初中数学湘教版九年级下册1.5二次函数的应用 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·和林格尔月考）点C是线段AB上的一点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（ ）
A．当C是AB的中点时，S最小 B．当C是AB的中点时，S最大
C．当C为AB的三等分点时，S最小 D．当C是AB的三等分点时，S最大
2．（2020九上·石家庄月考）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．此抛物线的解析式是y=- x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
3．（2020九上·武汉月考）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 .若水面再下降 ，水面宽度为（ ） .
A． B． C． D．
4．（2020九上·合肥月考）2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作拋物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点 ）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点 ）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点 ）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020九上·越城期中）某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直，如图）.如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面 米，则水流落地点B离墙距离是（ ）
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
6．（2020九上·上饶月考）小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（ ）
A．4cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2
7．（2020九上·金华期中）2019年10月31日，三大运营商宣布5G商用正式启动，5G时代大步流星地走来．某电器城准备销售一种型号的5G手机，在销售过程中发现，当零售价为每台4000元时，每天可以售出8台，日销售利润为4000元，当零售价每降低50元时，则每天多售出4台，下列结论正确的是（ ）
A． 当零售价每降低200元时，日销售利润最大，最大利润为7200元
B．当零售价每降低100元和零售价每降低300元时，销售数量是一样的
C．手机的进价是每台500元
D．零售价越低，每天售出数量就越多，所以利润就越大
8．（2020九上·鄞州期中）某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况.因此，公司规定：若无利润时，该景点关闭.经跟踪测算，该景点一年中的利润W（万元）与月份x之间满足二次函数W=﹣x2+16x﹣48，则该景点一年中处于关闭状态有（ ）月.
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（2020九上·射阳月考）如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020九上·绍兴月考）如图，在四边形 ABCD 中， AD∥BC ， ∠A=45° ， ∠C=90° ， AD=4cm ，CD=3cm 、动点M，N同时从点A出发，点M以 cm/s 的速度沿 AB 向终点B运动，点N以2cm/s 的速度沿折线 AD-DC 向终点C运动.设点N的运动时间为ts ，△AMN 的面积为 Scm ，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2021九上·甘井子期末）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s.
12．（2020九上·慈溪月考）将进货单价为70元的某种商品按零售单价100元售出时，每天能卖出40个，若这种商品的零售单价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加2个，为了获取最大的日利润，则应把零售单价定为 元.
13．（2020九上·通榆月考）为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价，该药品的原价是48元，降价后的价格是30元，若平均每次降价的百分率均为x，可列方程为 。
14．（2020九上·长春期中）如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边的OA的距离分别为0.5m，1.5m．若该墙的长度为12m，则最多可以连续绘制 个这样的抛物线型图案．
15．（2020九上·迁安月考）某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米．当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为 厘米．
16．（2020九上·海安期中）定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形.已知垂美四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC＋BD＝12，则当AC＝ 时，四边形ABCD的面积最大.
三、解答题
17．（2020九上·海门月考）如图所示，公园要造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面距离最大，高度2.25m.若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外
18．（2020九上·温州月考）某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个，商场想了两个方案来增加利润:
方案一提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；
方案二:售价不变，但发资料做广告，已知这种商品每月的广告费用m（千元）与销售量倍数p关系为p=-0.4m2+2m，
试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案 请说明你判断的理由.
19．（2020九上·广饶期中）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m．
（1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式；
（2）一大型货车装载设备后高为7m，宽为4m．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？
20．（2020九上·海珠期中）网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某市长亲自在某网络平台上进行直播销售板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元．设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
21．（2021九上·嘉兴期末）女生排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米.某次模拟测试中，某女生在O处将球垫偏，之后又在A， B两处先后垫球，球沿抛物线C1 → C2 → C3运动（假设抛物线C1，C2，C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米.如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点A（ ， ），点B的横坐标为 - ，抛物线C1和C3的表达式分别为 y = ax2- 2ax 和 y = 2ax2 + bx （a≠ 0）.
（1）求抛物线C1的函数表达式.
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由.
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该女生第三次垫球处B 离地面的高度至少为多少米？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：设AC=x，则CB=1-x，
S=x2+（1-x）2即S=2x2-2x+1，
所以当 时，S最小．
此时，C是AB的中点．
故答案为：A．
【分析】设AC=x，则CB=1-x，根据正方形的面积计算方法列出函数表达式求最值即可。
2．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，
∴a=- ，
∴y=- x2+3.5．
故本选项符合题意；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
故本选项不符合题意；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
故本选项不符合题意；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y=-0.2x2+3.5，
∴当x=-2.5时，
h=-0.2×（-2.5）2+3.5=2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据题干中给的点坐标代入计算求出抛物线解析式，再利用函数的性质求解即可。
3．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
设该抛物线的解析式为y=ax2+2，将B（2，0）代入得：
0=a×4+2，
解得：a=- .
∴抛物线的解析式为y=- x2+2，
∴若水面再下降1.5m，则有-1.5=- x2+2，
解得：x=± .
∵ -（- ）=2 ，
∴水面宽度为2 m.
故答案为：D.
【分析】以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得二次函数的解析式，然后将y=-1.5代入解析式得关于x的一元二次方程，解得x的值，用较大的x值减去较小的x值即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】由题意可知点A坐标为（-5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0）
设排球运动路线的函数解析式为：y=ax2+bx+c
∵排球经过A、B、C三点
解得：
∴排球运动路线的函数解析式为
故答案为：A．
【分析】由题意可知点A坐标为（-5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0），设排球运动路线的函数表达式为：y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入得关于a、b、c的三元一次方程组，解得a、b、c的值，则函数解析式可得，从而问题得解．
5．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解： 如图，以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
根据题意得出抛物线的顶点为M（1，），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+，
把点A（0，10）代入抛物线解析式得：10=a+ ，
解得：a=-，
∴抛物线的解析式为：y=-（x-1）2+，
令y=0时，则-（x-1）2+=0，
解得：x1=-1（舍去），x2=3，
∴OB=3（米），
∴水流下落点B离墙距离为3米.
故答案为：B.
【分析】 以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，根据题意利用待定系数法求出抛物线的解析式，再令y=0，得出一元二次方程，求出方程的解，即可得出答案．
6．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形的面积为S，矩形的长为xcm，则宽为 cm，由题意则有
S= x=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∵a=-1＜0，
∴当x=2时，S有最大值为4，
故矩形的最大面积是4cm2，
故答案为：A．
【分析】设矩形的面积为S，矩形的长为xcm，则宽为 cm，利用矩形的面积计算方法列出表达式求最大值即可。
7．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：A、设该型号5G手机的零售价降低x元，日销售利润为W元，
∴，
∵a＜0
∴当x=200时，W最大为7200元，故A符合题意；
B、当零售价每降低100元时，销售量为：8+100÷50×4=16台；
零售价每降低300元时，销售量为：8+300÷50×4=32台；
∴当零售价每降低100元和零售价每降低300元时，销售数量是不一样的，故B不符合题意；
C、∵当零售价为每台4000元时，每天可以售出8台，日销售利润为4000元，
∴手机 的进价为4000-4000÷8=3500元，故C不符合题意；
D、零售价越低，每天售出数量就越多，利润不一定越大 ，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】设该型号5G手机的零售价降低x元，日销售利润为W元，可列出W与x之间的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出日销售利润的最大值，可对A作出判断；分别求出零售价每降低100元和零售价每降低300元时的销售数量数量，可对B作出判断；根据题意可求出手机的进价，可对C作出判断；零售价越低，每天售出数量就越多，利润不一定越大，可对D作出判断。
8．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】由W=﹣x2+16x﹣48，令W=0，则x2﹣16x+48=0，解得x=12或4，
∴不等式﹣x2+16x﹣48＞0的解为，4＜x＜12，
∴该景点一年中处于关闭状态有5个月.
故答案为：A.
【分析】关闭状态时的利润即为w=0，可得关于x的一元二次方程，解方程可求得x的值；再结合不关闭状态即为w＞0可得关于x的范围，则题意可求解.
9．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正方形的边长为m，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴该函数的顶点坐标为,
又m＞0，∴该顶点在第一象限，
∵二次项的系数为2大于0，∴图象的开口向上，
与x的函数图象是A.
故答案为：A.
【分析】本题需先设正方形的边长为m，然后得出y与x、m是二次函数关系，进而根据二次函数的图象与系数的关系得出函数的图象.
10．【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：①如图，当0＜t≤2时，作MH⊥AN于N，
S=AN×MH=×2t×tcos45°=t2，
②如图，当2＜t≤3时，连接DM，
S=S△MND+S△AMD+S△ADN=×（2t-4）×（4-t）+×4×t-×4×（2t-4）
=-t2+4t，
③如图，当3＜t≤3.5时，连接BN，
S=S△MND+S△AMD+S△ADN=×（2t-4）×1+×4×3-×4×（2t-4）
=-3t+12，
综上可知，符合条件的函数图象是B.
故答案为：B.
【分析】分三种情况作答，即①当0＜t≤2时，②当3＜t≤3.5时，③当3＜t≤3.5时，用分割法分别求出 △AMN的面积表达式，根据此分段函数选出符合条件的选项即可.
11．【答案】4
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：依题意，令h＝0得
0＝20t﹣5t2
得t（20﹣5t）＝0
解得t＝0（舍去）或t＝4
即小球从飞出到落地所用的时间为4s
故答案为4.
【分析】根据"小球落地"的含义可知，小球飞行高度h为0，于是把h=0代入解析式计算即可求解.
12．【答案】95
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】设应降价x元，日利润为y，
则y=（40+2x）（100-x-70）=（40+2x）（30-x）
=-2x2+20x+1200
=-2（x-5）2+1150
∵-1<0，
∴当x=5时，二次函数有最大值，
∴应把零售单价定为100-5=95元.
故答案为：95.
【分析】设应降价x元，日利润为y，根据题意列出函数关系式，然后根据二次函数的最值问题求出最大利润时的x的值即可求得结果.
13．【答案】48(1-x)2=30
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均的降价率为x，根据题意可知
48（1-x）2=30
【分析】根据题意，列出方程即可得到答案。
14．【答案】6
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】∵抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边的OA的距离分别为0.5m，1.5m
∴BC中点到OA的距离为 m
∴每个抛物线宽 m
∵
∴可以连续绘制6个这样的图案
故答案为6．
【分析】根据B和C到OA的距离，求出BC中点到OA的距离，然后求出一个抛物线的宽度，最后根据墙的长度即可求解．
15．【答案】6
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设y与x之间的函数关系式为y=kx2，由题意，得
18=9k，解得：k=2，
∴y=2x2，
当y=72时，72=2x2，
∴x=6，
故答案为：6．
【分析】设y与x之间的函数关系式为y=kx2，由待定系数法就可以求出解析式，当y=72时代入函数解析式就可以求出结论．
16．【答案】6
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】∵四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴ ，
∵AC＋BD＝12，
∴ ，
∴ ，
∵ 且 ，
当 时，函数有最大值，
∴AC=6时，面积有最大值；
故答案是6.
【分析】由四边形ABCD的对角线互相垂直，可得，由AC＋BD＝12，可得 ，从而可得利用二次函数的性质进行解答即可.
17．【答案】解：以地面上任一条直线为x轴，OA为y轴建立直角坐标系，
设y=a(x-1)2+2.25，则当x=0时，y=1.25，故a+2.25=1，a=-1.
由y=0得-(x-1)2+2.25=0，得(x-1)2=2.25，解得x1=2.5，x2=-0.5(舍去)
故水池的半径至少要2.5米.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】以地面上任一条直线为x轴，OA为y轴建立直角坐标系，由题意可设y=a(x-1)2+2.25，再根据x=0时，y=1.25即可求得函数关系式，再求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到结果.
18．【答案】解：设涨价x元,利润为y元，则①;y=(50十x-40)(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x-20)2+9000,
∴方案一的最大利润为9000元②y=(50-40)×500p-1000m=-2000m2+9000m=-2000(x-2.25)2+10125,∴方案二的最大利润为10125元;
∴选择方案二能获得更大的利润.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据利润y=每一件的利润×销售量，可得到y与x的函数解析式，再利用方案一求出最大利润；然后求出方案二的利润，比较大小可得答案。
19．【答案】（1）解：如图，以AA1所在直线为x轴，以线段AA1的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），
设抛物线的解析式为y＝ax2+8，把B（﹣8，6）代入，得：
64a+8＝6，
解得：a＝﹣ ．
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+8．
（2）解：根据题意，把x＝±4代入解析式y＝﹣ x2+8，
得y＝7.5m．
∵7.5m＞7m，
∴货运卡车能通过．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为y＝ax2+8，再把B（﹣8，6）代入，求出a的值即可；
（2）隧道内设双行道后，求出纵坐标与7m作比较即可．
20．【答案】（1）当y≥4000，即﹣100x+5000≥4000，
∴x≤10，
∴当6≤x≤10时，W＝（x﹣6+1）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5500x﹣27000，
当10＜x≤30时，W＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000，
综上所述：W＝ ；
（2）当6≤x≤10时，W＝﹣100x2+5500x﹣27000＝﹣100（x﹣ ）2+48625，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝ ，
∴当6≤x≤10时，y随x的增大而增大，即当x＝10时，W最大值＝18000元，
当10＜x≤30时，W＝﹣100x2+5600x﹣32000＝﹣100（x﹣28）2+46400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝28，
∴当x＝28时，W有最大值为46400元，
∵46400＞18000，
∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，由日获利＝销售单价×数量，可求解；（2）分两种情况讨论，由二次函数的性质，分别求出6≤x≤10和10＜x≤30时的最大利润，即可求解．
21．【答案】（1）解：C1：∵y=ax2-2ax，点A （ ， ）
∴
解之：
∴ 抛物线C1的函数表达式为y=-0.5x2+x.
（2）解：∵抛物线C1：y=-0.5x2+x.
∴对称轴为直线，y=
∴顶点坐标为（1，）
∵O处离地面的距离为1米，
∴第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度:1+.
∴没有达到要求.
（3）解：抛物线C3的表达式为 y = 2ax2 + bx
对称轴为直线
∴此时顶点的纵坐标为y=
∵最大距离达标
∴
∵ 点B的横坐标为 -
∴
由（1）得a=-
∴
解之：b≥2或b≤-2
∵
∴a，b同号，
∴b≤-2
∴yB=
∴该女生第三次垫球处B 离地面的高度至少 米.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，由点A的坐标，求出抛物线C1的函数表达式。
（2）利用抛物线C1的解析式求出其顶点坐标，再由O处离地面的距离为1米，可求出第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度，由此可作出判断。
（3）利用抛物线C3的表达式求出对称轴及顶点的纵坐标，由此可得到最大距离达标，由点B的横坐标，可求出对应的y的值，然后求出点B的纵坐标，由此可求出该女生第三次垫球处B 离地面的高度。
1 / 1初中数学湘教版九年级下册1.5二次函数的应用 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·和林格尔月考）点C是线段AB上的一点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（ ）
A．当C是AB的中点时，S最小 B．当C是AB的中点时，S最大
C．当C为AB的三等分点时，S最小 D．当C是AB的三等分点时，S最大
【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：设AC=x，则CB=1-x，
S=x2+（1-x）2即S=2x2-2x+1，
所以当 时，S最小．
此时，C是AB的中点．
故答案为：A．
【分析】设AC=x，则CB=1-x，根据正方形的面积计算方法列出函数表达式求最值即可。
2．（2020九上·石家庄月考）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．此抛物线的解析式是y=- x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，
∴a=- ，
∴y=- x2+3.5．
故本选项符合题意；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
故本选项不符合题意；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
故本选项不符合题意；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y=-0.2x2+3.5，
∴当x=-2.5时，
h=-0.2×（-2.5）2+3.5=2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据题干中给的点坐标代入计算求出抛物线解析式，再利用函数的性质求解即可。
3．（2020九上·武汉月考）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 .若水面再下降 ，水面宽度为（ ） .
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
设该抛物线的解析式为y=ax2+2，将B（2，0）代入得：
0=a×4+2，
解得：a=- .
∴抛物线的解析式为y=- x2+2，
∴若水面再下降1.5m，则有-1.5=- x2+2，
解得：x=± .
∵ -（- ）=2 ，
∴水面宽度为2 m.
故答案为：D.
【分析】以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得二次函数的解析式，然后将y=-1.5代入解析式得关于x的一元二次方程，解得x的值，用较大的x值减去较小的x值即可得出答案.
4．（2020九上·合肥月考）2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作拋物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点 ）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点 ）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点 ）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】由题意可知点A坐标为（-5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0）
设排球运动路线的函数解析式为：y=ax2+bx+c
∵排球经过A、B、C三点
解得：
∴排球运动路线的函数解析式为
故答案为：A．
【分析】由题意可知点A坐标为（-5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0），设排球运动路线的函数表达式为：y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入得关于a、b、c的三元一次方程组，解得a、b、c的值，则函数解析式可得，从而问题得解．
5．（2020九上·越城期中）某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直，如图）.如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面 米，则水流落地点B离墙距离是（ ）
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解： 如图，以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
根据题意得出抛物线的顶点为M（1，），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+，
把点A（0，10）代入抛物线解析式得：10=a+ ，
解得：a=-，
∴抛物线的解析式为：y=-（x-1）2+，
令y=0时，则-（x-1）2+=0，
解得：x1=-1（舍去），x2=3，
∴OB=3（米），
∴水流下落点B离墙距离为3米.
故答案为：B.
【分析】 以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，根据题意利用待定系数法求出抛物线的解析式，再令y=0，得出一元二次方程，求出方程的解，即可得出答案．
6．（2020九上·上饶月考）小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（ ）
A．4cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形的面积为S，矩形的长为xcm，则宽为 cm，由题意则有
S= x=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∵a=-1＜0，
∴当x=2时，S有最大值为4，
故矩形的最大面积是4cm2，
故答案为：A．
【分析】设矩形的面积为S，矩形的长为xcm，则宽为 cm，利用矩形的面积计算方法列出表达式求最大值即可。
7．（2020九上·金华期中）2019年10月31日，三大运营商宣布5G商用正式启动，5G时代大步流星地走来．某电器城准备销售一种型号的5G手机，在销售过程中发现，当零售价为每台4000元时，每天可以售出8台，日销售利润为4000元，当零售价每降低50元时，则每天多售出4台，下列结论正确的是（ ）
A． 当零售价每降低200元时，日销售利润最大，最大利润为7200元
B．当零售价每降低100元和零售价每降低300元时，销售数量是一样的
C．手机的进价是每台500元
D．零售价越低，每天售出数量就越多，所以利润就越大
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：A、设该型号5G手机的零售价降低x元，日销售利润为W元，
∴，
∵a＜0
∴当x=200时，W最大为7200元，故A符合题意；
B、当零售价每降低100元时，销售量为：8+100÷50×4=16台；
零售价每降低300元时，销售量为：8+300÷50×4=32台；
∴当零售价每降低100元和零售价每降低300元时，销售数量是不一样的，故B不符合题意；
C、∵当零售价为每台4000元时，每天可以售出8台，日销售利润为4000元，
∴手机 的进价为4000-4000÷8=3500元，故C不符合题意；
D、零售价越低，每天售出数量就越多，利润不一定越大 ，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】设该型号5G手机的零售价降低x元，日销售利润为W元，可列出W与x之间的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出日销售利润的最大值，可对A作出判断；分别求出零售价每降低100元和零售价每降低300元时的销售数量数量，可对B作出判断；根据题意可求出手机的进价，可对C作出判断；零售价越低，每天售出数量就越多，利润不一定越大，可对D作出判断。
8．（2020九上·鄞州期中）某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况.因此，公司规定：若无利润时，该景点关闭.经跟踪测算，该景点一年中的利润W（万元）与月份x之间满足二次函数W=﹣x2+16x﹣48，则该景点一年中处于关闭状态有（ ）月.
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】由W=﹣x2+16x﹣48，令W=0，则x2﹣16x+48=0，解得x=12或4，
∴不等式﹣x2+16x﹣48＞0的解为，4＜x＜12，
∴该景点一年中处于关闭状态有5个月.
故答案为：A.
【分析】关闭状态时的利润即为w=0，可得关于x的一元二次方程，解方程可求得x的值；再结合不关闭状态即为w＞0可得关于x的范围，则题意可求解.
9．（2020九上·射阳月考）如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正方形的边长为m，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴该函数的顶点坐标为,
又m＞0，∴该顶点在第一象限，
∵二次项的系数为2大于0，∴图象的开口向上，
与x的函数图象是A.
故答案为：A.
【分析】本题需先设正方形的边长为m，然后得出y与x、m是二次函数关系，进而根据二次函数的图象与系数的关系得出函数的图象.
10．（2020九上·绍兴月考）如图，在四边形 ABCD 中， AD∥BC ， ∠A=45° ， ∠C=90° ， AD=4cm ，CD=3cm 、动点M，N同时从点A出发，点M以 cm/s 的速度沿 AB 向终点B运动，点N以2cm/s 的速度沿折线 AD-DC 向终点C运动.设点N的运动时间为ts ，△AMN 的面积为 Scm ，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：①如图，当0＜t≤2时，作MH⊥AN于N，
S=AN×MH=×2t×tcos45°=t2，
②如图，当2＜t≤3时，连接DM，
S=S△MND+S△AMD+S△ADN=×（2t-4）×（4-t）+×4×t-×4×（2t-4）
=-t2+4t，
③如图，当3＜t≤3.5时，连接BN，
S=S△MND+S△AMD+S△ADN=×（2t-4）×1+×4×3-×4×（2t-4）
=-3t+12，
综上可知，符合条件的函数图象是B.
故答案为：B.
【分析】分三种情况作答，即①当0＜t≤2时，②当3＜t≤3.5时，③当3＜t≤3.5时，用分割法分别求出 △AMN的面积表达式，根据此分段函数选出符合条件的选项即可.
二、填空题
11．（2021九上·甘井子期末）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s.
【答案】4
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：依题意，令h＝0得
0＝20t﹣5t2
得t（20﹣5t）＝0
解得t＝0（舍去）或t＝4
即小球从飞出到落地所用的时间为4s
故答案为4.
【分析】根据"小球落地"的含义可知，小球飞行高度h为0，于是把h=0代入解析式计算即可求解.
12．（2020九上·慈溪月考）将进货单价为70元的某种商品按零售单价100元售出时，每天能卖出40个，若这种商品的零售单价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加2个，为了获取最大的日利润，则应把零售单价定为 元.
【答案】95
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】设应降价x元，日利润为y，
则y=（40+2x）（100-x-70）=（40+2x）（30-x）
=-2x2+20x+1200
=-2（x-5）2+1150
∵-1<0，
∴当x=5时，二次函数有最大值，
∴应把零售单价定为100-5=95元.
故答案为：95.
【分析】设应降价x元，日利润为y，根据题意列出函数关系式，然后根据二次函数的最值问题求出最大利润时的x的值即可求得结果.
13．（2020九上·通榆月考）为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价，该药品的原价是48元，降价后的价格是30元，若平均每次降价的百分率均为x，可列方程为 。
【答案】48(1-x)2=30
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均的降价率为x，根据题意可知
48（1-x）2=30
【分析】根据题意，列出方程即可得到答案。
14．（2020九上·长春期中）如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边的OA的距离分别为0.5m，1.5m．若该墙的长度为12m，则最多可以连续绘制 个这样的抛物线型图案．
【答案】6
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】∵抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边的OA的距离分别为0.5m，1.5m
∴BC中点到OA的距离为 m
∴每个抛物线宽 m
∵
∴可以连续绘制6个这样的图案
故答案为6．
【分析】根据B和C到OA的距离，求出BC中点到OA的距离，然后求出一个抛物线的宽度，最后根据墙的长度即可求解．
15．（2020九上·迁安月考）某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米．当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为 厘米．
【答案】6
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设y与x之间的函数关系式为y=kx2，由题意，得
18=9k，解得：k=2，
∴y=2x2，
当y=72时，72=2x2，
∴x=6，
故答案为：6．
【分析】设y与x之间的函数关系式为y=kx2，由待定系数法就可以求出解析式，当y=72时代入函数解析式就可以求出结论．
16．（2020九上·海安期中）定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形.已知垂美四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC＋BD＝12，则当AC＝ 时，四边形ABCD的面积最大.
【答案】6
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】∵四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴ ，
∵AC＋BD＝12，
∴ ，
∴ ，
∵ 且 ，
当 时，函数有最大值，
∴AC=6时，面积有最大值；
故答案是6.
【分析】由四边形ABCD的对角线互相垂直，可得，由AC＋BD＝12，可得 ，从而可得利用二次函数的性质进行解答即可.
三、解答题
17．（2020九上·海门月考）如图所示，公园要造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面距离最大，高度2.25m.若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外
【答案】解：以地面上任一条直线为x轴，OA为y轴建立直角坐标系，
设y=a(x-1)2+2.25，则当x=0时，y=1.25，故a+2.25=1，a=-1.
由y=0得-(x-1)2+2.25=0，得(x-1)2=2.25，解得x1=2.5，x2=-0.5(舍去)
故水池的半径至少要2.5米.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】以地面上任一条直线为x轴，OA为y轴建立直角坐标系，由题意可设y=a(x-1)2+2.25，再根据x=0时，y=1.25即可求得函数关系式，再求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到结果.
18．（2020九上·温州月考）某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个，商场想了两个方案来增加利润:
方案一提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；
方案二:售价不变，但发资料做广告，已知这种商品每月的广告费用m（千元）与销售量倍数p关系为p=-0.4m2+2m，
试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案 请说明你判断的理由.
【答案】解：设涨价x元,利润为y元，则①;y=(50十x-40)(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x-20)2+9000,
∴方案一的最大利润为9000元②y=(50-40)×500p-1000m=-2000m2+9000m=-2000(x-2.25)2+10125,∴方案二的最大利润为10125元;
∴选择方案二能获得更大的利润.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据利润y=每一件的利润×销售量，可得到y与x的函数解析式，再利用方案一求出最大利润；然后求出方案二的利润，比较大小可得答案。
19．（2020九上·广饶期中）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m．
（1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式；
（2）一大型货车装载设备后高为7m，宽为4m．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？
【答案】（1）解：如图，以AA1所在直线为x轴，以线段AA1的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），
设抛物线的解析式为y＝ax2+8，把B（﹣8，6）代入，得：
64a+8＝6，
解得：a＝﹣ ．
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+8．
（2）解：根据题意，把x＝±4代入解析式y＝﹣ x2+8，
得y＝7.5m．
∵7.5m＞7m，
∴货运卡车能通过．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为y＝ax2+8，再把B（﹣8，6）代入，求出a的值即可；
（2）隧道内设双行道后，求出纵坐标与7m作比较即可．
20．（2020九上·海珠期中）网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某市长亲自在某网络平台上进行直播销售板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元．设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）当y≥4000，即﹣100x+5000≥4000，
∴x≤10，
∴当6≤x≤10时，W＝（x﹣6+1）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5500x﹣27000，
当10＜x≤30时，W＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000，
综上所述：W＝ ；
（2）当6≤x≤10时，W＝﹣100x2+5500x﹣27000＝﹣100（x﹣ ）2+48625，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝ ，
∴当6≤x≤10时，y随x的增大而增大，即当x＝10时，W最大值＝18000元，
当10＜x≤30时，W＝﹣100x2+5600x﹣32000＝﹣100（x﹣28）2+46400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝28，
∴当x＝28时，W有最大值为46400元，
∵46400＞18000，
∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，由日获利＝销售单价×数量，可求解；（2）分两种情况讨论，由二次函数的性质，分别求出6≤x≤10和10＜x≤30时的最大利润，即可求解．
21．（2021九上·嘉兴期末）女生排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米.某次模拟测试中，某女生在O处将球垫偏，之后又在A， B两处先后垫球，球沿抛物线C1 → C2 → C3运动（假设抛物线C1，C2，C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米.如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点A（ ， ），点B的横坐标为 - ，抛物线C1和C3的表达式分别为 y = ax2- 2ax 和 y = 2ax2 + bx （a≠ 0）.
（1）求抛物线C1的函数表达式.
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由.
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该女生第三次垫球处B 离地面的高度至少为多少米？
【答案】（1）解：C1：∵y=ax2-2ax，点A （ ， ）
∴
解之：
∴ 抛物线C1的函数表达式为y=-0.5x2+x.
（2）解：∵抛物线C1：y=-0.5x2+x.
∴对称轴为直线，y=
∴顶点坐标为（1，）
∵O处离地面的距离为1米，
∴第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度:1+.
∴没有达到要求.
（3）解：抛物线C3的表达式为 y = 2ax2 + bx
对称轴为直线
∴此时顶点的纵坐标为y=
∵最大距离达标
∴
∵ 点B的横坐标为 -
∴
由（1）得a=-
∴
解之：b≥2或b≤-2
∵
∴a，b同号，
∴b≤-2
∴yB=
∴该女生第三次垫球处B 离地面的高度至少 米.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，由点A的坐标，求出抛物线C1的函数表达式。
（2）利用抛物线C1的解析式求出其顶点坐标，再由O处离地面的距离为1米，可求出第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度，由此可作出判断。
（3）利用抛物线C3的表达式求出对称轴及顶点的纵坐标，由此可得到最大距离达标，由点B的横坐标，可求出对应的y的值，然后求出点B的纵坐标，由此可求出该女生第三次垫球处B 离地面的高度。
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