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专题22三角形边角不等关系和尺规作图
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．（2022·福建漳州·八年级期中）在等边所在平面内有一点P，使得都是等腰三角形，则具有该性质的点有（ ）
A．1个 B．7个 C．10个 D．无数个
3．（2022·河南省直辖县级单位·八年级期末）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：21cnjy.com
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．
则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（ ）21·cn·jy·com
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A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF
4．（2022·湖南·常德市第七中学八年级期末）如图，已知线段、，作等腰三角形，使，且，边上的高．张红的作法是：
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（1）作线段；
（2）作线段的垂直平分线，与相交于点；
（3）在直线上截取线段；
（4）联结、，为所求的等腰三角形．
上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）．
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
5．（2022·安徽合肥·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2022·全国·八年级）如图，在等边中，点A、C分别在x轴、y轴上，，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．4 B． C． D．
7．（2022·福建·厦门一中八年级期中）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，点A的坐标是（1，1），若点B在x轴上，且△ABO是等腰三角形，则点B的坐标不可能是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．（2，0） B．（，0） C．（-，0） D．（1，0）
第II卷（非选择题）
二、填空题
8．（2022·吉林吉林·八年级期末）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法正确的有________个．21·世纪*教育网
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9．（2022·山东泰安· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有________个。www-2-1-cnjy-com
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10．（2022·上海·八年级开学考试）已知等腰三角形的周长是40厘米，则它的腰长y厘米与底边长x厘米的函数解析式及定义域是_____．2-1-c-n-j-y
三、解答题
11．（2022·广东·佛山市华英学校八年级期中）（1）解不等式组；
（2）尺规作图：已知线段a，求作等腰直角三角形，使其斜边等于线段a．（不写作法，保留作图痕迹，并描黑）．21*cnjy*com
12．（2022·山西晋中·八年级期中）图，在△ABC中，．
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(1)尺规作图：过点A作，点D为垂足，在线段CD上取一点E，使得，连接AE；（不写作法，保留作图痕迹）【来源：21cnj*y.co*m】
(2)若在（1）中恰好．求证：点E在线段AC的垂直平分线上．
13．（2022·陕西宝鸡·八年级期中）如图，已知线段a，利用尺规作图求以a为底边、以为高的等腰三角形 【出处：21教育名师】
14．（2022·安徽芜湖·八年级期中）在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．以格点为顶点．【版权所有：21教育】
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(1)在图1中画一个边长分别为、2、的三角形；
(2)在图2中画出一个两边长都为，面积都为2的三角形．
15．（2022·陕西宝鸡·八年级期中）如下 ( http: / / www.21cnjy.com )图，已知每个小正方形的面积都为1，给出点C，请你按要求设计△ABC，使∠C＝90°，AC＝BC．21教育网
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(1)AB的长为无理数，AC，BC的长均为有理数；
(2)AB的长为有理数，AC，BC的长均为无理数；
(3)三边的长均为无理数．
16．（2022·广西北海·八年级期末）（1）已知线段c，求作△ABC，使，，AB边上的高；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
（2）求∠A的度数．
17．（2022·天津河西·八年级期末）已知等腰三角形底边长为，底边上的高的长为，求作这个等腰三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
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专题22三角形边角不等关系和尺规作图
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，PA＝PC，由此判断即可．
【详解】
解：由作图可知，选项C中，∠C＝∠PAC，
∴PA＝PC，
∴PA＋PB＝PC＋PB＝BC，
故选：C．
【点睛】
本题考查作图 复杂作图，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2022·福建漳州·八年级期中）在等边所在平面内有一点P，使得都是等腰三角形，则具有该性质的点有（ ）
A．1个 B．7个 C．10个 D．无数个
【答案】C
【解析】
【分析】
过B点作△ABC的中垂线，可知在三角形内 ( http: / / www.21cnjy.com )有一点P满足△PBC、△PAC、△PAB都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可以做两个圆，圆B和圆A，从而可以得出一条中垂线上有四个点满足△PBC、△PAC、△PAB都是等腰三角形，而三角形内部的一点是重合的，所以可以得出共有10个点．21教育网
【详解】
作三边的中垂线，交点P肯定是其中之一，以B为圆心，BA为半径画圆，交AC的中垂线于两点，作，它们也都是等腰三角形，因此是具有题目所说的性质的点；21cnjy.com
以A为圆心，BA为半径画圆，交AC的中垂线于点,也必具有题目所说的性质．
依此类推，在的其余两条中垂线上也存在这样性质的点，所以这些点一共有：个．
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故选：C
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及同学们对图形的整体理解，三角形中任意两条边相等就是等腰三角形．
3．（2022·河南省直辖县级单位·八年级期末）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：【来源：21·世纪·教育·网】
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．
则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF
【答案】A
【解析】
【分析】
根据作图过程和等腰三角形的定义进行分析即可.
【详解】
由作图过程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK
所以，是等腰三角形的有 △CDK， △CDE，△DEF；△CDF不一定是等腰三角形.
故选：A
【点睛】
考核知识点：等腰三角形.理解等腰三角形的定义是关键.
4．（2022·湖南·常德市第七中学八年级期末）如图，已知线段、，作等腰三角形，使，且，边上的高．张红的作法是：
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（1）作线段；
（2）作线段的垂直平分线，与相交于点；
（3）在直线上截取线段；
（4）联结、，为所求的等腰三角形．
上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）．
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【答案】C
【解析】
【分析】
在直线MN上截取线段h，说法不准确，应该是：在直线MN上截取线段DA=h．
【详解】
解：在直线MN上截取线段h，说法不准确，应该是：在直线MN上截取线段DA=h．所以C的说法错误，符合题意.21*cnjy*com
故选：C．
【点睛】
本题考查了学生运用准确几何语言表达作图方法与步骤的能力，平时要重视数学语言的训练．
5．（2022·安徽合肥·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）【版权所有：21教育】
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A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解析】
【详解】
①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI都是等腰三角形．
⑦作AC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI都是等腰三角形．
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故选D．
6．（2022·全国·八年级）如图，在等边中，点A、C分别在x轴、y轴上，，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．4 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
取AC的中点D，连接OD，BD，利用三角形原理，当O、D、B三点共线时OB取得最大值，且最大值等于OD+BD，计算出OD，BD的长度即可．21教育名师原创作品
【详解】
如图，取AC的中点D，连接OD，BD，
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∵△ABC是等边三角形，∠AOC=90°，AC=4，
∴DO==CD=AD，，
∵DO+BD≥OB，
∴OB≤DO+BD=，
当O、D、B三点共线时OB取得最大值，且最大值等于，
故选D．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系定理，熟练掌握直角三角形性质和三角形三边关系定理是解题的关键．
7．（2022·福建·厦门一中八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）如图，点A的坐标是（1，1），若点B在x轴上，且△ABO是等腰三角形，则点B的坐标不可能是（ ）【出处：21教育名师】
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A．（2，0） B．（，0） C．（-，0） D．（1，0）
【答案】B
【解析】
【分析】
本题应该分几种情况讨论， ( http: / / www.21cnjy.com )已知边AB可能是底边，也可能是腰，当AB是底边时，就有两个满足条件的三角形．当AB是腰时再分点A是顶角顶点或点B是顶角顶点两种情况讨论．
【详解】
解：由题意得OA＝，
当AB为底边时，B点为（1，﹣1），B点不在x轴上，故不存在；
当AB为腰时，有三种情况，当B点为（-，0），（1，0），（2，0）．
故选B．
【点睛】
对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．www-2-1-cnjy-com
第II卷（非选择题）
二、填空题
8．（2022·吉林吉林·八年级期末）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法正确的有________个．
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【答案】3
【解析】
【分析】
根据图中的圆心、半径已经角平分线、垂直平分线的作法，依次判断即可得．
【详解】
解：第一个图以C为圆心，AC长为半径，
∴为等腰三角形，符合题意；
第二个图为作的角平分线，无法得到为等腰三角形，不符合题意；
第三个图以B为圆心，AB长为半径，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，符合题意；
第四个图为作线段AC的垂直平分线，可得，
∴为等腰三角形，符合题意；
综上可得：有三个图使得为等腰三角形，
故答案为：3．
【点睛】
题目主要考查等腰三角形的性质及角平分线、垂直平分线的作法，熟练掌握各个图形的作法是解题关键．
9．（2022·山东泰安·八年级期末）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有________个。21·cn·jy·com
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【答案】8
【解析】
【分析】
分别以A、B点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可（A、B、C共线除外）；此外加上在AB的垂直平分线上有两个格点，即可得到答案.
【详解】
解：以A点为圆心，AB为 ( http: / / www.21cnjy.com )半径作圆，找到格点即可，（A、B、C共线除外）；以B点为圆心，AB为半径作圆，在⊙B上的格点为C点；在AB的垂直平分线上有两个格点．故使△ABC是等腰三角形的格点C有8个．
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【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．
10．（2022·上海·八年级开学考试）已知等腰三角形的周长是40厘米，则它的腰长y厘米与底边长x厘米的函数解析式及定义域是_____．
【答案】y＝-x+20（0＜x＜20）
【解析】
【分析】
根据三角形的周长公式结合等腰三角形的周长为4 ( http: / / www.21cnjy.com )0厘米，即可得出y关于x的函数解析式，再由三角形的三边关系即可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得出x的取值范围．
【详解】
解：由题意得2y+x=40，
∴y＝-x+20，
由三角形的三边关系式可得，
解得0＜x＜20，
∴y关于x的函数解析式为y＝-x+20（0＜x＜20）．
故答案为：y＝-x+20（0＜x＜20）．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三 ( http: / / www.21cnjy.com )边关系以及解一元一次不等式组，解题的关键是根据等腰三角形的周长为40厘米得出y关于x的函数解析式．本题属于基础题，难度不大，根据等腰三角形的周长找出腰长y关于底边长x的函数解析式是关键．
三、解答题
11．（2022·广东·佛山市华英学校八年级期中）（1）解不等式组；
（2）尺规作图：已知线段a，求作等腰直角三角形，使其斜边等于线段a．（不写作法，保留作图痕迹，并描黑）．21·世纪*教育网
【答案】(1) ；(2)作法见解析
【解析】
【分析】
(1)首先解每一个不等式，可求得每一个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可；
(2)根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，即可作得．
【详解】
解：(1)由得，，
解得，
由得，，
解得，
所以，原不等式组的解集为；
(2)如图：作线段AB=a，再 ( http: / / www.21cnjy.com )作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，以点E为圆心EA为半径画弧交MN于点C，连接AC、BC，△ABC即为所求．
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证明：垂直平分AB，
，
，
，
，
又，
，
是等腰直角三角形，且斜边等于线段a．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的解 ( http: / / www.21cnjy.com )法，作图 复杂作图，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握和运用一元一次不等式组的解法及作图的方法．
12．（2022·山西晋中·八年级期中）图，在△ABC中，．
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(1)尺规作图：过点A作，点D为垂足，在线段CD上取一点E，使得，连接AE；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若在（1）中恰好．求证：点E在线段AC的垂直平分线上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线及等腰三角形的尺规作图求解即可，
（2）由（1）知：，，根据，得出，即可证明结论．
(1)
以为圆心，为半径作弧与交于点，
分别以，为圆心，大于为半径作弧相交于，
连接交于点，
线段，点，线段即为所求．
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(2)
由（1）得，，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点E在线段AC的垂直平分线．
【点睛】
本题考查作图-基本作图、等腰三角形的判定与性质以及垂直平分线的判定，解题的关键是正确作图并熟记性质判定．
13．（2022·陕西宝鸡·八年级期中）如图，已知线段a，利用尺规作图求以a为底边、以为高的等腰三角形
【答案】见解析
【解析】
【分析】
作一条线段等于已知线段a，作的垂直平分线，以线段的中点为端点在线段垂直平分线的一侧上截取长为a的线段，作的垂直平分线交于点，连接，即可得到所求作的等腰．
【详解】
解：由题意得所作的满足条件的等腰△ABC如下：
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【点睛】
本题考查了用尺规作等腰三角形，所涉及的基本尺规作图有：作一条线段等于已知线段；作已知线段的垂直平分线．掌握这两个基本作图是关键．
14．（2022·安徽芜湖·八年级期中）在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．以格点为顶点．
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(1)在图1中画一个边长分别为、2、的三角形；
(2)在图2中画出一个两边长都为，面积都为2的三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)利用网格，根据勾股定理即可在图1中画一个边长分别为、2、的三角形；
(2 )利用网格，根据勾股定理和三角形的面积公式即可在图2中画出一个两边长都为，面积都为2的三角形．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)
解：如图，△ABC即为所求；
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(2)
解：如图，△DEF，△MNQ即为所求．
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【点睛】
本题考查了作图—应用与设计作图，二次根式的应用，勾股定理，解决本题的关键是利用网格准确画图．
15．（2022·陕西宝鸡·八年级期中 ( http: / / www.21cnjy.com )）如下图，已知每个小正方形的面积都为1，给出点C，请你按要求设计△ABC，使∠C＝90°，AC＝BC．www.21-cn-jy.com
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(1)AB的长为无理数，AC，BC的长均为有理数；
(2)AB的长为有理数，AC，BC的长均为无理数；
(3)三边的长均为无理数．
【答案】(1)见解析(答案不唯一)
(2)见解析(答案不唯一)
(3)见解析(答案不唯一)
【解析】
【分析】
(1)根据要求，可BC＝AC＝3，，画图即可；
(2)根据要求，可，AB＝4，画图即可；
(3)根据要求，可，，画图即可．
(1)
解：如图所示，BC＝AC＝3，则；
( http: / / www.21cnjy.com / )(答案不唯一)
(2)
解：如图所示，，则AB＝4；
( http: / / www.21cnjy.com / ) (答案不唯一)
(3)
解：如图所示，，则．
( http: / / www.21cnjy.com / ) (答案不唯一)
【点睛】
本题考查作图 应用与设计，无理数，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
16．（2022·广西北海·八年级期末）（1）已知线段c，求作△ABC，使，，AB边上的高；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
（2）求∠A的度数．
【答案】（1）见解析；（2）45°
【解析】
【分析】
（1）先作线段AB=c，再作上的中垂线，与交于点D，截取的长度，以D点为圆心的长度为半径作弧交于点C，连接与即可；
（2）由，，可知，．，进而可知，由此可得．
【详解】
解：（1）如图，△ABC即为所求，
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（2）解：∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查尺规作图，作已知线段的中垂线，等腰三角形的性质，能够熟练掌握等腰三角形的相关性质是解决本题的关键．
17．（2022·天津河西·八年级期末）已知等腰三角形底边长为，底边上的高的长为，求作这个等腰三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据题目要求画出线段a、h，再画△ABC，使AB＝a，△ABC的高为h；首先画一条射线，再画垂线，然后截取高，再画腰即可．21*cnjy*com
【详解】
如图所示，
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作图：①画射线AE，在射线上截取AB＝a，
②作AB的垂直平分线，垂足为O，再截取CO＝h，
③再连接AC、CB，△ABC即为所求．
【点睛】
此题主要考查了复杂作图，关键是掌握垂线的画法 ( http: / / www.21cnjy.com )，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
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