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绝密★启用前
专题24等边三角形的判定
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．三角形的三条高都在三角形内部
C．有一个角等于60°的三角形是等边三角形
D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
【答案】D
【解析】
【分析】
利用三角形的外角的性质、三角形的高线的定义、等边三角形的判定方法及直角三角形的全等的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，不符合题意；
B．钝角三角形的两条高在三角形的外部，故原命题错误，不符合题意；
C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故原命题错误，不符合题意；
D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
考查了命题与定理的知识，解题 ( http: / / www.21cnjy.com )的关键是了解三角形的外角的性质、三角形的高线的定义、等边三角形的判定方法及直角三角形的全等的判定等知识，难度不大．
2．（2022·云南昆明·八年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．有一个角是的等腰三角形是等边三角形
B．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质逐一判断即可．
【详解】
解：A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故A不符合题意；
B．等腰三角形的顶角的角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，故B符合题意；
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，故C不符合题意题意；
D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故D不符合题意题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．21·世纪*教育网
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校八年级开学考试）满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（ ）
①有两个角是60°的三角形；②有两个外 ( http: / / www.21cnjy.com )角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等边三角形的概念：三边相等，三个角都是60°的三角形，进行判断即可．
【详解】
解：①若两个角都是60°，则第三个角也是60°，是等边三角形；
②有两个外角相等的三角形只能证明为等腰三角形，无法判断是否为等边三角形；
③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等，则三个内角都相等，是等边三角形；
④一边上的高也是这边中线的等腰三角形，可能是底边上的高与中线，等腰三角形有“三线合一”，不能判定为等边三角形．
以上能得到等边三角形的有2个，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的定义是解题的关键．
4．（2022·安徽合肥·八年级期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于该三角形任意一个内角
B．如果点P（x，y）的坐标满足xy＜0，那么点P一定在第二象限
C．如果两个直角三角形，有两组边分别相等，则这两个直角三角形全等
D．如果一个等腰三角形的一个内角为60°，那么这个三角形是等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形外角性质、平面直角坐标系特点、全等三角形的判定和等边三角形的判定判断即可．
【详解】
解：A、三角形的外角大于该三角形任意一个不与它相邻的内角，原命题是假命题；
B、如果点P（x，y）的坐标满足xy＜0，那么点P不一定在第二象限，可能在第四象限，原命题是假命题；21世纪教育网版权所有
C、如果两个直角三角形，有两组边分别相等，那么这两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；
D、如果一个等腰三角形的一个内角为60°，那么这个三角形是等边三角形，是真命题；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判断，要熟练掌握，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．21·cn·jy·com
5．（2022·福建省漳州第一中学八年级期中）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为，那么这个三角形一定为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．
【详解】
解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为等边三角形．
故选：A．
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定，属于基础知识．
6．（2022·河北沧州·八年级期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图是一款圣诞帽，该帽子的下方是正六边形ABCDEF，延长BA，EF，交于点G，则帽子的顶部△GAF的形状是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．只有两边相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正六边形的外角等于60°，可得，即可求解．
【详解】
解：∵正六边形ABCDEF，
∴，
△GAF是等边三角形，
故选B
【点睛】
本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定，掌握正多边形的每个外角相等是解题的关键．
7．（2022·河南洛阳·八年级期末）下列命题中的假命题是（ ）
A．若，则
B．有一个角为的等腰三角形是等边三角形
C．若一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形
D．等腰三角形底边上的高平分它的顶角
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等式的性质，等腰三角形的判定和性质及等边三角形的判定分别判断后即可判定．
【详解】
解：A、若，则或，故为假命题；
B、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故为真命题；
C、若一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形，故为真命题；
D、等腰三角形底边上的高平分它的顶角，故为真命题；
故选A．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等腰三角形的判定和性质及等边三角形的判定，难度不大．
8．（2022·四川眉山·八年级期末）给出下列命题：
（1）每个命题都有逆命题；
（2）任意一个无理数的绝对值都是正数；
（3）－3没有立方根；
（4）有一个角是60°的三角形是等边三角形．
其中真命题的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据逆命题的定义判断（１）；根据无理数的绝对值判断（２）；根据任何数都有立方根判断（３）；根据等边三角形的判定说明（４），即可得出答案．
【详解】
因为每一个命题都有逆命题，所以（１）是真命题；
因为无理数包括正负无理数，它们的绝对值都是正数，所以（２）是真命题；
因为-3的立方根是，所以（３）不是真命题；
因为有一角是60°的三角形不一定是等边三角形，所以（４）不是真命题．
则真命题的个数是2．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了真命题，掌握定义是解题的关键．正确的命题是真命题．
9．（2022·江苏·八年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．三角形的三个内角中至少有两个是锐角
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
D．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等
【答案】D
【解析】
【分析】
由等边三角形的判定可判断A，由三角形的内角和定理可判断B，由等腰三角形的判定可判断C，由垂直平分线的性质可判断D，从而可得答案．21教育网
【详解】
解：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，正确，故A不符合题意；
三角形的三个内角中至少有两个是锐角，正确，故B不符合题意；
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，正确，故C不符合题意；
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三条顶点的距离相等，原说法错误，故D符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查的是等边三角形的判定，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，掌握以上基础概念与性质是解本题的关键，
10．（2022·广东东莞·八年级期中）如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AC＝4，则AB的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B．4 C．2 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
由矩形的性质得出OA=OB=2，再证明△AOB是等边三角形，得出AB=OA即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=AC=2，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB=2，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=2；
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
11．（2022·广西崇左·八年级期末）下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A．三边都相等的三角形 B．三个角都相等的三角形
C．有一个角等于的三角形 D．有两个角等于的三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等边三角形的定义和判定定理，即可解答．
【详解】
解：A、三边都相等的三角形是等边三角形，正确，故本选项不符合题意；
B、三个角都相等的三角形三边都相等，故此三角形是等边三角形，正确，故本选项不符合题意；
C、有一个角等于的三角形，不一定是等边三角形，错误，故本选项符合题意；
D、有两个角是60°的三角形，那么第三个角也是60°，故是等边三角形，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定，解决本题的关键是熟记等边三角形的定义和判定定理．
12．（2022·广东·龙岭初级中学八年级期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．有一个角是60°的三角形是等边三角形
B．三角形的三条角平分线的交点到三角形三边距离相等
C．三角形的高线将三角形分成面积相等的两部分
D．点P到线段AB的两端点距离相等，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等边三角形的判定定理，三角形角平分线的性质，三角形中线的性质，垂直平分线的性质逐项分析判断即可．21cnjy.com
【详解】
A. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 三角形的三条角平分线的交点到三角形三边距离相等，故该选项正确，符合题意；
C. 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，故该选项不正确，不符合题意；
D. 点P到线段AB的两端点距离相等且平分线段，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线，故该选项不正确，不符合题意；【来源：21·世纪·教育·网】
故选：B．
【点睛】
本题考查了真假命题的判断，掌握等边三角形的判定定理，三角形角平分线的性质，三角形中线的性质，垂直平分线的性质是解题的关键．21教育名师原创作品
13．（2022·福建泉州·八年级期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角是60°的三角形是等边三角形 B．1的算术平方根为1
C．0没有立方根 D．若，则
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用等边三角形的判定方法、算术平方根、立方根分别分析进而得出答案．
【详解】
A、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，A选项是假命题；
B、1的算术平方根为1，B选项是真命题；
C、0的立方根是0，C选项是假命题；
D、若，则，D选项是假命题；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，正确把握等边三角形的判定方法、算术平方根、立方根是解题关键．
14．（2022·江苏·八年级专题练习）已知a，b，c为△ABC的三边长，且＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质及算术平方根的性质求出a、b，b、c的关系，即可得解．
【详解】
解：根据题意得，a2-2ab+b2=0，b-c=0，
解得a=b，b=c，
所以，a=b=c，
所以，△ABC的形状是等边三角形．
故选：B．
【点睛】
本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
15．（2022·河南郑州·八年级期中）下列命题中，假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两个底角相等 B．直角三角形的两个锐角互余
C．有两个内角是 60°的三角形是等边三角 D．等腰三角形的两个底角的平分线互相垂直
【答案】D
【解析】
【分析】
根据真假命题的概念以及直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定逐一判定即可．
【详解】
A、等腰三角形的性质等腰三角形的底角相等．故此选项是真命题，不符合题意；
B、直角三角形的两个锐角互余，此选项为真命题，不符合题意；
C、有两个内角是60°的三角形是等边三角形，故此选项是真命题，不符合题意；
D、等腰三角形的两个底角的平分线不一定垂直，故此选项是假命题，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查真假命题的概念以及直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定．掌握以上知识是解题的关键．
16．（2022·重庆巴南·八年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
C．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
【答案】A
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质解决此题．
【详解】
解：A、根据一个锐角和一 ( http: / / www.21cnjy.com )条边分别相等的两个直角三角形，得这两个直角三角形中有两个角分别相等，但无法推断一组对应边相等，那么A错误，那么A符合题意；
B、根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，那么B正确，故B不符合题意；
C、根据三角形的内角和定理，由三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )两个内角等于60°，得这个三角形的三个内角均为60°，根据等边三角形的判定，这个三角形是等边三角形，那么C正确，故C不符合题意；
D、根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线及底边上的高相互重合，那么D正确，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质是解决本题的关键．
17．（2022·广东中山·八年级期末）如图，已知直角三角形ABC中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【解析】
【分析】
分三种情况讨论：画出符合题意的图形，从而可得答案.
【详解】
解：如图，当时，为等腰三角形，
当时，为等腰三角形，
当时，而
所以是等边三角形，
当时，为等腰三角形，
( http: / / www.21cnjy.com / )
符合条件的点有6个，
故选C
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的判定，清晰的分类讨论是解本题的关键.
18．（2022·江苏苏州·八年级期末）在中，为边上的中线，，．下列结论：①是直角三角形；②是等边三角形；③；④，其中正确结论的个数为（ ）21*cnjy*com
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意得出AD=BD=CD，由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，由三角形内角和定理得出∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90°，即可判断结论①正确；由BD=CD=BC=3，可得△BCD是等边三角形，即可判断结论②，③正确；在Rt△ABC中，求出AC=AB =，即可判断结论④错误．
【详解】
解：∵CD是AB边上的中线，AB=6，
∴AD=BD=AB=3，
∵CD=3，
∴AD=BD=CD，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，
∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
即∠ACB=90°，△ABC是直角三角形，故①正确；
∵BD=CD=BC=3，
∴△BCD是等边三角形，故②正确；
故③正确；
( http: / / www.21cnjy.com / )
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6，
∴AC=AB=，
∵BC=3，
∴AC=BC，故④错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定、直角三角形的判定、三角形内角和定理；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【出处：21教育名师】
19．（2022·山东滨州·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）已知a﹑b﹑c为△ABC的三条边边长，且满足等式a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
首先利用分组分解法对已知等式的左边进行因式分解，再根据三角形的三边关系得到，从而得到答案．
【详解】
解：∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0
∴
∴；
∴
∴为等边三角形．
故选B．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断，以及灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题．
20．（2022·山东东营·八年级期末）如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接OE，下列结论①；②OD=AB；③；④；其中成立的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由可判定①，证明∠BAC=90°，可判定②；由平行四边形的面积公式可判定③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定④．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∠CAD=∠EAC，OB=OD，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAC=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE，
∵
∴EC=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵∠BAD=120°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，故②错误；
∴S ABCD=AB AC=AC CD，故③正确；
∵∠BAC=90°，BC=2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD=1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，
∴S四边形OECD：S ABCD=3：8，
∵S△AOD：S ABCD=1：4，
∴故④正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，等边三角形的性质和判定，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键．
21．（2022·江苏·八年级课时练习）已知直线l及直线l外一点P．如图，
（1）在直线l上取一点A，连接PA；
（2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O；
（3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q；
（4）作直线PQ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．△OPQ≌△OAB B．PQ∥AB
C．AP＝BQ D．若PQ＝PA，则∠APQ＝60°
【答案】C
【解析】
【分析】
连接AQ，BP，如图，利用基本作图得到B ( http: / / www.21cnjy.com )Q垂直平分PA，OB＝OQ，则可根据“SAS”判断△OAB≌△OPQ，根据全等三角形的性质得∠ABO＝∠PQO，于是可判断PQ∥AB；由BQ垂直平分PA得到QP＝QA，若PQ＝PA，则可判断△PAQ为等边三角形，于是得到∠APQ＝60°，从而可对各选项进行判断．
【详解】
解：连接AQ，BP，如图，
由作法得BQ垂直平分PA，OB＝OQ，
∴∠POQ＝∠AOB＝90°，OP＝OA，
∴△OAB≌△OPQ（SAS）；
∴∠ABO＝∠PQO，
∴PQ∥AB；
∵BQ垂直平分PA，
∴QP＝QA，
若PQ＝PA，则PQ＝QA＝PA，此时△PAQ为等边三角形，则∠APQ＝60°．
故选：C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查基本作图、全等三角形的性质和判定、等边三角形的判定和平行线的判定，牢记性质和判定是解题的关键.
22．（2022·山东滨州·八年级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①∠CAD=30° ② ③S平行四边形ABCD=AB AC ④ ，正确的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
①先根据角平分线和平行四边形性质得：∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )E=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；
②先根据三角形中位线定理得：OE=AB=，OE∥AB，根据勾股定理计算OC=和OD的长，可得BD的长；
③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断.
【详解】
①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①正确；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE=AB=，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，Rt△EOC中，OC==，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，OD==，
∴BD=2OD=，
故②正确；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S ABCD=AB AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB，
∵AB=BC，
∴OE=BC=AD，
故④正确；
正确的有：①②③④，
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质、直角三角形的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键．
23．（2022·黑龙江省八五五农场学校八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：连接AC，根据题意可得△ABC为等边三角形，则AC=80海里.
考点：等边三角形的性质
第II卷（非选择题）
二、填空题
24．（2022·广东阳江·八年级期末）已知有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的周长为 ___．
【答案】12
【解析】
【分析】
先证明这个等腰三角形是等边三角形，再求周长即可．
【详解】
解：∵有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，
∴这个等腰三角形是等边三角形，边长为4，
它的周长为3×4=12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定，解题关键是熟记有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
25．（2022·江苏·八年级）中，∠A=∠B=60°，AB=3，那么BC=___________________.
【答案】3
【解析】
【分析】
由△ABC中，∠A=∠B=60°，即可证得△ABC是等边三角形，又由AB=3，即可求得BC的长.
【详解】
解：∵△ABC中，∠A=∠B=60°
∴∠A=∠B=∠C=60°
∴△ABC等边三角形
∴.BC=AB=3
故答案为3.
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质，此题比较简单，解题的关键是等边三角形的判定.
26．（2022·广东梅州·八年级期末）已知a，b，c是的三边的长，且满足，则的形状为______三角形．
【答案】等边
【解析】
【分析】
利用完全平方公式把原式变形为，再利用平方的非负性，可得，即可求解．
【详解】
解∶∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴△ABC为等边三角形．
故答案为：等边
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定，完全平方公式的应用，熟练掌握等边三角形的判定，完全平方公式是解题的关键．
27．（2022·江苏·八年级）有一个角是____的等腰三角形是等边三角形．
【答案】60°##60度
【解析】
【分析】
根据等边三角形的判定定理即可求解．
【详解】
解：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定，关键是根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答．
28．（2022·河南新乡·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )已知a，b，c是△ABC的三边的长，且满足2a2+b2+c2-2a（b+c）=0，则△ABC的形状为________________ 三角形．www-2-1-cnjy-com
【答案】等边
【解析】
【分析】
运用完全平方公式将等式化简，可求a=b=c，则△ABC是等边三角形．
【详解】
解：∵2a2+b2+c2-2a（b+c）=0，
∴（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）=0，
∴（a-b）2+（a-c）2=0，
∴a-b=0且a-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC的形状为等边三角形．
故答案为：等边．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式解决问题是本题的关键．
29．（2022·全国·八年级课时练习）如图，点B、C、E在同一条直线上，与都是等边三角形，下列结论：①AE=BD；②；③线段AE和BD所夹锐角为80°；④FG∥BE．其中正确的是______．（填序号）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】①②④
【解析】
【分析】
利用等边三角形的性质证明可判断①，利用，可得利用三角形的外角的性质可得 从而可判断③， 再结合等边三角形的性质证明可判断②， 由可得：，结合可得，从而可判断④．
【详解】
解：如图，记与的交点为，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵与都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°
∵点B、C、E在同一条直线上，
∴∠ACD=60°，
∴∠BCD=∠ACE=120°
在和中，
∴，
所以结论①正确；
∵，
∴∠BDC=∠CEA，
∵∠AHB=∠DBE+∠BEA=∠DBE+∠BDC=180°∠BCD=60°， 所以③错误；
在和中，
，
∴，
∴所以②正确；
，
∵CG=CF，∠ACD=60°，
∴∠GFC=60，
又∵∠DCE=60°，
∴∠GFC=∠DCE，
∴GF∥BC，所以④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定，平行线的判定，解决本题的关键是找到判定三角形全等的条件．
30．（2022·贵州省毕节市 ( http: / / www.21cnjy.com )威宁彝族回族苗族自治县保家中学八年级期中）已知一个三角形的三边长a、b、c，满足(a-b)2+|b-c|=0，则这个三角形是____ 三角形.
【答案】等边
【解析】
【分析】
根据任意一个数的绝对值都是非负数和偶次方具有非负性可得：，再根据三角形的判断方法即可知道该三角形的形状．
【详解】
∵(a-b)2+|b-c|=0
∴(a-b)2=0，|b-c|=0
∴a=b，b=c
∴a=b=c
∴这个三角形是等边三角形．
【点睛】
本题考查了任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0、偶次方的非负性以及等边三角形的判定．
三、解答题
31．（2022·重庆沙坪坝·八年级期末）如图，点为菱形的对角线与的交点．
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(1)若，，求菱形的周长；
(2)若垂直且平分，垂足为点，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)20
(2)为等边三角形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用菱形的性质求出OA，OB，利用勾股定理求出AB，再根据菱形的周长公式计算；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得，根据菱形的性质可得，则可得为等边三角形．
（1）解：四边形是菱形，∴，，，，在中，，∴菱形的周长为：5×4＝20；
（2）为等边三角形，理由：垂直且平分，， 四边形是菱形，，，为等边三角形．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
32．（2022·福建泉州·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
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【答案】见解析
【解析】
【分析】
只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A＝∠C，推出BA＝BC，又AB＝AC，即可推出AB＝BC＝AC；
【详解】
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴∠A＝∠C，
∴BA＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】
本题考查了HL证明三角形全等以及全等三角形的性质、等边三角形的判定，解题的关键是证明Rt△ADE≌Rt△CDF．
33．（2022·山西大同·八年级期末）如图，在的菱形斜网格图中（每个小菱形的边长均为1，且较小的内角为），我们把每个菱形网格的交点叫做格点，四个顶点都在格点上的矩形叫做格点矩形．请按下列要求作图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)在图1中画出一个以为边的格点矩形．
(2)在图2中画出一个面积为的格点矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）找到格点，则根据菱形的性质，根据矩形的判定定理，可得四边形是矩形；
（2）根据每个小菱形的边长均为1，且较小的内角为，可得,，则进行的面积为，
(1)
如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据每个网格为菱形，找到格点，则
四边形是矩形；
(2)
如图，是等边三角形，是三角形边上的高，设（为正整数）
则，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
边长为等边三角形的高等于，
如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
每个小菱形的边长均为1，且较小的内角为，
,
则四边形的面积为符合题题意．
【点睛】
本题考查了菱形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
34．（2022·广西·靖西市教学研究室八年级期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
(1)若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
(2)若a＝4，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长．
【答案】(1)等边三角形
(2)9或10或11
【解析】
【分析】
（1）根据非负数的性质，可得出a=b=c，进而得出结论；
（2）根据三角形的三边关系可得出c的取值范围，进而可得出结论．
(1)
解：∵（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形；
(2)
解：∵a＝4，b＝2，且c为整数，
∴4﹣2＜c＜4+2，即2＜c＜6，
∴c＝3，4，5，
∴△ABC周长为9或10或11．
【点睛】
本题考查的是非负数的性质和三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键．
35．（2022·安徽芜湖 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，点E在AB上，将△BCE沿CE对折得到△FCE，EF恰好过点A，FC边与AD边交于点G，且DC=DG．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：△ABC≌△CDA；
(2)试判断△FAG的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)等边三角形，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据SAS即可证明结论；
（2）结合（1）可得∠BCA=∠DAC，然后根据平行线的性质可得∠FAG=∠AFG=∠FGA，进而可以解决问题．
(1)
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵在△BCA和△DCA中，
，
∴△BAC≌△DCA（SAS）；
(2)
解：△FAG是等边三角形．理由如下：
∵△BAC≌△DCA，
∴∠BCA=∠DAC，
∴BC∥AD，
∴∠FAG=∠ABC，
由折叠的性质知：∠ABC =∠BFC，
∴∠FAG=∠AFG，
∵DC=DG，
∴∠DCG=∠DGC=∠FGA，
∵AB∥CD，
∴∠AFG=∠DCG，
∴∠FAG=∠AFG=∠FGA，
所以△FAG是等边三角形．
【点睛】
本题考查翻折变换，全等三角形的判定与性质，利用平行线的性质，确定△FAG是等边三角形是解本题的关键．
36．（2022·广东广州·八年级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)尺规作图：作边BC的垂直平分线，与边BC，AB分别交于点D和点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)若点E是边AB的中点，AC＝BE，求证：△ACE是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意作出线段BC的垂直平分线即可；
（2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定定理即可得到结论．
(1)
解：如图所示，直线DE即为所求；
( http: / / www.21cnjy.com / ) ，
(2)
证明：∵∠ACB=90°，点E是边AB的中点，
∴AE=BE=CE=AB，
∵AC=BE，
∴AC=AE=CE，
∴△ACE是等边三角形．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．
37．（2022·福建·厦门市槟榔中学八年级期末）如图，四边形中，，平分，．求证：是等边三角形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见详解
【解析】
【分析】
由平行线的性质可得，然后可得，进而问题可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握等边三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．
38．（2022·上海市民办文绮中学八年级期中）如图，在 ABCD中，AB＝AE．
（1）求证：AC＝ED；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°．求∠ACD的度数．
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【答案】（1）见解析；（2）85°
【解析】
【分析】
（1）△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B＝∠DAE即可证明ABC≌EAD（SAS），进而得出答案；
（2）先证明ABE为等边三角形，利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B．
∴∠B＝∠DAE．
在△ABC和△AED中，
，
∴ABC≌EAD（SAS），
∴AC＝ED．
（2）解：∵AE平分∠DAB（已知），
∴∠DAE＝∠BAE；
又∵∠DAE＝∠AEB，∠AEB＝∠B．
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B．
∴ABE为等边三角形．
∴∠BAE＝60°．
∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝85°．
∴∠ACD＝∠BAC＝85°．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质，等 ( http: / / www.21cnjy.com )边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，（1）中能根据题意得出△ABC≌△EAD并证明是解题关键；（2）中能结合（1）推出△ABE为等边三角形是解题关键．
39．（2022·山东东营·八年级期末）如图1，在等腰三角形中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
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(1)观察猜想：图1中，线段、的数量关系是______，的大小为______；
(2)探究证明：把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)NM＝NP；60°；
(2)△MNP是等边三角形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）先证明由AB＝AC，AD＝AE，得BD＝CE，再由三角形的中位线定理得NM与NP的数量关系，由平行线性质得∠MNP的大小；
（2）先证明△ABD≌△ ( http: / / www.21cnjy.com )ACE得BD＝CE，再由三角形的中位线定理得NM＝NP，由平行线性质得∠MNP＝60°，再根据等边三角形的判定定理得结论；
（1）解：∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，∴∠MNE＋∠ENP＝∠ABE＋∠AEB，∵∠ABE＋∠AEB＝180° ∠BAE＝60°，∴∠MNP＝60°，故答案为：NM＝NP；60°；
（2）解：△MNP是等边三角形．理由如下：由旋转可得，∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥BD，PN∥CE，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，∴∠ENP＝∠NBP＋∠NPB＝∠NBP＋∠ECB，∵∠EBD＝∠ABD＋∠ABE＝∠ACE＋∠ABE，∴∠MNP＝∠MNE＋∠ENP＝∠ACE＋∠ABE＋∠EBC＋∠EBC＋∠ECB＝180° ∠BAC＝60°，∴△MNP是等边三角形．
【点睛】
本题是三角形的一个综合题，主要考查了等 ( http: / / www.21cnjy.com )边三角形的判定，三角形的中位线定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，关键证明三角形全等和运用三角形中位线定理使已知与未知联系起来．
40．（2022·广东·梅华中学八年级期中）如图所示，已知A（0，0），OC=1，∠OCB=60°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第n个等边三角形的边长为___________.
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【答案】
【解析】
【分析】
根据题目已知条件可推出，依此类推，找到规律求得第n个等边三角形的边长即可求解．
【详解】
解：∵点C（0，1）， △AA1B1为等边三角形，∠A1AB1=60°，
∴∠COA1=30°，
∴∠CA1O=90°，
∵，
在Rt△CAA1中， ，
同理可得，
……
依此类推，第n个等边三角形的边长等于．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查坐标与图形性质，等边三角形的性质及解直角三角形，从而归纳出边长的规律是解题的关键．
41．（2022·四川乐山· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，在△ABC中，已知D是边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足，且BE=CF，∠BDE=30°．求证：△ABC是等边三角形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用“HL”证明△BED和 ( http: / / www.21cnjy.com )△CFD全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠C，然后根据等角对等边得到AB＝AC，再求得∠B＝60°，即可详解．
【详解】
证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC（等角对等边）．
∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，
∴∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等角对等边的性质，等边三角形的判定，解题的关键是证明△BED≌△CFD．
42．（2022·云南大理·八年级期末）先阅读，再解答．
例：，求的值．
解：∵
∴
即
(1)已知，求的值；
(2)已知为ΔABC的三边，且满足判断ΔABC的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)等边三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用完全平方公式把原式变形为（x－3）2＋（2y＋1）2＝0，再根据完全平方的非负性求出x和y的值，即可求出xy的值．
（2）利用完全平方公式，把原式变形为（a－b）2＋（b－c）2＝0，再根据完全平方的非负性．确定a、b及c的关系式，即可作出判断．
(1)
解：∵
∴
即
∵
∴
∴
∴．
(2)
解：ΔABC是等边三角形，
理由∵
∴
∴
∵
∴
∴
即
∴ΔABC是等边三角形．
【点睛】
本题考查了配方法的应用以及非负数的性质，等边三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
43．（2022·广西百色·八年级期末）如图，在中，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)当t为何值时，为等边三角形？
(2)当t为何值时，为直角三角形？
【答案】(1)当t=2时，△PBQ为等边三角形；
(2)当t=1.5或t=2.4时，△PBQ为直角三角形．
【解析】
【分析】
先用含t的代数式表示出BP、BQ．
（1）由于∠B=60°，当BP=BQ时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论；
（2）分两种情况进行讨论 ( http: / / www.21cnjy.com )：①当∠BQP=90°时，②当∠BPQ=90°时．利用直角三角形中，含30°角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论．
(1)
解：在△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵6÷2=3，
∴0≤t≤3，BP=（6-2t）cm，BQ=t cm．
当BP=BQ时，△PBQ为等边三角形，
即6-2t=t， ∴t=2；
当t=2时，△PBQ为等边三角形；
(2)
若△PBQ为直角三角形， ①当∠BQP=90°时，BP=2BQ，
即6-2t=2t，
∴t=1.5，
②当∠BPQ=90°时，BQ=2BP，
即t=2（6-2t），
∴t=2.4．
即当t=1.5或t=2.4时，△PBQ为直角三角形．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形、等边 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形以及分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，得到关于t的一次方程是解决本题的关键．
44．（2022·江苏·八年级）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：∠C＝∠CDE．
(2)若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)等边三角形，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等边对等角，平行线的性质即可得证；
（2）根据等边三角形的判定定理即可求解．
(1)
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE∥AB，
∴∠CDE＝∠B，
∴∠C＝∠CDE；
(2)
△DEC是等边三角形，
理由：∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠A＝60°，
由（1），△DEC是等腰三角形，
∴△DEC是等边三角形．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形性质和判定以及平行线的性质，得出△DEC是等腰三角形是解题关键．
45．（2022·贵州遵义·八年级期末）阅读：我们已经学习将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，对于公式法分解因式中的公式：，数学学习小组的同学通过思考，认为可以这样来证明：www.21-cn-jy.com
……裂项（即把一项分裂成两项）
……分组
……组内分解因式
……整体思想提公因式
由此得到：公式的证明．
(1)仿照上面的方法，证明：
(2)分解因式：
(3)已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)为等边三角形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）模仿题干中的步骤证明即可；
（2）先裂项，再提取公因式即可；
（3）利用完全平方公式的非负性求解即可．
(1)
解：
……裂项（即把一项分裂成两项）
……分组
……组内分解因式
……整体思想提公因式
由此得到：公式的证明．
(2)
解：
(3)
解：为等边三角形，理由如下：
，
，
为等边三角形．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的证明，因式分解、完全平方公式的非负性，解题的关键是读懂题干信息，模仿题干步骤进行解答．【版权所有：21教育】
46．（2022·陕西安康·八年级期末）如图①，在中，，，点D为外的一点，且，，连接．
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(1)若，则D到边的距离为______．
(2)小明在图①的基础上，以为对称轴构造的轴对称图形，得到图②，连接，请判断的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)2
(2)为等边三角形，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）过点D作DF⊥BC于F，由含30度角直角三角形的性质求得DF=BD=BC；
（2）先求解，根据对称图形的性质得到BE=BC，从而可得答案．
(1)
解：如图①，过点D作DF⊥BC于F，
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∵BD=BC=4，∠DBC=30°，
∴DF=BD．
故答案是：2；
(2)
为等边三角形．
证明：∵，，
∴．
∵，
∴．
∵以为对称轴构造的轴对称图形，如图②
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴≌，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴为等边三角形．
【点睛】
本题主要考查了轴对称的性质，轴对称图形，等腰直角三角形的性质等知识点，难度不大，但是综合性比较强．
47．（2022·安徽宣城·八年级期末）如图1，，、相交于点F．
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(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)取的中点分别为点P、Q，连接，如图2，判断的形状，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)等边三角形，见解析
【解析】
【分析】
（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），可得结论；
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可；
（3）由条件先证明△APC≌△BQC，可求得∠PCA＝∠QCB，则可证明△PCQ为正三角形．
(1)
证明：如图1中，
∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
(2)
解：设CD交BE于点O，如图：
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∵△ACD≌△BCE，
∴∠CDA＝∠BEC，
∵∠DOF＝∠COE，
∴∠DFE＝∠DCE＝60°；
(3)
解：结论：△PCQ是等边三角形，理由如下：
∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，∠PAC＝∠QBC，
∵P、Q分别是AD、BE的中点，
∴AP＝BQ，
在△APC和△BQC中，，
∴△APC≌△BQC（SAS），
∴CP＝CQ，∠PCA＝∠QCB，
∴∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴△CPQ是正三角形．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
48．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室八年级期中）（1）若，求的值．
（2）已知a，b，c分别是的三边长，且满足，试确定的形状．
【答案】（1）-144 （2）等边三角形
【解析】
【分析】
（1）根据非负性的性质可得，，然后整体代入整理后的代数式进行求值；
（2）利用配方得到，再通过非负性得到、、的关系，再判断的形状．
【详解】
解：（1）∵
∴，
∴，
∵
∴原式
（2）∵
∴
∴，
∴
∴是等边三角形
【点睛】
本题考查了绝对值与平方的非负性、配方法以及因式分解的应用，解题关键是根据非负性得到条件．
49．（2022·北京·八年级期末）如图，是的平分线上一点，于，于，连接交于点，若．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)9
【解析】
【分析】
（1）先根据角平分线的性质定理得到DE= ( http: / / www.21cnjy.com )CE,然后再根据HL证明Rt△ODE≌Rt△OCE可得OD=OC,然后根据顶角是60°的等腰三角形是等边三角形即可证明结论；
（2）由（1）得Rt△ODE≌Rt△O ( http: / / www.21cnjy.com )CE可得∠EOA=∠EOB,进而求得∠EOD=30°，再根据直角三角形30°所对的边是斜边的一半，进而求得OE;再运用勾股定理求得OD,然后再求出DF，最后运用勾股定理．
(1)
证明：∵是的平分线上一点，于，于
∴DE=CE
在Rt△ODE和Rt△OCE中
DE=EC,OE=OE
∴Rt△ODE≌Rt△OCE
∴OD=OD
∵
∴是等边三角形．
(2)
解：∵Rt△ODE≌Rt△OCE
∴∠EOA=∠EOB
∵
∴2∠EOA=，即∠EOA=30°
∵DE=6
∴OE=12
∴OD=
∵∠EOA=30°
∴DF=
∴OF=．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质和判定定理成为解答本题的关键．
50．（2022·黑龙江 ( http: / / www.21cnjy.com )省八五四农场学校八年级期末）已知A，B，C为△ABC的三边，且a2+b2+b2=ab+bc+ac，试判断△ABC的形状，并说明理由
【答案】是等边三角形，证明见解析
【解析】
【分析】
根据题意化简得到，进而利用平方的非负性得到即可判断的形状．
【详解】
是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】
本题考查整式的化简，熟练掌握整式的化简运算和完全平方公式以及平方的非负性是解题的关键．
51．（2022·河北邯郸·八年级期末）在R ( http: / / www.21cnjy.com )t△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在AB上．
（1）若AC＝4，求DE的值；
（2）确定△ACD的形状，并说明理由．
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【答案】（1）8；（2）等边三角形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形的性质和旋转的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和得到∠A=60°，根据旋转的性质得到AC=CD，于是得到结论．
【详解】
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，
∴AB=2AC=8，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，
∴DE=AB=8；
（2）△ACD是等边三角形，
理由：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A=60°，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，
∴AC=CD，
∴△ACD是等边三角形．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．
52．（2022·陕西省汉阴县初级中学八年级期末）如图，在中，为的中点，，，垂足分别为，，且，，求证：是等边三角形．
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【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
用HL证△BED≌△CFD，得出∠B=∠C,再证∠B=60°即可．
【详解】
证明：∵，，
∴∠BED=∠CFD=90°,
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵，
∴∠B=60°，
是等边三角形．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用直角三角形的全等判定定理证明等腰，再依据等边三角形的判定进行证明．
53．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，点E，F是线段AB上的两个点，CE与DF交于点M．已知AF＝BE，AC＝BD，∠A＝∠B．21*cnjy*com
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若∠FME＝60°，求证：△MFE是等边三角形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【解析】
【分析】
（1）证得AE＝BF．根据SAS可得结论；
（2）由△ACE≌△BDF，可得∠CEA＝∠DFB，则结论得证．
【详解】
（1）∵AF＝BE，
∴AF＋EF＝BE＋EF，
即AE＝BF．
∵AC＝BD，∠A＝∠B，
∴△ACE≌△BDF（SAS）．
（2）∵△ACE≌△BDF，
∴∠CEA＝∠DFB，
∴ME＝MF，
∵∠FME＝60°，
∴△MFE是等边三角形．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质和等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
54．（2022·江苏·八年级）如图，在中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：是等边三角形．
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【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先根据等腰三角形的性质可得，，再根据角的和差即可得；
（2）先根据三角形的外角性质可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据等边三角形的判定即可得证．2-1-c-n-j-y
【详解】
（1）在中，，
，
，
，
；
（2）由（1）可知，，
，
点D为线段EC的中点，即AD为斜边EC上的中线，
，
是等边三角形．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的外角性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定等知识点，较难的是题（2），熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．
55．（2022·江苏·八年级）如图，点 D 在线段 BC 上，∠B=∠C=∠ADE=60°，AB=DC，
求证：△ADE 为等边三角形．
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【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
首先证明BAD CDE，再证明△BAD ≌△CDE得到AD DE，最后根据等边三角形的判定定理证明即可．
【详解】
证明：在△ ABD 中， BAD 180 B ADB
∵ CDE 180 ADE ADB，B ADE 60
∴ BAD CDE
在△ BAD 和△ CDE 中，
∴△ BAD ≌△ CDE （ASA）
∴ AD DE
∵ ADE 60
∴△ ADE 是等边三角形．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握判定定理是解答此题的关键．
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绝密★启用前
专题24等边三角形的判定
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．三角形的三条高都在三角形内部
C．有一个角等于60°的三角形是等边三角形
D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
2．（2022·云南昆明·八年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．有一个角是的等腰三角形是等边三角形
B．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校八年级开学考试）满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（ ）21世纪教育网版权所有
①有两个角是60°的三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形；②有两个外角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022·安徽合肥·八年级期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于该三角形任意一个内角
B．如果点P（x，y）的坐标满足xy＜0，那么点P一定在第二象限
C．如果两个直角三角形，有两组边分别相等，则这两个直角三角形全等
D．如果一个等腰三角形的一个内角为60°，那么这个三角形是等边三角形
5．（2022·福建省漳州第一中学八年级期中）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为，那么这个三角形一定为（ ）21·cn·jy·com
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
6．（2022·河北沧州·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图是一款圣诞帽，该帽子的下方是正六边形ABCDEF，延长BA，EF，交于点G，则帽子的顶部△GAF的形状是（ ）
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A．只有两边相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．无法确定
7．（2022·河南洛阳·八年级期末）下列命题中的假命题是（ ）
A．若，则
B．有一个角为的等腰三角形是等边三角形
C．若一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形
D．等腰三角形底边上的高平分它的顶角
8．（2022·四川眉山·八年级期末）给出下列命题：
（1）每个命题都有逆命题；
（2）任意一个无理数的绝对值都是正数；
（3）－3没有立方根；
（4）有一个角是60°的三角形是等边三角形．
其中真命题的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
9．（2022·江苏·八年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．三角形的三个内角中至少有两个是锐角
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
D．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等
10．（2022·广东东莞·八年级期中）如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AC＝4，则AB的长为（ ）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B．4 C．2 D．4
11．（2022·广西崇左·八年级期末）下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A．三边都相等的三角形 B．三个角都相等的三角形
C．有一个角等于的三角形 D．有两个角等于的三角形
12．（2022·广东·龙岭初级中学八年级期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．有一个角是60°的三角形是等边三角形
B．三角形的三条角平分线的交点到三角形三边距离相等
C．三角形的高线将三角形分成面积相等的两部分
D．点P到线段AB的两端点距离相等，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
13．（2022·福建泉州·八年级期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角是60°的三角形是等边三角形 B．1的算术平方根为1
C．0没有立方根 D．若，则
14．（2022·江苏·八年级专题练习）已知a，b，c为△ABC的三边长，且＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是（ ）2-1-c-n-j-y
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
15．（2022·河南郑州·八年级期中）下列命题中，假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两个底角相等 B．直角三角形的两个锐角互余
C．有两个内角是 60°的三角形是等边三角 D．等腰三角形的两个底角的平分线互相垂直
16．（2022·重庆巴南·八年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
C．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
17．（2022·广东中山·八年级期末）如图，已知直角三角形ABC中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
18．（2022·江苏苏州·八年级期末）在中，为边上的中线，，．下列结论：①是直角三角形；②是等边三角形；③；④，其中正确结论的个数为（ ）21*cnjy*com
A．1 B．2 C．3 D．4
19．（2022·山东滨州·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )已知a﹑b﹑c为△ABC的三条边边长，且满足等式a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
20．（2022·山东东营·八年级期末）如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接OE，下列结论①；②OD=AB；③；④；其中成立的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．（2022·江苏·八年级课时练习）已知直线l及直线l外一点P．如图，
（1）在直线l上取一点A，连接PA；
（2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O；
（3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q；
（4）作直线PQ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
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A．△OPQ≌△OAB B．PQ∥AB
C．AP＝BQ D．若PQ＝PA，则∠APQ＝60°
22．（2022·山东滨州·八年级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①∠CAD=30° ② ③S平行四边形ABCD=AB AC ④ ，正确的个数是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．1 B．2 C．3 D．4
23．（2022·黑龙江省八五五 ( http: / / www.21cnjy.com )农场学校八年级期末）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距( )【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里
第II卷（非选择题）
二、填空题
24．（2022·广东阳江·八年级期末）已知有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的周长为 ___．
25．（2022·江苏·八年级）中，∠A=∠B=60°，AB=3，那么BC=___________________.
26．（2022·广东梅州·八年级期末）已知a，b，c是的三边的长，且满足，则的形状为______三角形．21*cnjy*com
27．（2022·江苏·八年级）有一个角是____的等腰三角形是等边三角形．
28．（2022·河南新乡·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）已知a，b，c是△ABC的三边的长，且满足2a2+b2+c2-2a（b+c）=0，则△ABC的形状为________________ 三角形．
29．（2022·全国·八年级课时练习）如图，点B、C、E在同一条直线上，与都是等边三角形，下列结论：①AE=BD；②；③线段AE和BD所夹锐角为80°；④FG∥BE．其中正确的是______．（填序号）
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30．（2022·贵州省毕节市威宁彝族回族 ( http: / / www.21cnjy.com )苗族自治县保家中学八年级期中）已知一个三角形的三边长a、b、c，满足(a-b)2+|b-c|=0，则这个三角形是____ 三角形.
三、解答题
31．（2022·重庆沙坪坝·八年级期末）如图，点为菱形的对角线与的交点．
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(1)若，，求菱形的周长；
(2)若垂直且平分，垂足为点，判断的形状，并说明理由．
32．（2022·福建泉州·八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
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33．（2022·山西大同·八年级期末）如图，在的菱形斜网格图中（每个小菱形的边长均为1，且较小的内角为），我们把每个菱形网格的交点叫做格点，四个顶点都在格点上的矩形叫做格点矩形．请按下列要求作图：【版权所有：21教育】
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(1)在图1中画出一个以为边的格点矩形．
(2)在图2中画出一个面积为的格点矩形．
34．（2022·广西·靖西市教学研究室八年级期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
(1)若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
(2)若a＝4，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长．
35．（2022·安徽芜湖·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，点E在AB上，将△BCE沿CE对折得到△FCE，EF恰好过点A，FC边与AD边交于点G，且DC=DG．
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(1)求证：△ABC≌△CDA；
(2)试判断△FAG的形状，并说明理由．
36．（2022·广东广州·八年级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°．
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(1)尺规作图：作边BC的垂直平分线，与边BC，AB分别交于点D和点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）21教育网
(2)若点E是边AB的中点，AC＝BE，求证：△ACE是等边三角形．
37．（2022·福建·厦门市槟榔中学八年级期末）如图，四边形中，，平分，．求证：是等边三角形．
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38．（2022·上海市民办文绮中学八年级期中）如图，在 ABCD中，AB＝AE．
（1）求证：AC＝ED；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°．求∠ACD的度数．
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39．（2022·山东东营·八年级期末）如图1，在等腰三角形中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．www.21-cn-jy.com
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(1)观察猜想：图1中，线段、的数量关系是______，的大小为______；
(2)探究证明：把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】
40．（2022·广东·梅华中学八年级期中）如图所示，已知A（0，0），OC=1，∠OCB=60°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第n个等边三角形的边长为___________.【来源：21cnj*y.co*m】
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41．（2022·四川乐山 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期末）如图，在△ABC中，已知D是边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足，且BE=CF，∠BDE=30°．求证：△ABC是等边三角形．
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42．（2022·云南大理·八年级期末）先阅读，再解答．
例：，求的值．
解：∵
∴
即
(1)已知，求的值；
(2)已知为ΔABC的三边，且满足判断ΔABC的形状，并说明理由．
43．（2022·广西百色·八年级期末）如图，在中，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t．21·世纪*教育网
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(1)当t为何值时，为等边三角形？
(2)当t为何值时，为直角三角形？
44．（2022·江苏·八年级）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E．
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(1)求证：∠C＝∠CDE．
(2)若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由．
45．（2022·贵州遵义·八年级期末）阅读：我们已经学习将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，对于公式法分解因式中的公式：，数学学习小组的同学通过思考，认为可以这样来证明：
……裂项（即把一项分裂成两项）
……分组
……组内分解因式
……整体思想提公因式
由此得到：公式的证明．
(1)仿照上面的方法，证明：
(2)分解因式：
(3)已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由．
46．（2022·陕西安康·八年级期末）如图①，在中，，，点D为外的一点，且，，连接．
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(1)若，则D到边的距离为______．
(2)小明在图①的基础上，以为对称轴构造的轴对称图形，得到图②，连接，请判断的形状，并证明你的结论．
47．（2022·安徽宣城·八年级期末）如图1，，、相交于点F．
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(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)取的中点分别为点P、Q，连接，如图2，判断的形状，并加以证明．
48．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室八年级期中）（1）若，求的值．
（2）已知a，b，c分别是的三边长，且满足，试确定的形状．
49．（2022·北京·八年级期末）如图，是的平分线上一点，于，于，连接交于点，若．
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(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求线段的长．
50．（2022·黑龙江 ( http: / / www.21cnjy.com )省八五四农场学校八年级期末）已知A，B，C为△ABC的三边，且a2+b2+b2=ab+bc+ac，试判断△ABC的形状，并说明理由21cnjy.com
51．（2022·河北邯郸·八年级期末）在R ( http: / / www.21cnjy.com )t△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在AB上．
（1）若AC＝4，求DE的值；
（2）确定△ACD的形状，并说明理由．
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52．（2022·陕西省汉阴县初级中学八年级期末）如图，在中，为的中点，，，垂足分别为，，且，，求证：是等边三角形．
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53．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，点E，F是线段AB上的两个点，CE与DF交于点M．已知AF＝BE，AC＝BD，∠A＝∠B．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若∠FME＝60°，求证：△MFE是等边三角形．
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54．（2022·江苏·八年级）如图，在中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：是等边三角形．
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55．（2022·江苏·八年级）如图，点 D 在线段 BC 上，∠B=∠C=∠ADE=60°，AB=DC，
求证：△ADE 为等边三角形．
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