第2章 常用逻辑用语 重点题型专题讲义（含答案）

专题：常用逻辑用语重点题型
题型一：集合与推出关系
知识点：
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 命题p所在范围为集合A，命题q所在范围为集合B
p是q的充分不必要条件 p q且qp
p是q的必要不充分条件 pq且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分又不必要条件 pq且qp A与B没有包含关系
设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：“正话反说”
知识点：
以下五种表述形式是等价的
①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.
一般会把p的某某条件是q转化为q是p的某某条件来做题.
已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
已知，下列四个条件中，使“”成立的必要而不充分的条件是（ ）
A． B． C． D．
题型三：正难则反
知识点：命题与命题的否定是一真一假，因此如果题干中明确命题为假命题，则可以根据命题的否定去求参数.
5．命题：“”为假命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6. 命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
设函数，命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型四：已知命题之间的关系，求参数取值范围
知识点：若p是q的充分不必要条件，设p所在集合为A，q所在集合为B.由集合与推出关系可知，集合A包含于集合B.转为为集合间的包含关系求解即可.
已知命题或，命题或，若是的充分条件，则实数的取值范围是___________.
设，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是__________．
已知集合，集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
巩固提高
已知集合，，若命题，是真命题，则m的取值范围为______．
2．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______．
3．设，若是的必要条件，则实数的取值范围为______.
4．设或，或，，是的充分而不必要条件，则实数m的取值范围是______．
5．已知集合.若是的充分条件，求实数的取值范围；
6．已知命题 ， ，命题 .
(1)若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围.
7．已知p：关于x的方程有实数根，q：.
(1)若命题p是假命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
8．已知全集，集合，非空集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．
9．已知集合 ，，且．
(1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围．
专题：常用逻辑用语重点题型
题型一：集合与推出关系
知识点：
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 命题p所在范围为集合A，命题q所在范围为集合B
p是q的充分不必要条件 p q且qp
p是q的必要不充分条件 pq且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分又不必要条件 pq且qp A与B没有包含关系
设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求解不等式和，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】由得，
由，得，即，
；
“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用集合的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】对于A，，且，即是p的不充分不必要条件，A不是；
对于B，，且，即是p的不充分不必要条件，B不是；
对于C，，即是p的一个充分不必要条件，C是；
对于D，，即是p的必要不充分条件，D不是.
故选：C
题型二：“正话反说”
知识点：
以下五种表述形式是等价的
①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.
一般会把p的某某条件是q转化为q是p的某某条件来做题.
已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】转化为以下哪个选项是p的充分不必要条件，即哪个选项可以推出p而p推不出选项，依此判断即可.
【详解】A选项：，错误；B选项：，错误；
C选项：，，正确；
D选项：，错误.
故选：C.
已知，下列四个条件中，使“”成立的必要而不充分的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】转化为以下哪个选项是使“”成立的充分不必要条件，即哪个选项可以推出，而推不出选项，依此判断即可.
【详解】解：使成立的必要不充分条件，即能得到哪个条件，而由该条件得不到，
故对于A选项，可以得到，反之不成立，故是必要而不充分的条件；
对于B选项，可以得到，反之不成立，故是的充分不必要条件；
对于C选项，是的既不充分也不必要条件；
对于D选项，是的充分不必要条件.
故选：A．
题型三：正难则反
知识点：命题与命题的否定是一真一假，因此如果题干中明确命题为假命题，则可以根据命题的否定去求参数.
5．命题：“”为假命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】存在命题为假命题，则其否定是全称命题且为真命题，写出命题的否定，由不等式的性质可得结论．
【详解】命题为假命题，即命题为真命题.
首先，时，恒成立，符合题意；
其次时，则且，即，
综上可知，－4<
故选：A
6. 命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，为真命题，进而可得为真命题时的充要条件，再根据充分与必要条件的性质判断选项即可.
【详解】命题为假命题，即命题为真命题.
首先，时，恒成立，符合题意；
其次时，则且，即，
综上可知，.
结合选项可得，，即：是的一个充分不必要条件.
故选：C
设函数，命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由命题“”是假命题可得其否定为真命题，结合不等式恒成立问题的解决方法可求的取值范围.
【详解】因为命题“”是假命题，
所以，
又可化为，即，
当时，，
所以在上恒成立，
所以其中，
当时有最小值为1，此时有最大值为3，
所以，
故实数的取值范围是，
故选：D
题型四：已知命题之间的关系，求参数取值范围
知识点：若p是q的充分不必要条件，设p所在集合为A，q所在集合为B.由集合与推出关系可知，集合A包含于集合B.转为为集合间的包含关系求解即可.
已知命题或，命题或，若是的充分条件，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由充分条件列不等式组求参数范围.
【详解】由题意，所以.
故答案为：
设，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】由题知是的真子集，再根据集合关系求解即可.
【详解】解：因为是的充分非必要条件，是的真子集，
所以，当时，，解得，
当时，，解得．
综上，实数的取值范围是
故答案为：
已知集合，集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或；
(2)存在，.
【分析】（1）化简集合N，求出其补集，由列出不等式组求解即可；
（2）根据必要不充分条件转化为，列出不等式组求解即可.
（1）
由题意，，所以或，
因为，所以或，
解得或，
所以实数m的取值范围是或.
（2）
假设存在实数m，使得是的必要不充分条件，
则，即，
则，解得，
故存在实数使得是的必要不充分条件.
巩固提高
已知集合，，若命题，是真命题，则m的取值范围为______．
【答案】
【分析】由题可得，然后分类讨论根据集合的包含关系即得.
【详解】由于命题，是真命题，
所以,
当时，，解得；
当时，，
解得，
综上，m的取值范围是．
故答案为：．
2．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】由充分条件的定义可得实数的取值范围
【详解】由“”是“”的充分条件，知，故实数的取值范围为．
故答案为：
3．设，若是的必要条件，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据必要条件即得解.
【详解】因为是的必要条件，
所以是的子集，
即.
故答案为：.
4．设或，或，，是的充分而不必要条件，则实数m的取值范围是______．
【答案】##.
【分析】转化为集合问题，利用集合的真包含关系进行求解.
【详解】设集合或，或，．
因为是的充分而不必要条件，所以，所以，（等号不同时取到），解得．
故答案为：.
5．已知集合.若是的充分条件，求实数的取值范围；
【答案】；
【分析】根据条件关系可得集合的包含关系，从而可求实数的取值范围；
因为是的充分条件，故，
故，故.
6．已知命题 ， ，命题 .
(1)若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)先分别解出当命题、均为真时，实数的范围,再分真为假和假为真两种情况分别求解后取并集即可；
(2)运用补集思想，结合(1)中假假的结论，即可求得结论.
（1）
解：当命题为真时有：，解得;
当命题为真时有：，解得：，
又命题和命题有且只有一个为假命题，
当真时，为假，即真真，所以，无解；
当假时，为真，即假假，所以，解得.
综上所述，实数的取值范围为：;
（2）
解：由(1)可知当假假时，.
所以当命题和命题至少有一个为真命题时，实数的取值范围为：。
7．已知p：关于x的方程有实数根，q：.
(1)若命题p是假命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由命题p是假命题，可得，从而可求出实数a的取值范围；
（2）根据题意可得，从而可求出实数m的取值范围.
（1）
因为命题p是假命题，所以对于方程无实根，
有，解得，
所以实数a的取值范围是.
（2）
由（1）可知p：.
因为p是q的必要不充分条件，
所以，则，解得，
所以实数m的取值范围是.
8．已知全集，集合，非空集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先求Q的补集再求交集即可；
（2）由题意Q是P的真子集，据此可得不等式组，解之即可.
（1）
当时，，
则,
又，所以；
（2）
因为“”是“”的必要而不充分条件，所以且 ，
所以，解得，
故实数a的取值范围是.
9．已知集合 ，，且．
(1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，根据子集的含义解决问题；
（2）命题q：“，”是真命题，所以，通过关系解决.
（1）
由命题p：“，”是真命题，可知，
又，所以 ，解得．
（2）
因为，所以，得．
因为命题q：“，”是真命题，所以，
所以，或，得．
综上，．
试卷第1页，共3页