6.2 排列与组合-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册辅导讲义（含解析）
文档属性
| 名称 | 6.2 排列与组合-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册辅导讲义（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 215.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-21 15:36:21 | ||
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文档简介
高中数学选择性必修第三册第六章计数原理（人教A版2019）
6.2排列与组合
【基础梳理】
一、排列
排列的定义
一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一一定的 顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
二、排列数
排列数的定义
从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示
排列数公式
（1）排列数公式：=n（n-1）（n-2）...（n-m+1）
（2）全排列：=n（n-1）（n-2）×...×3×2×1
（3）阶乘：=n！规定0！=1
（4）排列数的性质：=n，=m+
三、组合
组合的定义
一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
组合数的定义
从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示
组合数公式
（1）组合数公式：==还可以写成
= 规定=1
（2）组合数的两个性质
性质1：= 性质2：=+
【课堂探究】
例1．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶 一个有害垃圾桶 一个厨余垃圾桶 一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】
分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果.
【详解】
根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，
先选出两个垃圾桶，有种选法，
之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有种放法；
所以不同的摆放方法共有种，
故选：C.
例2．天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲 乙 丙 丁 戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（ ）
A．54种 B．60种 C．72种 D．96种
【答案】A
【分析】
甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，先排乙，可以是第二，三，四名3种情况，再排甲，也有3种情况，余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理求解即可.
【详解】
由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，
再排甲，也有3种情况，余下3人有种情况，
利用分步相乘计数原理知有种情况
故选：A.
【课后练习】
1．某医院派出了6名医生和3名护士共9人前往某地参加救治工作.现将这人分成两组分配到，两所医院，若要求每个医院都至少安排2名医生及1名护士，并且医生甲由于工作原因只能派往医院，则不同的分配方案种数为（ ）
A．30 B．60 C．90 D．150
【答案】D
【分析】
由题意，第一步分配医生：将医生甲派往医院，再往医院安排1名医生，则医院4名，再往医院安排2名医生，则医院3名，再往医院安排3名医生，则医院2名，按照分类相加原理可知分配医生有种方法；第二步分配护士有种方法；第三步将护士分配到医院有种方法，按照分步相乘原理即可得解.
【详解】
第一步：按题意6名医生有3种分配情况，医院2名，医院4名，医院3名，医院3名，医院4名，医院2名，共有种分配方案；
第二步：按题意将3名护士分成一组1名，一组2名，有种分配方案，
第三步：两组护士分别分配给两个医院有种分配方案
故不同的分配方案种数为，
故选：D.
2．下列等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据排列和组合公式求解即可.
【详解】
根据组合公式得，则A错误；
根据排列公式得
，则B正确；
根据排列公式得，则C正确；
根据组合公式得
即，则D正确；
故选:A
3．列关于排列数和组合数的叙述（均为正整数，），
①；②；③；④
其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据排列数和组合数的计算公式逐一判断.
【详解】
解：①，故错误；
②，故正确；
③，
，故正确；
④的意义是指从个不同元素中取出个不同元素的组合数，
的意义是指从个不同元素中取出个不同元素，当某元素不妨设为，分两类，当取到，有种情况，当不取到，有种情况，总共情况，和的意义是一样的，故正确.
故选：C.
4．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率.
【详解】
所有的情况数有：种，
3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：
，共种，
所以目标事件的概率.
故选：C.
5．《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
依题意，基本事件的总数为，设事件表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，则事件包含个基本事件，故可求．
【详解】
解：依题意，基本事件的总数为，
设事件表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，
①若甲模仿“扶”，则包含个基本事件；
②若甲模仿“捡”或“顶”则包含个基本事件，
综上包含个基本事件，
所以，
故选：．
6．表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为（ ）
A．286 B．281 C．256 D．176
【答案】C
【分析】
画出图形得到表示的平面区域内的整点的个数，然后得到从中任取3个点的合组合数，去掉三点共线和五点共线的情况后即可得到所求．
【详解】
由题意可得表示的平面区域内的整点共有13个，其中三点共线的情况有10种，五点共线的情况有2种，
所以从13个点中可以构成三角形的个数为个．
故选C．
7．杨辉是中国南宋时期的杰出数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，其中蕴藏了许多优美的规律.设，若的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列.则称具有性质.如的展开式中，二、三、四项的二项式系数为，，，依次成等差数列，所以具有性质.若存在，使具有性质，则的最大值为（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】B
【分析】
根据连续三项二项式系数成等差数列可列出，根据组合数公式进行整理可得：，可知为完全平方数，分析可知.
【详解】
由题意得：，整理可得：
即：
为完全平方数
又且
的最大值为：
本题正确选项：
8．已知自然数，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
分析：直接利用排列数计算公式即可得到答案.
详解：.
故选：D.
6.2排列与组合
【基础梳理】
一、排列
排列的定义
一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一一定的 顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
二、排列数
排列数的定义
从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示
排列数公式
（1）排列数公式：=n（n-1）（n-2）...（n-m+1）
（2）全排列：=n（n-1）（n-2）×...×3×2×1
（3）阶乘：=n！规定0！=1
（4）排列数的性质：=n，=m+
三、组合
组合的定义
一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
组合数的定义
从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示
组合数公式
（1）组合数公式：==还可以写成
= 规定=1
（2）组合数的两个性质
性质1：= 性质2：=+
【课堂探究】
例1．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶 一个有害垃圾桶 一个厨余垃圾桶 一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】
分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果.
【详解】
根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，
先选出两个垃圾桶，有种选法，
之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有种放法；
所以不同的摆放方法共有种，
故选：C.
例2．天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲 乙 丙 丁 戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（ ）
A．54种 B．60种 C．72种 D．96种
【答案】A
【分析】
甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，先排乙，可以是第二，三，四名3种情况，再排甲，也有3种情况，余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理求解即可.
【详解】
由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，
再排甲，也有3种情况，余下3人有种情况，
利用分步相乘计数原理知有种情况
故选：A.
【课后练习】
1．某医院派出了6名医生和3名护士共9人前往某地参加救治工作.现将这人分成两组分配到，两所医院，若要求每个医院都至少安排2名医生及1名护士，并且医生甲由于工作原因只能派往医院，则不同的分配方案种数为（ ）
A．30 B．60 C．90 D．150
【答案】D
【分析】
由题意，第一步分配医生：将医生甲派往医院，再往医院安排1名医生，则医院4名，再往医院安排2名医生，则医院3名，再往医院安排3名医生，则医院2名，按照分类相加原理可知分配医生有种方法；第二步分配护士有种方法；第三步将护士分配到医院有种方法，按照分步相乘原理即可得解.
【详解】
第一步：按题意6名医生有3种分配情况，医院2名，医院4名，医院3名，医院3名，医院4名，医院2名，共有种分配方案；
第二步：按题意将3名护士分成一组1名，一组2名，有种分配方案，
第三步：两组护士分别分配给两个医院有种分配方案
故不同的分配方案种数为，
故选：D.
2．下列等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据排列和组合公式求解即可.
【详解】
根据组合公式得，则A错误；
根据排列公式得
，则B正确；
根据排列公式得，则C正确；
根据组合公式得
即，则D正确；
故选:A
3．列关于排列数和组合数的叙述（均为正整数，），
①；②；③；④
其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据排列数和组合数的计算公式逐一判断.
【详解】
解：①，故错误；
②，故正确；
③，
，故正确；
④的意义是指从个不同元素中取出个不同元素的组合数，
的意义是指从个不同元素中取出个不同元素，当某元素不妨设为，分两类，当取到，有种情况，当不取到，有种情况，总共情况，和的意义是一样的，故正确.
故选：C.
4．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率.
【详解】
所有的情况数有：种，
3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：
，共种，
所以目标事件的概率.
故选：C.
5．《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
依题意，基本事件的总数为，设事件表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，则事件包含个基本事件，故可求．
【详解】
解：依题意，基本事件的总数为，
设事件表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，
①若甲模仿“扶”，则包含个基本事件；
②若甲模仿“捡”或“顶”则包含个基本事件，
综上包含个基本事件，
所以，
故选：．
6．表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为（ ）
A．286 B．281 C．256 D．176
【答案】C
【分析】
画出图形得到表示的平面区域内的整点的个数，然后得到从中任取3个点的合组合数，去掉三点共线和五点共线的情况后即可得到所求．
【详解】
由题意可得表示的平面区域内的整点共有13个，其中三点共线的情况有10种，五点共线的情况有2种，
所以从13个点中可以构成三角形的个数为个．
故选C．
7．杨辉是中国南宋时期的杰出数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，其中蕴藏了许多优美的规律.设，若的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列.则称具有性质.如的展开式中，二、三、四项的二项式系数为，，，依次成等差数列，所以具有性质.若存在，使具有性质，则的最大值为（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】B
【分析】
根据连续三项二项式系数成等差数列可列出，根据组合数公式进行整理可得：，可知为完全平方数，分析可知.
【详解】
由题意得：，整理可得：
即：
为完全平方数
又且
的最大值为：
本题正确选项：
8．已知自然数，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
分析：直接利用排列数计算公式即可得到答案.
详解：.
故选：D.