(共11张PPT)
专题卷（一）
不等式组的解集与分式方程的解及分式的化简求值
类型一》不等式组的解集
1.不等式组t9二x十1·的解集是x>a十1，则a的取值范围是(D)
x>a+1
A.a≤2
B.a≥2
C.a≤1
D.a≥1
士<营+1·无解，则m的取值范围为(C）
2.若不等式组2
x>3m
A.m≤3
B.m<3
C.m≥1
D.m>1
3.已知关于x的方程十m-。m=1的解不大于1，且关于x的不等式组
2
3
31一6≤0：一有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数m的和为
-m十4x>-3
(B)
A.2
B.3
C.5
D.6
类型二》分式方程的解
5.若关于x的分式方程x二=2有增根，则增根是(B)
x一1
A.x=0
B.x=1
C.x=2
D.x=3
知关于x的分式方程乙一2=的解为正数，则飞的取值范围
(B)
A.-2B.k>一2且k≠-1
C.k>-2
D.k<2且k≠1
7.若关于x的分式方程
30
x一2
-1=m+3有增根，则m的值为
3
8.已知关于x的分式方程，名十-Wx+2)-十2
mx
(1)若方程的增根为x=1,求m的值；
(2)若方程有增根，求m的值；
(3)若方程无解，求m的值.
解：分式方程可变形为(m十1)x=一5.
(1)x=1是分式方程的增根，
∴.1+m=-5,解得m=-6.
(2)原分式方程有增根，
∴.(x十2)(x一1)=0，解得x=-2或x=1.
当x=一2时，m=3
当x=1时，m=-6.
综上所述，m的值为号或-6.
类型三》分式的化简求值
先化简，再求值：÷mm,其中m=2,n=5。
m
解：原式=m一7·
当m=2,n=√5时，原式=。1
22-(√5)2
10.先化简2z÷(2-）,再从0,1,2中选取一个合适的数作为x的
值代入求值.
解原式=二2
x≠0,2，
∴.x=1.
当x=1时，原式=一1.
山，先化简，再求值：(2十己)÷二号，其中x为整数，且满足
2x+7>3,
x-1<2.
解：原式=x十1.
解不等式组，得一2.x为整数，
x=-1,0,1,2.
当x=一1,1,2时，原分式无意义，
。·x=0.
当x=0时，原式=0十1=1.
12.已知a=b+2021,求代数式2
a2-b2
-b`a2+2ab+6÷a2-6的值.
解：原式=2(a一b).
".a=b+2021,
..原式=2×2021=4042.(共13张PPT)
专题卷（五）
平行四边形中的计算与证明
3.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,BC的中点，点F在DE的延长线上，
添加下列条件，能使四边形ADFC为平行四边形的是(B)
A.∠B=∠F
B.∠B=∠BCF
C.AC=CF
D.AD=CF
4.如图，在口ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点
F.若∠ABC=120°，FG∥CE,FG=CE,连接DB,DG,则∠BDG的度数是
(C)
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
7.如图，在口ABCD中，P为BD上一点，将△PAD沿AP折叠，点D恰好落
在点C处，连接AC.若∠PAD=20°，∠ADP=25°，则∠BDC的度数为
45°
B
x=2
x=7
第7题图
第8题图
8.如图，已知口ABCO的顶点A,C分别在直线x=2和x=7上，O是坐标原
点，则对角线OB的长的最小值为9
解析：过点B作BD⊥直线x=7于点D,作BE⊥x轴于点E.设直线x=2
与OC交于点M,与x轴交于，点F,直线x=7与AB交于，点N.·四边形
ABCO是平行四边形，.∠OAB=∠BCO,OC∥AB,OA=BC..直线x=2
与直线x=7均垂直于x轴，.AM∥CN,∴.四边形ANCM是平行四边形，
.∠MAN=∠NCM,∴.∠OAF=∠BCD.在△OAF和△BCD中，
∠OFA=∠BDC=90°，
∠OAF=∠BCD,
..△OAF≌△BCD(AAS),.BD=OF=2,
OA=BC,
.OE=7十2=9，.OB=√/OE十BE..OE的长不变，.当BE最小时
(即点B在x轴上)，OB取得最小值，最小值为OB=OE=9.
9.如图，四边形ABCD和四边形CDEF都是平行四边形，连接AF,BE交于
点I.求证：AF和BE互相平分.
D
E
B
C
F
(1)证明：.BF=BE,CG=CE,
A
E
∴.BC为△FEG的中位线，
ABC∥PG,BC=FG.
B〉
H
G
又.H是FG的中点，
∴FH=FG,∴.BC=FH.
又.四边形ABCD是平行四边形，
∴.AD∥BC,AD=BC,
.AD∥FH,AD=FH,
∴.四边形AFHD是平行四边形.
(2)解：.四边形ABCD是平行四边形，
∴.∠DAB=∠DCB.
.CE=CB,
.∴.∠BEC=∠EBC=75°，
.∠BCE=180°-75°-75°=30°，
.∴.∠DCB=∠DCE+∠BCE=10°+30°=40°，
∴.∠DAB=40°.(共12张PPT)
专题卷（四）
与平移和旋转有关的计算与证明
(1)证明：·△ABC为等边三角形，
.AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°.
由平移的性质，得AB=DC,∠ABC=∠DCE=60°，
.BC=DC,∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°，
∴.∠BCD=120°，
∴.∠CBD=30°，
.∠BFC=90°，
.∴.BF⊥AC.
.AB=BC,BC=CD,
.∴.AF=FC,BF=DF,
.BD与AC互相垂直平分.
(2)∠OCB:∠OFB的值不会发生变化.
.CB∥OA,
∴.∠OCB=∠AOC.
'∠FOC=∠AOC,
.∴.∠OCB=∠FOC,
.∴.∠OFB=∠OCB+∠FOC=2∠OCB,
∠OCB∠OFB=司
(3)存在.设∠AOC=x.
.CB∥OA,
∴.∠BCO=∠AOC=x,∠OEB=∠AOE,
∠ACB=180°-∠A=180°-108°=72°，
∴.∠OEB=∠AOE=∠EOC+∠AOC=36°+x,
∠OCA=∠ACB-∠BCO=72°-x.
.∠OEB=∠OCA,
∴.36°+x=72°-x,解得x=18°，
∴.∠0CA=72°-x=72°-18°=54°.
E
C(F)
D
第5题图
第6题图
6.一副三角尺按如图所示的位置摆放（顶点B,C,D在一条直线上），将三角
尺FDE绕点C按逆时针方向旋转n°后(0值为15或195.
(2)解：分别旋转到图2，图3，图4的位置时，上述结论仍然成立.
选图4证明如下：.'∠CAB=∠DAE,
∴.∠CAB+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠BAD.
(AC=AB,
在△ACE和△ABD中，∠CAE=∠BAD,
AE=AD,
∴.△ACE≌△ABD(SAS),
.∴.CE=BD.(共12张PPT)
专题卷（三）
等腰三角形中常用的思想方法
类型一》方程思想
1.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示
的“三等分角仪”能三等分任意一角.如图2，这个三等分角仪由两根有槽的
棒OA,OB组成，两根棒在点O处相连，并可绕点O转动，点C固定，OC=
CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是
(D)
A.60°
B.65°
C.75°
D.80°
3.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在AC,AB上，且BC=BD=DE=
EA,求∠A的度数
解：设∠A=x.
A
.DE=EA,
∴.∠ADE=∠A=x,
E
∴.∠BED=∠A+∠ADE=2x.
D
.BD=DE,
B
∴.∠BED=∠EBD=2x,
∴.∠BDC=∠A+∠EBD=3x.
.BC=BD,
.∠BDC=∠C=3x.
类型二》分类讨论思想
4.某等腰三角形的周长为11cm,一边长为3cm,则另外两边长分别为(C)
A.3 cm,5 cm
B.4 cm,4 cm
C.3cm,5cm或4cm,4cm
D.以上都不对
5.我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度
值”.如果某等腰三角形的“内角正度值”为45°，那么该等腰三角形的顶角
度数为(B)
A.45°或30
B.90°或30°
C.30
D.90°
6.如图，正方形网格线的交点称为格点.已知A,B是两个格点，
B
如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么
点C的个数是(C)
A.6
B.7
C.8
D.9
解析：①当AB为等腰三角形ABC的底边时，符合条件的点C有4个（包括
两个等腰直角三角形)；②当AB为等腰三角形ABC其中的一条腰时，符合
条件的点C有4个.综上所述，符合条件的点C共有8个，故选C.
②当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=2×(180°-40)=70.
.∠BAC=180°-40°-40°=100°，
.∴.∠BAD=100°-70°=30°，
.∠BDA=180°-30°-40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴.∠BAD=100°-40°=60°，
.∴.∠BDA=180°-60°-40°=80°.
综上所述，当∠BDA=110°或80°时，△ADE是等腰三角形.(共15张PPT)
专题卷（六）
特殊三角形与平行四边形中的探究性问题
类型一》特殊三角形中的探究性问题
1.如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=
B
CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到点
D
A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在
E
边A2D上任取一点E,延长A1A2到点A3,使
A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E…按此作
…A4A3A2
A
C
法继续下去，则第n个三角形中以Am为顶点的底角度数是(C)
A.(2)”×75
B.(2）×65
C.(3)”×75
D.(2)“×85°
(2)设∠ABC=m,则∠BAD-2180°-m)=90°-2m,
2
∠AEB=180°-n°-m°，
∠DAE=∠BAE-∠BAD=n°-90°+号m
2m°
0
.'EA=EC,
∠CAE=z∠AEB=90--2m,
六∠DAC=∠DAE+∠CAE=n°-90+m+90°-号
(3)解：AD=DG一DN.理由如下：延长BD至点H,使得DH=DN,连接
NH.由(1)得DA=DB,∠A=30°.
.DE⊥AB,
∴.∠ADE=∠BDE=60°，∴.∠CDB=∠HDN=60°，
∴.△NDH是等边三角形，∴.NH=ND,∠H=∠HND=60°，
∴.∠H=∠ADE.
.∠BNG=60°，
∴.∠BNG+∠CNB=∠HND+∠CNB,即∠DNG=∠HNB.
∠DNG=∠HNB,
在△DNG和△HNB中，DN=HN,
∠H=∠ADE,
∴.△DNG≌△HNB(ASA),∴.DG=HB.
.HB=HD+DB=ND+AD,
.'DG=ND+AD,.'.AD=DG-ND.
(2)解：成立.证明如下：.△ABC和△ADE是等边三角形，
∴.∠BAC=∠B=60°，∠ADE=60°.
.ED∥FC,.∠EDB=∠BCF.
.'∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF,
∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB,
∴.∠AFC=∠BDA.
I∠BDA=∠AFC,
在△ABD和△CAF中，∠B=∠FAC,
AB=CA,
.△ABD≌△CAF(AAS),.AD=CF.
.AD=ED,∴.ED=CF.
又.ED∥CF,
.四边形EDCF是平行四边形，.EF=CD.
(2)证明：过点A作AG⊥AF,AG交DP于点G.
.四边形ABCD是平行四边形，
.AD∥BC,.∠ADG=∠DPC.
'∠AEP=∠EFP=90°，
∠PEF+∠EPF=∠PEF+∠AEF=90°，
.∴.∠ADG=∠AEF=∠FPE
AD∥BC,AE⊥BC,
.AE⊥AD,.∠EAD=90°=∠FAE,
∴.∠FAG-∠EAG=∠EAD-∠EAG,即∠FAE=∠GAD.
由(1)知AE=AD,.△AFE≌△AGD,∴.AF=AG,EF=DG,
∴.△AFG是等腰直角三角形，∴.FG=AF2十AG=√2AF.
DF=DG+GF=EF+FG,..DF-EF=FG=V2AF.(共10张PPT)
专题卷（二）
不等式（组）与分式方程的实际应用
类型一》不等式（组）的实际应用
1.甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量、价格一致，每张课桌200元，每把椅
子50元，且两个厂家推出各自销售的优惠方案.甲厂家：买1张课桌送1把
椅子；乙厂家：课桌和椅子全部按原价的九折优惠.现某学校要购买60张课
桌和x(x≥60)把椅子，在什么情况下，该学校选择甲厂家购买更划算？
解：根据题意，
得从甲厂家购买需花费200×60十50(x一60)=(50x十9000)元；
从乙厂家购买需花费(200×60十50x)×0.9=(10800十45x)元，
则50x+9000<10800+45x,解得x<360.
答：当购买的椅子少于360张时，选择甲厂家购买更划算.
2.某中学要为学校科技活动小组提供试验器材，计划购买A,B两种型号的放
大镜.购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；购买4个A型
放大镜和6个B型放大镜需用152元.
(1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元；
(2)该中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过
1180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？
解：(1)设每个A型放大镜x元，每个B型放大镜y元.
8x+5y=220
x=20,
由题意，得
解得
4x+6y=152,
y=12.
答：每个A型放大镜20元，每个B型放大镜12元.
(2)设购买A型放大镜a个，则购买B型放大镜(75一a)个.
根据题意，得20a+12×(75-a)≤1180，解得a≤35.
答：最多可以购买35个A型放大镜.
3.小明利用课余时间回收废品，将卖得的钱用来购买5本大小不同的两种笔
记本，要求购买笔记本的总金额不超过28元，且购买的笔记本的总页数不
低于340页，两种笔记本的价格和页数如下表.为节约资金，请帮小明设计
最佳购买方案.
大笔记本
小笔记本
价格/（元·本-1）
6
5
页数/（页·本-1）
100
60
解：设购买大笔记本x本，则购买小笔记本(5一x)本.
6x+5(5-x)≤28，
依题意，得
解得1≤x≤3.
100x+60(5-x)≥340，
.x为整数，
∴.x的取值为1,2,3.
当x=1时，购买笔记本的总金额为6×1十5×4=26（元）；
当x=2时，购买笔记本的总金额为6×2十5×3=27（元）；
当x=3时，购买笔记本的总金额为6×3十5×2=28（元）.
".26<27<28,
.购买大笔记本1本，小笔记本4本为最佳购买方案.
