初中数学苏科版七年级下册第九章 整式乘法与因式分解 单元测试卷
一、单选题
1．（2020七下·岑溪期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A. 和 不是同类项，不能合并，故错误；
B. ，故错误；
C. ，正确；
D. ，故错误.
故答案为：C.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序及系数没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的不能合并，从而即可判断A；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断C；根据完全平方公式的展开式是一个三项式即可判断D.
2．（2020七下·八步期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A.不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.不是因式分解，故本选项不符合题意；
C.是因式分解，故本选项符合题意；
D.不是因式分解，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，逐一判断即可.
3．（2016七下·会宁期中）已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b=3，ab=2，
∴a2+b2
=（a+b）2﹣2ab
=32﹣2×2
=5，
故选C
【分析】根据完全平方公式得出a2+b2=（a+b）2﹣2ab，代入求出即可．
4．（2019七下·北海期末）已知 ， ，则 的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．5
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵m+n=2，mn= 2，
∴(1+m)(1+n)=1+n+m+mn=1+2 2=1.
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘以多项式的法则将代数式化简，再整体代入计算即可.
5．（2021七上·肇源期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：A．
【分析】根据图形的面积可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），即可求解。
6．（2020七下·东台期中）248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A． 61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和67
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）
＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）
＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1）
＝（224+1）（212+1）×65×63，
故答案为：B.
【分析】248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1），即可求解.
7．（2020七下·宜兴期中）若M＝（x－3）（x－4），N＝（x－1）（x－6），则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．由x的取值而定
【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解： M＝（x－3）（x－4）=
N＝（x－1）（x－6）=
即：
【分析】根据多项式乘多项式法则，计算出M、N。再进行作差比较.
8．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+7=（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+2=（x+1）2+（y﹣2）2+2，
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，
∴x2+y2+2x﹣4y+7≥2．
故答案为：A．
【分析】平方具有非负性，（x+1）2最小是0，（y﹣2）2 最小是0，（x+1）2+（y﹣2）2+2最小是2，即总不小于2
9．（2020七下·无锡期中）为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“∑”，例如： ， 已知： 则m的值为（ ）
A．40 B．-68 C．-40 D．-104
【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：∵
∴n=6,
∴（x＋3）（x 2）＋（x＋4）（x 3）＋（x＋5）（x 4）＋（x＋6）（x 5）＝ ，
∴m=3×（-2）+4×（-3）+5×（-4）+6×（-5）=-68，
故答案为：B.
【分析】根据题目中的式子，可以将 展开，从而可以得到n和m的值，本题得以解决.
10．（2019七下·港南期中）在求 的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设： ……①
然后在①式的两边都乘以6，得： ……②
②-①得 ，即 ，所以 .
得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”(a≠0且a≠1)，能否求出 的值 你的答案是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】∵M=1+a+a2+a3+a4+…+a2018①，
∴aM=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2019②，
②-①，可得aM-M=a2019-1，
即（a-1）M=a2019-1，
∴M= .
故答案为：B.
【分析】设M=1+a+a2+a3+a4+…+a2018①，将等式两边分别诚意a,可得aM=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2019②，利用等式性质用②-①即可求出M的值.
二、填空题
11．（2020七下·株洲期末）计算式子 的结果用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ．
【分析】首先根据单项式乘单项式的运算法则进行计算，然后将结果化为科学记数法的形式即可．
12．（2020七下·南山期中） 是完全平方公式，则 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴-kx=±2×1x，
解得k=±2．
故答案为：±2．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
13．（2020七下·江阴期中）若 的乘积中不含 项，则m的值是 .
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
=mx4-2mx3-mx2-3x3+6x2+3x
= mx4-(-2m-3)x3+(-m+6)x2+3x
∵展开后不含x3项，
∴-2m-3=0，
∴x=
【分析】先用多项式乘以多项式法则展开，再由展开后不含x3项，得到关于m的一元一次方程，解之即可.
14．（2020七下·无锡期中）已知(x－2019)2+(x－2021)2=48，则(x－2020)2= .
【答案】23
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】设a= x-2019，(x-2019)2+(x-2021)2=48，
∴a2+(a－2)2=48，
a2+ a2-4a+4=48，
∴a2-2a=22,
∴(x-2020)2=(a-1)2= a2-2a+1=23
故答案为：23.
【分析】设a= x－2019，把原式化简得到a2-2a=22,代入原式即可求解.
15．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=
【答案】15
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为（x+2）（x+4）=x2+6x+8，
∴a=6，
同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）=x2+10x+9，
∴b=9，
因此a+b=15．
故答案为：15．
【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出a、b的值.
16．（2020七下·重庆月考）如图，要设计一幅长为3xcm，宽为2ycm的长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横彩条的宽度为acm，竖彩条的宽度为bcm，问空白区域的面积是 .
【答案】（6xy﹣6xa﹣4by+4ab）cm2
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：可设想将彩条平移到如图所示的长方形的靠边处，将9个小矩形组合成“整体”，
一个大的空白长方形，则该长方形的面积就是空白区域的面积.
而这个大长方形长（3x﹣2b）cm，宽为（2y﹣2a）cm.
所以空白区域的面积为（3x﹣2b）（2y﹣2a）cm2.
即（6xy﹣6xa﹣4by+4ab）cm2.
故答案为：（6xy﹣6xa﹣4by+4ab）cm2.
【分析】可设想将彩条平移到如图所示的长方形的靠边处，则该长方形的面积就是空白区域的面积，这个大长方形长（3x﹣2b）cm，宽为（2y﹣2a）cm，根据矩形的面积公式求解即可.
17．（2020七下·徐州期中）如图，现有若干张卡片，分别是正方形卡片A、B和长方形卡片C，卡片大小如图所示.如果要拼一个长为（3a+b），宽为（a+3b）的大长方形，则需要C类卡片 张.
【答案】10
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】由题意得：长为 ，宽为 的长方形的面积为： ，
∵A类卡片面积为 ，B类卡片面积为 ，C类卡片面积为 ，
∴需要A类卡片3张，B类卡片3张，C类卡片10张，
故答案为：10.
【分析】首先根据题意将所要拼成的长方形的面积计算出来，然后进一步根据正方形卡片A、B、C的各自的面积加以分析判断即可.
18．（2019七下·嘉兴期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4-y4，因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式值是：(x+y)=18，(x-y)=0，(x2+y2)=162,于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3-xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是 (写出一个即可).
【答案】104020，102040等写出一个即可
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】
9x3-xy2 =x(9x
2-y
2)=x(3x+y)(3x-y), 当x=10, y=10时，x=10, 3x+y=3×10+10=40, 3x-y=3×10-10=20；
∵(3x+y)和(3x-y)两个因式可以互换位置，故用此方法产生的密码是： 104020或102040.
【分析】先分解因式，再根据题给原理代入已知数，破解密码。
三、解答题
19．（2020七上·厦门期中）化简下列各式
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：原式=
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据去括号法则和合并同类项法则计算即可。
20．（2019七下·新吴期中）已知：(x+a)(x-2)的结果中不含关于字母x的一次项，先化简再求（a+1）2-(2-a)(-a-2)的值.
【答案】解：∵ 不含 的一次项,
∴ 即
∴（a+1）2-(2-a)(-a-2)
=a2+2a+1+2a+4-a2-2a
=2a+5=2×2+5=9
故答案为：9
【知识点】多项式乘多项式；去括号法则及应用
【解析】【分析】利用多项式乘以多项式的法则去括号，再合并同类项化为二次三项式，然后根据化简的结果 不含关于字母x的一次项 ，则一次项的系数为0，从而列出方程，求解得出a的值；然后将代数式利用完全平方公式及平方差公式去括号，再合并同类项化为最简形式，然后再代入a的值按有理数的混合运算算出答案。
21．（2020七上·铜陵期中）已知多项式A和B， ， ，当A与B的差不含二次项时，求：(-1)m+n 的值．
【答案】解： =
= .
∵A与B的差不含二次项，
∴
∴
原式= .
【知识点】代数式求值；整式的混合运算；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】先根据所给条件求出 A-B 的值，再根据A与B的差不含二次项求出m和n的值，再代入代数式求值即可。
22．（2019七下·阜宁期中）规定 表示 ， 表示 ，试计算 的结果.
【答案】解：原式=
=
=-x（100-x2）
=
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据规定列整式算式，根据整式的混合运算法则计算即可得答案.
23．（2020七上·袁州月考）已知代数式 ．
（1）求 的值；
（2）若 的值与 的取值无关，求 的值．
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴
=
=
=
（2）解：由题意，
=
=
= ；
∵ 的值与 的取值无关，
∴ ，
∴ ．
【知识点】整式的混合运算；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】（1）将A、B代入3A-（2A+3b），再利用整式的混合运算化简即可；（2）先利用整式的混合运算求出A-2B，再找出含y的项，令其系数为0求出即可。
24．（2020七上·忻州期末）公租房作为一种保障性住房，租金低、设施全受到很多家庭的欢迎．某市为解决市民的住房问题，专门设计了如图所示的一种户型，并为每户卧室铺了木地板，其余部分铺了瓷砖．
（1）木地板和瓷砖各需要铺多少平方米？
（2）若 ， ，地砖的价格为100元/平方米，木地板的价格为200元/平方米，则每套公租房铺地面所需费用为多少元？
【答案】（1）解：木地板面积=（5b-b-2b）×2a+（5a-2a）×2b
=2b×2a+3a×2b
=10ab（平方米），
瓷砖面积=5a×5b-10ab=15ab（平方米）
（2）解：当 ， 时，10ab=10×1.5×2=30（平方米），
30×200=6000（元），
15ab=15×1.5×2=45（平方米），
45×100=4500（元），
4500+6000=10500（元），
答：每套公租房铺地面所需费用为10500元
【知识点】代数式求值；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据长方形的面积公式，用代数式直接表示即可；（2）分别求出木地板和瓷砖的费用，再相加，即可求解．
25．（2019七上·富阳期中）探索代数式 与代数式 的关系．
（1）当 ， 时，分别计算两个代数式的值．
（2）当 ， 时，分别计算两个代数式的值．
（3）你发现了什么规律？
（4）利用你发现的规律计算： ．
【答案】（1）解：
，
（2）解：
，
（3）解：
（4）解：
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）（2）把 与 的值代入两式计算即可得到结果；（3）归纳总结得出关系式即可；（4）原式变形后，利用完全平方公式计算即可得到结果．
26．（2020七上·上海期中）根据要求作答
（1）利用多项式乘法法则计算：
①
②
（2）利用上面计算的结果作为结论，以及自己所学的数学知识解决下列问题．
已知： ， ．计算下列各式：
① ；
② ；
③ ．
【答案】（1）；
（2）解：①：由 ，等式两边平方，得到： ，
展开： ，
故答案为： ；
②：由①知 ，
将 代入，求得： ，
由（1）①得： ，
故答案为： ；
③：由②知：
∴ ，
展开： ，将 代入，即 ，
∴
展开： ，将 代入，
∴ ，
故答案为： ．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）①
，
故答案为： ；
②
故答案为： ；
【分析】（1）①直接利用多项式乘以多项式法则进行计算即得；②直接利用多项式乘以多项式法则进行计算即得；
（2）① 将 两边进行平方即得结论；
②将 代入①结论求出ab的值，由（1），然后整体代入计算即可；
③利用①的方法先求出
27．（2020七下·顺德月考）从边长为 a 的正方形剪掉一个边长为 b 的正方形（如图 1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2）．
（1）上述操作能验证的等式是_______（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2 ＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2 +ab＝a（a+b）
（2）若 x2 ﹣9y2＝12，x+3y＝4，求 x﹣3y 的值；
（3）计算： ．
【答案】（1）B
（2）解：∵
∴
∵
∴
∴ ；
（3）解：
【知识点】代数式求值；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）根据阴影部分的面积可得
故上述操作能验证的等式是B；
【分析】（1）结合图1和图2阴影部分面积建立等式即可；（2）利用平方差公式计算即可；（3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值即可。
28．（2020七下·淮安期末）乘法公式的探究及应用.
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系. ；
（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张， C号卡片 张.
（3）根据（1）题中的等量关系，解决问题：已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值.
【答案】（1）（a+b）2=a2+b2+2ab
（2）3
（3）解：∵（a+b）2=a2+b2+2ab，a+b=5，a2+b2=11，
∴25=11+2ab，
∴ab=7，
答：ab的值为7.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，或表示为：a2+b2+2ab；
因此有（a+b）2=a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2=a2+b2+2ab；
（ 2 ）∵（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2，
∴需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张，
故答案为：3；
【分析】（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab三者的关系；（2）计算（a+2b）（a+b）的结果为a2+3ab+2b2，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张；（3）由（1）的等量关系，代入求值即可.
1 / 1初中数学苏科版七年级下册第九章 整式乘法与因式分解 单元测试卷
一、单选题
1．（2020七下·岑溪期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020七下·八步期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2016七下·会宁期中）已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2019七下·北海期末）已知 ， ，则 的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．5
5．（2021七上·肇源期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab
6．（2020七下·东台期中）248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A． 61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和67
7．（2020七下·宜兴期中）若M＝（x－3）（x－4），N＝（x－1）（x－6），则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．由x的取值而定
8．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
9．（2020七下·无锡期中）为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“∑”，例如： ， 已知： 则m的值为（ ）
A．40 B．-68 C．-40 D．-104
10．（2019七下·港南期中）在求 的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设： ……①
然后在①式的两边都乘以6，得： ……②
②-①得 ，即 ，所以 .
得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”(a≠0且a≠1)，能否求出 的值 你的答案是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2020七下·株洲期末）计算式子 的结果用科学记数法表示为 ．
12．（2020七下·南山期中） 是完全平方公式，则 ．
13．（2020七下·江阴期中）若 的乘积中不含 项，则m的值是 .
14．（2020七下·无锡期中）已知(x－2019)2+(x－2021)2=48，则(x－2020)2= .
15．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=
16．（2020七下·重庆月考）如图，要设计一幅长为3xcm，宽为2ycm的长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横彩条的宽度为acm，竖彩条的宽度为bcm，问空白区域的面积是 .
17．（2020七下·徐州期中）如图，现有若干张卡片，分别是正方形卡片A、B和长方形卡片C，卡片大小如图所示.如果要拼一个长为（3a+b），宽为（a+3b）的大长方形，则需要C类卡片 张.
18．（2019七下·嘉兴期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4-y4，因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式值是：(x+y)=18，(x-y)=0，(x2+y2)=162,于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3-xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是 (写出一个即可).
三、解答题
19．（2020七上·厦门期中）化简下列各式
（1）
（2）
（3）
20．（2019七下·新吴期中）已知：(x+a)(x-2)的结果中不含关于字母x的一次项，先化简再求（a+1）2-(2-a)(-a-2)的值.
21．（2020七上·铜陵期中）已知多项式A和B， ， ，当A与B的差不含二次项时，求：(-1)m+n 的值．
22．（2019七下·阜宁期中）规定 表示 ， 表示 ，试计算 的结果.
23．（2020七上·袁州月考）已知代数式 ．
（1）求 的值；
（2）若 的值与 的取值无关，求 的值．
24．（2020七上·忻州期末）公租房作为一种保障性住房，租金低、设施全受到很多家庭的欢迎．某市为解决市民的住房问题，专门设计了如图所示的一种户型，并为每户卧室铺了木地板，其余部分铺了瓷砖．
（1）木地板和瓷砖各需要铺多少平方米？
（2）若 ， ，地砖的价格为100元/平方米，木地板的价格为200元/平方米，则每套公租房铺地面所需费用为多少元？
25．（2019七上·富阳期中）探索代数式 与代数式 的关系．
（1）当 ， 时，分别计算两个代数式的值．
（2）当 ， 时，分别计算两个代数式的值．
（3）你发现了什么规律？
（4）利用你发现的规律计算： ．
26．（2020七上·上海期中）根据要求作答
（1）利用多项式乘法法则计算：
①
②
（2）利用上面计算的结果作为结论，以及自己所学的数学知识解决下列问题．
已知： ， ．计算下列各式：
① ；
② ；
③ ．
27．（2020七下·顺德月考）从边长为 a 的正方形剪掉一个边长为 b 的正方形（如图 1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2）．
（1）上述操作能验证的等式是_______（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2 ＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2 +ab＝a（a+b）
（2）若 x2 ﹣9y2＝12，x+3y＝4，求 x﹣3y 的值；
（3）计算： ．
28．（2020七下·淮安期末）乘法公式的探究及应用.
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系. ；
（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张， C号卡片 张.
（3）根据（1）题中的等量关系，解决问题：已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A. 和 不是同类项，不能合并，故错误；
B. ，故错误；
C. ，正确；
D. ，故错误.
故答案为：C.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序及系数没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的不能合并，从而即可判断A；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断C；根据完全平方公式的展开式是一个三项式即可判断D.
2．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A.不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.不是因式分解，故本选项不符合题意；
C.是因式分解，故本选项符合题意；
D.不是因式分解，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，逐一判断即可.
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b=3，ab=2，
∴a2+b2
=（a+b）2﹣2ab
=32﹣2×2
=5，
故选C
【分析】根据完全平方公式得出a2+b2=（a+b）2﹣2ab，代入求出即可．
4．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵m+n=2，mn= 2，
∴(1+m)(1+n)=1+n+m+mn=1+2 2=1.
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘以多项式的法则将代数式化简，再整体代入计算即可.
5．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：A．
【分析】根据图形的面积可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），即可求解。
6．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）
＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）
＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1）
＝（224+1）（212+1）×65×63，
故答案为：B.
【分析】248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1），即可求解.
7．【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解： M＝（x－3）（x－4）=
N＝（x－1）（x－6）=
即：
【分析】根据多项式乘多项式法则，计算出M、N。再进行作差比较.
8．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+7=（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+2=（x+1）2+（y﹣2）2+2，
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，
∴x2+y2+2x﹣4y+7≥2．
故答案为：A．
【分析】平方具有非负性，（x+1）2最小是0，（y﹣2）2 最小是0，（x+1）2+（y﹣2）2+2最小是2，即总不小于2
9．【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：∵
∴n=6,
∴（x＋3）（x 2）＋（x＋4）（x 3）＋（x＋5）（x 4）＋（x＋6）（x 5）＝ ，
∴m=3×（-2）+4×（-3）+5×（-4）+6×（-5）=-68，
故答案为：B.
【分析】根据题目中的式子，可以将 展开，从而可以得到n和m的值，本题得以解决.
10．【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】∵M=1+a+a2+a3+a4+…+a2018①，
∴aM=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2019②，
②-①，可得aM-M=a2019-1，
即（a-1）M=a2019-1，
∴M= .
故答案为：B.
【分析】设M=1+a+a2+a3+a4+…+a2018①，将等式两边分别诚意a,可得aM=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2019②，利用等式性质用②-①即可求出M的值.
11．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ．
【分析】首先根据单项式乘单项式的运算法则进行计算，然后将结果化为科学记数法的形式即可．
12．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴-kx=±2×1x，
解得k=±2．
故答案为：±2．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
13．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
=mx4-2mx3-mx2-3x3+6x2+3x
= mx4-(-2m-3)x3+(-m+6)x2+3x
∵展开后不含x3项，
∴-2m-3=0，
∴x=
【分析】先用多项式乘以多项式法则展开，再由展开后不含x3项，得到关于m的一元一次方程，解之即可.
14．【答案】23
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】设a= x-2019，(x-2019)2+(x-2021)2=48，
∴a2+(a－2)2=48，
a2+ a2-4a+4=48，
∴a2-2a=22,
∴(x-2020)2=(a-1)2= a2-2a+1=23
故答案为：23.
【分析】设a= x－2019，把原式化简得到a2-2a=22,代入原式即可求解.
15．【答案】15
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为（x+2）（x+4）=x2+6x+8，
∴a=6，
同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）=x2+10x+9，
∴b=9，
因此a+b=15．
故答案为：15．
【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出a、b的值.
16．【答案】（6xy﹣6xa﹣4by+4ab）cm2
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：可设想将彩条平移到如图所示的长方形的靠边处，将9个小矩形组合成“整体”，
一个大的空白长方形，则该长方形的面积就是空白区域的面积.
而这个大长方形长（3x﹣2b）cm，宽为（2y﹣2a）cm.
所以空白区域的面积为（3x﹣2b）（2y﹣2a）cm2.
即（6xy﹣6xa﹣4by+4ab）cm2.
故答案为：（6xy﹣6xa﹣4by+4ab）cm2.
【分析】可设想将彩条平移到如图所示的长方形的靠边处，则该长方形的面积就是空白区域的面积，这个大长方形长（3x﹣2b）cm，宽为（2y﹣2a）cm，根据矩形的面积公式求解即可.
17．【答案】10
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】由题意得：长为 ，宽为 的长方形的面积为： ，
∵A类卡片面积为 ，B类卡片面积为 ，C类卡片面积为 ，
∴需要A类卡片3张，B类卡片3张，C类卡片10张，
故答案为：10.
【分析】首先根据题意将所要拼成的长方形的面积计算出来，然后进一步根据正方形卡片A、B、C的各自的面积加以分析判断即可.
18．【答案】104020，102040等写出一个即可
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】
9x3-xy2 =x(9x
2-y
2)=x(3x+y)(3x-y), 当x=10, y=10时，x=10, 3x+y=3×10+10=40, 3x-y=3×10-10=20；
∵(3x+y)和(3x-y)两个因式可以互换位置，故用此方法产生的密码是： 104020或102040.
【分析】先分解因式，再根据题给原理代入已知数，破解密码。
19．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：原式=
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据去括号法则和合并同类项法则计算即可。
20．【答案】解：∵ 不含 的一次项,
∴ 即
∴（a+1）2-(2-a)(-a-2)
=a2+2a+1+2a+4-a2-2a
=2a+5=2×2+5=9
故答案为：9
【知识点】多项式乘多项式；去括号法则及应用
【解析】【分析】利用多项式乘以多项式的法则去括号，再合并同类项化为二次三项式，然后根据化简的结果 不含关于字母x的一次项 ，则一次项的系数为0，从而列出方程，求解得出a的值；然后将代数式利用完全平方公式及平方差公式去括号，再合并同类项化为最简形式，然后再代入a的值按有理数的混合运算算出答案。
21．【答案】解： =
= .
∵A与B的差不含二次项，
∴
∴
原式= .
【知识点】代数式求值；整式的混合运算；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】先根据所给条件求出 A-B 的值，再根据A与B的差不含二次项求出m和n的值，再代入代数式求值即可。
22．【答案】解：原式=
=
=-x（100-x2）
=
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据规定列整式算式，根据整式的混合运算法则计算即可得答案.
23．【答案】（1）解：∵ ， ，
∴
=
=
=
（2）解：由题意，
=
=
= ；
∵ 的值与 的取值无关，
∴ ，
∴ ．
【知识点】整式的混合运算；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】（1）将A、B代入3A-（2A+3b），再利用整式的混合运算化简即可；（2）先利用整式的混合运算求出A-2B，再找出含y的项，令其系数为0求出即可。
24．【答案】（1）解：木地板面积=（5b-b-2b）×2a+（5a-2a）×2b
=2b×2a+3a×2b
=10ab（平方米），
瓷砖面积=5a×5b-10ab=15ab（平方米）
（2）解：当 ， 时，10ab=10×1.5×2=30（平方米），
30×200=6000（元），
15ab=15×1.5×2=45（平方米），
45×100=4500（元），
4500+6000=10500（元），
答：每套公租房铺地面所需费用为10500元
【知识点】代数式求值；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据长方形的面积公式，用代数式直接表示即可；（2）分别求出木地板和瓷砖的费用，再相加，即可求解．
25．【答案】（1）解：
，
（2）解：
，
（3）解：
（4）解：
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）（2）把 与 的值代入两式计算即可得到结果；（3）归纳总结得出关系式即可；（4）原式变形后，利用完全平方公式计算即可得到结果．
26．【答案】（1）；
（2）解：①：由 ，等式两边平方，得到： ，
展开： ，
故答案为： ；
②：由①知 ，
将 代入，求得： ，
由（1）①得： ，
故答案为： ；
③：由②知：
∴ ，
展开： ，将 代入，即 ，
∴
展开： ，将 代入，
∴ ，
故答案为： ．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）①
，
故答案为： ；
②
故答案为： ；
【分析】（1）①直接利用多项式乘以多项式法则进行计算即得；②直接利用多项式乘以多项式法则进行计算即得；
（2）① 将 两边进行平方即得结论；
②将 代入①结论求出ab的值，由（1），然后整体代入计算即可；
③利用①的方法先求出
27．【答案】（1）B
（2）解：∵
∴
∵
∴
∴ ；
（3）解：
【知识点】代数式求值；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）根据阴影部分的面积可得
故上述操作能验证的等式是B；
【分析】（1）结合图1和图2阴影部分面积建立等式即可；（2）利用平方差公式计算即可；（3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值即可。
28．【答案】（1）（a+b）2=a2+b2+2ab
（2）3
（3）解：∵（a+b）2=a2+b2+2ab，a+b=5，a2+b2=11，
∴25=11+2ab，
∴ab=7，
答：ab的值为7.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，或表示为：a2+b2+2ab；
因此有（a+b）2=a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2=a2+b2+2ab；
（ 2 ）∵（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2，
∴需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张，
故答案为：3；
【分析】（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab三者的关系；（2）计算（a+2b）（a+b）的结果为a2+3ab+2b2，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张；（3）由（1）的等量关系，代入求值即可.
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