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绝密★启用前
专题23 等边三角形的性质
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·北京市师达中学八年级期中）如图，等边的边长为6，于点D，则AD的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B．6 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质求出CD，再根据勾股定理求出AD即可．
【详解】
∵等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝BC＝3，
由勾股定理得：，
故选D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和勾股定理，能根据等边三角形的性质求出CD的长是解此题的关键．
2．（2022·安徽滁州·八年级期末）如图，以正五边形ABCDE的边DE为边向外作等边三角形△DEF，连接AF，则∠AFE等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6° B．8° C．12° D．14°
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出，AE=DE，再由等边三角形的性质得到EF=DE=AE，∠DEF=60°，则∠AEF=∠DEF+∠AED=168°，即可得到．
【详解】
解：∵五边形ABCD是正五边形，
∴，AE=DE，
∵△DEF是等边三角形，
∴EF=DE=AE，∠DEF=60°，
∴∠AEF=∠DEF+∠AED=168°，
∴，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了正多边形的内角和问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等等，熟知正多边形内角和公式是解题的关键．
3．（2022·四川凉山·八年级期末）三角形中，最大角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理，可得最大角，再由当三角形为等边三角形时，三角形的三个内角相等，且 ，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：最大角，
当三角形为等边三角形时，三角形的三个内角相等，且 ，
∴最大角的取值范围是．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
4．（2022·湖南常德·八年级期末）如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
先连接CF，再根据EB=EC，将FE+EB转 ( http: / / www.21cnjy.com )化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，根据等边三角形的各边上的高相等，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．
【详解】
连接CF，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC
∴EB=EC，
当B. F. E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，
是等边三角形边上的高，
和中
∴AD=CF=8，
∴EF+BE的最小值为8，
故选D
【点睛】
此题考查等边三角形的性质、轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线.
5．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖 ( http: / / www.21cnjy.com )湘一外国语学校八年级开学考试）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠a＋∠β的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．220° B．180° C．270° D．240°
【答案】D
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据等边三角形的定义可得，再根据四边形的内角和即可得．
【详解】
解：如图，是等边三角形，
，
，即，
，
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了多边形的内角和、等边三角形，熟练掌握多边形的内角和是解题关键．
6．（2022·山东临沂·八年级期末）如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：∵图中是三个等边三角形，
∴∠1＝180°﹣60° ( http: / / www.21cnjy.com )﹣∠ABC＝120°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣60°﹣∠ACB＝120°﹣∠ACB，∠3＝180°﹣60°﹣∠BAC＝120°﹣∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣（∠ABC+∠ACB+∠BAC）＝180°，
故选：C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．
7．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，是等边三角形，点为边上一点，以为边作等边，连接．若，则长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由，是等边三角形可得AC=BA=BC，BD=BE，，可得出，即，可得，由全等三角形的性质得AD=CE=3，则BC=AC=AD+CD，即可解题．
【详解】
解：∵，是等边三角形，
∴AC=BA=BC，BD=BE，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴AD=CE=3，
∴BC=AC=AD+CD=3+1=4．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，本题中求证是解题的关键．
8．（2022·福建·福州三牧中学八年级期末）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是．
【详解】
∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,
∴△DEF的面积是．
故选D．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．
9．（2022·河南南阳·八年级期末）已知：如图，是正方形内的一点，且，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等边三角形和正方形的性质求得，然后利用等腰三角形的性质求得的度数，从而求得的度数，利用三角形的内角和求得的度数．
【详解】
解：，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
同理可得，
，
故选．
【点睛】
本题考查了正方形的性质及等边三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质求得有关角的度数，难度不大．
10．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，等边的边长为4，点P在BC上，连接AP．则的面积y与BP的长x的函数图象大致是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / )D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【解析】
【分析】
过A点作AD⊥BC于点D，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )等边三角形的性质可求解BD的长，由勾股定理可求得AD的长，由三角形的面积公式可列出y关于x的解析式，即可求解．
【详解】
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△ABC是以4位边长的等边三角形，
∴BD=CD=2，
∴，
∴，
∴当x=4时，，
∴该函数图象为一次函数图象的一段，且y随x的增大而增大，且过点．
故选：C
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质，一次函数的图象，勾股定理，根据题意得到y关于x的解析式是解题的关键．
11．（2022·云南昆明·八年级期末）如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．15° B．22.5° C．20° D．10°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方形与等边三角形的性质可得，，即可求解．
【详解】
解：∵正方形ABCD外侧作等边，
∴，
，，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，掌握正方形与等边三角形的性质是解题的关键．
12．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线平移至的位置，连接，则的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得到△DCE≌△ABC，进而得到DE=2，∠CBD=∠CDB=30°，求出BE=2DE=4，利用勾股定理求出BD即可．21教育网
【详解】
解：∵将沿直线平移至的位置，是边长为2的等边三角形，
∴△DCE≌△ABC，
∴∠E=∠ACB=60°，∠DCE=∠ABC=60°，DE=2，CD=AB=BC，
∴∠CBD=∠CDB=30°，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，BE=2DE=4，
∴BD=，
故选：C．
【点睛】
此题考查了平移的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，正确理解平移的性质是解题的关键．
13．（2022·北京房山·八年级期末）如图，的对角线交于点O，是等边三角形，，则的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等底等高，可知，求出△AOB的面积即可；
【详解】
解：∵是等边三角形，，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、矩形的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
14．（2022·重庆第二外国语学校八年级期中）如图，在等边中，，为上任意一点（不与端点，重合），过点分别作于点，点．若，则的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质可得，则，根据含30°角的直角三角形的性质可得，可得，则,再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.
【详解】
∵是等边三角形，
∴，，
∵于点，于点，
∴ ，，，，
∴,
∴．
故选D．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键.
15．（2022·福建漳州·八年级期末）如图，点在正五边形的内部，为等边三角形，则等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．36° B．48° C．54° D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据多边形内角和公式可求出∠B ( http: / / www.21cnjy.com )AE的度数，根据等边三角形的性质可得∠FAB=∠ABF=∠AFB=60°，根据角的和差关系可得出∠EAF的度数．
【详解】
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴ ，
∵△ABF为等边三角形，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查多边形内角和、等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．
16．（2022·湖南·常德市第七中学八年级期末）如图，等边的边长为8．P，Q分别是边上的点，连结，交于点O．以下结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若点P和点Q分别从点A和点B同时出发，以相同的速度向点C运动（到达点C就停止），则点O经过的路径为AB的中垂线段长．其中正确的（ ）
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A．①②③ B．①④ C．①② D．①③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质可得AB=AC=BC，∠BAC=∠C=60°，再由AP=CQ，可利用SAS证得，故①正确；当AQ=BP时，点P的位置有P1、P2两种情况，可得②错误；过点B作BE⊥AC于点E，则AE=CE=4，根据勾股定理可得，从而得到PE=1，进而得到PC=5或3，而与AP=CQ这个条件无关，故③错误；证得△ABP≌△BAQ，可得∠BAO=∠ABO，从而得到OA=OB，进而得到点O在AB的中垂线上，即点O经过的路径为AB的中垂线段长，故④正确；即可求解．
【详解】
解：在等边三角形ABC中，AB=AC=BC，∠BAC=∠C=60°，
在三角形△BAP和△ACQ中，
①∵AP=CQ，∠BAP=∠ACP=60°，AP=CQ，
∴（SAS），故①正确；
②如图1，当AQ=BP时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据题意得：∠AOB=180°-（∠ABO+∠BAO），
在P1的位置时，若∠ABO=∠CAQ，∠AOB=180°-（∠ABO+∠BAO）=180°-∠BAC=120°，
∴，
∴AQ=BP1；
当在P2的位置时，无法证得，则∠AOB的大小无法确定，故②错误；
③如图，过点B作BE⊥AC于点E，则AE=CE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB=BC=AC=8，
∴AE=CE=4，
∴，
∵BP=7，
∴，
∴在P1的位置时，CP1=5；在P2的位置时，CP2=3，
∴当BP=7时，PC=5或3，而与AP=CQ这个条件无关，故③错误；
④∵点P和点Q分别从点A和点B同时出发，以相同的速度向点C运动（到达点C就停止），
∴AP=BQ，
∵AB=BA，∠BAP=∠ABQ=60°，
∴△ABP≌△BAQ，
∴∠BAO=∠ABO，
∴OA=OB，
∴点O在AB的中垂线上，即点O经过的路径为AB的中垂线段长，故④正确；
∴正确的有①④．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了等边三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
17．（2022·河南新乡·八年级期中）两个边长为2的等边三角形如图所示拼凑出一个平行四边形，则对角线的长为（ ）
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A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接BD交AC于点O，由平行四边形和等边三角形的性质，易证四边形是菱形，可求得AB=2，AO=1，由勾股定理可求得，继而可求得对角线的长．
【详解】
解：如图，连接BD交AC于点O，
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由题意可得和是等边三角形，且边长都为2，
∴AB=BC=CD=DA=AC=2，
∴四边形是菱形，
∴，BD=2BO，AC⊥BD，
在中，由勾股定理得：，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定与性质、勾股定理，灵活运用菱形的性质和勾股定理求解是解题的关键．
18．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，与都是等边三角形，连接，若将绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段的长为（ ）21·cn·jy·com
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A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
分两种情况：①当E在CA延长线上时，过A作于M，根据等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质和勾股定理来求解；②当E在AC的延长线上时，过B作于N，用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求解．
【详解】
解：①当E在CA延长线上时，过A作于M，如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵与都是等边三角形，，，
∴，，
∴，
∴，EM=BM，
在中，
，，
∴；
②当E在AC的延长线上时，过B作于N，如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
在中，
，由勾股定理得：，
∴，
在中，
．
综上所述，线段BE的长为或．
故选：D．
【点睛】
本题考查等边三角形的旋转变换，解题的关键是分类画出图形，应用含30°角的直角三角形三边关系，结合勾股定理解决问题．21cnjy.com
19．（2022·广东深圳·八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，以AC、AB为边分别作等边三角形△ACE、△ABF，△ACE、△ABF的面积分别为S1、S2，若BC2＝，那么S1+S2＝（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B． C．6 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
过点F作FD⊥AB，则有AD=AB，利用勾股定理可求得DF=AB，再利用面积公式可求得AB2=S2，同理可求AC2=S2，再次利用勾股定理即可求结果．
【详解】
解：过点F作FD⊥AB于D，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△ABF是等边三角形，
∴AD=AB，AF=AB，
∴DF==AB，
∵△ABF的面积为S2，
∴AB DF=S2，
整理得：AB2=S2，
同理可得：AC2=S1，
∵∠CAB=90°，BC2=8，
∴AB2+AC2=BC2，
∴S2+S1=8，
解得：S1+S2=6．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，解答的关键是熟记勾股定理：a2+b2=c2，并灵活运用．
20．（2022·湖南永州·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，有下列结论：①AB⊥ED，②EF=FD，③BE=DB，其中正确的是（ ）
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A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】A
【解析】
【分析】
△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )，得到AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AE＝AD＝ED，∠EAD＝60°，由AD是角平分线，根据等腰三角形三线合一，得到∠BAD＝∠DAC＝30°，AD⊥BC，进一步求得AF平分∠EAD，根据等腰三角形三线合一，则AB⊥ED，EF＝DF，结论得证，作出判断．【出处：21教育名师】
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AE＝AD＝ED，∠EAD＝60°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC＝30°，AD⊥BC，
∴∠EAB＝∠EAD－∠BAD＝30°，
∴∠DAF＝∠EAD－∠EAB＝30°，
∴AF平分∠EAD，
∴AB⊥ED，EF＝DF，
故①②正确，
∴AB垂直平分DE，
∴BE＝DB，故③正确，
故选：A．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的三线合一的性质解决问题．
21．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①AE＋BD＝AB，②∠APE＝∠C，③AQ＝BQ， ④BP＝2PQ，其中一定正确的个数有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )E＝∠C＝60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，通过全等的性质得到∠1＝∠2，证得∠APE＝∠C＝60°，故②正确；再根据BQ⊥AD，得到∠PBQ＝30°，进而BP＝2PQ，故④正确；由BD＝CE，得到AE＋BD＝AE＋EC＝AC＝AB，故①正确；根据题中条件，无法判断BQ＝AQ，故③错误，从而得到结果．
【详解】
解：如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠1＝∠2，
∴∠BPQ＝∠2＋∠3＝∠1＋∠3＝∠BAC＝60°，
∴∠APE＝∠C＝60°，故②正确；
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝90° ∠BPQ＝90° 60°＝30°，
∴BP＝2PQ，故④正确；
∵AC＝BC，AE＝DC，
∴BD＝CE，
∴AE＋BD＝AE＋EC＝AC＝AB，故①正确；
根据题中条件，无法判断BQ＝AQ，故③错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22．（2022·湖北鄂州·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在边AC上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD＝2，AC＝6，△OCD周长的最小值是（ ）
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A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据等边三角形的性质、线段和差可得，再连接，根据折叠的性质可得，从而可得的周长为，然后根据两点之间线段最短可得当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，由此即可得．
【详解】
解：是等边三角形，且，
，
，
，
如图，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由折叠的性质得：，
则的周长为，
由两点之间线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，
则周长的最小值为，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
23．（2022·重庆涪陵·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，，E为矩形ABCD内一点且为等边三角形，连接CE并延长交AD于点F．若，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．48° B．50° C．52° D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据△ABE为等边三角形得到∠F ( http: / / www.21cnjy.com )AE = 30°，再根据∠AEF= 20°，得到∠AFE= 130°，然后根据AD// BC得∠BCF= 50°．
【详解】
∵四边形A BCD为矩形，且△ABE为等边三角形，
∴∠FAE= 90°- 60° = 30°
又∵∠AEF= 20°
∵∠AFE= 180°-∠FAE-∠AEF=180°-30°-20°=130°
∵AD// BC，
∵∠AEF+∠BCE=180°
∵∠BCF= 180°-∠AFE= 180°-130°= 50°
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形，平行线，等边三角形等，熟练掌握平行线和等边三角形的有关性质是解题的关键．
24．（2022·湖南湘西·八年级期末）关于四个结论：①成轴对称的两个图形全等；②等边三角形有三条对称轴；③等腰三角形的一个角是100°，它的另外两个角相等；④点关于y轴的对称点是点．正确的结论有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③
【答案】B
【解析】
【分析】
利用全等图形的定义、等边和等腰三角形的性质、轴对称的性质等知识对每个命题进行判断后即可确定正确的答案．
【详解】
解：①成轴对称的两个图形全等，是真命题；
②等边三角形有三条对称轴，是真命题；
③等腰三角形的一个角是100°，它的另外两个角相等，是真命题；
④点（3，6）关于y轴的对称点是点（ 3，6），原命题是假命题．
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等图形的定义、等边和等腰三角形的性质、轴对称的性质等知识，难度不大．
25．（2022·陕西汉中·八年级期末）如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和等边，为的中点，连接、，与相交于点，若，下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④．其中正确结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
首先证明Rt△ADF≌Rt△BAC，结合已知得到AE=DF，然后根据内错角相等两直线平行得到DFAE，由一组对边平行且相等可得四边形ADFE是平行四边形，故②正确；由∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，可得∠AHE=90°，故①正确；由2AG=AF可知③正确；在Rt△DBF和Rt△EFA中，BD＝FE，DF＝EA，可证Rt△DBF≌Rt△EFA，故④正确．
【详解】
解：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=BD=AB，AE=CE=AC，∠ADB=∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°．
∵F是AB的中点，
∴∠BDF=∠ADF=30°，∠DFA=∠DFB=90°，BF=AF=AB．
∴AD=2AF．
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴BC=AB，
∴AF=BF=BC．
在Rt△ADF和Rt△BAC中，
AD＝BA ，AF＝BC，
∴Rt△ADF≌Rt△BAC（HL），
∴DF=AC，
∴AE=DF．
∵∠BAC=30°，
∴∠BAC+∠CAE=∠BAE=90°，
∴∠DFA=∠EAB，
∴DFAE，
∴四边形ADFE是平行四边形，故②正确；
∴AD=EF，ADEF，
设AC交EF于点H，
∴∠DAC=∠AHE．
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，
∴∠AHE=90°，
∴EF⊥AC．①正确；
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴2GF=2GA=AF．
∴AD=4AG．故③正确．
在Rt△DBF和Rt△EFA中，
BD＝FE，DF＝EA，
∴Rt△DBF≌Rt△EFA（HL）．故④正确，
综上，①②③④都正确．
故选：D．
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【点睛】
本题考查全等三角形的判定、 ( http: / / www.21cnjy.com )等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、平行四边形的判定及性质等，综合性较强，熟练掌握上述性质、定理是解题的关键．
26．（2022·广东深圳·八年级期末）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．2 B． C． D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
连接BE，延长AC到N，使得，连接FN，证明，得到，即点N在与AN成的直线上运动，证明当时，有最小值为：，求出，即可得．
【详解】
解：连接BE，延长AC到N，使得，连接FN，
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∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点
∴，，，
∴，，
∵
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴点N在与AN成的直线上运动，
∴当时，有最小值为：，
即：，
∴，
∴，
故选：D
【点睛】
本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是证明当时，有最小值为：，即．
27．（2022·广东韶关·八年级期中）如图，分别以直角的斜边，直角边为边向外作等边和等边，为的中点，与交于点，与交于点，，．给出如下结论：①；②四边形为平行四边形；③；④；其中正确结论的是（ ）
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，证明FH是△ABC的中位线，得HF=BC，由BC=AB，AB=BD即可得FH=BD，从而有BD =4FH，接着证明△DBF≌△EFA得AE=DF，再由FE=AB，得出四边形ADFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出AD=4AG，从而得到答案．
【详解】
解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB=2AF，
∴BC=AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE=AB，
∴∠AEF=∠BAC=30°，
∴∠AHE =90°，
∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，
∴AH=CH，
∵F是AB的中点，
∴FH是△ABC的中位线，
∴HF=BC，
∵BC=AB，AB=BD，
∴FH=BD，
即BD =4FH，故④说法正确；
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE=DF，
∵FE=AB，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE为平行四边形，故②说法正确；
∴AG=AF，
∴AG=AB，
∵AD=AB，
则AD=4AG，故③说法正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查含30度直角三角形的性质、全等三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的判定及性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
28．（2022·江苏盐城·八年级开学考 ( http: / / www.21cnjy.com )试）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有（ ）
①△BPQ是等边三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°．
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A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
①根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断①；②根据勾股定理的逆定理即可判断得出②；③根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断；④求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断④．
【详解】
解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
所以①正确；
∴PQ=PB=4，
∵PQ2+QC2=42+32=25，
PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
∴△PCQ是直角三角形，
所以②正确；
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB=∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，
所以③正确；
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵∠PQC=90°，PC≠2QC，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以④错误．
所以正确的有①②③．
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．
29．（2022·全国·八年级）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据，可得，根据等边三角形的性质可求得△ABC中AB边上的高和△PAB中AB边上的高的值，当P在CO的延长线时，OP取得最小值，OP=CP-OC，过O作OE⊥BC，求得OC=，则可求解．
【详解】
解：如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
∴
=
=
=
==，
∴，
设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为，
则，
，
∴，
∴，
∵△ABC是等边三角形，
∴，
，
∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的直线上，
∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，
过O作OE⊥BC于E，
∴，
∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC
∴∠OCE=30°，CE=
∴OC=2OE
∵，
∴，
解得OE=，
∴OC=，
∴OP=CP-OC=．
故选B．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的位置是解题的关键．
30．（2022·江苏·八年级）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，C是线段AB上一动点，△ACD，△CBE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若AB＝4，则线段MN的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接CN．首先证明∠MCN＝90°，设AC＝a，则BC＝4﹣a，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：连接CN，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△ACD和△BCE为等边三角形，
∴AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝∠B＝60°，
∴∠DCE＝60°，
∵N是BE的中点，
∴CN⊥BE，∠ECN＝30°，
∴∠DCN＝90°，
设AC＝a，
∵AB＝4，
∴CM＝a，CN＝（4﹣a），
∴MN＝＝＝，
∴当a＝3时，MN的值最小为．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．
31．（2022·全国·八年级课时练习）如图，等边的顶点，，规定把“先沿轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，等边的顶点的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用等边三角形的性质求得点C的坐标， ( http: / / www.21cnjy.com )然后根据轴对称变换和轴对称变换的性质求得第一次变换，第二次变换，第三次变换后点C的坐标，按此找出规律即可求解 ．
【详解】
解：如图所示，过点作，
∵△ABC是等边三角形，，，
∴，，轴，D的坐标为(2，1)，
∴
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴点C到轴的距离为：，点的横坐标为，
∴，
由题意得，
第一次变换后点的坐标为，即；
第二次变换后点的坐标为，即；
第三次变换后点的坐标为，即；
……
由此可以发现点的横坐标总是比次数大，而纵坐标，当奇次变换时是，偶次变换时是，故连续经过2022次变换后，等边的顶点的坐标为，
故选：
【点睛】
本题考查了坐标与图形的变化—翻折变换与平移变换，读懂题意，找出变化规律是解题的关键．
32．（2022·广西贵港·八年级期末）如图，已知是边长为4的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，动点、分别在边、上，且，则的周长是（ ）
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A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
延长EB到G，使BG=FC，连接DG，通过△ ( http: / / www.21cnjy.com )DCF≌△DBG得到DG=DF、∠FDC=∠GDB，再利用△EDG≌△EDF得到EF=EB+FC，求出结果．
【详解】
解：延长EB到G，使BG=FC，连接DG，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
又∵BD=CD，
∴∠DCB=∠DBC= ，
∴∠DCF=∠DBE=90°，
在直角△DCF和直角△DBG中，
，
∴△DCF≌△DBG，
∴DG=DF，∠FDC=∠GDB，
∴∠GDF=∠BDC=120°，
又∵∠EDF=60°，
∴∠EDG=60°，
在△EDG和△EDF中，
，
∴△EDG≌△EDF，
∴EF=EG=EB+GB=EB+FC，
∴△AEF的周长为：AE+AF+EF=AE+AF+BE+FC=AB+AC=8，
故选择C．
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【点睛】
本题考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，解决问题的关键构造全等三角形．
33．（2022·山东东营·八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB AD为边向外作等边△ABE △ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A E之间，连接CE CF EF，则以下四个结论：①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．一定正确的有（ ）个
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．
【详解】
解：在 ABCD中，∠ADC=∠ABC，AD=BC，CD=AB，
∵△ABE、△ADF都是等边三角形，
∴AD=DF，AB=EB，∠ADF=∠ABE=60°，
∴DF=BC，CD=BC，
∴∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC，
∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC，
∴∠CDF=∠EBC，
在△CDF和△EBC中，
DF=BC，∠CDF=∠EBC，CD=EB，
∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正确；
在 ABCD中，∠DAB=180°-∠ADC，
∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC，
∴∠CDF=∠EAF，故②正确；
同理可证△CDF≌△EAF，
∴EF=CF，
∵△CDF≌△EBC，
∴CE=CF，
∴EC=CF=EF，
∴△ECF是等边三角形，故③正确；
当CG⊥AE时，
∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABG=30°，
∴∠ABC=180°-30°=150°，
∵∠ABC=150°无法求出，故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，综合性强，解题的关键是考查学生综合运用数学知识的能力．21·世纪*教育网
第II卷（非选择题）
二、填空题
34．（2022·湖北襄阳·八年级期末）如图，，，三点在同一直线上，和均为等边三角形，连结，，若，那么______．
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【答案】##21度
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质得出，根据 可求出答案．
【详解】
解：是等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
35．（2022·内蒙古包 ( http: / / www.21cnjy.com )头·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，边长为2，以边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，那么点A的坐标为______．21*cnjy*com
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【答案】
【解析】
【分析】
根据题意建立平面直角坐标系，根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图所示
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题意可知OC=1，AC=2
在中
根据勾股定理可得
点A的坐标为（0，）．
故答案为：（0，）．
【点睛】
本题考查了建立平面直角坐标系，结合勾股定理求线段长，表示点坐标，解题的关键是理解平面直角坐标系的定义以及运用勾股定理解题．
36．（2022·广东·肇庆市地质中学 ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期中）已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长是_______．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据矩形的性质首先证明是等边三角形即可解决问题．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OD=OB，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=2OA=8，
故答案为：．
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【点睛】
本题考查矩形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是发现是等边三角形．
37．（2022·山东威海·八年级期末）将等边三角形绕它的中心旋转一周，可与原图形重合的次数为______次．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据等边三角形绕它的中心至少旋转可与自身重合、旋转一周是即可得．
【详解】
解：∵等边三角形绕它的中心至少旋转可与自身重合，且旋转一周是
∴将等边三角形绕它的中心旋转一周，可与原图形重合的次数为（次）
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了图形的旋转、等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形绕它的中心至少旋转可与自身重合是解题关键．
38．（2022·天津天津·八年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，等边三角形ABC的边长为8，AD是BC边中线，点E是AB边上一动点，以EA，ED为边作平行四边形AEDF．
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（1）AD的长为_________．
（2）EF的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得BD=4，再利用勾股定理即可求解．
（2）设AD与EF的交点为O，过点O作OH⊥AB于H，利用平行四边形的性质可得，当OE最小时，即可得EF的最小值．【版权所有：21教育】
【详解】
解：（1）∵等边三角形ABC的边长为8，AD是BC边的中线，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）设AD与EF的交点为O，过点O作OH⊥AB于H，如图所示：
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∵四边形AEDF是平行四边形，
∴AO=OD，，
∴当OE最小时，此时EF最小，
∴OE⊥AB时，OE最小值为OH的长，
∴，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质、垂线段最短，将EF的最小值转化为OE最小是解题的关键．
39．（2022·广东深圳·八年级期末）如图，是等边的角平分线，，则__________．
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【答案】5
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的三线合一及等边三角形的定义即可得到答案．
【详解】
解：∵是等边三角形，，
∴AC=AB=10
∵是等边的角平分线，
∴．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，解题关键是熟练掌握等边三角形的相关性质．
40．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）如图，等边三角形的边长为6，则高__________．www.21-cn-jy.com
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【答案】
【解析】
【分析】
根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长．
【详解】
解：等边三角形高线即中线，故D为BC中点，
∵AB=6，
∴BD=3，
∴AD=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的三线合一性质以及勾股定理，关键是根据等腰三角形的三线合一解答．
41．（2022·江苏·八年级专题练面直角坐标系内有一等边△ABC，点，，点C在y轴的正半轴上，若一次函数的图象与△ABC有交点时，则b的取值范围是____________．
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【答案】
【解析】
【分析】
先求出点C的坐标，然后求出直线恰好经过A、C两个临界点时b的值即可得到答案．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，点，，
∴OA=OB=1，
∴AC=AB=2，
∴OC=，
∴点C的坐标为（0，），
当直线恰好经过点A时，，解得，
∴直线恰好经过点C时，，
∴若一次函数的图象与△ABC有交点时，则b的取值范围是
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与几何综合，等边三角形的性质，勾股定理，求出点Ｃ的坐标是解题的关键．
42．（2022·山东·青岛三十九中八年级期中）如图．等边的边长为，是边上的中线，是上的动点，是的动点，的最小值为________．
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【答案】9
【解析】
【分析】
连接BM，过B作BH⊥AC于H，由等边三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD=，BM=CM，进而得到EM+CM=BM+CM，当B、M、E三点共线时，且BE⊥AC时，EM+CM有最小值，此时EM+CM=BH，利用勾股定理计算可得．
【详解】
解：连接BM，过B作BH⊥AC于H，
∵△ABC是等边三角形，是边上的中线，
∴AD⊥BC，BD=CD=，
∴BM=CM，
∴EM+CM=BM+CM，当B、M、E三点共线时，且BE⊥AC时，EM+CM有最小值，此时EM+CM=BH，
∴BH=AD=，
故答案为：9．
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【点睛】
此题考查了等边三角形的性质，勾股定理的计算，正确理解等边三角形的性质是解题的关键．
43．（2022·江苏·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级专题练习）如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一点，AD为BC边上的中线，AD、BE相交于点F，若∠AEB＝100°，则∠AFB的度数为_____．
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【答案】130度##130°
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质得出∠FAE的度数，再根据三角形外角的性质得出∠AFB的度数即可．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，点E是边AC上一点，
∴∠EAF＝∠BAC＝×60°＝30°，
∵∠AEB＝100°，
∴∠AFB＝∠AEB＋∠EAF＝30°＋100°＝130°，
故答案为：130°．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
三、解答题
44．（2022·贵州铜仁·八年级期末）在等边中，点分别在边上，且，与交于点．求证：；2·1·c·n·j·y
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【答案】见解析
【解析】
【分析】
首先根据等边三角形的性质得到AB＝AC＝BC，∠CAE＝∠ABD，求出AE＝BD，即可利用SAS证明全等．
【详解】
：解：∵是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠CAE＝∠ABD，
∵BE＝CD，
∴AB BE＝BC CD，即AE＝BD，
在△AEC和△BDA中，，
∴△AEC≌△BDA（SAS）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
45．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且BD＝CE．求证：AD＝BE21教育名师原创作品
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【答案】见解析
【解析】
【分析】
由△ABC是等边三角形，得AB=BC，∠ABC=∠C=60°，再利用SAS证明△ABD≌△BCE，即可证明结论．
【详解】
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质， ( http: / / www.21cnjy.com )等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法（ASA，SAS，AAS，SSS，还有直角三角形的HL）是解题的关键．
46．（2022·江西九江·八年级期末）如图，点是等边三角形外一点，，，．将绕点逆时针旋转60°后得到．
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(1)求证：是直角三角形；
(2)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据旋转后所得的图形与原图形大小相等，可得BD、AD的长和，可证明是等边三角形，得到，利用勾股定理得出即可证明；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）通过求解，作AP边上的高BH，则 ，根据即可求出．
(1)
由题意得：，，
是等边三角形
，
是直角三角形；
(2)
是等边三角形
是直角三角形，
作．则
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【点睛】
本题考查了三角形和旋转，熟练运用旋转的性质特殊三角形的性质是解题的关键．
47．（2022·江苏·八年级）如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE．
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【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB ( http: / / www.21cnjy.com )=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．
【详解】
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED．
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°．
∴∠DBC＝∠DEC．
∴DB＝DE（等角对等边）．
【点睛】
此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到∠CED=30°是正确解答本题的关键．
48．（2022·辽宁·盘山县教师进 ( http: / / www.21cnjy.com )修学校八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，延长BC到点E，使CE＝CD．请你猜想CE与BC的数量关系，并证明你的结论．
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【答案】CE＝BC，证明见解析
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质即可完成．
【详解】
解：，证明如下：
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴BC=AC，，
∴，
∵CE=CD，
∴．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是本题的关键．
49．（2022·北京·八年级期中）菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，且BE＝CE，AD＝4cm．
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(1)求BD的长；
(2)求菱形ABCD的面积．
【答案】(1)4
(2)8
【解析】
【分析】
（1）利用菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出BO的长，即可得出BD的长；
（2）直接利用菱形对角线乘积的一半等于其面积，进而得出答案．
(1)
连接AC，交BD于点O，
∵AE⊥BC于点E，且BE＝CE，
∴AB＝AC，
∵在菱形ABCD中，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABO＝30°，
∵AD＝4，
∴AB＝4，BO＝2，
∴BD＝4；
(2)
菱形ABCD的面积为：AC BD＝×4×4＝8．
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【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出△ABC是等边三角形是解题关键．
50．（2022·陕西延安·八年级期末）在等边三角形中，AD是BC边上的高，E为AC的中点，P为AD上一动点，若，试求的最小值．
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【答案】12
【解析】
【分析】
如图，连接BE交AD于点P，此时最小，据此求解即可．
【详解】
解：如图，连接BE交AD于点P，此时最小，
∵是等边三角形，，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴．
∴．即BE就是的最小值．
∵，点E是边AC的中点，
∴．
∴的最小值是12．
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【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称最短路径问题，正确找到最小的情形是解题的关键．
51．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，和都是等边三角形，、、三点共线，连接交于点，连接交于点．
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(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形性质得出AC=BC，CE ( http: / / www.21cnjy.com )=CD，∠ACB=∠ECD=60°，求出∠BCE=∠ACD，根据SAS推出△BEC≌△ADC即可；
（2）根据ASA证明△BCF≌△ACG，得到CF=CG，证明△CFG是等边三角形，得到∠ACB=∠CFG=60°，从而证明．
（1）解：∵△ABC和△ECD是等边三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠BCE=∠ACD，在△BEC和△ADC中，，∴△BEC≌△ADC（SAS），∴BE=AD．
（2）∵△BEC≌△ACD，∴∠CAG=∠CBF，在△BCF和△ACG中，，∴△BCF≌△ACG（ASA），∴CF=CG．又∵∠FCG=60°，∴△CFG是等边三角形，∴∠ACB=∠CFG=60°，∴FG∥BD．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，证明三角形全等是正确解答本题的关键．
52．（2022·山东济南·八年级期末）如图，等边的边长为6，点P，D分别是BC、AC边上的点，且，，求CD的长．
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【答案】
【解析】
【分析】
证明△ABP∽△PCD后，利用相似三角形的性质与判定即可求出答案．
【详解】
解：∵为等边三角形，
∴∠B=∠APD=∠C=60°，AB=BC=6， 而∠APC=∠B+∠BAP，
∴∠B+∠BAP=∠APD+∠CPD， 即∠BAP=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∵BP=2，
∴CP=BC-BP=6-2=4，
∴．经检验符合题意．
∴CD的长为．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质，解题的关键是能够熟练运用相似三角形的判定与性质．
53．（2022·山东滨州·八年级期末）如图，在等边的上各取一点D，E，使相交于点M，过点B作直线的垂线，垂足为H．
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(1)求证：；
(2)若．
①求的面积；
②求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①；②．
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△ACE≌△BAD；
（2）①由等边三角形的面积公式可求解；
②由由“三线合一”知，∠BAF=30°，由勾股定理可得，得到，根据勾股定理可得，根据即可求解．
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，在△BAD和△ACE中，∴△ACE≌△BAD（SAS）；
（2）解：如图所示，作AF⊥BC于F点， ( http: / / www.21cnjy.com / )
①由“三线合一”知，∠BAF=30°，∵BE=2EC=4∴BC=BE+EC=4+2=6，∴AB=6，BF=3，由勾股定理可得：， ∴；②由①可知，，FE=1，∴根据勾股定理可得，，∵，∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含有30°角的直角三角形的性质勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
54．（2022·吉林白城·八年级期末）如图，在等边中，AB＝24cm．射线，点E从点A出发沿射线AG以的速度运动．同时点F从点B出发沿射线BC以5cm/s的速度运动，设点E的运动时间为t（s）．解答下列问题：
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(1)点F在线段BC上运动时，CF＝______cm；当点F在线段BC的延长线上运动时，CF＝______cm（用含t的式子表示）．
(2)在整个的运动过程中，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，求t值；
(3)在整个的运动过程中，是否存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，若存在，求出t值：若不存在，说明理由．
【答案】(1)（24－5t），（5t－24）
(2)t值为3或者12
(3)存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，此时t＝6．
【解析】
【分析】
（1）根据题意得：点F在线段BC上运动时CF＝24－5t；当点F在线段BC的延长线上运动时，CF＝5t－24．
（2）当点F在C的左侧时（含点C），用 t把CF、AE表示出来，当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，CF＝AE，求得t．
当点F在C的右侧时，用 t把CF、AE表示出来，当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，CF＝AE，求得t．
（3）存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，平行线之间垂线最短则EF⊥BC，再利用矩形和等边三角形得性质找出BD＝DF．
（1）（24－5t），（5t－24）．
（2）当点F在C的左侧时（含点C），根据题意得，CF＝24－5t，AE＝3t，∵，∴当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，3t＝24－5t，解得t＝3．当点F在C的右侧时，根据题意得，CF＝5t－24，AE＝3t，∵，∴当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，3t＝5t－24，解得t＝12．综上可得，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t值为3或者12．
（3）存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小．若E、F两点间的距离最小，则EF⊥BC．过A作AD⊥BC于D，可得四边形AEFD为矩形，此时AE＝FD，在等边三角形ABC中，AB＝24，∴BD＝12，DF＝5t－12，∴3t＝5t－12解得t＝6∴存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，此时t＝6． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
此题考查了用含t的式子表示线段，平行四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )、矩形和等边三角形的性质，解题的关键是应用平行四边形、矩形和等边三角形的性质找出相等的边长，求得t．
55．（2022·四川·巴中市教育科学研究所八年级期末）如图，在四边形ABCD中，//，，于点E．
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(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若是等边三角形，，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定可得，然后平行四边形的判定即可得证；
（2）过点作于，先根据等边三角形的性质可得，利用勾股定理可得，再根据平行四边形的性质、平行线的性质可得，然后根据含角的直角三角形的性质可得，最后利用三角形的面积公式即可得．
（1）证明：，，，，，四边形是平行四边形．
（2）解：如图，过点作于， ( http: / / www.21cnjy.com / )是等边三角形，，，，，又，四边形是平行四边形，，，，，则的面积为．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
56．（2022·广东清远·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB，点C为x轴正半轴上一动点（），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．
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(1)求证：△OBC≌△ABD．
(2)在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由．
(3)以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标和CD的长度．
【答案】(1)见解析
(2)∠CAD的度数不变化，且∠CAD=60°，见解析
(3)点C（3，0），CD=
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，得到OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠DBC=60°，可以证明∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，得到∠OBC=∠ABD，利用SAS证明△OBC≌△ABD．
（2）根据△OBC≌△ABD，得到∠BAD=∠BOC=60°，根据∠CAD=180°-∠BAD-∠BAO计算即可 ．
（3）根据直角三角形性质，得到AE=2，三角形AEC为等腰三角形时，只有AE=AC这一种可能，从而确定C的坐标；取OA的中点F，连接BF，根据等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，得到OF=AF=，BF=，CF=3-=，根据等边三角形性质，勾股定理，得CD=BC=计算即可．
（1）∵△AOB，△CBD都是等边三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形，∴OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠DBC=60°，∴∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，∴∠OBC=∠ABD，∴△OBC≌△ABD．
（2）∠CAD的度数不变化，且∠ ( http: / / www.21cnjy.com )CAD=60°，理由如下：∵△OBC≌△ABD，△AOB是等边三角形，∴∠BAD=∠BOC=∠BAO =60°，∴∠CAD=180°-∠BAD-∠BAO=180°-60°-60°=60°．
（3）∵△OBC≌△ABD，△AOB是等边三角形，∠CAD=60°，∴∠EAO =60°，∠AEO =30°，AO=AB=OB=1，BC=CD，∴AE=2． ( http: / / www.21cnjy.com / )∵三角形AEC为等腰三角形时，只有AE=AC这一种可能，∴AC=2，故点C坐标为(3，0)．取OA的中点F，连接BF，∴OF=AF=，BF=，CF=3-=，∴CD=BC==．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，等 ( http: / / www.21cnjy.com )腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质是解题的关键．
57．（2022·贵州铜仁·八年级期末）如图1，点E、F分别是等边边、上的动点（端点除外），点E从顶点A向顶点B运动，点F从顶点B向顶点C运动，点E、F同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点G．
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(1)求证：；
(2)当点E、F分别在、边上运动时，变化吗？若变化请说明理由，若不变，求出它的度数；
(3)如图2，若点E、F在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为G，则变化吗？若变化请说明理由，若不变，求出它的度数．
【答案】(1)见解析
(2)不变，60°
(3)不变，120°
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABF≌△CAE；
（2）由△ABF≌△CAE根据全等三角形的性质可得∠BAF＝∠ACE，从而得到∠FGC＝60°；
（3）由△ABF≌△CAE根据全等三角形的性质可得∠BAF＝∠ACE，从而得到∠FGC＝120°．
（1）证明：∵E、F同时等速运动 ( http: / / www.21cnjy.com )，∴AE＝BF，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠EAC＝60°，AB＝AC，∴△ABF≌△CAE．（SAS）
（2）解：∠FGC不变，∠F ( http: / / www.21cnjy.com )GC＝60°，理由：∵△ABF≌△CAE，∴∠BAF＝∠ACE∵∠FGC＝∠GCA＋∠CAG＝∠BAF＋∠CAG＝∠BAC＝60°；
（3）解：此时∠FGC仍不变，∠FGC＝120°，理由：为等边三角形，， ，、同时等速运动，， ，即， ，∴∠AEC＝∠AFB，∵∠AGC＝∠GCF＋∠AFC＝∠BCE＋∠AEC＝∠ABC＝60°；∴∠FGC＝120°．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
58．（2022·广东广州·八年级期末）如图，为等边三角形，四边形BCDE为正方形，，点M以每秒1个单位的速度从点A沿AC向点C运动，同时点N以同样的速度从点D沿DE向点E运动，当点M达到点C时，M，N同时停止运动，设点M的运动时间为t．
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(1)当时，求的度数；
(2)若，求线段MN的长；
(3)当点M，N在运动时，求MN的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，证明△ACD是顶角为150°的等腰三角形即可；
（2）如图2中，连接BD，EC， ( http: / / www.21cnjy.com )设MN交BC于点G，交CB于点O，过点O作OT⊥CB于点T．当∠CMN=60°，证明点O是正方形BCDE的中心，求出GM，GN，可得结论；
（3）如图3中，过点M作MJ⊥DE于点J，交CB于点K．利用勾股定理，根据算术平方根非负数的性质求出最小值即可．
（1）解：如图1中，当t=0时， ( http: / / www.21cnjy.com / )∵△ABC都是等边三角形，∴CA=CB，∠ACB=60°，∵四边形BCDE是正方形，∴CB=CD，∠BCD=90°，∴CA=CD，∠ACD=150°，∴∠CMN=∠CND=15°；
（2）如图2中，连接BD，EC，设MN交BC于点G，交CB于点O，过点O作OT⊥CB于点T． ( http: / / www.21cnjy.com / )∵∠CMN=∠MCG=60°，∴△CMG是等边三角形，∴CM=CG，∵DE=AC，AM=DN，∴CM=EN=CG，∵CG∥OC，∴∠GCO=∠NEO，∵∠COG=∠NOE，∴△COG≌△EON（AAS），∴OC=OE，OG=GN，∵△BEC是等腰直角三角形∴BO⊥EC，∴△BOC是等腰直角三角形∴OB=OC，∵OT⊥BC，∴BT=TC=3，∴OT=TB=TC=3，∵∠CGM=∠OGT=60°，∴∠TOG=30°∴中，∴TG=，OG=2，∴GM=CG=，∴MN=2OG+GM==
（3）如图3中，过点M作MJ⊥DE于点J，交CB于点K． ( http: / / www.21cnjy.com / )∵∠D=∠DJK=∠DCK=90°，∴四边形CDJK是矩形，∴CD=JK=6，DJ=CK，∠CKJ=∠CKM=90°，∵CM=6-t，时，MN的值最小，最小值为
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
59．（2022·广东·普宁市华美实验学校八年级阶段练习）已知：△ABC为等边三角形．
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(1)如图1，点D、E分别为边BC、AC上的点，且BD=CE．求证：△ABD≌△BCE；
(2)在（1）的条件下，求∠AFE的度数；
(3)如图2，当点D在线段BC的延长线上，点E在线段CA的延长线上时，且BD=CE．求∠AFE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)60°
(3)120°
【解析】
【分析】
（1）根据SAS证明三角形全等即可；
（2）利用全等三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题；
（3）先根据等边三角形的三个角都 ( http: / / www.21cnjy.com )等于60°，三条边都相等，证明△ECB与△DBA全等，得出∠EBC=∠DAB，再根据三角形内角和等于180°，求出∠AFE=120°，而∠ABD=60°，进而得到∠AFE=2∠ABD．
（1）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS）．
（2）解：如图1中，∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠AFE=∠FBA+∠BAD=∠FBA+∠CBE=∠CBA=60°．
（3）如图2，在等边三角形ABC中，AB=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，而BD=CE，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠EBC=∠DAB，在△ABD中，∠DAB+∠D=180°-∠ABC=120°，∴∠EBC+∠D=120°，∵∠AFE是△BDF的外角，∴∠AFE=∠EBC+∠D=120°，又∵∠ABD=60°，∴∠AFE=2∠ABD=120°．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查等边 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质等知识，解题的关键是通过全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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绝密★启用前
专题23 等边三角形的性质
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·北京市师达中学八年级期中）如图，等边的边长为6，于点D，则AD的长为（ ）21cnjy.com
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A．3 B．6 C． D．
2．（2022·安徽滁州·八年级期末）如图，以正五边形ABCDE的边DE为边向外作等边三角形△DEF，连接AF，则∠AFE等于（ ）2·1·c·n·j·y
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A．6° B．8° C．12° D．14°
3．（2022·四川凉山·八年级期末）三角形中，最大角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南常德·八年级期末）如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖 ( http: / / www.21cnjy.com )湘一外国语学校八年级开学考试）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠a＋∠β的度数是（ ）
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A．220° B．180° C．270° D．240°
6．（2022·山东临沂·八年级期末）如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则的度数为（ ）www.21-cn-jy.com
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A． B． C． D．无法确定
7．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，是等边三角形，点为边上一点，以为边作等边，连接．若，则长为（ ）
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A． B． C． D．
8．（2022·福建·福州三牧中学八年级期末）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．1 B． C． D．
9．（2022·河南南阳·八年级期末）已知：如图，是正方形内的一点，且，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
10．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，等边的边长为4，点P在BC上，连接AP．则的面积y与BP的长x的函数图象大致是（ ）
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( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
11．（2022·云南昆明·八年级期末）如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（ ）
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A．15° B．22.5° C．20° D．10°
12．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线平移至的位置，连接，则的长是（ ）
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A． B．2 C． D．3
13．（2022·北京房山·八年级期末）如图，的对角线交于点O，是等边三角形，，则的面积为（ ）21*cnjy*com
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A． B． C． D．8
14．（2022·重庆第二外国语学校八年级期中）如图，在等边中，，为上任意一点（不与端点，重合），过点分别作于点，点．若，则的长为（ ）【出处：21教育名师】
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A．3 B． C． D．
15．（2022·福建漳州·八年级期末）如图，点在正五边形的内部，为等边三角形，则等于（ ）
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A．36° B．48° C．54° D．60°
16．（2022·湖南·常德市第七中学八年级期末）如图，等边的边长为8．P，Q分别是边上的点，连结，交于点O．以下结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若点P和点Q分别从点A和点B同时出发，以相同的速度向点C运动（到达点C就停止），则点O经过的路径为AB的中垂线段长．其中正确的（ ）
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A．①②③ B．①④ C．①② D．①③④
17．（2022·河南新乡·八年级期中）两个边长为2的等边三角形如图所示拼凑出一个平行四边形，则对角线的长为（ ）
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A．2 B．4 C． D．
18．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，与都是等边三角形，连接，若将绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段的长为（ ）21*cnjy*com
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A． B． C．或 D．或
19．（2022·广东深圳·八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，以AC、AB为边分别作等边三角形△ACE、△ABF，△ACE、△ABF的面积分别为S1、S2，若BC2＝，那么S1+S2＝（ ）
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A．2 B． C．6 D．12
20．（2022·湖南永州· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，有下列结论：①AB⊥ED，②EF=FD，③BE=DB，其中正确的是（ ）
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A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
21．（2022·湖北省直辖县级单位·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①AE＋BD＝AB，②∠APE＝∠C，③AQ＝BQ， ④BP＝2PQ，其中一定正确的个数有（ ）
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
22．（2022·湖北鄂州·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在边AC上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD＝2，AC＝6，△OCD周长的最小值是（ ）
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A．8 B．10 C．12 D．14
23．（2022·重庆涪陵·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，，E为矩形ABCD内一点且为等边三角形，连接CE并延长交AD于点F．若，则的度数为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．48° B．50° C．52° D．60°
24．（2022·湖南湘西·八年级期末）关于四个结论：①成轴对称的两个图形全等；②等边三角形有三条对称轴；③等腰三角形的一个角是100°，它的另外两个角相等；④点关于y轴的对称点是点．正确的结论有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③
25．（2022·陕西汉中·八年级期末）如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和等边，为的中点，连接、，与相交于点，若，下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④．其中正确结论有（ ）21·cn·jy·com
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．（2022·广东深圳·八年级期末）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（ ）
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A．2 B． C． D．4
27．（2022·广东韶关·八年级期中）如图，分别以直角的斜边，直角边为边向外作等边和等边，为的中点，与交于点，与交于点，，．给出如下结论：①；②四边形为平行四边形；③；④；其中正确结论的是（ ）
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
28．（2022·江苏盐城·八年级开学 ( http: / / www.21cnjy.com )考试）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有（ ）
①△BPQ是等边三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°．
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A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
29．（2022·全国·八年级）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
30．（2022·江苏·八年级）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，C是线段AB上一动点，△ACD，△CBE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若AB＝4，则线段MN的最小值为（ ）
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A． B． C．2 D．
31．（2022·全国·八年级课时练习）如图，等边的顶点，，规定把“先沿轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，等边的顶点的坐标为（ ）
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A． B．
C． D．
32．（2022·广西贵港·八年级期末）如图，已知是边长为4的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，动点、分别在边、上，且，则的周长是（ ）21教育网
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A．12 B．10 C．8 D．6
33．（2022·山东东营·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB AD为边向外作等边△ABE △ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A E之间，连接CE CF EF，则以下四个结论：①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．一定正确的有（ ）个
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第II卷（非选择题）
二、填空题
34．（2022·湖北襄阳·八年级期末）如图，，，三点在同一直线上，和均为等边三角形，连结，，若，那么______．
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35．（2022·内蒙古包头·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，△ABC是等边三角形，边长为2，以边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，那么点A的坐标为______．
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36．（2022·广东·肇庆市地质中 ( http: / / www.21cnjy.com )学八年级期中）已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长是_______．
37．（2022·山东威海·八年级期末）将等边三角形绕它的中心旋转一周，可与原图形重合的次数为______次．【版权所有：21教育】
38．（2022·天津天津·八年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，等边三角形ABC的边长为8，AD是BC边中线，点E是AB边上一动点，以EA，ED为边作平行四边形AEDF．
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（1）AD的长为_________．
（2）EF的最小值为_________．
39．（2022·广东深圳·八年级期末）如图，是等边的角平分线，，则__________．
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40．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）如图，等边三角形的边长为6，则高__________．
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41．（2022·江苏·八年级专题练面直角坐标系内有一等边△ABC，点，，点C在y轴的正半轴上，若一次函数的图象与△ABC有交点时，则b的取值范围是____________．
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42．（2022·山东·青岛三十九中八年级期中）如图．等边的边长为，是边上的中线，是上的动点，是的动点，的最小值为________．
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43．（2022·江苏·八年级专题练习）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在等边△ABC中，点E是边AC上一点，AD为BC边上的中线，AD、BE相交于点F，若∠AEB＝100°，则∠AFB的度数为_____．
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三、解答题
44．（2022·贵州铜仁·八年级期末）在等边中，点分别在边上，且，与交于点．求证：；
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45．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且BD＝CE．求证：AD＝BE
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46．（2022·江西九江·八年级期末）如图，点是等边三角形外一点，，，．将绕点逆时针旋转60°后得到．
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(1)求证：是直角三角形；
(2)求的面积．
47．（2022·江苏·八年级）如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE．
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48．（2022·辽宁·盘山县教师 ( http: / / www.21cnjy.com )进修学校八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，延长BC到点E，使CE＝CD．请你猜想CE与BC的数量关系，并证明你的结论．
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49．（2022·北京·八年级期中）菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，且BE＝CE，AD＝4cm．
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(1)求BD的长；
(2)求菱形ABCD的面积．
50．（2022·陕西延安·八年级期末）在等边三角形中，AD是BC边上的高，E为AC的中点，P为AD上一动点，若，试求的最小值．
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51．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，和都是等边三角形，、、三点共线，连接交于点，连接交于点．21·世纪*教育网
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(1)求证：；
(2)求证：．
52．（2022·山东济南·八年级期末）如图，等边的边长为6，点P，D分别是BC、AC边上的点，且，，求CD的长．
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53．（2022·山东滨州·八年级期末）如图，在等边的上各取一点D，E，使相交于点M，过点B作直线的垂线，垂足为H．
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(1)求证：；
(2)若．
①求的面积；
②求的长．
54．（2022·吉林白城·八年级期末）如图，在等边中，AB＝24cm．射线，点E从点A出发沿射线AG以的速度运动．同时点F从点B出发沿射线BC以5cm/s的速度运动，设点E的运动时间为t（s）．解答下列问题：www-2-1-cnjy-com
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(1)点F在线段BC上运动时，CF＝______cm；当点F在线段BC的延长线上运动时，CF＝______cm（用含t的式子表示）．
(2)在整个的运动过程中，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，求t值；
(3)在整个的运动过程中，是否存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，若存在，求出t值：若不存在，说明理由．
55．（2022·四川·巴中市教育科学研究所八年级期末）如图，在四边形ABCD中，//，，于点E．
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(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若是等边三角形，，求的面积．
56．（2022·广东清远·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB，点C为x轴正半轴上一动点（），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．21教育名师原创作品
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(1)求证：△OBC≌△ABD．
(2)在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由．
(3)以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标和CD的长度．
57．（2022·贵州铜仁·八年级期末）如图1，点E、F分别是等边边、上的动点（端点除外），点E从顶点A向顶点B运动，点F从顶点B向顶点C运动，点E、F同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点G．
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(1)求证：；
(2)当点E、F分别在、边上运动时，变化吗？若变化请说明理由，若不变，求出它的度数；
(3)如图2，若点E、F在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为G，则变化吗？若变化请说明理由，若不变，求出它的度数．
58．（2022·广东广州·八年级期末）如图，为等边三角形，四边形BCDE为正方形，，点M以每秒1个单位的速度从点A沿AC向点C运动，同时点N以同样的速度从点D沿DE向点E运动，当点M达到点C时，M，N同时停止运动，设点M的运动时间为t．【来源：21·世纪·教育·网】
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(1)当时，求的度数；
(2)若，求线段MN的长；
(3)当点M，N在运动时，求MN的最小值．
59．（2022·广东·普宁市华美实验学校八年级阶段练习）已知：△ABC为等边三角形．
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(1)如图1，点D、E分别为边BC、AC上的点，且BD=CE．求证：△ABD≌△BCE；
(2)在（1）的条件下，求∠AFE的度数；
(3)如图2，当点D在线段BC的延长线上，点E在线段CA的延长线上时，且BD=CE．求∠AFE的度数．
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