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第8讲 角的计算（二）
目标层级图
一．角的计数
内容讲解
【观察规律】观察下列图形，当图形中射线条数n=3，n=4时，图中小于180°角的个数及规律如表，请在表中空白处填出射线条数n为5和n的情形。
图形
n 3 4 5 n
个数及规律 3＝1+2＝ 6＝1+2+3＝
在∠AOB的内部从顶点O引出3条射线，则图中共有角的个数是（ ）
A．9个 B．10个 C．11个 D．12个
观察下列各图，在第1个图中有一个角，第2个图中共有3个角，第3个图中共有6个角，则第4个图中角的个数是 ，第n个图中角的个数为 ．
过关检测
1．如图，已知∠MON，在∠MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在∠MON内画20条射线时，则图中角的个数是（ ）
A．190 B．380 C．231 D．462
2．从公共端点O引出10条射线所组成的角的个数有（ ）
A．35个 B．40个 C．45个 D．50个
3．如图，已知∠MON，在∠MON内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角（不大于平角的角）．当∠MON内有n条射线时，角的个数为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示，在∠AOB的内部有4条射线，则图中角的个数为（ ）
A．10 B．15 C．5 D．20
二．钟面角
内容讲解
钟表问题中时针、分针的速度和格子的度数：
（1）分针每60分钟转一圈，则分针的转速为 °/分；
（2）时针每12小时（即12×60分）转一圈，则时针速度为 °/分；
（3）时钟共12个大格，所以每个大格的度数为 °；
（4）时钟共60个小格，所以每个小格的度数为 °。
例1．钟表上8点30分时，时针与分针的夹角为（ ）
A．15° B．30° C．75° D．60°
例2．时钟的时针和分针垂直的时刻是（ ）
A．6：15 B．9点 C．9：30 D．6：45
例3．某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是120°，他做完作业后还是6点多钟，且时针和分针的夹角还是120°，此同学做作业大约用了（ ）
A．40分钟 B．42分钟 C．44分钟 D．46分钟
例4．在下列说法中：
①钟表上九点一刻时，时针和分针形成的角是平角；
②钟表上六点整时，时针和分针形成的角是平角；
③钟表上差一刻六点时，时针和分针形成的角是直角；
④钟表上九点整时，时针和分针形成的角是直角．
其中正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
过关检测
1．时钟显示为8：28时，时针与分针所夹的角的大小是（ ）
A．86° B．68° C．67° D．87°
在2时和3时之间，若时针与分针成直角，则此时的时间是 ．
3．现在的时刻为，时间再过半小时，在这半小时的时间里，时针转过的角度为
A． B． C． D．
4．某校七年级学生李刚在周六下午六点多钟外出买东西时，看手表上的时针和分针的夹角是110°，下午近七点回家时，发现时针和分针的夹角又是110°，你能知道李刚同学外出用了多长时间吗？你是怎么知道的呢？
三．方位角
内容讲解
方位角一般以 为基准，描述物体运动方向。即“北偏东度”、“北偏西度”、“南偏东度”、“南偏西度”，方位角的取值范围 。“北偏东45度”为东北方向，“北偏西45度” 方向，“ ”为东南方向，“ ”为西南方向。
例1．小明同学从A地出发沿北偏东30°的方向到B地，再由B地沿南偏西40°的方向到C地，则∠ABC＝（ ）
A．10° B．20° C．35° D．70°
例2．岛A和岛B处于东西方向的一条直线上，由岛A、岛B分别测得船C位于北偏东40°和北偏西50°方向上，下列符合条件的示意图是（ ）
A． B．
B． D．
例3．如果从小刚所在的位置看小明的方向是北偏东32°，那么从小明所在的位置看小刚的方向是（ ）
A．北偏东32° B．南偏西32° C．东偏北32° D．无法判断
例4．如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至B处，又从B处沿东偏南21°方向行走至C处，则∠ABC的度数为（ ）
A．131° B．129° C．109° D．101°
例5．如图所示，一幅地图上有A，B，C三地，地图被墨迹污染，C地具体位置看不清楚了，但知道C地在A地的北偏东30°方向，在B地的南偏东45°方向，你能确定C地位置吗？
例6．如图所示，甲、乙两船同时由港口出发开往海岛，甲船沿东北方向向海岛航行，其速度为15海里小时；乙船速度为20海里小时，先沿正东方向航行1小时后，到达港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东方向开往岛，其速度仍为20海里小时．
（1）求甲船由港口到海岛的行驶时间；
（2）求乙船由港口到经港到达海岛的行驶时间．
过关检测
1．如图，小数沿正东方向散步行至A处后，沿北偏东40°方向继续前行至B处，接着沿北偏西30°方向继续前行至C处，之后小数决定沿正东方向行走，则方向的调整应该是（ ）
A．右转60° B．左转60° C．右转120° D．左转120°
2．如图，一张地图上标记A、B、C三个小岛，A岛在C岛的北偏西15°方向，在B岛的东北方向，若∠ACB＝90°，则C岛在B岛的（ ）
A．北偏东75°方向 B．北偏东65°方向
C．北偏东60°方向 D．北偏东30°方向
3．学校，电影院，公园在平面图上的标点分别是A，B，C，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西25°方向，那么平面图上的∠CAB等于（ ）
A．115° B．155° C．25° D．65°
4．如图，点在点的北偏西的方向上，点在点的南偏东的方向上，那么的大小为
B． C． D．
5. 甲看乙的方向是北偏东40°，那么乙看甲的方向是 度．
6. 在一张城市地图上，如图，有学校、医院、图书馆三地，图书馆被墨水污染，具体位置看不清，但知道图书馆在学校的东北方向，在医院的南偏东60°方向，你能确定图书馆的位置吗？
学习任务
1. 如图所示，其中角的个数是（ ）
A．15 B．10 C．5 D．9
2．若钟表显示时间是6时45分，则此时钟面上时针与分针夹角的度数是 度．
3. 甲看乙在北偏东50度，那么乙看甲的方向为 ．
4. 如图，一只蚂蚁从O出发，沿着北偏东45°的方向爬行2.5cm，碰到障碍物（记作B）后折向北偏西60°的方向爬行3cm，（此时位置记作C），
（1）画出蚂蚁爬行的路线，
（2）求出∠OBC的度数．
5．观察常用时钟，回答下列问题：
（1）早晨7时整，时针和分针构成多少度的角？
（2）时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？
（3）从到，分针转动了多少度？
6．某同学早晨吃饭，离家去上学，在这段时间里时钟的时针和分针分别转过的角度是多少？
7．如图，处在处南偏西方向，处在处南偏东方向，处在处的北偏东方向，求的度数．
8．如图，已知某船于上午8时在处观测小岛在北偏东方向上，该船以每小时20海里的速度向东航行到处，测得小岛在北偏东方向上，船以原来的速度继续向东航行2小时，到达岛正南方点处，船从到一共航行了多少海里？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第八节 角的计算（二）
目标层级图
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六．授课内容6 角的计数
内容讲解
【观察规律】观察下列图形，当图形中射线条数n=3，n=4时，图中小于180°角的个数及规律如表，请在表中空白处填出射线条数n为5和n的情形。
图形
n 3 4 5 n
个数及规律 3＝1+2＝ 6＝1+2+3＝ 10＝1+2+3+4＝ 1+2+3+…+n-1＝
在∠AOB的内部从顶点O引出3条射线，则图中共有角的个数是（ B ）
A．9个 B．10个 C．11个 D．12个
【解答】解：∵以OA为始边的角有∠AOD、∠AOC、∠AOE、∠AOB，
以OD为始边的角有∠BOD、∠EOD、∠COD，
以OC为始边的角有∠COE、∠COB，
以OE为始边的角有∠BOE，
所以共有4+3+2+1＝10个角．
故选：B．
观察下列各图，在第1个图中有一个角，第2个图中共有3个角，第3个图中共有6个角，则第4个图中角的个数是 10 ，第n个图中角的个数为 ．
【解答】解：其中第1个图中共有＝1个角，
第2个图中共有＝3个角，
第3个图中共有＝6个角，
第3个图中共有＝10个角
…，
由此规律得出第n个图有个角．
故答案为：10；．
过关检测（5mins）
（2019秋 金乡县期末）如图，已知∠MON，在∠MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在∠MON内画20条射线时，则图中角的个数是（ ）
A．190 B．380 C．231 D．462
【解答】解：由题可得，画n条射线所得的角的个数为：
1+2+3+…+（n+1）＝（n+1）（n+2），
∴当n＝20时，（n+1）（n+2）＝×21×22＝231．
故选：C．
从公共端点O引出10条射线所组成的角的个数有（ ）
A．35个 B．40个 C．45个 D．50个
【解答】解：9+8+7+6+5+4+3+2+1
＝（9+1）×9÷2
＝45．
故选：C．
如图，已知∠MON，在∠MON内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角（不大于平角的角）．当∠MON内有n条射线时，角的个数为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：画n条射线所得的角的个数为：
1+2+3+…+（n+1）＝．
故选：D．
如图所示，在∠AOB的内部有4条射线，则图中角的个数为（ ）
A．10 B．15 C．5 D．20
【解答】解：图中角的个数是：×6×（6﹣1）＝15．
故选：B．
七．授课内容7 钟面角
内容讲解
钟表问题中时针、分针的速度和格子的度数：
（1）分针每60分钟转一圈，则分针的转速为 6 °/分；
（2）时针每12小时（即12×60分）转一圈，则时针速度为 0.5 °/分；
（3）时钟共12个大格，所以每个大格的度数为 30 °；
（4）时钟共60个小格，所以每个小格的度数为 6 °。
钟表上8点30分时，时针与分针的夹角为（ ）
A．15° B．30° C．75° D．60°
【解答】解：∵8点30分，时针在8和9正中间，分针指向6，中间相差两个半大格，而钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴8点30分时，时针与分针的夹角的度数为：30°×2.5＝75°．
故选：C．
时钟的时针和分针垂直的时刻是（ ）
A．6：15 B．9点 C．9：30 D．6：45
【解答】解：时钟的时针与分针互相垂直，即时针与分针的夹角是90°，
9点整时，时针指向9，分针指向12．
钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
因此9点整分针与时针的夹角正好是90度，时针和分针正好垂直．
故选：B．
某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是120°，他做完作业后还是6点多钟，且时针和分针的夹角还是120°，此同学做作业大约用了（ ）
A．40分钟 B．42分钟 C．44分钟 D．46分钟
【解答】解：设开始做作业时的时间是6点x分，
∴6x﹣0.5x＝180﹣120，
解得x≈11；
再设做完作业后的时间是6点y分，
∴6y﹣0.5y＝180+120，
解得y≈55，
∴此同学做作业大约用了55﹣11＝44分钟．
故选：C．
例4．在下列说法中：
①钟表上九点一刻时，时针和分针形成的角是平角；
②钟表上六点整时，时针和分针形成的角是平角；
③钟表上差一刻六点时，时针和分针形成的角是直角；
④钟表上九点整时，时针和分针形成的角是直角．
其中正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用时钟的特征解答即可．
【解答】解：①钟表上九点一刻时，时针和分针形成的角是，不是平角，原说法错误；
②钟表上六点整时，时针指向6，分针指向12，形成的角是平角，原说法正确；
③钟表上差一刻六点时，时针和分针形成的角是，不是直角，原说法错误；
④钟表上九点整时，时针指向9，分针指向12，形成的角是直角，原说法正确．
正确的个数是2个．
故选：．
【点评】本题考查钟表分针所转过的角度计算．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动时针转动，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
过关检测（10mins）
时钟显示为8：28时，时针与分针所夹的角的大小是（ ）
A．86° B．68° C．67° D．87°
【解答】解：8：28时，时针与分针相距2++＝份，
8：28时，时针与分针所夹的角是30×＝86°，
故选：A．
在2时和3时之间，若时针与分针成直角，则此时的时间是 ．
【解答】解：设再次转成直角的时间为x，则
（6﹣）x＝60+90
∴x＝．
所以2时和3时之间时针与分针成直角的时间为2时分．
故答案为：2时分．
3．现在的时刻为，时间再过半小时，在这半小时的时间里，时针转过的角度为
A． B． C． D．
【分析】时针在钟面上每小时转动，依此求出时针转过的角度即可．
【解答】解：．
故时针转过的角度为．
故选：．
4.某校七年级学生李刚在周六下午六点多钟外出买东西时，看手表上的时针和分针的夹角是110°，下午近七点回家时，发现时针和分针的夹角又是110°，你能知道李刚同学外出用了多长时间吗？你是怎么知道的呢？
【解答】解：设时针从李刚外出到回家走了x°，则分针走了（2×110°+x°），
由题意，得，
解得x＝20°，
因时针每小时走30°，
则小时，即李刚外出用了40分钟时间．
方法二：时针每分钟走0.5°，分针每分钟走6°，追及距离为110°+110°，
设追及时间为x，列方程为（6﹣0.5）x＝110+110，
解得x＝40．
即李刚外出用了40分钟时间．
八．授课内容8 方位角
内容讲解
方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向。即“北偏东度”、“北偏西度”、“南偏东度”、“南偏西度”，方位角的取值范围。“北偏东45度”为东北方向，“北偏西45度”西北方向，“南偏东45度”为东南方向，“南偏西45度”为西南方向。
小明同学从A地出发沿北偏东30°的方向到B地，再由B地沿南偏西40°的方向到C地，则∠ABC＝（ ）
A．10° B．20° C．35° D．70°
【解答】解：如图所示，
∵AD∥BE，∠DAB＝30°，
∴∠ABE＝∠DAB＝30°，
∴∠ABC＝40°﹣30°＝10°．
故选：A．
岛A和岛B处于东西方向的一条直线上，由岛A、岛B分别测得船C位于北偏东40°和北偏西50°方向上，下列符合条件的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：符合题意的示意图为：
．
故选：D．
如果从小刚所在的位置看小明的方向是北偏东32°，那么从小明所在的位置看小刚的方向是（ ）
A．北偏东32° B．南偏西32° C．东偏北32° D．无法判断
【解答】解：从A观测到B处的方向为南偏西32°．
故选：B．
如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至B处，又从B处沿东偏南21°方向行走至C处，则∠ABC的度数为（ ）
A．131° B．129° C．109° D．101°
【解答】解：如图：
∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南21方向行走至点C处，
∴∠DAB＝40°，∠CBF＝21°，
∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，
∴∠ABE＝∠DAB＝40°，
∵∠EBF＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣21°＝69°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+69°＝109°，
故选：C．
如图所示，一幅地图上有A，B，C三地，地图被墨迹污染，C地具体位置看不清楚了，但知道C地在A地的北偏东30°方向，在B地的南偏东45°方向，你能确定C地位置吗？
【解答】解：如图所示，C地在AC，BC两条射线的交点上．
例6．如图所示，甲、乙两船同时由港口出发开往海岛，甲船沿东北方向向海岛航行，其速度为15海里小时；乙船速度为20海里小时，先沿正东方向航行1小时后，到达港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东方向开往岛，其速度仍为20海里小时．
（1）求甲船由港口到海岛的行驶时间；
（2）求乙船由港口到经港到达海岛的行驶时间．
【分析】（1）作于，构造两个直角三角形并用解直角三角形用表示出和，利用和之间的关系列出方程求解；
（2）根据时间即可得到结论．
【解答】解：（1）过点作于
在中，，设，则，
在中，
则，，
由得
解得：
甲船由港口到海岛的行驶时间，
答：甲船由港口到海岛的行驶时间为小时；
（2），，
，
乙船由港口到经港到达海岛的行驶时间，
答：乙船由港口到经港到达海岛的行驶时间为小时．
【点评】此题考查了方向角，勾股定理，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解答．
过关检测（10mins）
如图，小数沿正东方向散步行至A处后，沿北偏东40°方向继续前行至B处，接着沿北偏西30°方向继续前行至C处，之后小数决定沿正东方向行走，则方向的调整应该是（ ）
A．右转60° B．左转60° C．右转120° D．左转120°
【解答】解：由题意得：∠CBD＝30°，
过C作CD⊥BD于D，
∵小数决定沿正东方向行走，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB＝60°，
∴∠ECD＝120°，
∴方向的调整应该是右转120°，
故选：C．
如图，一张地图上标记A、B、C三个小岛，A岛在C岛的北偏西15°方向，在B岛的东北方向，若∠ACB＝90°，则C岛在B岛的（ ）
A．北偏东75°方向 B．北偏东65°方向
C．北偏东60°方向 D．北偏东30°方向
【解答】解：∵A岛在C岛的北偏西15°方向，
∴∠1＝15°，
∴∠2＝90°﹣15°＝75°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠3＝90°﹣75°＝15°，
∴∠4＝15°．
故C岛在B岛的北偏东90°﹣15°＝75°方向．
故选：A．
学校，电影院，公园在平面图上的标点分别是A，B，C，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西25°方向，那么平面图上的∠CAB等于（ ）
A．115° B．155° C．25° D．65°
【解答】解：从图中发现平面图上的∠CAB＝∠1+∠2＝115°．
故选A．
4．如图，小明从处出发沿北偏东方向行走至处，又从处沿南偏东方向行走至处．则等于
A． B． C． D．
【分析】根据方向角的定义求出，再根据平行线的性质求出即可得出答案．
【解答】解：如图：
小明从处沿北偏东方向行走至点处，又从点处沿南偏东方向行走至点处，
，，
向北方向线是平行的，即，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了方向角及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．
5.甲看乙的方向是北偏东40°，那么乙看甲的方向是 南偏西40° 度．
【解答】解：甲看乙的方向是北偏东40°，则乙看甲的方向是南偏西40°，
故答案为：南偏西40°．
6.在一张城市地图上，如图，有学校、医院、图书馆三地，图书馆被墨水污染，具体位置看不清，但知道图书馆在学校的东北方向，在医院的南偏东60°方向，你能确定图书馆的位置吗？
【解答】解：在医院A处，以正南方向为始边，逆时针转60°角，得角的终边射线AO，
在学校B处，以正北方向为始边，顺时针旋转45°角，得角的终边射线BO，
则AO与BO的交点为点O，则点O就是图书馆的位置．
学习任务
1.如图所示，其中角的个数是（ ）
A．15 B．10 C．5 D．9
【解答】解：根据分析得共有＝15条个角，
选A．
故答案为：37°19′12″；52.28°．
2．若钟表显示时间是6时45分，则此时钟面上时针与分针夹角的度数是 67.5 度．
【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可．
【解答】解：，
时45分时，此时钟面上时针与分针夹角的度数是：．
故答案为：67.5．
【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动时针转动，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
3.甲看乙在北偏东50度，那么乙看甲的方向为 南偏西50° ．
【解答】解：甲看乙在北偏东50度，那么乙看甲的方向为 南偏西50°．
故答案为：南偏西50°．
4.如图，一只蚂蚁从O出发，沿着北偏东45°的方向爬行2.5cm，碰到障碍物（记作B）后折向北偏西60°的方向爬行3cm，（此时位置记作C），
（1）画出蚂蚁爬行的路线，
（2）求出∠OBC的度数．
【解答】解：（1）如图所示：折线OB，BC即为蚂蚁爬行的路线；
（2）由题意得：
∠EBO＝45°，∠CBE＝30°，
∴∠OBC＝75°．
5．观察常用时钟，回答下列问题：
（1）早晨7时整，时针和分针构成多少度的角？
（2）时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？
（3）从到，分针转动了多少度？
【分析】（1）因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，找出7时时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可；
（2）由时钟可知时针12个小时转一圈，圆周角是即一圈是，所以速度为；
（3）若时针由到，共经过40分钟，时针一小时即60分钟转，一分钟转动，分针一小时转，一分钟转，据此作答．
【解答】解：（1）7时，时针和分针中间相差5个大格．
钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，
时，分针与时针的夹角是，
答：早晨7时整，时针和分针构成150度的角；
（2）由时钟可知时针12个小时转一圈，
，
答：时针12个小时转一圈，它转动的速度是每小时30度；
（3）分针转过的角度：，
答：分针转动了240度．
【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动时针转动，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
6．某同学早晨吃饭，离家去上学，在这段时间里时钟的时针和分针分别转过的角度是多少？
【分析】根据钟面可知：一周是，共有12个大格，一个大格的度数是，根据一个大格是5分钟得出时针从到转过的度数是和分针从到转过的度数是，求出即可．
【解答】解：一周是，共有12个大格，
一个大格的度数是，
时钟的时针从到转过的度数是，
时钟的分针从到转过的度数是，
答：在这段时间里时钟的时针和分针分别转过的角度是和．
【点评】本题考查了角的有关计算和钟面角的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
7．如图，处在处南偏西方向，处在处南偏东方向，处在处的北偏东方向，求的度数．
【分析】根据题意和图形，正确画出方向角，根据平行线的性质和三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：由题意得，，，
则，
，
，
又，
，
．
【点评】本题考查的是方向角的知识，正确画出方向角是解题的关键，画方位角时，以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
8．如图，已知某船于上午8时在处观测小岛在北偏东方向上，该船以每小时20海里的速度向东航行到处，测得小岛在北偏东方向上，船以原来的速度继续向东航行2小时，到达岛正南方点处，船从到一共航行了多少海里？
【分析】根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，先求出的长度，再根据两个方位角可以证明，然后与相加即可得解．
【解答】解：由题意知，，
在中，，
，
，
船从到走了2小时，船速为每小时20海里，
海里，
海里，
由，得，
，
，
，
海里，
，
（海里）．
因此船从到一共走了120海里．
【点评】本题主要考查了方向角，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等角对等边的性质，解答本题的关键是题目数据设计非常巧妙．
