2022-2023学年(新RJ·A)选择性必修第一册同步习题
3.1.1 椭圆及其标准方程
知识梳理
知识点一 椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．
注意点：
(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．
(2)定值必须大于两定点的距离．
(3)当距离的和等于F1F2时，点的轨迹是线段．
(4)当距离的和小于F1F2时，点的轨迹不存在．
知识点二 椭圆的标准方程
焦点位置 在x轴上 在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标 (±c,0) (0，±c)
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
焦距 2c
异同点 (1)相同点：大小、形状都相同，都有a>b>0，a>c>0，a，b，c的关系都满足a2＝b2＋c2. (2)不同点：位置和焦点坐标不同.
注意点：
焦点位置由a2，b2的大小确定．
习题精练
选择题
1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
答案：D
解析：∵|MF1|＋|MF2|＝6，|F1F2|＝6，∴|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，∴点M的轨迹是线段F1F2.
2.满足条件a＝13，c＝5的椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1或＋＝1 D．不确定
答案：C
解析：因焦点位置不确定，应有两个标准方程，只有C成立．
3.已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( )
A．m<2 B．1答案：D
解析：由题意得即∴14.若△ABC的两个焦点坐标为A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1(y≠0) C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
答案：D
解析：∵|AB|＝8，△ABC的周长为18，∴|AC|＋|BC|＝10>|AB|，故点C轨迹为椭圆且两焦点为A、B，又因为C点的纵坐标不能为零，所以选D.
5.椭圆ax2＋by2＋ab＝0(aA．(±，0) B．(±，0) C．(0，±) D．(0，±)
答案：D
解析：ax2＋by2＋ab＝0可化为＋＝1，∵a－b>0，∴焦点在y轴上，c＝＝，∴焦点坐标为(0，±)．
6.设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
答案：B
解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.又|F1F2|＝2c＝2＝4，∴△PF1F2为直角三角形．
7.椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的( )
A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍
答案：A
解析：不妨设F1(－3,0)，F2(3,0)，由条件知P(3，±)，即|PF2|＝，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，则|PF1|＝，即|PF1|＝7|PF2|，故选A.
8.“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1”表示焦点在y轴上的椭圆的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案：C
解析：椭圆方程为＋＝1.当m>n>0时，<，∴椭圆焦点在y轴上．当椭圆焦点在y轴上时，有>>0，∴09.中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
答案：D
解析：解法一：验证排除：将点(4,0)代入验证可排除A、B、C，故选D.
解法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，∴，∴，故选D.
10.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(0，－2)和C(0,2)，顶点B在椭圆＋＝1上，则的值是( )
A. B．2 C．2 D．4
答案：A
解析：由椭圆定义得|BA|＋|BC|＝4，又∵＝＝＝，故选A.
二、填空题
11.“1答案：充要条件
解析：方程＋＝1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，∴，∴112.椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝______.
答案：
解析：由椭圆的方程可知F1的坐标为(－，0)，设P(－，y)，把P(－，y)代入椭圆的方程中，得|y|＝，即|PF1|＝.根据椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，故|PF2|＝4－|PF1|＝4－＝.
13.过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同焦点的椭圆方程是________．
答案：＋＝1
解析：已知椭圆化为标准方程是＋＝1，其焦点在x轴上，且c2＝9－4＝5.设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．将点(3，－2)代入得＋＝1，又a2＝b2＋5，联立可得a2＝15，b2＝10.所以所求椭圆方程为＋＝1.
14.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__________________．
答案：＋＝1
解析：由题意可得，∴.故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.
15.若α∈，方程x2sinα＋y2cosα＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．
答案：
解析：方程x2sinα＋y2cosα＝1可化为＋＝1.∵椭圆的焦点在y轴上，∴>>0.又∵α∈，∴sinα>cosα>0，∴<α<.
三、解答题
16.已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.
(1)求M的横坐标；
(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程．
解：(1)把M的纵坐标代入＋＝1得＋＝1，即x2＝9.
∴x＝±3.即M的横坐标为3或－3.
(2)对于椭圆＋＝1，
焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为＋＝1，
把M点坐标代入得＋＝1，解得a2＝15.
故所求椭圆的方程为＋＝1.
17.一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．
解：两定圆的圆心和半径分别是O1(－3,0)，r1＝1，O2(3,0)，r2＝9.
设动圆圆心为M (x，y)，半径为R，则由题设条件可知，
|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R，
∴|MO1|＋|MO2|＝10.
由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，b2＝a2－c2＝25－9＝16，
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
18.已知x轴上的一定点A(1,0)，Q为椭圆＋y2＝1上的动点，求AQ中点M的轨迹方程．
解：设动点M的坐标为(x，y)，则Q的坐标为(2x－1,2y)．
因为点Q为椭圆＋y2＝1上的点，
所以有＋(2y)2＝1，
即(x－)2＋4y2＝1.
所以点M的轨迹方程是(x－)2＋4y2＝1.
19.已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n.根据椭圆定义有m＋n＝20，
又c＝＝6，∴在△F1PF2中，
由余弦定理得m2＋n2－2mncos＝122，
∴m2＋n2－mn＝144，∴(m＋n)2－3mn＝144，
∴mn＝，
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝××＝.
20.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
解：(1)依题意知c＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，所以a2－a2＝1，即a2＝1.所以a2＝4.
因此b2＝3.从而椭圆方程为＋＝1.
(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4，
又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝，|PF2|＝，
又|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝＝.即∠F1PF2的余弦值等于.
3.1.1 椭圆及其标准方程 1/12022-2023学年(新RJ·A)选择性必修第一册同步习题
3.1.1 椭圆及其标准方程
知识梳理
知识点一 椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．
注意点：
(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．
(2)定值必须大于两定点的距离．
(3)当距离的和等于F1F2时，点的轨迹是线段．
(4)当距离的和小于F1F2时，点的轨迹不存在．
知识点二 椭圆的标准方程
焦点位置 在x轴上 在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标 (±c,0) (0，±c)
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
焦距 2c
异同点 (1)相同点：大小、形状都相同，都有a>b>0，a>c>0，a，b，c的关系都满足a2＝b2＋c2. (2)不同点：位置和焦点坐标不同.
注意点：
焦点位置由a2，b2的大小确定．
习题精练
选择题
1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
2.满足条件a＝13，c＝5的椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1或＋＝1 D．不确定
3.已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( )
A．m<2 B．14.若△ABC的两个焦点坐标为A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1(y≠0) C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
5.椭圆ax2＋by2＋ab＝0(aA．(±，0) B．(±，0) C．(0，±) D．(0，±)
6.设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
7.椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的( )
A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍
8.“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1”表示焦点在y轴上的椭圆的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
9.中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
10.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(0，－2)和C(0,2)，顶点B在椭圆＋＝1上，则的值是( )
A. B．2 C．2 D．4
二、填空题
11.“112.椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝______.
13.过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同焦点的椭圆方程是________．
14.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__________________．
15.若α∈，方程x2sinα＋y2cosα＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．
三、解答题
16.已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.
(1)求M的横坐标；
(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程．
17.一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．
18.已知x轴上的一定点A(1,0)，Q为椭圆＋y2＝1上的动点，求AQ中点M的轨迹方程．
19.已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
20.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
3.1.1 椭圆及其标准方程 1/1
