第2章 三角形
2．1 三角形
第1课时 三角形的有关概念及三边关系
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1．通过具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素．
2．学会三角形的表示及根据“是否有边相等”对三角形进行的分类．
3．掌握三角形三条边之间的关系．(重点)INCLUDEPICTURE"预习导学.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\8.7\\八湘数上（教案）\\预习导学.TIF" \* MERGEFORMATINET
知识模块一 探究三角形中的基本概念
【自主学习】
阅读教材P42，完成下面的填空．
1．__由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接而成的图形__叫作三角形．
如图：用线段连接不在同一直线上的三点D、E、F所组成的图形叫作__三角形__，记用__△DEF__，它的三个顶点分别是点__D__、点__E__、点__F__．它的三个内角分别是__∠D__、__∠__E__、__∠F__．
2．其中，__两条边相等__的三角形叫作等腰三角形，__三边都相等__的三角形叫作等边三角形．
知识模块二 三角形三边的关系
【合作探究】
如图，请量出线段AB、BC、AC的长度(精确到1 mm)，根据测量结果填空(选填“>”或“<”)
AB＋BC__>__AC，BC＋AC__>__AB，AB＋AC__>__BC.
AB－BC__<__AC，BC－AC__<__AB，AB－AC__<__BC.
归纳：三角形任意两边之和__大于__第三边，三角形任意两边之差__小于__第三边．
【自主学习】
1．教材P43做一做．
2．阅读教材P43例1.
练习：有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
(1)4 cm、5 cm、10 cm； (2)5 cm、6 cm、11 cm；
(3)6 cm、7 cm、12 cm.
解：(1)因为4＋5<10，所以它们不能组成三角形；(2)因为5＋6＝11，所以它们不能组成三角形；(3)因为6＋7>12，所以它们能组成三角形．
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活动1 小组讨论
例 如图，D是△ABC的边AC上一点，AD＝BD，试判断AC与BC的大小．
解：在△BDC中，有BD＋DC＞BC(三角形的任意两边之和大于第三边)．
又因为AD＝BD，
则BD＋DC＝AD＋DC＝AC，
所以AC＞BC.
活动2 跟踪训练
1．现有两根木棒，它们的长度分别为20 cm和30 cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取(B)
A．10 cm的木棒 B．20 cm的木棒
C．50 cm的木棒 D．60 cm的木棒
2．看图填空．
(1)如图中共有__4__个三角形，它们是__△ABC、△EBG、△AEF、△CGF__；
(2)△BGE的三个顶点分别是__B、G、E__，三条边分别是__BG、EG、BE__，三个角分别是__∠B、∠BEG、∠BGE__；
(3)△AEF中，顶点A所对的边是__EF__；边AF所对的顶点是__E__；
(4)∠ACB是△__ACB__的内角，∠ACB的对边是__AB__．
3．用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？
解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米．则x＋2x＋2x＝18.解得x＝3.6.所以三边长分别为3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米；
(2)①当4厘米长为底边，设腰长为x厘米，则4＋2x＝18.解得x＝7.所以等腰三角形的三边长为7厘米、7厘米、4厘米；②当4厘米长为腰长，设底边长为x厘米，可得4×2＋x＝18.解得x＝10.因为4＋4＜10，所以此时不能构成三角形．即可围成等腰三角形，且三边长分别为7厘米、7厘米和4厘米．
活动3 课堂小结
1．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形．三角形的边、角、顶点及表示方法．
2．三角形的分类：按边和角分类．
3．三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．第2课时 三角形的高、角平分线和中线
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1．能找到一个三角形的高，知道三角形的角平分线和中线的含义，了解三角形的重心．(重点)
2．能应用三角形的高、角平分线和中线解决相关的问题．(难点)
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知识模块一 三角形中的三种线段的定义
【合作探究】
教材P44做一做．
1．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的__高线__，简称三角形的__高__．
2．在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的__角平分线__．
3．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫作三角形的__中线__．三角形的三条中线相交于一点，这一点叫作三角形的__重心__．
【自主学习】
1．如图，在图1中，∠BAD＝∠CAD，那么线段AD叫作△ABC的一条__角平分线__．在图2中，AF＝FC，那么线段BF叫作△ABC的一条__中线__．在图3中，BH⊥AC，垂足为H，那么线段BH叫作△ABC的一条__高__．
2．如图．
(1)AD是△ABC的角平分线，则∠__BAD__＝∠__DAC__＝∠__BAC__；
(2)AE是△ABC的中线，则__BE__＝__EC__＝__BC__；
(3)AF是△ABC的高，则∠__AFB__＝∠__AFC__＝90°.
知识模块二 动手画一画三角形的三种线段
【合作探究】
如图，试分别画出下列三角形的三条高．
解：如图：
归纳：锐角三角形的三条高都在三角形的__内部__，直角三角形中有两条高就是它的__两条直角边__，钝角三角形有两条高在三角形的__外部__．
【自主学习】
1．如图，已知△ABC，试画出它的三条中线．
解：如图，线段AD、BE、CF就是△ABC的三条中线．
2．如图，已知△ABC，试画出它的三条角平分线．
解：如图，线段AD、BE、CF就是△ABC的三条角平分线．
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活动1 小组讨论
例1 如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．
(1)图中共有几个三角形？请分别列举出来．
(2)其中哪些三角形的面积相等？
解：(1)图中有6个三角形，它们分别是△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC.
(2)因为AD是△ABC的中线，
所以BD＝DC.
因为AE是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，
又S△ABD＝BD·AE，S△ADC＝DC·AE.
所以S△ABD＝S△ADC.
活动2 跟踪训练
1．一定能将三角形面积平分成相等两部分的是三角形的(B)
A．高线 B．中线
C．角平分线 D．不确定
2．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B落在点B′的位置，则线段AC(D)
A．是边BB′上的中线 B是边BB′上的高
C．是∠BAB′的角平分线 D．以上都对
第2题图
第3题图
3．如图所示，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，SABC＝4 cm2，则S△ABE的面积是__1__cm2.
活动3 课堂小结
三角形中几条重要线段：高、角平分线、中线．第3课时 三角形内角和定理
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1．知道三角形的内角和是180°，能应用此性质解决相关问题．
2．知道三角形的分类，并会用数学符号表示直角三角形．
3．会找一个三角形的外角，能应用三角形外角的性质解决相关问题．(重点)
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知识回顾：
如图，在图1中，已知过点A的直线DE∥BC，那么∠B＝∠__BAD__，∠C＝∠__CAE__．在图2中，已知过点C的直线CE∥BA，那么∠B＝∠__ECD__，∠A＝∠__ACE__．
知识模块一 探究三角形的内角和定理及三角形中的相关概念
【合作探究】
你能否由以上两个图形推出三角形的内角和为180°呢？
如图1，由∠BAD＋∠BAC＋∠CAE＝180°，知∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，从而得出结论：三角形的内角和等于__180°__．
由于三角形内角和等于180°，而三角形的外角与它相邻的内角和也为180°，由此可得：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的__和__．
【自主学习】
1．阅读教材P46～P48，完成下面的填空：
(1)__三个角都是锐角__的三角形叫锐角三角形；__有一个角是直角__的三角形叫直角三角形；__有一个角是钝角__的三角形叫钝角三角形．
(2)直角三角形可以用符号“__Rt△__”表示，直角三角形ABC可以写成__Rt△ABC__，在直角三角形中，夹直角的两边叫作__直角边__，直角的对边叫作__斜边__．两条直角边相等的直角三角形叫作__等腰直角三角形__．
(3)三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的__外角__．
2．(1)在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，则∠C＝__60°__；∠B＋∠C＝__90°__．
(2)在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，则∠A＝__30°__；∠B＋∠A＝__90°__．
(3)在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝85°，则∠A＝__5°__；∠C＋∠A＝__90°__．
知识模块二 运用三角形内角和定理和外角和的性质解决问题
【自主学习】
阅读教材P46例3.
【合作探究】
如图，直线DE分别交△ABC的边AB，AC于点D，E，若∠B＝67°，∠C＝74°，∠AED＝48°，求∠BDE的度数．
解：∵∠B＝67°，∠C＝74°，
∴∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－67°－74°＝39°.
又∵∠AED＝48°，
∴∠BDE＝∠A＋∠AED＝39°＋48°＝87°.
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活动1 小组讨论
例 在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数．
解：设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋15)°，从而有3x＋x＋(x＋15)＝180.
解得x＝33.
所以3x＝99，x＋15＝48.
答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.
活动2 跟踪训练
1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5.则∠C的度数为(C)
A．45° B．60° C．75° D．90°
2．如图，AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数是(A)
A．63° B．83° C．73° D．53°
第2题图
第3题图
3．如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝30°，∠DAE＝50°，则∠D的度数为__20°__，∠ACD的度数为__110°__．
活动3 课堂小结
2.1 三角形
第1课时
教学目标
1、知道三角形的概念和三角形的边、顶点、角；理解三角形三边关系；
2、在探索三角形三边关系的过程中，经历“实验—猜想—归纳—验证”的过程，体会由特殊到一般的思维策略。
3、通过画图等活动，培养动手能力，提高知识技能，使思维变得更灵活。
教学重难点
【教学重点】
角形的概念和三角形的边、顶点、角。
【教学难点】
三角形的三边关系。
课前准备
无
教学过程
（一）课前思考
姚明的身高是2.26米，腿长1.31米，他一步能跨3米远吗？
（二）新授
1、引入：观察图片，生活中可见的三角形图案。本章将对三角形的构成及其性质进行探索和研究。
设计意图：通过观察图形，感知三角形的存在
2、概念讲解：如图，由三条线段首尾顺次联结组成的图形叫做三角形。
思考：（1）是否任意三条线段都可以首尾顺次联结？
（2）若三条线段首尾顺次能联结，是否一定能组成一个三角形？
对三角形概念修改：强调不在同一直线上的三条线段。
设计意图：思考并形成概念
3、概念：
（1）由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次联结所 组成的图形叫做三角形。
（2）线段AB、BC、CA是三角形的边；
（3）点A、B、C是三角形的顶点；
（4）∠A、∠B、∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角；
（5）表示方法：顶点是A、B、C的三角形，记作：△ABC ，读作：三角形ABC；△ABC的三边也可用小写字母：a、b、c表示。一般情况下：∠A的对边用a表示、∠B的对边用b表示、∠C的对边用c表示。
设计意图：理解、识记概念
4、探究三角形的三边关系
（1）、操作并填表
从四根小棒（12厘米、8厘米、6厘米、4厘米、）中任选三根拼接三角形
(ⅰ)先选择三根小棒
（ⅱ）再将选择的每根小棒的长度填入表格中
（ⅲ）最后拼接，观察能否围成三角形
（学生合作学习、小组交流）
实验次数 小棒的长度 能否围成三角形画“√”“×”
设计意图：动手操作、思考、分析，得到三角形三边的关系
(2)、思考:三根小棒的长度必须具备怎样的条件才能围成三角形？
（学生交流）
(3)、归纳：三角形任意两边的和大于第三边
a+b＞c， b+c＞a，c+a＞b
(4)、思考：蜗牛选择哪条路线走最近？（两点之间线段最短）
设计意图：体会直观感知与理性思考
(5)、辨析：下列线段（长度单位：厘米）能围成三角形吗？
① 8、4、3 ② 9、4、5 ③ 11、7、5
设计意图：利用三角形三边关系辨析，并发现简便方法
(6)、练一练：下列线段能围成三角形吗？
①
②
③18cm、10cm、23cm
④15cm、23cm、8cm
（三）总结
这节课你理解了哪些概念？
通过同学们自己动手操作你掌握了哪些你探究出的结论？
你现在能回答课前的思考题了吗？
（四）练习：三角形的最长边是8，最短边是3，第三边的边长是整数，则第三边长是？2.1 三角形
第2课时
教学目标
1．让学生了解三角形的高、中线、角平分线及其性质；
2．知道三角形的高、中线、角平分线会分别交于一点；
3．了解重心的概念。
教学重难点
【教学重点】
三角形的高、中线、角平分线及其性质。
【教学难点】
三角形的高、中线、角平分线会分别交于一点。
课前准备
无
教学过程
引入新课
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
（引出三角形高）
活动1
（1） 探究三角形的高
1．三角形高的定义：（你能描述三角形的高吗？）
三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
如图，在 △ ABC 中， AD⊥BC , 点 D 是垂足，AD是△ABC 的一条高．
2．做一做：
（每一个同学准备一个锐角三角形的纸片）
你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？从这三条高中你发现了什么？（这三条高之间有怎样的位置关系）（（可以反过来画好高后，找哪条边上高））
3．议一议：（使折痕过顶点，,顶点的对边边缘重合）
如果用直角三角形和钝角三角形纸片，你能通过折或画的方法找到它的高吗？它们的高有几条？它们又有什么样的位置关系？
4．练一练：
（1）AD为的高，则= =
（2）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
（3）在下图中，正确画出△ABC中BC边上高的是（ ）．
活动2
（二）探究三角形的中线
问题1：你能将分为面积相等的两个三角形吗？（引出三角形中
线）
1．三角形中线的定义：
三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线．）
如图，D是BC的中点，则线段AD是△ABC的中线，此时有BD=DC=BC．
2．做一做：
你能画出三角形的所有中线吗？观察你们所作的图形，你又有哪些发现？与同伴交流．（分组合作交流）
3．练一练：
如图，AD、BE为△ABC的中线交于点G,连结CG,并延长交AB于点F.
(1)则AC= AE= EC，CD= , AF= AB.
(2)若S△ABC=12cm2，则S△ABD= .
活动3
(三)探究三角形的角平分线
问题：准备一个三角形纸片 ABC ，按图所示的方法折叠，展开后，折痕 BD把∠ABC分成∠1和∠2两部分．观察∠1和∠2有什么关系？（由学生动手操作，观察思考，引出三角形的角平分线）
1．三角形角平分线定义：
三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图,BD是∠BAC的角平分线,那么有∠ABD=∠DBC=∠ABC
2. 做一做:(分组合作,交流讨论)（准备三个三角形）
(1) 你能分别画出或折出这三个三角形的角平分线吗
(2) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系
3.练一练:
如图，AD、BE、CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ，∠3= ，∠ACB=2
课堂练习
1. 如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180
使点B 落在点B′的位置,则线段AC是( )
A.边BB′上的中线
B.边BB′上的高
C.∠BAB′的角平分线
D.以上答案都正确
2．一个残缺的三角形残片如图2所示，，请你作出AB边上的高所在的直线．你是怎样作的？为什么？
如果不恢复这个缺角呢
课堂小结感悟反思
学生自主小结，交流在本课学习中的体会、收获，交流学习过程中体验与感受，以及可能存在的困惑，师生合作共同完成课堂小结．
（辅以几何画板动画来演示，加深学生对这三种重要线段的理解）2.1 三角形
第3课时
教学目标
1、 了解三角形的内角；
2、 会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180度；
3、 运用三角形内角和定理解决与角有关的实际问题；
4、 初步培养学生的说理能力。
教学重难点
【教学重点】
了解三角形内角和性质，学会解决简单的实际问题。
【教学难点】
说明三角形的内角和是180度。
课前准备
无
教学过程
1、新课导入
在小学里我们就接触过三角形，并且知道三角形的内角和是180°，大家还记得我们是怎样检验的吗？这个检验的过程是不严谨的，今天我们一起来研究一下，为什么三角形的内角和是180°。
二、自主探究
阅读P46——P47，完成：
1、 三角形内角和定理及其证明：
三角形的内角和等于
如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：延长，过作∥.
【题后交流与反思】
本题的证明方法中应用了转化的思想方法，即把三角形的三个内角的和转化为一个 ，是借助 达到这个目的的。
2、 三角形的分类：
（1）三角形的三个内角可以都是锐角吗？都是直角吗？都是钝角吗？一个三角形中最多有 个锐角， 个直角， 个钝角。
（2）三角形按角分类如下:
三角形
斜三角形
3、 直角三角形的表示方法
如图记作 ， 叫作直角边， 叫斜边， 满足条件 的直角三角形叫等腰直角三角形
4、直角三角形两锐角的关系
直角三角形的两个锐角 .
三、应用迁移
（一）典例精析
例1、 在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B,∠C的度数。
例2、已知在△ABC中，，试判断该三角形的形状。
（2）如图，与的度数有什么数量关系？你能写出证明过程吗？
将问题中的条件列成算式有助于于观察和计算分析。
（二）练习反馈
1．△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=________．
2、△ABC中，∠A=∠B+∠C，则∠A=_____
3、在△ABC中，已知∠A=∠B=∠C，求∠A、∠B、∠C的度数．
4、在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=1：2：3.求出∠A、∠B、∠C的度数。
5.在△ABC中，如果∠A+∠B=120°，∠A－∠B=10°求∠A，∠B，∠C的度数.
6．（1）如图，在△ABC中，∠A=42°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，求∠BDC的度数．
（2）在（1）中去掉∠A=42°这个条件，请探究∠BDC和∠A之间的数量关系．
四、归纳小结
本节课重点学习了
1、三角形的内角和定理及其证明方法；
2、根据角对三角形进行分类。
五、巩固提升
你还有别的方法证明三角形内角和定理吗
6、课后练习
七、教学反思2.2 命题与证明
第1课时 定义与命题
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1．知道“定义”和“命题”，能判断给出的语句哪些是命题．
2．能把简单的命题写成“如果……，那么……”的形式，能找到命题的条件和结论．(重点)
3．知道什么是“原命题”、“逆命题”和“互逆命题”，能写出已知命题的逆命题．(重难点)
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知识模块一 掌握定义、命题的相关概念
【自主学习】
阅读教材P50～P52，完成下面的填空：
1．对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的__定义__．
2．对某一件事情作出判断的语句(陈述句)叫__命题__．
3．命题通常可以写成__“如果……，那么……”__的形式，其中“__如果__”引出的部分是条件、“__那么__”引出的部分是结论．
4．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这两个命题叫__互逆命题__．其中一个叫__原命题__，另一个叫__逆命题__．
【合作探究】
判断下列语句哪些是命题？哪些不是？
(1)对顶角相等；(2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等；(4)同位角相等，两条直线平行吗？(5)鸟是动物；(6)若x－5＝0，求x的值．
解：(1)(3)(5)是命题，(2)(4)(6)不是命题．
知识模块二 探究命题的条件与结论的结构
【合作探究】
指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式，写出它们的逆命题．
(1)垂直于同一直线的两条直线平行；
解：条件是“垂直于同一直线的两条直线”，结论是“这两条直线平行”．
可以改写成“如果两条直线垂直于同一直线，那么这两条直线平行．”
逆命题是：两条直线平行，这两条直线会垂直于同一直线．
(2)对顶角相等．
解：条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”．
可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
逆命题是：相等的角是对顶角．
【自主学习】
1．教材P51做一做．
2．写出“两直线平行，同位角相等”的条件和结论，并写出它的逆命题．
解：条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．
可以改写成“如果两直线平行，那么同位角相等”．
逆命题是：同位角相等，两直线平行．
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活动1 小组讨论
例 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题．
(1)两直线平行，内错角相等；
解：条件是“两直线平行”，结论是“内错角相等”．
可以改写成“如果两直线平行，那么内错角相等．”
逆命题是：内错角相等，两直线平行．
(2)同角的余角相等．
解：条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”可以改写成“如果两个角是同一角的余角，那么这两个角相等”．
逆命题是：余角相等的两个角是同一个角．
活动2 跟踪训练
1．下列语句中，是命题的是(B)
A．连接A、B两点
B．锐角小于钝角
C．作平行线
D．取线段AB的中点M
2．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式．
(1)能被2整除的数必能被4整除；
解：如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除．
(2)异号两数相加得零．
解：如果两个数异号，那么这两个数相加的和为零．
3．写出下列命题的逆命题．
(1)直角三角形的两个锐角互余；
解：两个锐角互余的三角形是直角三角形．
(2)若a＝0，则ab＝0.
解：若ab＝0，则a＝0.
活动3 课堂小结第2课时 真命题、假命题与定理
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1．会判断一个命题的真假，并且知道要判定一个命题是真命题需要证明；要判定一个命题是假命题，只需举反例．(重点)
2．知道基本事实、定理和逆定理的含义，以及它们之间的内在联系．
3．知道基本事实与定理的区别，认识基本事实是进行逻辑推理的基本依据．
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知识模块 探究真命题、假命题、基本事实的相关概念
【合作探究】
教材P53议一议．
1．我们把__正确__的命题叫真命题，把__错误__的命题叫假命题．
2．要判断一个命题是真命题，常常要从命题的__条件__出发，通过__讲道理__得出其结论__成立__，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫__证明__．
3．要判断一个命题是假命题，只需举出一个__反例__，它符合命题的__条件__，但不满足命题的__结论__，从而就可以判断这个命题为假命题．
4．我们把通过证明为真的命题叫__定理__，把人们长期实践中总结出来的公认的真命题叫__公理__，又叫基本事实．
5．如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的__逆定理__，这两个定理叫作__互逆定理__．
【自主学习】
1．有下面命题：
(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)钝角三角形的两个内角互补；(3)两个锐角的和一定是直角；(4)两点之间线段最短．其中，真命题有(B)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．判断下列命题的真假，举出反例．
①大于锐角的角是钝角； ②如果一个实数有算术平方根，那么它的算术平方根是整数； ③如果AC＝BC，那么点C是线段AB的中点．
解：①②③都是假命题．①的反例：90°的角大于锐角，但不是钝角．②的反例：5有算术平方根，但算术平方根不是整数．③的反例：如果AC＝BC，而点A、B、C三点不在同一直线上，那么点C就不是AB的中点．
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活动1 小组讨论
例1 下列命题中，哪些正确，哪些错误？
(1)每一个月都有31天；
(2)如果a是有理数，那么a是整数；
(3)同位角相等；
(4)同角的补角相等．
解：(4)正确，(1)(2)(3)错误．
例2 举反例说明下列命题是假命题．
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若ab＝0，则a＋b＝0.
解：(1)如：两条直线平行时的内错角，这两个角不是对顶角，但它们相等；
(2)如：当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.
活动2 跟踪训练
1．下列命题中，真命题是(D)
A．相等的角是直角
B．不相交的两条线段平行
C．两直线平行，同位角互补
D．经过两点有且只有一条直线
2．写出你熟悉的一个定理：__两直线平行，内错角相等__，写出这个定理的逆定理：__内错角相等，两直线平行__．
3．下列命题是真命题吗？若不是请举出反例．
(1)只有锐角才有余角．
解：真命题．
(2)若x2＝4，则x＝2；
解：假命题，如x＝－2.
(3)a2＋1≥1；
解：真命题．
(4)若|a|＝－a，则a＜0.
解：假命题，如a＝0.
活动3 课堂小结第3课时 命题的证明
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1．知道证明的含义及步骤，能用规范的语言进行证明．
2．会证明文字类证明题．
3．能利用反证法进行简单的证明．(重点)
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知识模块一 探究对命题的证明的步骤
【合作探究】
1．教材P55做一做．
2．教材P56动脑筋．
(1)如图，△ABC的一边BC延长，则∠ACD叫作△ABC的一个__外角__，∠ACB是与它__相邻__的内角，∠A、∠B是与它__不相邻__的内角．
(2)三角形的一个外角等于__和它不相邻的两个内角的和__．
(3)与三角形的一个内角相邻的外角有__2__个，它们是一对__对顶角__．三角形的外角和等于__360°__．
【自主学习】
1．认真阅读教材P57例1.
2．已知，如图，AD是△ABD和△ACD的公共边．
求证：∠BDC＝∠B＋∠C＋∠BAC.
证明：延长AD于E.∵∠BDE＝∠B＋∠BAD，∠CDE＝∠C＋∠CAD.∴∠BDE＋∠CDE＝∠B＋∠C＋∠BAD＋∠CAD.而∠BDE＋∠CDE＝∠BDC.∠BAD＋∠CAD＝∠BAC.即∠BDC＝∠B＋∠C＋∠BAC.
知识模块二 探究反证法的步骤
【自主学习】
阅读教材P57例2，学习如何运用反证法．
【合作探究】
用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
已知：如图，在△ABC中，∠ABD是△ABC的一个外角．
求证：∠ABD＝∠A＋∠C.
证明：假设∠ABD≠∠A＋∠C.于是就有两种情况：
(1)∠ABD＞∠A＋∠C；
由邻补角的定义可知：∠ABD＋∠ABC＝180°，
则∠A＋∠C＋∠ABC＜180°，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以∠ABD＞∠A＋∠C不成立；
(2)∠ABD＜∠A＋∠C.
由邻补角的定义可知：∠ABD＋∠ABC＝180°，
则∠A＋∠C＋∠ABC＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以∠ABD＜∠A＋∠C不成立．
所以三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
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活动1 小组讨论
例1 已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.
求证：AE∥BC.
证明：因为∠DAC＝∠B＋∠C，∠B＝∠C，
所以∠DAC＝2∠B.
又因为AE平分∠DAC.
所以∠DAC＝2∠DAE.
所以∠DAE＝∠B.
所以AE∥BC.
例2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
证明：假设∠A，∠B，∠C中没有一个角大于或等于60°，
即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
则∠A＋∠B＋∠C＜180°.
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不成立．
因此，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
活动2 跟踪训练
1．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证：∠P＝90°.
证明：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE.∴∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝90°.∵∠PEF＋∠PFE＋∠P＝180°.∴∠P＝90°
2．用反证法证明：两条直线相交只有一个交点．
已知：如图两条相交直线a、b.
求证：a与b只有一个交点．
证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A′，因为两点确定一条直线，即经过A和A′的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾，假设不成立．
所以a与b只有一个交点．
活动3 课堂小结2.2 命题与证明
第1课时
教学目标
1、了解命题、定义的含义；
2、对命题的概念有正确的理解；
3、区分命题的条件和结论。
教学重难点
【教学重点】
找出命题的条件（题设）和结论。
【教学难点】
命题概念的理解。
课前准备
无
教学过程
一、 回顾已知 引入新课
1、填空：（1）三角形的任意两边之和 第三边；
（2）三角形内角和等于 ；
（3）三角形中，连接一个顶点和它对边中点的连线叫做 ；
（4）三角形三条中线相交于一点，这三条中线的交点叫做 。
2、（引入课题）像上（3）（4）这样，对一个概念加以描述说明或作出明确规定的语句叫做这个概念的定义。
二、自主学习 探究新知
1、师生共同探究第50面的“说一说”和“议一议”。
2、一般地，对某一事情作出判断的语句叫作命题。我们来看看，下面的语句哪些是命题？
（1）如果一个三角形的三个内角都是锐角，那么这个三角形是锐角三角形。
命题通常写成“如果……那么……”的形式， “如果……”就是条件，“那么……”是结论。
（2）在ΔABC中，如果∠A＝∠B，那么这个三角形就是等腰三角形；
此命题的条件是 ，结论是 。
3、阅读第51面的“观察”，了解命题的一般表述式。命题也可以不写“如果”、“那么”。
如：直角三角形的一个内角为22°，另外一个锐角为68°.
此命题的条件是 ，结论是 。
A
B D C
三、精讲点拨 精练提升
1、完成第51面的“做一做”，了解互逆命题。
2、如上图：（命题一）如果AD是ΔABC的中线，那么BD＝DC.
条件 ，结论 ；
（命题二）如果BD＝DC，那么AD是ΔABC的中线。
条件 ，结论 。
比较命题一和命题二的条件和结论，你发现了什么？
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们就把这样的两个命题称为互逆命题。其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题。
写一个命题的逆命题，只要将原命题的条件和结论互换就可以得到，所以每个命题都有逆命题。
四、达标检测 当堂过关
1、说出下列概念的定义：
（1）有理数 （2）分式方程 （3）三角形 （4）角平分线
2、下列语句哪些是命题：
（1）若ab=0，则a=0或b=0；
（2）作直线a的平行线b；
（3）两直线平行，同位角相等
（4）过两点可画几条直线？
3、如果ΔABC中∠A＝∠B，那么ΔABC是等腰三角形。
此命题的条件 ，结论 ，
写出此命题的逆命题。
4、将下列命题改写成“如果……那么……”的形式：
（1）同角的余角相等
（2）直角相等
（3）对顶角相等
（4）和为0的两个数互为相反数
5、写出下列命题的逆命题：
（1）对顶角相等
（2）同角的补角相等
（3）两直线平行，同旁内角互补
（4）能被2整除的数是偶数
五、小结：
1、什么是概念的定义？
2、什么是命题？
①任何命题都是由两部分组成：条件和结论；
②每个命题有逆命题
6、作业：2.2 命题与证明
第2课时
教学目标
1.理解真命题、假命题、公理和定理的含义定义，了解什么是证明与举反例；会判断一个定理有没有逆定理，能说出一个定理的逆定理，理解和应用互逆命题与互逆定理;
2.通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法.能用数学的眼光观察、分析生活中的实际问题.
教学重难点
【教学重点】
判定一个命题的真假，定理、推论、逆定理、互逆定理的概。
【教学难点】
用基本事实去判定其他命题的真假。
课前准备
无
教学过程
（一）：合作学习：
１：复习命题的定义，思考下列命题的条件是什么？结论是什么？
（1） 边长为a（a＞0）的等边三角形的面积为√3/4ａ２ ．
（2） 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
（3） 对于任何实数ｘ，ｘ２ ＜０．
提问：上述命题中，哪些正确？哪些不正确？
２：得出真命题、假命题的概念：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。
如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题，如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题。
３：把学生分成两组，一组负责说命题，然后指定第二组中某一个人来回答是真命题还是假命题
（二）：举例：判断下列命题是真命题还是假命题
（1） x=1是方程x2-2x-3=0 的解。
（2） 一个图形经过旋转变化，像和原图形全等。
（三）讲述证明与举反例由上述习题引出：
从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫做证明。
找出一个例子，它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假，这个过程叫做举反例。
（四）公理、定理教学
１、什么是公理？什么是定理？二者有何区别？
公理：人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据。称这些真命题叫做公理。
定理：以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真的命题叫做定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。
２、到目前为止，我们所学的公理有哪些？
３、什么是互逆定理？它和互逆命题有区别吗？
思考：命题为真，则逆命题一定为真吗？
例题、判断下列命题的真假，并给出证明
（1）若2 x + y = 0，则x = y = 0
（2）有一条边、两个角相等的两个三角形全等
解（1）是假命题。
取x = -1 , y = 2 ，
则2 x + y = 2 ×（-1）+ 2 = 0
但x≠0且y≠0。
即x = -1，y = 2 具备2 x + y = 0 的条件，
但不具备命题的结论，
所以此命题为假命题
（2） 假命题。
如图：△ABC和△A’B’C’中，
∠A=∠B’
∠B=∠C’AB=A’B’
但很明显△ABC和△A’B’C’不全等，
所以此命题为假命题
例题小结： 如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了。这称为举“反例”。
练习
1． 说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题：
（1） 如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；
（2） 等边三角形的每个角都等于60°；
（3） 全等三角形的对应角相等；
（4） 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；
（5） 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．
2． 举例说明下列命题的逆命题是假命题：
（1） 如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除；
（2） 如果两个角都是直角，那么这两个角相等．
（四）：课内练习：
A
B
C
A`|
B`~`~
C`2.2 命题与证明
第3课时
教学目标
1、 明确证明一个命题的基本步骤;
2、掌握证明的一般方法和格式;
3、了解反证法是一种间接证明的方法.
教学重难点
【教学重点】
了解命题的证明的基本步骤，掌握证明与图形有关的命题时的步骤。
【教学难点】
反证法。
课前准备
无
教学过程
一、 回顾已知 引入新课
1、数学上证明一个命题时，通常从命题的 出发，运用 、
以及已经证明了的 和 ，通过一步步的 ，最后证实这个命题的结论成立。证明的每一步都必须要有 。
2、（引入新课）若三角形每个顶点处取一个外角，猜猜三角形三个外角和是多少 如何证明？
二、自主学习 探究新知
1、阅读第55面的“做一做”和第56面的“动脑筋”，证明：三角形外角和等于180°.
提示：按同一方向延长ΔABC的三条边，分别用数字标出三个外角和三个内角，再证明。 A
B C
总结证明与几何有关的命题的步骤
步骤：1、分析命题的 和 。
2、根据 画出 。
3、根据命题已知与结论，结合画出的图形，写出 和 。
4、通过分析，找出证明途径，写出 。
2、【典例精析】
例1 已知: 如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.
求证：AE∥BC
证明：
例2 已知：∠A, ∠B, ∠C 是△ABC的内角。
求证：∠A, ∠B, ∠C 中至少有一个角大于或等于60°
三、精讲点拨 精练提升
1、有些命题用从条件到结论的推理方法很难证明其真假，用反证法就简单得多，比如例2.
反证法是一种 的方法，起基本的思路可归结为“ 结论，导出 ，肯定结论”。
2、用反证法证明：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。”
提示：作ΔABC，分别用∠1、∠2、∠3、∠4表示三个内角与一个外角，再证明。
证明： （否定结论）
（导出矛盾）
（肯定结论）
四、达标检测 当堂过关
1、如图，已知∠AOC=∠BOD，求证∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB
C A
B
O D
2、在RtΔABC中，∠A＝90°，∠B=∠C, AD是∠A的平分线，求证ΔABD是等腰三角形。
E
A M B
3、如图，若AB∥CD，截线EF与AB,CD 分别相交于
M、N两点，请你从中选出两个你认为相等的角 C N D
。
F
4、用反证法证明：“直角三角形中的两个锐角不能都大于45°”。
五、小结
1、证明与图形有关的命题时，一般有哪些步骤？
2、什么情况下我们用反证法？
六、作业：
D
B
C
E
A
12.3 等腰三角形
第1课时
教学目标
1．使学生了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质;
2．通过探索等腰三角形的性质，使学生进一步经历观察、实验、推理、交流等活动.
教学重难点
【教学重点】
等腰三角形等边对等角性质。
【教学难点】
通过操作，如何观察、分析、归纳得出等腰三角形性质。
课前准备
无
教学过程
一、复习引入
1．让学生在练习本上画一个等腰三角形，标出字母，问什么样的三角形是等腰三角形
△ABC中，如果有两边AB=AC，那么它是等腰三角形。
2．日常生活中，哪些物体具有等腰三角形的形象
二、新课
现在请同学们做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三
角形的大小和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD，如图(2)所示，你能发现什么现象吗 请你尽可能多的写出结论。
可让学生有充分的时间观察、思考、交流，可能得到的结论：
(1)等腰三角形是轴对称图形
(2)∠B＝∠C
(3)BD＝CD，AD为底边上的中线。
(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线。
(5)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线。
结论(2)用文字如何表述
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
结论(3)、(4)、(5)用一句话可以归结为什么
等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和底边上的中线互相重合 (简称“三线合一”)。
例l已知：在△ABC中，AB＝AC,∠B＝80°，求∠C和∠A的度数。
本题较易，可由学生口述，教师板书解题过程。
引申：已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，求∠B和∠C的度数。
小结：在等腰三角形中，已知一个角，就可以求另外两个角。
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
等边三角形具有什么性质呢
1．请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想。
2．你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的
等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°。
3．上面的条件和结论如何叙述
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等边三角形是轴对称图形吗 如果是，有几条对称轴
等边三角形也称为正三角形。
P62 例题1
例2．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度数。
分析：由AB＝AC，D为BC的中点，可知AB为 BC底边上的中线，由“三线合一”可知AD是△ABC的顶角平分线，底边上的高，从而∠ADC＝90°，∠l＝∠BAC，由于∠C＝∠B＝30°，∠BAC可求，所以∠1可求。
问题1：本题若将D是BC边上的中点这一条件改为AD为等腰三角形顶角平分线或底边BC上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样
问题2：求∠1是否还有其它方法
三、练习巩固
1. 填空：在△ABC中，AB＝AC，D在BC上，
（1）如果AD⊥BC，那么∠BAD＝∠______，BD＝_______；
（2）如果∠BAD＝∠CAD，那么AD⊥_____，BD＝______；
（3）如果BD＝CD，那么∠BAD＝∠_______，AD⊥______。
2．判断下列命题，对的打“√”，错的打“×”。
a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合( )
b．有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°( )
3．在△ABC中，已知AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，且∠2＝25°，求∠ADB和∠B的度数。
四、小结
本节课，我们学习了等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等 (简写“等边对等角”)；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合(简称“三线合一”)，它们对今后的学习十分重要，因此要牢记并能熟练应用。用数学语言表述如下：
1．△ABC中，如果AB＝AC，那么∠B＝∠C。
2．△ABC中，如果AB＝AC，D在BC上，那么由条件(1)∠BAD＝∠CAD，(2)AD⊥AC，(3)BD＝CD中的任意一个都可以推出另外两个。
3.由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为60°。2.3 等腰三角形
第2课时
教学目标
1．通过探索一个三角形是等腰三角形的条件，培养学生的探索能力。
2．能利用一个三角形是等腰三角形的条件，正确判断某个三角形是否为等腰三角形。
教学重难点
【教学重点】
让学生掌握一个三角形是等腰三角形的条件和正确应用。
【教学难点】
一个三角形是等腰三角形的条件的正确文字叙述。
课前准备
无
教学过程
一、复习引入
等腰三角形具有哪些性质
等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线“三线合一”。
二、新课
对于一个三角形，怎样识别它是不是等腰三角形呢 我们已经知道的方法是看它是否有两条边相等。这一节，我们再学习另一种识别方法。
我们已学过，等腰三角形的两个底角相等，反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗
为了回答这个问题，请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作：
1．在半透明纸上画一个线段BC。
2．以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，用量角器画两个相等的角，两角终边的交点为A。
3．用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折。
问题1：AB与AC是否重合
问题2：本实验的条件与结论如何用文字语言加以叙述
有两个角相等的三角形是等腰三角形，简写成“等角对等边”。
也就是说，如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形。一个三角形是等腰三角形的条件，可以用来判定一个三角形是否为等腰三角形。
例1．在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°，判断△ABC是什么三角形，为什么
P64 例题2
问题3：三个角都是60°的三角形是等边三角形吗 你能说明理由吗
三个角都是600的三角形是等边三角形
有一个角是600的等腰三角形是等边三角形
P65 例题3
等腰直角三角形：顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形，如图所示。
问题4：你能说出等腰直角三角形各角的大小吗
问题5：请你画一个等腰直角三角形，使∠C＝90°，CD是底边上的高，数一数图中共有几个等腰直角三角形
三、练习巩固
四、小结
这节课，，我们学习了一个三角形是等腰三角形的条件：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)，此条件可以做为判断一个三角形是等腰三角形的依据。因此，要牢记并能熟练应用它。
五、作业2.3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
INCLUDEPICTURE"学习目标.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\8.7\\八湘数上（教案）\\学习目标.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．能用语言描述等腰三角形的性质，并会运用性质解决一些简单的实际问题．
2．能用等腰三角形的性质推导出等边三角形的性质．(重难点)
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知识模块一 探究等腰三角形和等边三角形的性质
【合作探究】
教材P61探究．
通过探究，我们得到等腰三角形的性质：
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角__平分线__所在的直线．
等腰三角形的底边上的__高__、__中线__及顶角__平分线__重合(通常简称为“三线合一”)．
等腰三角形的两底角__相等__(简称“等边对__等角__”)．
【自主学习】
阅读教材P62“动脑筋”，可得到等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角__相等__，且都等于__60°__，有__三__条对称轴．
知识模块二 等腰三角形性质和等边三角形性质的运用
【自主学习】
阅读教材P62例1～P63“议一议”．
【合作探究】
1．已知：如图，AB＝AC，F为AC上一点，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD＝155°.求∠EDF的度数．
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，FD⊥BC，∴∠B＋∠1＝∠EDF＋∠1＝90°.∴∠B＝∠EDF＝∠C.又∵∠C＝∠AFD－∠FDC＝155°－90°＝65°，∴∠EDF＝65°.
2．如图，△ABC是等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使点B与点C重合，得到△DCE，连接BD，交AC于点F.猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论．
解：AC⊥BD.∵△DCE是由△ABC平移得到的，∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCE，又∵△ABC是等边三角形∴DC＝AB＝BC，∠DCE＝∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ACB＋∠DCE＋∠ACD＝180°，∴∠ACD＝60°，∴∠ACB＝∠ACD，又∵BC＝CD，∴AC⊥BD.
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活动1 小组讨论
例 已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且AD＝AE.
求证：BD＝CE.
证明：作AF⊥BC，垂足为点F，则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线．
∴BF＝CF，DF＝EF.
∴BF－DF＝CF－EF，
即BD＝CE.
【点拨】利用等腰三角形三线合一的性质求证．
活动2 跟踪训练
1．若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为(B)
A．80° B．50° C．40° D．20°
2．如图，△ABC是等边三角形，则∠1＋∠2＝(C)
A．60° B．90° C．120° D．180°
第2题图
第3题图
3．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C的度数为__25°__．
活动3 课堂小结第2课时 等腰三角形的判定
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1．能感知等腰三角形和等边三角形判定定理的推导过程，能复述等腰三角形和等边三角形的判定定理，会用几何语言进行描述．(重点)
2．能运用判定定理解决一些实际问题．(难点)
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知识模块一 探究等腰三角形的判定定理
【合作探究】
教材P63探究．
通过探究，我们得到等腰三角形的判定定理：
有两个角__相等__的三角形是等腰三角形．(简称为：__等角__对等边)
思考：在三角形中，如果有三个角相等，你能得出什么结论呢？
结合三角形内角和定理得出等边三角形的判定定理：
三个角都是__60°__的三角形是等边三角形．
【自主学习】
1．阅读教材P64例2.
2．如图，已知∠EAC是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC，求证AB＝AC.
证明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.又∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠C.∴AB＝AC(等角对等边)．
知识模块二 运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算
【自主学习】
阅读教材P65例3.
【合作探究】
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且BD平分∠ABC，判断AB与AD是否相等，并说明理由．
解：相等．理由如下：
∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC.∴∠ADB＝∠ABD.∴AB＝AD.
2．如图，AB∥CE，AD∥FC，E、A、F在同一直线上，且∠EAD＝∠FAB.
(1)△CEF是等腰三角形吗？请说明理由；
(2)想一想：△CEF的哪两条边之和等于四边形ABCD的周长？并说明理由．
解：(1)△CEF是等腰三角形．理由如下：∵AB∥CE，∴∠FAB＝∠E.∵AD∥FC，∴∠EAD＝∠F.又∵∠EAD＝∠FAB，∴∠F＝∠E，∴△CEF是等腰三角形．
(2)四边形ABCD的周长＝FC＋EC.理由如下：∵∠FAB＝∠E，∠EAD＝∠FAB，∴∠E＝∠EAD，∴AD＝DE.∵∠EAD＝∠F，∠EAD＝∠FAB.∴∠F＝∠FAB，∴AB＝BF，∴四边形ABCD的周长为：AB＋BC＋CD＋AD＝BF＋BC＋CD＋DE＝FC＋EC.
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活动1 小组讨论
例1 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.求证：△ADE为等腰三角形．
证明：因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C.
又因为DE∥BC，
所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
所以∠ADE＝∠AED.
所以△ADE为等腰三角形．
例2 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD＝AE.
求证：△ADE为等边三角形．
证明：因为△ABC是等边三角形，
所以∠BAC＝∠B＝∠C＝60°.
所以∠EAD＝∠BAC＝60°.
又因为AD＝AE，
所以△ADE为等边三角形(有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形)．
活动2 跟踪训练
1．已知a，b，c是三角形的三边长，且满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则这个三角形一定是(B)
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．不等边三角形
2．下列命题：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的是__①__(只填序号)．
3．如图，△ABC为等边三角形，∠1＝∠2＝∠3，试判断△DEF的形状，并说明理由．
解：△DEF是等边三角形．理由：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵∠FDB＝∠FDE＋∠1＝∠A＋∠2，∠1＝∠2.∴∠FDE＝∠A＝60°.同理：∠DEF＝60°，∠DFE＝60°.∴∠FDE＝∠DEF＝∠DFE＝60°，∴△DEF是等边三角形．
活动3 课堂小结2．4 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质和判定
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1．通过作图，探究、总结、归纳垂直平分线的性质．识记并能用几何语言描述线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理．(重点)
2．会运用垂直平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题．(难点)
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知识模块一 探究线段垂直平分线的性质定理及判定定理
【合作探究】
教材P68探究～P69动脑筋．
如果两点A、A′关于直线l对称，则l是线段__AA′__的垂直平分线；如果l是线段AA′的垂直平分线，则点__A__与点__A′__关于直线l对称．
结合轴对称的性质可以归纳得出线段的垂直平分线的性质定理与判定定理：
1．线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离__相等__．
2．到线段两端距离相等的点在线段的__垂直平分线__上．
【自主学习】
1．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，ED是BC的垂直平分线，请写出图中相等的线段：__BE＝CE，BD＝CD，AE＝AC＝EC＝BE__．
2．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝__70°__．
知识模块二 运用线段的垂直平分线的判定定理解决问题
【自主学习】
阅读教材P69例题．
【合作探究】
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC边与点E，垂足为D，AC的垂直平分线交BC边于点N，垂足为M.
(1)求△AEN的周长；
(2)求∠EAN的度数；
(3)判断△AEN的形状．
解：(1)根据线段垂直平分线的性质定理得：AE＝BE，AN＝NC，因此△AEN的周长等于BC的长，即△AEN的周长为12；
(2)在△ABC中，因为∠BAC＝120°，AB＝AC，所以∠B＝∠C＝30°，再由题中条件易得∠AEN＝2∠B＝60°，∠ENA＝2∠C＝60°，所以∠EAN＝60°；
(3)由(2)易知△AEN是等边三角形．
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活动1 小组讨论
例 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上．
证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上．
所以OA＝OB.
同理：OB＝OC.
∴OA＝OC.
所以点O在AC的垂直平分线上．
活动2 跟踪训练
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(B)
A．6 B．5 C．4 D．3
第1题图
第3题图
2．在锐角△ABC内一点P满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC的(D)
A．三条角平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条高的交点
D．三边垂直平分线的交点
3．如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF＝12，BF＝3，则BC＝__15__．
4．到平面内不在同一直线上的三个点A、B、C的距离相等的点有__1__个．
活动3 课堂小结2.4 线段的垂直平分线
第1课时
教学目标
【知识与能力】
了解线段垂直平分线的性质和判定。
【过程与方法】
1、经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。
2、探索并了解线段垂直平分线的有关性质和判定。
【情感态度价值观】
通过师生的共同活动，培养学生的动手能力，进一步发展其空间观念。
教学重难点
【教学重点】
探索线段垂直平分线的性质。
【教学难点】
体验轴对称的特征。
课前准备
无
教学过程
一、巧设现实情景，引入新课
1、我们探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而显得异常美丽。那什么样的图形是轴对称图形呢？
如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、大家想一想，我们以前学过的哪些几何图形是轴对称图形呢？
正方形、矩形、圆、菱形、等腰三角形、角、线段。
3、刚才有人提出“线段是轴对称图形”。今天我们就来研究这个简单的轴对称图形。
二、讲授新课
1、线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？
线段是轴对称图形，它的对称轴是与线段垂直的且垂足是线段中点的直线。
线段还可以沿它所在的直线对折，使得与原来的线段重合，所以说：线段所在的直线也是线段的对称轴。
（1）画一条线段AB，对折AB使点A、B重合，折痕与AB的交点为O。
问：OA=OB吗？折痕与直线所成的两个角是多少度？
折痕（即线段的对称轴）与线段有什么关系？
（2）讨论交流后小结：垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线简称中垂线。线段是轴对称图形，它的对称轴就是线段的垂直平分线。
做一做：你能画出线段的对称轴吗？
任意画一条线段，然后用带有刻度的直角三角板画出线段的垂直平分线。
2、按照下面的步骤来做一做：
（1）在折痕上任取一点C，沿CA将纸折叠。 （2）把纸展开，得到折痕CA和CB。
（1）由上面的知识可知：CO与AB有怎样的位置关系？OA与OB相等吗？
（2）哪CA与CB相等呢？能说明你的理由吗？在折痕上另取一点，再试一试。
（3）那由此可以得到什么样的结论呢？同学们讨论、归纳。
从刚才操作的过程及得出的结论可以知道：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
小结：线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
这个性质具有绝对性。
做一做：（1）有一条线段AB，如果直线MN是线段AB的垂直平分线，那么如果给出一点C，且C点在直线MN上，那么可得出什么结论？如果有一点P不在直线MN上，PA、PB相等吗？
（2）如图，线段AB、BC的垂直平分线相交于点P，试问线段PA、PB、PC的长度相等吗？
3、问：反过来——到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上吗？
学生讨论交流后小结：线段垂直平分的判定：
到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
三、课堂练习
四、课堂小结
这节课通过探索简单图形轴对称性的过程，了解线段垂直平分线的有关性质。同学们应灵活应用这些性质来解决问题。
五、作业：
课外活动与探究
如图7－4所示：要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短。
B
A
图7－4
作点A关于l（街道看成是一条直线）的轴对称点A′，连接A′B与l交于C点。奶站应建在C点处，才能使从A、B到它的距离之和最短。2.4 线段的垂直平分线
第2课时
教学目标
1．掌握作线段的垂直平分线的方法；
2．掌握过一点作已知直线的垂线的方法．
教学重难点
【教学重点】
作线段的垂直平分线的方法。
【教学难点】
过一点作已知直线的垂线。
课前准备
无
教学过程
一、教学提问，引入新课
问1：根据所学知识只用圆规和直尺（不量长度）你能作出线段的垂直平分线吗？
二、教授新课：
1、作出线段的垂直平分线
作法：
（1）分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D；
（2）作直线CD
所以直线CD就是线段AB的垂直平分线。
问：（1）这样所作的直线为什么是线段的垂直平分线？
（2）你能作出线段AB的中点吗？
2、过一点作已知直线的垂线
问1：过已知直线l外一点P你能做这条直线l的垂线CD吗？（只用圆规和直尺）
作法：（1）以P点为圆心，以大于点P到直线l的距离为半径画弧，交直线l于A、B两点；
（2）分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D；
（3）作直线CD
所以直线CD就是直线l的垂线。
问2：过已知直线l上一点P你能做这条直线l的垂线CD吗？（只用圆规和直尺）
（类似问题2作法）
三、练习
四、小结 本节课主要是过一点作已知直线的垂线的作法。
五、作业布置
六、教学反思
尺规作图是学生的薄弱环节，学生在操作中存在的主要问题有：作图不规范，没有作图痕迹，或者随意乱画作图痕迹．在教学中，引导学生养成规范答题的习惯，鼓励学生勇于尝试，对于每一个作图痕迹都要能说明来源(作法)．2．5 全等三角形
第1课时 全等三角形及其性质
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1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素．
2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．(重难点)
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知识模块一 探究全等三角形的性质及读法和写法
【自主学习】
教材P74做一做．
1．能够完全重合的两个图形叫作__全等图形__，能够完全重合的两个三角形叫作__全等三角形__．用“≌”表示两个三角形全等．
2．两个全等三角形重合时互相重合的顶点叫作__对应顶点__，互相重合的边叫作__对应边__，互相重合的角叫作__对应角__．
【合作探究】
教材P74动脑筋．
能够完全重合的两个三角形叫作__全等三角形__．
全等三角形的对应边__相等__；对应角__相等__．
如图，已知△ABE≌△ACD，∠AEB＝∠ADC，∠B＝∠C，指出其他的对应边和对应角．
解：AB与AC，AD与AE，BE与CD是对应边；
∠BAE与∠CAD是对应角．
练习：如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中的对应边和对应角．
解：OA与OD，OC与OB，AC与DB是对应边；
∠C与∠B，∠A与∠D，∠AOC与∠DOB是对应角．
知识模块二 全等三角形性质的运用
【自主学习】
阅读教材P75例1，注意全等三角形性质的运用．
【合作探究】
如图所示，四边形ABCD中，AM平分∠CAD，CN平分∠ACB，△ACB≌△CAD.请探究AM和CN的位置关系，并说明理由．
解：AM∥CN.
理由：因为△ACB≌△CAD，所以∠ACB＝∠CAD.因为CN平分∠ACB，AM平分∠CAD，所以∠ACN＝∠ACB，∠CAM＝∠CAD，所以∠ACN＝∠CAM，所以AM∥CN.
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活动1 小组讨论
例 如图，已知△ABC≌△DCB，AB＝3，DB＝4，∠A＝60°.
(1)写出△ABC和△DCB的对应边和对应角；
(2)求AC，DC的长及∠D的度数．
解：(1)AB与DC、AC与DB、BC与CB是对应边；∠A与∠D、∠ABC与∠DCB、∠ACB与∠DBC是对应角．
(2)∵AC与DB、AB与DC是全等三角形的对应边，
∴AC＝DB＝4，DC＝AB＝3.
∵∠A与∠D是全等三角形的对应角．
∴∠D＝∠A＝60°.
活动2 跟踪训练
如图，△ABC≌△CDA.求证：AB∥CD.
证明：∵△ABC≌△CDA，
∴∠BAC＝∠DCA.
∴AB∥CD.
【点拨】注意对应关系．
活动3 课堂小结
通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课大家要重点掌握的．第2课时 全等三角形的判定1——SAS
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1．体会从图形的平移、轴反射、旋转变换出发，得出三角形全等的基本事实——边角边．
2．能应用边角边证明两个三角形全等．(重难点)
3．学会综合应用边角边以及几何的相关知识，进行简单的推理论证．
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知识模块一 探索发现三角形全等的基本事实1
【合作探究】
教材P76探究．
每位同学在纸上的两个不同位置分别画两个三角形，使它们都有一个角等于50°，且夹这个角的两条边分别都是2 cm和2.5 cm.将这两个三角形剪下来叠在一起，你发现了什么？__完全重合__．
从而得出判定两个三角形全等的基本事实：
有两边和这两边的__夹角__分别对应__相等__的两个三角形全等，简写为“边角边”或__SAS__
【自主学习】
如图所示，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求证：△ABD≌△ACE.
证明：∵∠BAC＝∠1＋∠2，∠DAE＝∠3＋∠2且∠BAC＝∠DAE，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2，即∠1＝∠3.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
知识模块二 “边角边”的运用
【自主学习】
教材P78例2
【合作探究】
已知如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，连接BM、AN.求证：AN＝MB.
证明：∵△ACM、△CBN都是等边三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACM＋∠MCN＝∠BCN＋∠MCN，即∠ACN＝∠MCB.
在△ACN和△MCB中，
∴△ACN≌△MCB(SAS)．
∴AN＝MB.
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活动1 小组讨论
例 已知：如图，AB和CD相交于点O，且AO＝BO，CO＝DO.求证：△ACO≌△BDO.
证明：在△ACO和△BDO中，
∴△ACO≌△BDO(SAS)．
【点拨】利用“SAS”证明两个三角形全等，只要找到两条边及其夹角相等即可．
活动2 跟踪训练
1．已知：如图，AB∥CD，AB＝CD.求证：AD∥BC.
证明：∵AB∥CD，∴∠2＝∠1.在△CDB与△ABD中，CD＝AB，∠2＝∠1，BD＝DB，∴△CDB≌△ABD(SAS)．∴∠4＝∠3.∴AD∥BC.
【点拨】可从问题出发，要证线段平行只需证角相等即可(∠3＝∠4)，而证角相等可证角所在的三角形全等．
2．如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°)，连接AE、CD，试确定AE与CD的关系，并证明你的结论．
解：结论：AE＝CD，AE⊥CD.
理由如下(提示)：可延长AE交CD于点F，先证△ABE≌△CBD，得AE＝CD，∠BAE＝∠BCD.又∠AEB＝∠CEF，可得∠CFE＝90°，即AE⊥CD.
【点拨】1.注意挖掘等腰直角三角形中的隐藏条件.2.线段的关系分数量与位置两种关系．
活动3 课堂小结
1．利用对顶角、公共角、直角用SAS证明三角形全等．
2．用“分析法”寻找命题结论也是一种推理论证的方法，即从结论出发逐步递推到题中条件，常以此作为分析寻求推理论证的途径．第3课时 全等三角形的判定2——ASA
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1．从图形的平移、轴反射、旋转变换出发，探究三角形全等的判定定理——角边角．
2．会应用角边角证明两个三角形全等。(重点)
3．学会综合应用边角边、角边角以及相关的几何知识，解决较复杂的几何问题．(难点)
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知识模块一 探索发现三角形全等的基本事实2
【合作探究】
教材P79探究．
归纳得出判定两个三角形全等的基本事实2：
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形__全等__，简写为“角边角”或“__ASA__”．
【自主学习】
1．阅读教材P79例3.
2．如图，已知∠A＝∠D，EF∥BC，那么要用ASA得到△ABC≌△DEF，还要添加条件__AC＝DF或AF＝DC__．
知识模块二 “角边角”的运用
【自主学习】
教材P80例4.
【合作探究】
如图，∠B＝∠C，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B.求证：ED＝EF.
证明：∵∠DEC＝∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，
又∵∠DEF＝∠B，
∴∠BDE＝∠CEF.
在△EBD与△FCE中，
∴△EBD≌△FCE(ASA)．
∴ED＝EF.
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活动1 小组讨论
例1 已知：如图，点A，F，E，C在同一条直线上，AB∥DC，AB＝CD，∠B＝∠D.
求证：△ABE≌△CDF.
证明：∵AB∥DC，
∴∠A＝∠C.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(ASA)．
【点拨】根据两直线平行可得出∠A＝∠C，再根据已知条件即可根据ASA判定两三角形全等．
例2 如图，为测量河宽AB，小军从河岸的A点沿着AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着河AC的垂直方向走到D点，使点D，E，B恰好在一条直线上．于是小军说：“CD的长就是河的宽度．”你能说出这个道理吗？
解：在△AEB和△CED中，
∴△AEB≌△CED(ASA)．
∴AB＝CD.
因此，CD的长度就是河的宽度．
【点拨】根据△AEB≌△CED即可得出CD的长就是河宽AB的长．
活动2 跟踪训练
1．如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，由“ASA”判定△AOB≌△DOC，则需要添加的一个条件是__AO＝DO__.
第1题图
第2题图
2．如图，在四边形ABCD中，∠BDC＝∠BDA，∠ABD＝∠CBD，若AD＝3 cm，则CD＝__3__cm__.
3．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，FC∥AB，若BD＝2，CF＝5，则AB的长为__7__．
第3题图
第4题图
4．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD.
证明：∵∠3＝∠4，∴∠ABC＝∠ABD.在△ABC和△ABD中，∠1＝∠2，AB＝AB，∠ABC＝∠ABD，∴△ABC≌△ABD(ASA)．∴AC＝AD.
活动3 课堂小结
本课时主要学习了哪些知识与方法？有何收获和感悟？还有哪些疑惑？第4课时 全等三角形的判定3——AAS
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1．会从全等三角形的角边角推导出角角边；并能区别角边角与角角边．
2．会应用角角边证明两个三角形全等．(重点)
3．会综合应用边角边、角边角、角角边以及相关的几何知识，解决较复杂的几何问题．(难点)
INCLUDEPICTURE"预习导学.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\8.7\\八湘数上（教案）\\预习导学.TIF" \* MERGEFORMATINET
如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AC＝A′C′，∠C＝∠C′，根据我们学过的全等三角形的判定方法，还缺少一个条件，请你补充一个条件，使这两个三角形全等．并说明根据是什么？
解：补充：∠A＝∠A′(角边角)，或者BC＝B′C′(边角边)，
问题：如果填“∠B＝∠B′”能否判断△ABC和△A′B′C′全等呢？
知识模块一 推出三角形全等的判定定理“角角边”定理
【合作探究】
1．教材P81动脑筋．
2．探究上面的问题：
在△ABC和△A′B′C′中，AC＝A′C′，∠C＝∠C′，∠B＝∠B′.
由三角形内角和定理可推出__∠A＝∠A′__，
从而由“__ASA__”得出△ABC≌A′B′C′.
归纳得出判断两个三角形全等的定理：
有两角和其中一角的__对边__对应__相等__的两个三角形全等，简写成“角角边”或“__AAS__”．
【自主学习】
1．阅读教材P81例5.
2．如图，已知AC＝DF，EF∥BC，那么要用AAS得到△ABC≌△DEF，还要添加条件__∠B＝∠E__，并证明．
证明：∵EF∥BC，∴∠ACB＝∠DFE.在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS)．
知识模块二 “角角边”定理的运用
【自主学习】
阅读教材P82例6.
【合作探究】
已知，BE、CD相交于F，∠B＝∠C，∠1＝∠2，求证：DF＝EF.
证明：∵∠ADF＝∠B＋∠3，∠AEF＝∠C＋∠4，
且∠B＝∠C，∠3＝∠4，
∴∠ADF＝∠AEF.
在△AFD和△AFE中，
∴△AFD≌△AFE(AAS)．
∴DF＝EF.
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活动1 小组讨论
例1 已知：如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求证：△ABC≌△ADC.
证明：因为∠1＝∠2，
所以∠ACB＝∠ACD.
在△ABC和△ADC中，
所以△ABC≌△ADC(AAS)．
例2 已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC∥FD，∠A＝∠D，BF＝EC.求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵AC∥FD，
∴∠ACB＝∠DFE.
∵BF＝EC，
∴BF＋FC＝EC＋FC，
即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS)．
活动2 跟踪训练
1．已知AC＝A′C′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，则判定△ABC≌△A′B′C′的根据是(C)
A．SAS B．ASA
C．AAS D．不确定
2．如图所示，∠CAB＝∠DBA，∠C＝∠D，AC、BD相交于点E，下列结论不正确的是(B)
A．∠DAE＝∠CBE B．△DEA与△CEB不全等
C．CE＝DE D．EA＝EB
第2题图
第3题图
3．如图，点B、E、F、C在同一直线上，已知∠A＝∠D，∠B＝∠C，要根据“AAS”判定△ABF≌△DCE，需要增加的一个条件是__BE＝CF或BF＝CE或AF＝DE__．
4．如图，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2.求证：AB＝AD.
证明：∵AC平分∠BAD.∴∠BAC＝∠DAC.∵∠1＋∠ABC＝180°，∠2＋∠ADC＝180°，∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠ADC.又AC＝AC，∴△ABC≌△ADC.∴AB＝AD.
活动3 课堂小结
本课时主要学习了哪些知识与方法？有何收获和感悟？还有哪些疑惑？第5课时 全等三角形的判定4——SSS
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1．理解边边边的推导过程，并联系生活说出三角形的稳定性在生产和生活中的应用．
2．会应用边边边证明两个三角形全等．(重点)
3．学会综合应用边角边、角边角、角角边和边边边以及相关的几何知识，解决较复杂的几何问题．(难点)
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知识模块一 通过实验检验与推理得出“边边边”
【合作探究】
教材P82探究．
推理探究“边边边”：
如图，在△ABC与△ABD中，AC＝AD，BC＝BD，AB＝AB.
求证：△ABC≌△ABD.
证明：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC.
又∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC，
∴∠ACD＋∠BCD＝∠ADC＋∠BDC，
即∠ACB＝∠ADB.
在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD(SAS)．
归纳得出判定两个三角形全等的基本事实：
三边分别相等的两个三角形__全等__，简写为“__边边边__”或“__SSS__”．
由“SSS”可知，只要三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小也就固定了，三角形的这个性质叫作三角形的__稳定性__．一些大型的电线塔常常用三角形的结构去建造，这是运用三角形的__稳定性__．
【自主学习】
认真阅读教材P83例7.
知识模块二 “边边边”的运用
【自主学习】
认真阅读教材P84例8，进一步体会证全等的一般步骤．
【合作探究】
已知，如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD.求证：∠C＝∠A.
证明：连接BD.
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SSS)．
∴∠C＝∠A.
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活动1 小组讨论
例1 已知：如图，AB＝CD，BC＝DA.求证：∠B＝∠D.
证明：在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(SSS)．∴∠B＝∠D.
例2 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，且AD＝AE，BE＝CD.求证：△ABD≌△ACE.
证明：∵BE＝CD，
∴BE－DE＝CD－DE，
即BD＝CE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SSS)．
活动2 跟踪训练
1．如图，△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则由“SSS”可以判定(B)
A．△ABD≌△ACD
B．△ABE≌△ACE
C．△BDE≌△CDE
D．以上答案都不对
2．如图，工人师傅制作了一个窗架，把窗架立在墙上之前，在上面钉了两块等长的木条GF与GE，钉这两块木条的原理是__三角形的稳定性__．
第2题图
第3题图
3．如图，在△ADF和△CBE中，AE＝CF，AD＝CB，当添加条件__DF＝BE__时，就可根据“SSS”判定△ADF≌△CBE.
4．如图，已知AB＝DC，AC＝DB.求证：∠A＝∠D.
证明：在△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB.∴∠A＝∠D.
活动3 课堂小结
本课时主要学习了哪些知识与方法？有何收获和感悟？还有哪些疑惑？第6课时 全等三角形判定方法的综合运用
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1．回顾证明两个三角形全等的四种判定方法，理解判定三角形全等的条件．
2．学会根据题目条件灵活运用SAS，ASA，AAS，SSS解决问题．(重点)
3．综合应用全等三角形的性质及判定，解决较为复杂的问题．(难点)
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知识模块一 通过实验检验得出“边边角”、“角角角”不能判定三角形全等
【合作探究】
教材P85“议一议”．
探究1：在纸上分别画如下两个三角形，AB＝A′B′＝3 cm，AC＝A′C′＝2.5 cm，∠B＝∠B′＝45°.
把它们剪下来，你发现它们能互相重合吗？__不一定__．
由此得出结论：
两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等．
探究2：三个角相等的两个三角形，如30°，70°，80°，它们一定全等吗？__不一定__．
由此得出结论：
三个角分别相等的两个三角形不一定全等．
【自主学习】
如图，给出下列四组条件：
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；
②AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D；
③∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，∠A＝∠D；
④AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D.
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有(B)
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
知识模块二 运用已学方法判定两个三角形全等
【自主学习】
阅读教材P85例9～P86例10，进一步理解三角形全等判定方法的运用．
【合作探究】
如图，(1)已知：AD＝BC，∠DAB＝∠CBA，求证：BD＝AC；
(2)已知：AD＝BC，AC＝BD，求证：∠ACD＝∠BDC.
证明：(1)在△ABD和△BAC中，
∴△ABD≌△BAC(SAS)．
∴BD＝AC.
(2)在△ADC和△BCD中，
∴∠ACD＝∠BDC.
INCLUDEPICTURE"合作探究.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\8.7\\八湘数上（教案）\\合作探究.TIF" \* MERGEFORMATINET
活动1 小组讨论
例1 已知，如图，AC与BD相交于点O，且AB＝DC，AC＝DB.求证：∠A＝∠D.
证明：连接BC.
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB(SSS)．
∴∠A＝∠D.
例2 某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道，为估测这条隧道的长度，需测出这座山A，B间的距离，结合所学知识，你能给出什么好方法吗？
解：选择某一合适的地点O，使得从O点能测出AO，BO的长度．连接AO并延长至A′，使OA′＝OA；延长BO并延长至B′，使OB′＝OB，连接A′B′，这样就构造出两个三角形．
在△AOB和△A′OB′中，
∴△AOB≌ △A′OB′(SAS)．
∴AB＝A′B′.
因此只要测出A′B′的长度就能得到这座山A，B间的距离．
活动2 跟踪训练
1．下列条件能判定两个三角形全等的是(D)
A．有两条边对应相等的两个三角形
B．有两边及一角对应相等的两个三角形
C．有三角对应相等的两个三角形
D．有两边及其夹角对应相等的两个三角形
2．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是(D)
A．AB＝DC，AC＝DB
B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C．BO＝CO，∠A＝∠D
D．AB＝DC，∠A＝∠D
3．把两根钢条A′B、B′A的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)，如图，若测得AB＝5 cm，则槽宽为__5__cm__．
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.求证：∠ABC＝∠CDA.
证明：连接AC.在△ABC和△CDA中，AB＝CD，BC＝AD，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA(SSS)．
∴∠ABC＝∠CDA.
活动3 课堂小结
本课时主要学习了哪些知识与方法？有何收获和感悟？还有哪些疑惑？2.5 全等三角形
第1课时
教学目标
1.知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；
2.知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；
3.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。
教学重难点
【教学重点】
全等三角形的性质。
【教学难点】
找全等三角形的对应边、对应角
课前准备
无
教学过程
1、全等形及全等三角形概念的引入
（1）显示：
问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？
一般学生都能发现这两个三角形是完全重合的。
（2）学生自己动手
画一个三角形：边长为4cm，5cm，7cm.然后剪下来，同桌的两位同学配合，把两个三角形放在一起重合。
（3）获取概念
让学生用自己的语言叙述：全等三角形、对应顶点、对应角以及有关数学符号。
2、全等三角形性质的发现：
问题：对应边、对应角有何关系？
由学生观察发现，两个三角形的三组对应边相等、三组对应角相等。
3、找对应边、对应角以及全等三角形性质的应用
（1）题目：
D、AD∥BC，且AD＝BC
分析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等。至于D，因为AD和BC是对应边，因此AD＝BC。C符合题意。
说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形中，对应顶点定在对应的位置上，易错点是容易找错对应角。
分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将从复杂的图形中分离出来
说明：根据位置元素来找：有相等元素，其即为对应元素：
然后依据已知的对应元素找：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。
说明：利用“运动法”来找
翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素
旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素
平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素
求证：AE∥CF
分析：证明直线平行通常用角关系（同位角、内错角等），为此想到三角形全等后的性质――对应角相等
∴AE∥CF
说明：解此题的关键是找准对应角，可以用平移法。
分析：AB不是全等三角形的对应边，
但它通过对应边转化为AB＝CD，而使AB+CD＝AD－BC
可利用已知的AD与BC求得。
说明：解决本题的关键是利用三角形全等的性质，得到对应边相等。
5、小结：
(1)如何找全等三角形的对应边、对应角（基本方法）
(2)全等三角形的性质
(3)性质的应用
让学生自由表述，其它学生补充，自己将知识系统化，以自己的方式进行建构。
6、布置作业
7、课后反思：2.5 全等三角形
第2课时
教学目标
1．理解“边角边”判定三角形全等的意义．
2．会运用“SＡS”识别三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件．
教学重难点
【教学重点】
在具体图形中正确运用“边角边”判定三角形全等。
【教学难点】
在具体图形中正确运用“边角边”判定三角形全等。
课前准备
无
教学过程
一、情境导入
如图，在△ABO中，延长AO到点C，使CO＝AO，延长BO到点D，使DO＝BO，连接CD，那么△ABO与△CDO全等吗？
二、合作探究
探究点：用“SAS”判定两个三角形全等
【类型一】 利用“边角边”添加条件，判定三角形全等
例1 如图，已知∠ABC＝∠BAD，只需添加条件____________，就可以用“SAS”判定△ABC≌△BAD.
解析：由于公共边AB＝AB，又∠ABC＝∠BAD，用“SAS”判定△ABC≌△BAD，添加的条件应当是夹角的另一边对应相等，故填BC＝AD.
方法总结：利用“边角边”判定两个三角形全等，“角”是两边的夹角，“两边”是夹这个角的两边，而不能是这个角的对边．
【类型二】 “边边角”不能证明三角形全等
例2 下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.
方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等，要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
【类型三】 利用“边角边”证明两个三角形全等
例3 如图，AC∥BD，AC＝BD，E、F在AB上，且AE＝BF.求证：△ACF≌△BDE.
解析：因为AC∥BD，所以有∠A＝∠B，由AE＝BF，可得AF＝BE.有两边及一夹角对应相等，故可根据SAS判定两三角形全等．
证明：∵AC∥BD，∴∠A＝∠B.
∵AE＝BF，∴AE＋EF＝BF＋EF即AF＝BE.
在△ACF和△BDE中，AC＝BD，∠A＝∠B，AF＝BE，
∴△ACF≌△BDE(SAS)．
方法总结：①在全等三角形中，常把两直线的平行关系转化为角之间的关系(相等或互补)．②“边角边”中的边必须是全等三角形中的边，而不能是边上的一部分．
【类型四】 利用“SAS”证明三角形全等与等腰三角形性质的综合运用
例4 如图所示，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．
解析：首先进行判断：OE⊥AB，由已知条件不难证明△BAC≌△ABD，得∠OBA＝∠OAB再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论．
解：OE⊥AB.
证明：在△BAC和△ABD中，
，
∴△BAC≌△ABD(SAS)．
∴∠OBA＝∠OAB，
∴OA＝OB.
又∵AE＝BE，∴OE⊥AB.
方法总结：①本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；解决此类问题，要熟练掌握三角形全等的判定、等腰三角形的性质等知识．②根据全等三角形可得对应边相等，对应角相等，所以要证明线段相等或角相等时，常常可转化为证明三角形全等．
【类型五】 “边角边”的实际应用
例5 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)．在图中，要测量工件内槽宽，只要测量什么？为什么？
解析：利用边角边可判定△AOB≌△COD，从而有CD＝AB，所以只要测量出CD的长即可．
解：只要测量CD.
理由：连接AB，CD.
∵点O分别是AC、BD的中点，
∴OA＝OC，OB＝OD.
在△AOB和△COD中，
OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD，
∴△AOB≌△COD(SAS)．
∴CD＝AB.
答：需要测量CD的长度，即为工件内槽宽AB.
方法总结：本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形把需要测量的线段转化到容易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
三、板书设计
边角边：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等(如图)．
四、教学反思
在课本情景引入中，采用了探究的方式，让学生经历几何图形的基本变换：平移、旋转、轴反射，学会了用观察、猜想等方法来得出结论，培养学生分析问题、解决问题的能力．用边角边判定两个三角形全等时，注意条件中的角必须是这两边的夹角．2.5 全等三角形
第3课时
教学目标
1、理解全等三角形“角边角”的判定方法
2、利用全等证明角相等、线段相等及直线的平行关系；
3、熟练掌握证明三角形全等的书写格式。
教学重难点
【教学重点】
理解全等三角形“角边角”的判定方法。
【教学难点】
【教学难点】
理解三角形全等的条件与结论之间的关系。
课前准备
无
教学过程
一、情境导入
小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块(图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？
二、合作探究
探究点一：用“ASA”判定两个三角形全等
【类型一】 利用角边角，添加条件，判定两个三角形全等
例1 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠A＝∠EDF，AC＝DF，要直接用ASA判定△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是( )
A．∠BCA＝∠F
B．AB＝DE
C．BC＝EF
D．AB∥DE
解析：已知一边和夹这条边的一个角，要用角边角判定两个三角形全等，要找的另一个角应当是夹这条边的另一个角，所以本题选A.
方法总结：利用“角边角”判定两个三角形全等，“边”是两角的夹边．
【类型二】 利用角边角证明两个三角形全等
例2 如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E，求证：BC＝DC.
解析：由∠BCE＝∠DCA可得∠BCA＝∠DCE，再结合EC＝AC，∠A＝∠E，根据ASA有△BCA≌△DCE，从而BC＝DC.
证明：∵∠BCE＝∠DCA，
∴∠BCE＋∠ACE＝∠DCA＋∠ACE即∠BCA＝∠DCE.
∵AC＝EC，∠A＝∠E，∴△BCA≌△DCE(ASA)．∴BC＝DC.
方法总结：在证明线段相等或角相等的题目中，通常通过证明这两条线段或角所在的三角形全等来得到线段相等或角相等，若这两条线段或角所在的两个三角形不全等，还可寻求题目中的已知条件或图形中的隐含条件通过等量代换来达到证明全等的目的．
探究点二：“ASA”定理的应用
【类型一】 全等三角形性质与判定的综合运用
例3 如图，∠C＝∠E，AC∥DE，AC＝DE.求证：AF＝BD.
解析：由AC∥DE，可知∠A＝∠D，再结合已知根据ASA可得△ABC≌△DFE，故AB＝DF，再同时减去BF即可得出结论成立．
证明：∵AC∥DE，∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DFE中，∠C＝∠E，AC＝DE，∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DFE(ASA)．
∴AB＝DF，∴AB－BF＝DF－BF即AF＝BD.
方法总结：①证明线段相等或角相等可以通过证明三角形全等而得到，所以可以根据题目给出的已知条件，考虑证明三角形全等，还需要什么条件，这些条件怎样可以得到．②由对应边角相等的条件得到三角形全等，这是全等三角形的判定；由三角形全等得到对应的边角相等，这是全等三角形的性质．
【类型二】 角边角的实际应用
例4 如图所示，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走30米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走30米到D处，在D处转90°沿DE方向再走20米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为________米．
解析：根据题意可知：∠B＝∠D＝90°，BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC≌△EDC(ASA)．∴AB＝DE＝20米．
方法总结：本题的关键是把实际问题转化为数学问题，体现了数学的转化思想．
三、板书设计
角边角：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
四、教学反思
在学习角边角判定两三角形全等时，要注意强调角与边之间的位置关系．引导学生学会分析问题，把证明边相等或角相等转化为证明三角形全等．2.5 全等三角形
第4课时
教学目标
1、使学生理解AAS的内容，能运用AAS全等识别法来识别三角形全等进而说明线段或角相等；
2、通过画图、实验、发现、应用的过程教学，树立学生知识源于实践用于实践的观念。使学生体会探索发现问题的过程。经历自己探索出AAS的三角形全等识别及其应用。
教学重难点
【教学重点】
利用三角形全等的识别法，间接说明角相等或线段相等。
【教学难点】
三角形全等的识别法AAS及应用。
课前准备
无
教学过程
一、复习
1、什么叫做全等三角形，如何识别两个三角形全等？
（能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。识别两个三角形全等的方法有：SAS、AAS）。
2、叙述SAS、AAS的内容。
二、新授
思考：如图，如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，
那么这两个三角形是否一定全等？
动手画一画：比如，，，你能画这个三角形吗？
提示：这里的条件与实验中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为实验中的条件吗？
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
现在两组同学按如果角所对的边为画，另两组同学换两个角和一条线段，试试看，你们得出什么结论？
同学们各抒己见后，总结：对于已知两个角和一条线段，以该线段为夹边，所画的三角形都是全等的．
由此得到另一个识别全等三角形的简便方法：
两个角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成：“角角边”或简记为(AAS)。
问题3：你能说说ASA与AAS这两种全等识别法间的关系吗？
（AAS识别法可由ASA识别法推导出来，如上图中，因为，，由于，，所以，于是△ABC与△DEF具备AAS全等。）
三、练习
四、小结
本节学习了三角形全等的识别的另一种AAS，两个角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，注意观察图形的特征，找出是否具备满足两个三角形全等的条件。
五、作业布置
教学后记：
本节课的学习以ASA为基础，结合三角形内角和定理推导得出AAS，以学生为主体，引导学生积极思考、探索，让学生不仅获得了数学知识，而且经过数学活动的探索，体验了数学活动的过程，收获了成功的喜悦．2.5 全等三角形
第6课时
教学目标
1.掌握全等三角形的性质与判定定理；
2.熟练应用全等三角形的判定定理解决问题.
教学重难点
【教学重点】
掌握全等三角形的性质与判定定理。
【教学难点】
应用全等三角形的判定定理解决问题。
课前准备
无
教学过程
一、情境导入
1．判定三角形全等的四种方法：SAS，ASA，AAS，SSS.
2．怎样选择合适的方法解题呢？
二、合作探究
探究点一：对两个三角形全等条件的再认识
【类型一】 条件开放
例1 如图，∠ABC＝∠EBD，AB＝BE，要使△ABC≌△EBD，则需要补充的条件为____________(填一个即可)．
解析：需要补充的条件为BC＝BD或∠A＝∠E或∠C＝∠D.
(1)补充的条件为BC＝BD，
∵∠ABC＝∠EBD，AB＝BE，
又有BC＝BD，
∴△ABC≌△EBD(SAS)．
(2)补充的条件为∠A＝∠E，
∵∠ABC＝∠EBD，AB＝BE，又有∠A＝∠E，
∴△ABC≌△EBD(ASA)．
(3)补充的条件为∠C＝∠D，
∵∠ABC＝∠EBD，AB＝BE，
又有∠C＝∠D，∴△ABC≌△EBD(AAS)．
故填BC＝BD或∠A＝∠E或∠C＝∠D.
方法总结：①已知一边一角，可任意添加一个角的条件，用AAS或ASA判定全等；添加边的条件时只能添加夹这个角的边，用SAS判定全等．若添加另一边即这个角的对边，符合SSA的情形，不能判定三角形全等．②添加条件时，应结合判定全等的四种方法：SSS、SAS、ASA、AAS，注意不能是SSA的情形．
【类型二】 结论开放
例2 如图，点F在BC上，AB＝AE，AC＝AF，∠EAB＝∠CAF，请你任意写出一个正确结论：______________．
解析：由∠EAB＝∠CAF可得∠EAF＝∠CAB，又AB＝AE，AC＝AF，所以△ABC≌△AEF(SAS)，所以CB＝FE，∠E＝∠B，∠AFE＝∠C.故可以填：△ABC≌△AEF或CB＝FE或∠E＝∠B或∠AFE＝∠C.
方法总结：对于结论开放题，应先结合已知条件和图形进行推理，得出各种结论，任选其中之一即可．
【类型三】 条件结论都开放
例3 如图，△ADF和△BCE中，∠A＝∠B，点D、E、F、C在同一直线上，有如下三个关系式：①AD＝BC；②DE＝CF；③BE∥AF.
(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题(用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③)；
(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
解析：(1)本题主要考查全等三角形的判定，能不能成立，就看作为条件的关系式能不能证明△ADF≌△BCE，从而得到结论；
(2)对于“如果①，③，那么②”进行证明，根据平行线的性质得到∠AFD＝∠BEC，因为AD＝BC，∠A＝∠B，利用AAS判定△ADF≌△BCE，得到DF＝CE，即得到DE＝CF.
解：(1)如果①、③，那么②；如果②、③，那么①.
(2)对于“如果①、③，那么②”证明如下：
∵BE∥AF，∴∠AFD＝∠BEC.
又∵AD＝BC，∠A＝∠B，∴△ADF≌△BCE.
∴DF＝CE.∴DF－EF＝CE－EF即DE＝CF.
对于“如果②、③，那么①”证明如下：
∵BE∥AF，∴∠AFD＝∠BEC.
∵DE＝CF，∴DE＋EF＝CF＋EF即DF＝CE.
∵∠A＝∠B，∴△ADF≌△BCE.
∴AD＝BC.
方法总结：对于条件结论都开放的题目，结合图形，从中选取的条件要能使结论成立．
探究点二：灵活选用合适方法证明三角形全等
例4 如图，在△ABE中，AB＝AE，AD＝AC，∠BAD＝∠EAC，BC、DE交于点O.
求证：(1)△ABC≌△AED；
(2)OB＝OE.
解析：(1)由∠BAD＝∠EAC可知∠BAC＝∠EAD，所以由，可证△ABC≌△AED(SAS)；
(2)由(1)知∠ABC＝∠AED，AB＝AE可知∠ABE＝∠AEB，所以∠OBE＝∠OEB，则OB＝OE.
证明：(1)∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD＋∠DAC＝∠EAC＋∠DAC，即∠BAC＝∠EAD.
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED(SAS)．
(2)由(1)知∠ABC＝∠AED，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB.∴∠ABE－∠ABC＝∠AEB－∠AED，即∠OBE＝∠OEB.∴OB＝OE.
探究点三：添加辅助线证明三角形全等
例5 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E.
求证：(1)△BFC≌△DFC；
(2)AD＝DE.
解析：(1)由CF平分∠BCD可知∠BCF＝∠DCF，然后通过SAS就能证出△BFC≌△DFC.
(2)连接BD，要证明AD＝DE，证明△BAD≌△BED则可．由于BD＝BD，所以只需另外证明两组角对应相等即可．
证明：(1)∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF.
在△BFC和△DFC中，，
∴△BFC≌△DFC.
(2)连接BD.∵△BFC≌△DFC，
∴BF＝DF，∴∠FBD＝∠FDB.
∵DF∥AB，∴∠ABD＝∠FDB.∴∠ABD＝∠FBD.
∵AD∥BC，∴∠BDA＝∠DBC.
∵BC＝DC，∴∠DBC＝∠BDC.∴∠BDA＝∠BDC.
又∵BD＝BD，∴△BAD≌△BED.∴AD＝DE.
方法总结：证明全等三角形中常见辅助线的作法：①连接两点；②倍长中线；③过一点作已知直线的平行线；④过一点作已知直线的垂线．
探究点四：多次运用三角形全等的判定
例6 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在E移动过程中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．
解析：要证BE＝DE，先证△ADC≌△ABC(SSS)，得到∠DAE＝∠BAE，再证△ADE≌△ABE(SAS)即可．
解：相等．
理由如下：
在△ABC和△ADC中，
AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠DAE＝∠BAE，
在△ADE和△ABE中，
AB＝AD，∠DAE＝∠BAE，AE＝AE，
∴△ADE≌△ABE(SAS)，∴BE＝DE.
方法总结：把要证明的边相等或角相等，转化为证明它们所在的三角形全等．如果两个三角形全等的条件不具备，可通过两次或多次三角形全等得出．
探究点五：全等三角形判定的实际应用
例7 如图，A、B两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线BF，且使BF⊥AB，在BF上截取BC＝CD，过D点作DE⊥BF，使E、C、A在一条直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请说明理由．
解：∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD，∠B＝∠EDC＝90°，
∴△ACB≌△ECD，
∴AB＝DE.∴DE的长就是A、B之间的距离．
方法总结：本题考查全等三角形的应用，关键是通过证明三角形全等，得到线段相等，从而得出结论成立．
三、板书设计
判定三角形全等的思路：
四、教学反思
本节课学习了全等三角形四种判定方法的灵活运用，让学生积极主动地去练习，学会分析已知什么，要证明什么，还需要什么条件，同时还要善于从图形中发现隐含的条件：公共边、公共角、对顶角、邻补角等．
