，可判断A，再根据等腰三角形三线合一判定B，根据等边对等角推出∠BAD=∠BCD，可判定C，再根据四边形面积计算方法可判定D．21cnjy.com
【详解】
解：由作图可知：AD=CD=AC，
∵AB=BC，
∴BD垂直平分AC，故A正确，
∵AB=BC，BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD，故B正确，
∵AB=BC，AD=CD，
∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，
∴∠BAD=∠BCD，故C正确，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积为，故D错误；
故选D．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的判定得到AC⊥BD是解题的关键．21世纪教育网版权所有
11．（2022·河南洛阳·八年级期末）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．7或8 D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据，结合非负数的性质求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴a-2=0，b-3=0，
∴a=2，b=3，
当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7；
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8，
∴等腰三角形的周长为7或8．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，关键是根据2，3分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
12．（2022·河北邯郸·八年级期末）一个等腰三角形的两边长分别为3和，则这个三角形的周长是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【详解】
解：当三边是3，3，5时，3+3=6＜5，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当三边是3，，时，符合三角形的三边关系，此时周长是，
∴这个三角形的周长是，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．（2022·河北沧州·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．105° B．95° C．85° D．75°
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用等边三角形的性质、等腰三角形三线合一的性质得出，再利用AE＝AD得出，最后利用三角形外角的性质即可求出∠DEC的度数．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴，
∵AE＝AD，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及外角的性质，利用等腰三角形三线合一的性质得出是解题的关键．
14．（2022·河南许昌·八年级期末）一个等腰三角形的周长是11cm，底边长是3cm，则该等腰三角形的一腰长为（ ）
A．5cm B．3cm或4cm C．5cm或3cm D．4cm
【答案】D
【解析】
【分析】
由一个等腰三角形的周长是11cm，底边长是3cm，可得两腰之和，从而可得答案．
【详解】
解：∵一个等腰三角形的周长是11cm，底边长是3cm，
∴该等腰三角形的一腰长为：（cm），
故选D
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的定义，掌握“等腰三角形的两腰相等”是解本题的关键．
15．（2022·浙江台州·八年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，像这样，经过不相邻两个顶点的两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．对于如图的筝形ABCD，可以证明它具有的性质是（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．各对邻边分别相等 B．对角线互相平分
C．两组对角分别相等 D．对角线互相垂直
【答案】D
【解析】
【分析】
根据线段的垂直平分线的定义即可判定AC垂直平分线段BD．进而可以解决问题．
【详解】
解：∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分线段BD．
∴筝形的AC⊥BD或AC垂直平分线段BD．
故选：D．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
16．（2022·广东广州·八年级期末）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（ ）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm
【答案】B
【解析】
【分析】
分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
【详解】
解：当长是3cm的边是底边时，
三边为3cm，5cm，5cm，
等腰三角形成立；
当长是3cm的边是腰时，
底边长是：13－3－3＝7cm，
而3＋3＜7，不满足三角形的三边关系．
故底边长是：3cm．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．
17．（2022·山东济南·八年级期中）如图所示，△ABC中，∠BAC＝65°，将△ABC绕着A点逆时针旋转得到△ADE，连接EC，若，则∠CAD的度数为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．15° B．25° C．35° D．40°
【答案】A
【解析】
【分析】
由旋转的性质可得AC= AE，∠EAD=∠CAB= 65°，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠AEC=∠ACE= 65°，即可求解．
【详解】
解：∵将△ABC绕着A点逆时针旋转得到△ADE，
∴ AC= AE，∠EAD=∠CAB= 65°，
∴∠AEC=∠ACE，
∵ EC∥AB，
∴∠ECA=∠CAB = 65°，
∴∠AEC=∠ACE = 65°，
∴∠EAC =180°－2×65°= 50°，
∴∠CAD=∠CAB－∠CAE= 15°；
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
18．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，在中，，，过点C作交的平分线于点D，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=45°，结合角平分线的定义可求解∠ABD=22.5°，再利用平行线的性质可求解．21*cnjy*com
【详解】
解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=22.5°，
∵CD∥AB，
∴∠D=∠ABD=22.5°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，求解∠ABD的度数是解题的关键．
19．（2022·河南许昌·八年级期末）如图，在中，，，点是边（不与端点重合）上一点，将沿翻折后得到，射线交射线于点F．若，则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据翻折性质和等腰三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质以及三角形的外角性质得到∠CDF=2∠A，∠CFD=∠B+∠BCF，∠CDF=∠CFD，再利用直角三角形的两锐角互余得到2∠A=90°－∠A+90°－2∠A，然后解方程求解即可．
【详解】
解：由翻折性质得：∠ACD=∠DCE，
∵AD=CD=CF，
∴∠A=∠ACD，∠CDF=∠CFD，
∴∠CDF=∠A+∠ACD=2∠A，∠CFD=∠B+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°－∠A，∠BCF=90°－2∠A，
∵∠CDF=∠CFD，
∴2∠A=90°－∠A+90°－2∠A，
解得：∠A=36°，
故选：C．
【点睛】
本题考查翻折性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
20．（2022·浙江金华·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，一个长为2cm、宽为1cm的长方形，按照下面的四种情况沿直线从左侧平移至右侧（下图中的虚线都是水平线）．其中所需平移的距离最短的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平移的性质，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理计算出各个图形中平移的距离，然后比较它们的大小即可．
【详解】
解：A. 平移的距离=，
B. 平移的距离=，
C. 平移的距离=，
D. 平移的距离=，
，
所需平移的距离最短的是D选项．
故选D
【点睛】
本题考查了勾股定理，实数的大 ( http: / / www.21cnjy.com )小比较，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．解决本题的关键是利用等腰直角三角形的性质和勾股定理计算出各个图形中平移的距离．
21．（2022·湖南常德·八年级期末）如图，在中，，点是斜边的中点，平分，，则的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．8 B．5 C．3 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据直角三角形斜边中线性质 ( http: / / www.21cnjy.com )得出AD=CD=BD ，根据等腰三角形三线合一性质得出DE⊥AC，且AE=CE，然后得出DE为△ABC的中位线，利用三角形中位线性质求解即可．
【详解】
解：∵点D是斜边AB的中点，，
∴AD=CD=BD ，
∵DE平分∠ADC，
∴DE⊥AC，且AE=CE，
∴DE为△ABC的中位线，
∵，
∴DE==2．
故选D．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质，利用上述知识点得出DE为△ABC的中位线是解题关键．
22．（2022·辽宁营口·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点…都在x轴上，点 都在直线上， 都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用直线y＝x上点的坐标特点及等腰直角三角形的性质，可分别求得B1、B2、B3的坐标，由此归纳总结即可求得B2022的坐标．
【详解】
解：∵是等腰直角三角形，，
∴A1B1＝OA1＝1，
∴点B1的坐标为（1，1），
∵是等腰直角三角形，
∴A1A2＝A1B1＝1，
又∵是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
∴A2B2＝OA2＝OA1＋A1A2＝2，
∴点B2的坐标为（2，2），
同理可得：点B3的坐标为（22，22），点B4的坐标为（23，23），点B5的坐标为（24，24），
……
∴B2022的坐标为（22021，22021），
故选：B．
【点睛】
本题主要考查一次函数图象上点的坐标，利用等腰直角三角形的性质求得B1、B2、B3的坐标是解题的关键．
23．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图，在中，，，分别是，的中点，，为上的点，连接，．若cm，cm，cm，则图中阴影部分面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．25cm2 B．35cm2 C．30cm2 D．42cm2
【答案】C
【解析】
【分析】
连接MN，过点A作AF⊥BC于F，与交于点O，根据中位线定理可得MN＝5cm，然后求出AF，由图可知，△AMN，△OMN和△ODE的底边长都是5cm，且高的和为12cm，据此可求出图中阴影部分的面积．
【详解】
解：连接MN，过点A作AF⊥BC于F，与交于点O，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，分别是，的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝BC＝5cm，MN∥BC，
∵，
∴BF＝CF＝BC＝5cm，
∴AF＝cm，
∵MN＝5cm，cm，
∴△AMN，△OMN和△ODE的底边长都是5cm，且高的和为12cm，
∴S阴影＝S△AMN＋S△OMN＋S△ODE＝×5×12＝30cm2．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质，勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
24．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，在中，，，点在边上，以，为边作平行四边形，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的性质可求．
【详解】
解：在中，，，
，
四边形是平行四边形，
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
25．（2022·广东·梅州市学艺中学八年级期中）若等腰三角形的一个角是40°，则此等腰三角形的顶角为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．40° B．100° C．40°或100° D．70°
【答案】C
【解析】
【分析】
可分两种情况：当角为顶角时；当角为底角时，结合等腰三角形的性质，利用三角形的内角和定理分别求解即可．21*cnjy*com
【详解】
解：当角为顶角时，则等腰三角形的顶角为；
当角为底角时，等腰三角形的顶角为，
即此等腰三角形的顶角为或．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
26．（2022·河南周口·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）已知等腰三角形的周长是8，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的周长公式可得，从而可得，再根据三角形的三边关系定理和确定的取值范围，由此即可得．
【详解】
解：由题意得：，即，
由三角形的三边关系得：，即，
解得，
又，
，
解得，
则与之间的函数关系为，
当时，；当时，，
所以与之间的函数关系的图象是在内的一条线段（不含两端点），
观察四个选项可知，只有选项D符合，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象、三角形的三边关系定理、等腰三角形的定义，正确求出的取值范围是解题关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题
27．（2022·河南洛阳·八年级期末）等腰三角形中，，，则的长为________．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据三角形三边的关系得到3＜AC＜7，然后根据等腰三角形的定义判断即可．
【详解】
解：根据题意得：5-2＜AC＜5+2，
即3＜AC＜7，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AC=5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了三角形三边的关系和等腰三角形的定义，注意：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
28．（2022·云南红河·八年级期末）等腰三角形的顶角度数为，则它的底角度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的底角相等及内角和等于180度，可求得答案
【详解】
根据已知条件，三角形的底角相等，又因为三角形内角和为180度，所以底角= ．
故答案为
【点睛】
本题考查等腰三角形的定义，需熟练掌握其定义．
29．（2022·广东·梅州 ( http: / / www.21cnjy.com )市学艺中学八年级期中）如图，在等边三角形ABC中，AB=2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE=CD，则BE的长为_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】3
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质可得AC＝BC＝AB＝2，根据BD是AC边上的高，可得AD＝CD＝1，再由题中条件CE＝CD，即可求得BE．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝2，
∵BD是AC边上的高，
∴D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AC＝1，
∴CE＝CD＝1，
∴BE＝BC+CE＝2+1＝3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD＝CD＝AC是正确解答本题的关键．www.21-cn-jy.com
30．（2022·北京丰台·八年级期末）如图，在中，，，则∠C的度数是______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】50°
【解析】
【分析】
在△ABD中，求出∠A的度数，再根据平行四边形对角相等得出答案．
【详解】
在△ABD中，AB=AD，∠ABD=65°，
∴∠A=180°－2×65°=50°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=50°．
故答案为：50°．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质等，等腰三角形的顶角度数等于180°－2×底角度数．
31．（2022·云南玉溪·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上的一点，OC=7cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=_____________时，△POQ是等腰三角形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】s或7s
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．
【详解】
解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，
∵△POQ是等腰三角形，
有OP=OC-CP=OQ，
即7-2t=t，
解得，t=；
（2）当点P在CO的延长线上时，
∵△POQ是等腰三角形时，且∠POQ=60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴OP=OQ，
即2t -7=t，
解得，t=7，
综上，当t=s或7s时，△POQ是等腰三角形．
故答案为：t=s或7s．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧是解答本题的关键．
32．（2022·吉林松原·八年级期末）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为___．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】45°
【解析】
【分析】
根据勾股定理得到AB，BC，AC的长度，再判断△ABC是等腰直角三角形，进而得出结论．
【详解】
解：如图，连接AC．
由题意，AC＝ ，BC＝，AB＝，
∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°．
故答案为：45°．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
33．（2022·广东珠海·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在正方形ABCD中，E是AD上一点、连接CE，交BD于点F，若AD=BF，则∠DEF=_____°．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】67.5
【解析】
【分析】
由正方形的性质可得AD=BC，AD∥BC，∠DBC=45°，由等腰三角形的性质可得∠BCF=∠BFC=67.5°，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠DBC=45°，
∵AD=BF，
∴BF=BC，
∴∠BCF=∠BFC=67.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠BCF=67.5°，
故答案为：67.5．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
34．（2022·辽宁鞍山· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，矩形ABCD中，AB=10，AD=6，点M是边CD上的动点，连接BM，AM，若△AMB是等腰三角形，则AM的长是______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】或2或10
【解析】
【分析】
分三种情况讨论，利用矩形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，AB=10，AD=6，
∴CD=10，BC=6，∠D=∠C=90°，
当AM=AB时，△AMB是等腰三角形，此时AM=AB=10；
当BM=AB时，△AMB是等腰三角形，此时BM=AB=10，
在Rt△BCM中，∠C=90°，BC=6，BM=10，
∴CM==8，
∴DM=CD-CM=2，
在Rt△ADM中，∠D=90°，AD=6，DM=2，
∴AM==2；
当AM=MB时，△AMB是等腰三角形，
∵∠D=∠C=90°，AM=MB，AD=BC，
∴△ADM≌△BCM(HL)，
∴DM=CM=5，
在Rt△ADM中，∠D=90°，AD=6，DM=5，
∴AM==；
综上，AM的长是或2或10．
故答案为：或2或10．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分情况讨论是解题的关键．
35．（2022·云南玉 ( http: / / www.21cnjy.com )溪·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 60°，DE是斜边AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，若BD = 2，则AD的长为_________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】4
【解析】
【分析】
根据直角三角形两锐角互余先求出∠A=30°， ( http: / / www.21cnjy.com )根据垂直平分线的性质可得DC=DA，则∠DCA=∠DAC，然后求出∠DCB的度数．在Rt△DCB中，求出DC的长，则可知AD的长．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
Rt△ABC中，∠ACB=60°，
∴∠A=30°．
∵DE垂直平分AC，
∴DA=DC，
∴∠DCA=∠A=30°，
∴∠DCB=∠ACB-∠DCA，
=60°-30°
=30°
在Rt△BCD中，∠DCB=30°，
∴BD=，
∴CD=2BD=4，
∴AD=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半等性质，掌握以上知识是解题的关键．【版权所有：21教育】
36．（2022·河南商丘·八年级期末）如图，在中，，分别在边和的延长线上，，，若，则的度数为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据角的和差即可得．
【详解】
解：，，
，，
，，
，，
，即，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
37．（2022·湖南永州· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…，按此方法继续下去，第2021个等腰三角形的底角度数是______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（） 2020×80°
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质求出 ( http: / / www.21cnjy.com )∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第2021个等腰三角形的底角度数．
【详解】
解：∵在△CBA1中，∠B=20°，A1B=CB，
∴∠BA1C==80°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1=∠BA1C=×80°；
同理可得∠EA3A2=（）2×80°，∠FA4A3=（）3×80°，
∴第n个三角形中以An-1为顶点的底角度数是（） n-1×80°．
∴第2021个等腰三角形的底角度数是（）2020×80°，
故答案为（） 2020×80°．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
38．（2022·河南信阳·八年级期末）如图，和都是等腰三角形，且，O是的中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值为___________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】2
【解析】
【分析】
取的中点为点，连接，先证得，得出 ，根据点到直线的距离可知当时，最小，然后根据所对的直角边等于斜边的一半求得时的 的值，即可求得线段的最小值．
【详解】
解：取的中点为点，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
即，
，为中点，
，
在和中，
，
，
，
点在直线上运动，
当时，最小，
是等腰三角形，
，
，
，
线段的最小值是为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、所对的直角边等于斜边的一半、三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，学会利用垂线段最短解决最值问题．2·1·c·n·j·y
39．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，四边形中，，，，于E，点F在射线上，，将绕着点D顺时针旋转60°得到线段，则的面积为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】20或40##40或20
【解析】
【分析】
如图，当在线段BE上时，连接BD，证明是等边三角形， 再求解可得证明 可得．当在线段的延长线上时，如图，同理可得： 从而可得答案．
【详解】
解：如图，当在线段BE上时，连接BD，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴是等边三角形，
∵将DF绕D顺时针旋转得到线段DM，
∴ 而
∴
∵
∴
∴．
当在线段的延长线上时，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
同理可得：
∴
综上：的面积为20或40．
故答案为：20或40
【点睛】
本题考查的是旋转的性质，等边 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握“利用旋转的性质进行证明”是解本题的关键．
40．（2022·北京市陈经纶中学分校八年级期中）如图，点E为正方形ABCD外一点，且，连接AE，交BD于点F．若，则∠DCF的度数为_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】25°##25度
【解析】
【分析】
根据正方形性质和已知得：AD=DE，利 ( http: / / www.21cnjy.com )用等腰三角形性质计算∠DAE=25°，证明△ADF≌△CDF（SAS），可得∠DCF=∠DAF=25°．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∴∠ADB=∠BDC=45°，
∵DC=DE，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∵∠ADE=90°+40°=130°，
∴∠DAE==25°，
在△ADF和△CDF中，
，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DCF=∠DAF=25°，
故答案为：25°．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，属于基础题，熟练掌握正方形的性质是关键．
三、解答题
41．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点B出发，以每秒4cm的速度沿折线B→A→C→B运动，设运动时间为t秒（）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)若点P在AC上，求出此时线段PC的长（用含t的代数式表示）；
(2)在运动过程中，当t为何值时，△BCP是以PB为底边的等腰三角形．
【答案】(1)
(2)或t＝3
【解析】
【分析】
（1）首先求出AC长度，再表示线段PC长度即可；
（2）分两种情况讨论：P在AB上，P在AC上，根据勾股定理和等腰三角形的性质求解即可．
(1)
解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴由勾股定理得AC＝＝8cm，
AB+AC=10+8=18cm
∴PC=18-4t．
∴线段PC的长为（18-4t）cm．
(2)
解：当点P在AB边上且PC＝BC时，
过点C做CD⊥AB于点D，则PB＝2BD
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，
∴
∴，
∴
即，
∴．
当点P在AC边上时，则PC＝BC
即18－4t＝6，
∴t＝3
综合上述，当或t＝3时，△BCP是以PB为底的等腰三角形．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．
42．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，平分，点C在线段上，，求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据平行和角平分线得出，再证△ADE≌△ACB即可．
【详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴,
在△ADE和△ACB中，
∴△ADE≌△ACB，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用等腰三角形的性质得出角相等．
43．（2022·湖南·长沙市北雅 ( http: / / www.21cnjy.com )中学八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1=∠2，AB=ED．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：BD=CD．
(2)若∠A=150°，∠BDC=2∠1，求∠DBC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)80°
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质可得，依据全等三角形的判定和性质即可证明；
（2）根据全等三角形的性质可得，，再由各角之间的数量关系得出，利用等边对等角及三角形内角和定理即可得出结果．
(1)
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
(2)
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理及等边对等角等，理解题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键．
44．（2022·广东河源·八年级期中）如图，在ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E， 交AC于点D，连接BD．若∠A=100°，∠ABD=22°，求∠C的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】29°
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质得出DB=DC，∠DBC=∠C，再利用三角形内角和求解即可．
【详解】
解：∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC ．
∴∠DBC=∠C ．
∵∠A=100°，∠ABD=22°．
∴∠BDC=∠A+∠ABD=122°．
∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，
∴∠C=．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解题关键是利用垂直平分线的性质得出等腰三角形，导出角之间的关系．【来源：21cnj*y.co*m】
45．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析
【解析】
【分析】
过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得出BF=CF，DF=EF，即可求出答案．
【详解】
证明：如图，过A作AF⊥BC于F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB=AC，AD=AE，
∴BF=CF，DF=EF，
∴BF-DF=CF-EF，
∴BD=CE．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合．
46．（2022·吉林吉林·八年级期末）如图，在中，，．于点E，平分．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明见详解；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的性质可得，再由等量代换及等角对等边即可证明；
（2）根据三角形外角的性质可得，再由垂直的性质得出，利用三角形内角和求解即可得．
【详解】
证明：（1）∵，，
∴，
∵AD平分，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
【点睛】
题目主要考查三角形内角和定理，角平分线的性质及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握运用各个性质定理是解题关键．
47．（2022·山东日照·八年级期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，连接EB，EC．求证：EB=EC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析；
【解析】
【分析】
利用等腰三角形三线合一的性质可得BD=DC，再由两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等求得△EBD≌△ECD，进而可得EB=EC；
【详解】
证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠EDB=∠EDC=90°，BD=DC，
在△EBD和△ECD中，
∴△EBD≌△ECD（SAS），
∴EB=EC；
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质；掌握SAS的判定条件是解题关键．
48．（2022·河南信阳·八年级期末）三角形为等腰三角形，，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)画出的一条中位线，并求出它的长；
(2)求的面积．
【答案】(1)图见解析，6.5
(2)60
【解析】
【分析】
（1）根据三角形中位线定理即可得到结论；
（2）连接BE，根据等腰三角形的性质和勾股定理以及三角形的面积公式即可得到结论．
（1）解：如图，DE即为所求， ( http: / / www.21cnjy.com / )；
（2）解：连结．∵，E是的中点，∴．CE=5，∴．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
49．（2022·宁夏固原·八年级期末）如图，在中，，，D为BC边上一点，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求的大小；
(2)求斜边BC的长；
(3)求斜边BC上的中线的长；
【答案】(1)60°
(2)6
(3)3
【解析】
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质求出∠ACB的度数，进而利用外角的性质求出∠ADB的度数；
（2）在中，，，根据勾股定理即可求；
（3）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求；
（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DAC＝15°，∴∠ADB＝∠DAC+∠ACB＝60°；
（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，∴BC6；
（3）∵∠BAC＝90°，BC＝6，∴斜边BC上的中线的长为3．
【点睛】
此题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
50．（2022·广东汕尾·八年级期末）如图，在中，，为边上一点，且．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)作∠的角平分线，与交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接，若，求∠的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用尺规作图作出∠ACB的平分线即可；
（2）先根据等腰三角形的性质和三角形内 ( http: / / www.21cnjy.com )角和计算出∠BDM=∠BMD=70°，再利用邻补角的定义计算出∠CDM=110°，然后证明△ACM≌△DCM，从而得到∠A=∠CDM=110°．
（1）解：如图：CM即为所求． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）证明：∵ ∴.∵且∴. ∴∵是的平分线∴∴∴. ∴，即． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查作角平分线，等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用等腰三角形的性质成为解答本题的关键．
51．（2022·四川成都·八年级期末）如图，在ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：AB＝AE．
(2)若BC＝2AE，∠E＝32°，求∠DAB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)64°
【解析】
【分析】
（1）由题意易得AB=CD，AB/CD，进而可证△AFE≌△DFC，则有CD=AE，即可求证；
（2）由（1）及BC＝2AE，可得AF=AE，则∠AFE=∠E=32°，然后根据三角形外角的性质可求解．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，BC=AD，∴∠E=∠DCF，∵点F是AD中点，∴AF=DF，在△AFE和△DFC中，，∴△AFE≌△DFC（AAS），∴CD=AE，∴AB=AE；
（2）解：由（1）可得AF=DF，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )AD，∴BC=2AF，∵BC=2AE，∴AE=AF，∵∠E=32°，∴∠AFE=∠E=32°，∴∠DAB=2∠E=64°．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质及等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
52．（2022·重庆沙坪坝·八年级期末）在中，连结，过点作于点，过点作于点，连结，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连结交于，证，得，再由，即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质求出，由平行四边形的性质和平行线的性质求出，
再根据，利用三角形内角和定理求出即可．
（1）证明：连结交于，四边形为平行四边形，，，，，又，（AAS），，又，四边形为平行四边形； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）解：，，，四边形为平行四边形，，， ，，，．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及三角形内角和定理，证明是解题的关键．
53．（2022·河南许昌·八年级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求m和n的值．
解：因为，
所以．
所以．
所以．
所以．
问题：
(1)若，求的值；
(2)已知a，b，c是等腰的三边长，且a，b满足，求的周长．
【答案】(1)-4
(2)13或14
【解析】
【分析】
（1）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，然后利用偶次方的非负性，进行计算即可解答；
（2）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，再利用偶次方的非负性，先求出a，b的值，然后分两种情况，进行计算即可解答．
（1）∵，∴，，∴，，∴．
（2）∵，∴，∴，∴，，∴，．由于是等腰三角形，所以或4．①若，则的周长为；②若，则的周长为．所以的周长为13或14．
【点睛】
本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握完全平方式是解题的关键．
54．（2022·山东泰安·八年级期末）如图，已知，，，证明：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
方法一：根据，，得出，根据三角形内角和定理，得出，结合已知条件，得出，根据证明，得出．
方法二：根据，，得出，根据三角形内角和定理，得出，结合已知条件，得出，再根据，可推出垂直平分，最后利用垂直平分线的性质即可证明结论．
【详解】
证明：方法一：
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
方法二：
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，垂直平分线的判定和性质，垂线的定义．熟练掌握全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质是解题的关键．
55．（2022·河南信阳·八年级期末）如图，中，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC延长线于点F．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：
(2)连接BD，DF，
①当时，的形状是_______；
②若，当=______°时，四边形ABCD是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)①等腰三角形；②65
【解析】
【分析】
（1）证，即可得出结论；
（2）①证CD垂直平分BF，得出BD=DF即可得出结论；
②证∠FCD=，再证CD=CF，得∠CFD=∠CDF，即可由三角形内角和定理求解．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，∵点E是CD的中点，∴，在与中，，∴∴
（2）解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，ABCD，由（1）知：AD=CF，∴BC=CF，∵ABCD，∴∠FCD=，∴CD⊥BF，∴BD=DF，即△BDF是等腰三角形，∴当时，的形状是等腰三角形，故答案为：等腰三角形；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，ABCD，由（1）知：AD=CF，∴BC=CF，∵ABCD，∴∠FCD=，当四边形ABCD是菱形时，BC=CD，∴CF=CD，∴∠CFD=∠CDF，∴∠CFD=，∴若，当=65°时，四边形ABCD是菱形．故答案为：65．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，菱形的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定与性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，本题属四边形综合题目，熟练掌握掌握相关性质与判定是解题的关键．
56．（2022·江苏泰州·八年级期末）已知一次函数y1=kx+2(k≠0)和反比例函数(m≠0)．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)如图1，若函数y1，y2的图像都经过点A(1，3)，B(-3，a)．
①求m，k，a的值；
②连接AO，BO，判断ABO的形状，并说明理由；
③当x>-3时，对于x的每一个值，函数y3=cx(c≠0)的值小于一次函数y1=kx+2的值，直接写出c的取值范围．
(2)当k=2，m=4， ( http: / / www.21cnjy.com )过点P(s，0)(s≠0)作x轴的垂线，交一次函数的图像于点M，交反比例函数的图像于点N，t取M与N的绝对值较小的纵坐标(若二者相等则任取其一)，将所有这样的点(s，t)组成的图形记为图形T．直线y=n(n≠0)与图形的交点分别为C、D，若CD的值等于3，求n的值．
【答案】(1)①m=3，k=1，；②等腰三角形，见解析；③
(2)或
【解析】
【分析】
（1）①利用待定系数法即可求得；
②利用勾股定理求得OA、OB，即可证得△ABO是等腰三角形；
③当x=-3时，求出y1=x+2的值，然后根据题意，得不等式，即可求出c的取值范围．
（2）由题意画出函数的T的图象，再数形结合解题即可．
（1）解：①∵A（1，3）在y1＝kx+2图像上，∴3=k+2，∴k=1∵A（1，3）在图像上，∴，解得：m=3，∵B（，a）在上，∴；②连接AO，BO， ( http: / / www.21cnjy.com / )由①知A（1，3），B（，）AO=，BO= ∴AO=BO∴△ABO是等腰三角形；③由①得：一次函数解析式为，当时，，∵当x>-3时，对于x的每一个值，函数y3=cx(c≠0)的值小于一次函数y1=kx+2的值，∴当时，，解得：，∴c的取值范围为；2-1-c-n-j-y
（2）解：当k＝2，m=4，过点P（s，0）作x轴的垂线，交一次函数的图像于点M，交反比例函数的图像于点N，t为M与N的纵坐标中的较小值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点（s，t）组成的图形记为图形T．T的图像如图所示， ( http: / / www.21cnjy.com / )∵直线与图形T的交点分别C、D，∴C（， n），D（， n）当点D在点C的右侧时，CD=，解得或（舍去）当点D在点C的左侧时，CD=，解得或（舍去）综上所述，当CD的值等于3时， 或
【点睛】
本题是反比例函数与一次函数的交点 ( http: / / www.21cnjy.com )问题，考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，熟练掌握待定系数法与函数图象，数形结合思想是解题的关键．
57．（2022·湖北湖北·八年级期末）如图，在中，，，、分别是边、上的点，，过点作，垂足为，交于点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，若点恰好与顶点重合，求证：；
(3)如图①，试猜想线段与的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）首先利用三角形内角和定理得∠AGF＝∠ADC，再根据等量代换得∠AGF＝∠BDE，从而证明结论；
（2）过点B作BM∥AC，交CE ( http: / / www.21cnjy.com )的延长线于M，首先利用SAS证明△MBE≌△DBE，得BM＝BD，∠BDE＝∠M，再利用AAS证明△MBC≌△DCA，得BM＝CD，从而证明结论；
（3）作ET⊥BC于T，设CD＝a，CB＝CA＝na，则BD＝（n 1）a，设DT＝x，得BT＝（n 1）a x，根据△ADC∽△EDT，得ET＝nx，从而得出x＝，再利用△AGE∽△BDE，得，求出AG的长度，从而解决问题．
（1）证明：，，，，，，；
（2）证明：过点作，交的延长线于， ( http: / / www.21cnjy.com / ) 由知，，，，，，≌，，，，，，≌，，，；
（3）解：，理由如下：作于， ( http: / / www.21cnjy.com / ) 设，，则，设，，∽，，，，，，，，∽，，，，．
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查了相似三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，设参数表示各线段的长是解题的关键．
58．（2022·辽宁大连·八年级期末）在 ( http: / / www.21cnjy.com )Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝kCA，延长BC至点D，使CD＝CA，AM⊥AB，且D，M在AB的异侧，AM＝AB，连接DM与AC交于点N．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)如图1，当k＝1时，请直接写出＝ ，＝ ；
(2)如图2，当0＜k＜1时，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，并证明；【出处：21教育名师】
(3)若AN＝mCN（m＞0且m≠1），请直接写出k的值为 ．（用含m的代数式表示）
【答案】(1)
(2)成立，证明见解析
(3)或
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质求解即可；
（2）构型，再证明，根据全等三角形对应的边相等，即可推算出答案；
（3）分两种情况进行讨论，结合（2）中的论证建立等式即可得到k的值．
(1)
解：如图1，当k＝1时，,
∴，
∴；
∵∠ACB＝90°，∠DNB＝90°，
∴，
∴
∵AM＝AB，
∴，
∴，
故答案为：，；
(2)
如下图所示，延长 CA，过点 M 作 ME⊥ CA，垂足为 E，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，
∴，
∵，
∴，,
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
(3)
当时，如图2所示，
∵AN＝mCN，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，如下图所示，延长 CN，过点 M 作 ME⊥ CN，垂足为 E，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AN＝mCN，
∴，
根据（2）得，
∴，
∴，
∴，
∴的值为或．
【点睛】
本题考查直角三角形、等腰三角形、全等三角形性质，解题的关键是构造一个三角形与△ABC全等．
59．（2022·辽宁大 ( http: / / www.21cnjy.com )连·八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，点E在线段BD上，连接AE，且AE＝BE，延长AE交BC于点F，过点A作AG⊥AE交BD的延长线于点G．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)①若∠GBC＝25°，则∠AEG＝ °；
②如图1，求证：∠AGB＝2∠GBC；
(2)如图2，连接CG，若BG平分∠ABC，求证：BE＝CG；
(3)如图3，若D是AC的中点，求证：AF＝AG．
【答案】(1)①40，②证明见解析；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）①由等腰三角形的性质可求∠AB ( http: / / www.21cnjy.com )C=∠ACB=45°，∠ABE=∠BAE=20°，即可求解； ②由等腰三角形的性质可求∠ABC=∠ACB=45°，∠ABE=∠BAE，可求∠AEG=90°-2∠GBC，由余角的性质可求解；
（2）由“SAS”可证△AEB≌△AGC，可得BE=GC；
（3）过点C作，交BG于点H，连接AH，由“AAS”可证△ADG≌△HDC，可得AG=HC，由“ASA”可证△HAB≌△ABF，可得AF=BH=CH=AG，从而可得结论．
(1)
①解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠GBC=25°，
∴∠ABG=20°，
∵AE=BE，
∴∠ABE=∠BAE=20°，
∴∠AEG=∠ABE+∠BAE=40°，
故答案为：40；
②证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABG=∠ABC-∠GBC，
∵AE=BE，
∴∠ABE=∠BAE，
∴∠AEG=∠ABE+∠BAE=2∠ABC-2∠GBC=90°-2∠GBC，
∵AE⊥GA，
∴∠AGB=90°-∠AEG=90°-（90°-2∠GBC）=2∠GBC；
(2)
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠GBC=∠ABC=22.5°，
∴∠ABE=∠BAE=22.5°，
∴∠AEG=45°，
∴∠AGE=∠AEG=45°，
∴AE=AG，∠GAE=90°=∠BAC，
∴∠BAE=∠CAG，
在△AEB和△AGC中，，
∴△AEB≌△AGC（SAS），
∴BE=CG；
(3)
过点C作，交BG于点H，连接AH，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠AGB=∠CHG，
∵点D是AC的中点，
∴AD=CD，
又∵∠ADG=∠CDH，
∴△ADG≌△HDC（AAS），
∴AG=HC，
∵∠AGB=2∠GBC，∠CHG=∠HBC+∠HCB，
∴∠HBC=∠HCB，
∴BH=CH，
又∵AB=CA，
∴HA垂直平分BC，
∴∠BAH=∠CAH=45°，
又∵∠ABE=∠BAE，AB=BA，
∴△HAB≌△FBA（ASA），
∴BH=AF，
∴AF=AG．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
绝密★启用前
专题20 等腰三角形的性质
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·重庆巴蜀中学八年级期末）如图，RtABC中，∠A＝90°，∠ABC＝40°，将RtABC绕着点C逆时针旋转得RtEDC，且点E正好落在BC上，连接BD，则∠CBD的度数为（ ）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．40° B．55° C．60° D．65°
2．（2022·湖北恩施·八年级期末）等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是（ ）
A．65° B．80° C．50°或65° D．50°或80°
3．（2022·浙江衢州·八年级期末）等腰三角形的底角为50°，则它的顶角度数是（ ）
A．50° B．80° C．65°或80° D．50°或80°
4．（2022·河北张家口·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）用一条长为16cm的细绳首尾连接围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm
5．（2022·辽宁本溪·八年级期中）等腰三角形一个角是80°，则它的的底角的度数为（ ）
A．80° B．20° C．80°或20 D．80°或50°
6．（2022·广东·汕头市澄 ( http: / / www.21cnjy.com )海区教师发展中心八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OM0M1的直角边OM0在x轴上，点M1在第一象限，且OM0＝1，以点M1为直角顶点，OM1为一直角边作等腰直角三角形OM1M2，再以点M2为直角顶点，OM2为直角边作等腰直角三角形OM2M3，……，依此规律，则点M2021的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．(，0) B．(，0) C．(，) D．(，)
7．（2022·贵州毕节·八年级期中）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠C=35°，则∠B的度数为（ ）21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
8．（2022·四川泸州·八年级期末）如图，是等腰的顶角平分线，，则等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．5 C．4 D．3
9．（2022·安徽淮南·八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．7cm B．9cm
C．12cm或者9cm D．12cm
10．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，在中，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连结，下列结论中错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．四边形的面积为
11．（2022·河南洛阳·八年级期末）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．7或8 D．9
12．（2022·河北邯郸·八年级期末）一个等腰三角形的两边长分别为3和，则这个三角形的周长是（ ）2·1·c·n·j·y
A． B．
C．或 D．或
13．（2022·河北沧州·八年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．105° B．95° C．85° D．75°
14．（2022·河南许昌·八年级期末）一个等腰三角形的周长是11cm，底边长是3cm，则该等腰三角形的一腰长为（ ）2-1-c-n-j-y
A．5cm B．3cm或4cm C．5cm或3cm D．4cm
15．（2022·浙江台州·八年级期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，像这样，经过不相邻两个顶点的两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．对于如图的筝形ABCD，可以证明它具有的性质是（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．各对邻边分别相等 B．对角线互相平分
C．两组对角分别相等 D．对角线互相垂直
16．（2022·广东广州·八年级期末）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（ ）21·cn·jy·com
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm
17．（2022·山东济南·八年级期中）如图所示，△ABC中，∠BAC＝65°，将△ABC绕着A点逆时针旋转得到△ADE，连接EC，若，则∠CAD的度数为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．15° B．25° C．35° D．40°
18．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，在中，，，过点C作交的平分线于点D，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
19．（2022·河南许昌·八年级期末）如图，在中，，，点是边（不与端点重合）上一点，将沿翻折后得到，射线交射线于点F．若，则（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
20．（2022·浙江金华 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期末）如图，一个长为2cm、宽为1cm的长方形，按照下面的四种情况沿直线从左侧平移至右侧（下图中的虚线都是水平线）．其中所需平移的距离最短的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．
21．（2022·湖南常德·八年级期末）如图，在中，，点是斜边的中点，平分，，则的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．8 B．5 C．3 D．2
22．（2022·辽宁营口·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点…都在x轴上，点 都在直线上， 都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
23．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图，在中，，，分别是，的中点，，为上的点，连接，．若cm，cm，cm，则图中阴影部分面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．25cm2 B．35cm2 C．30cm2 D．42cm2
24．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，在中，，，点在边上，以，为边作平行四边形，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
25．（2022·广东·梅州市学艺中学八年级期中）若等腰三角形的一个角是40°，则此等腰三角形的顶角为（ ）
A．40° B．100° C．40°或100° D．70°
26．（2022·河南周口·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )已知等腰三角形的周长是8，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
第II卷（非选择题）
二、填空题
27．（2022·河南洛阳·八年级期末）等腰三角形中，，，则的长为________．
28．（2022·云南红河·八年级期末）等腰三角形的顶角度数为，则它的底角度数为______．
29．（2022·广东·梅州市学艺中学 ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期中）如图，在等边三角形ABC中，AB=2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE=CD，则BE的长为_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
30．（2022·北京丰台·八年级期末）如图，在中，，，则∠C的度数是______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
31．（2022·云南玉溪·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上的一点，OC=7cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=_____________时，△POQ是等腰三角形．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
32．（2022·吉林松原·八年级期末）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为___．
( http: / / www.21cnjy.com / )
33．（2022·广东珠海·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，在正方形ABCD中，E是AD上一点、连接CE，交BD于点F，若AD=BF，则∠DEF=_____°．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
34．（2022·辽宁鞍 ( http: / / www.21cnjy.com )山·八年级期末）如图，矩形ABCD中，AB=10，AD=6，点M是边CD上的动点，连接BM，AM，若△AMB是等腰三角形，则AM的长是______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
35．（2022·云南玉溪·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 60°，DE是斜边AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，若BD = 2，则AD的长为_________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
36．（2022·河南商丘·八年级期末）如图，在中，，分别在边和的延长线上，，，若，则的度数为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
37．（2022·湖南永州·八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…，按此方法继续下去，第2021个等腰三角形的底角度数是______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
38．（2022·河南信阳·八年级期末）如图，和都是等腰三角形，且，O是的中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值为___________．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
39．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，四边形中，，，，于E，点F在射线上，，将绕着点D顺时针旋转60°得到线段，则的面积为______．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
40．（2022·北京市陈经纶中学分校八年级期中）如图，点E为正方形ABCD外一点，且，连接AE，交BD于点F．若，则∠DCF的度数为_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题
41．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点B出发，以每秒4cm的速度沿折线B→A→C→B运动，设运动时间为t秒（）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)若点P在AC上，求出此时线段PC的长（用含t的代数式表示）；
(2)在运动过程中，当t为何值时，△BCP是以PB为底边的等腰三角形．
42．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，平分，点C在线段上，，求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
43．（2022·湖南·长沙市北雅中学八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1=∠2，AB=ED．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：BD=CD．
(2)若∠A=150°，∠BDC=2∠1，求∠DBC的度数．
44．（2022·广东河源·八年级期中）如图，在ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E， 交AC于点D，连接BD．若∠A=100°，∠ABD=22°，求∠C的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
45．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE．
( http: / / www.21cnjy.com / )
46．（2022·吉林吉林·八年级期末）如图，在中，，．于点E，平分．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证；
（2）求的度数．
47．（2022·山东日照·八年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，连接EB，EC．求证：EB=EC．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
48．（2022·河南信阳·八年级期末）三角形为等腰三角形，，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)画出的一条中位线，并求出它的长；
(2)求的面积．
49．（2022·宁夏固原·八年级期末）如图，在中，，，D为BC边上一点，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求的大小；
(2)求斜边BC的长；
(3)求斜边BC上的中线的长；
50．（2022·广东汕尾·八年级期末）如图，在中，，为边上一点，且．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)作∠的角平分线，与交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接，若，求∠的度数．
51．（2022·四川成都·八年级期末）如图，在ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：AB＝AE．
(2)若BC＝2AE，∠E＝32°，求∠DAB的度数．
52．（2022·重庆沙坪坝·八年级期末）在中，连结，过点作于点，过点作于点，连结，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，求的度数．
53．（2022·河南许昌·八年级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求m和n的值．
解：因为，
所以．
所以．
所以．
所以．
问题：
(1)若，求的值；
(2)已知a，b，c是等腰的三边长，且a，b满足，求的周长．
54．（2022·山东泰安·八年级期末）如图，已知，，，证明：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
55．（2022·河南信阳·八年级期末）如图，中，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC延长线于点F．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：
(2)连接BD，DF，
①当时，的形状是_______；
②若，当=______°时，四边形ABCD是菱形．
56．（2022·江苏泰州·八年级期末）已知一次函数y1=kx+2(k≠0)和反比例函数(m≠0)．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)如图1，若函数y1，y2的图像都经过点A(1，3)，B(-3，a)．
①求m，k，a的值；
②连接AO，BO，判断ABO的形状，并说明理由；
③当x>-3时，对于x的每一个值，函数y3=cx(c≠0)的值小于一次函数y1=kx+2的值，直接写出c的取值范围．21教育名师原创作品
(2)当k=2，m=4，过点P(s ( http: / / www.21cnjy.com )，0)(s≠0)作x轴的垂线，交一次函数的图像于点M，交反比例函数的图像于点N，t取M与N的绝对值较小的纵坐标(若二者相等则任取其一)，将所有这样的点(s，t)组成的图形记为图形T．直线y=n(n≠0)与图形的交点分别为C、D，若CD的值等于3，求n的值．
57．（2022·湖北湖北·八年级期末）如图，在中，，，、分别是边、上的点，，过点作，垂足为，交于点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，若点恰好与顶点重合，求证：；
(3)如图①，试猜想线段与的数量关系，并证明你的结论．
58．（2022·辽宁大连· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝kCA，延长BC至点D，使CD＝CA，AM⊥AB，且D，M在AB的异侧，AM＝AB，连接DM与AC交于点N．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)如图1，当k＝1时，请直接写出＝ ，＝ ；
(2)如图2，当0＜k＜1时，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，并证明；21cnjy.com
(3)若AN＝mCN（m＞0且m≠1），请直接写出k的值为 ．（用含m的代数式表示）21*cnjy*com
59．（2022·辽宁大连·八年级期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，点E在线段BD上，连接AE，且AE＝BE，延长AE交BC于点F，过点A作AG⊥AE交BD的延长线于点G．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)①若∠GBC＝25°，则∠AEG＝ °；
②如图1，求证：∠AGB＝2∠GBC；
(2)如图2，连接CG，若BG平分∠ABC，求证：BE＝CG；
(3)如图3，若D是AC的中点，求证：AF＝AG．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
