2.6 用尺规作三角形
第1课时 已知三边作三角形
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掌握在已知三边的条件下作三角形和已知底边及底边上的高作等腰三角形的方法步骤．(重难点)
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知识模块一 在已知三边的条件下作三角形
【合作探究】
教材P89～P90.
1．已知三边作三角形．已知一个三角形三条边分别为a，b，c，求作这个三角形．
解：图略．作法：(1)先作线段BA＝c；(2)分别以点B，点A为圆心，以a，b为半径画弧交于点C；(3)连接AC，BC，则△ABC即为所求．
2．已知底边和底边上的高分别为a和h，作等腰三角形．
解：作法：(1)先作线段BC＝a；(2)作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；(3)在射线DM(或DN)上截取线段DA，使DA＝h；(4)连接AB，AC，则如图△ABC为所求作的等腰三角形．
【自主学习】
如图①所示，已知线段a，b，b＞a，求作△ABC，使AB＝AC，BC＝a，AB＋AC＝b.
作法：(1)作线段__BC__＝a；
(2)分别以__点B、点C__为圆心，以__b长__为半径画弧，两弧交于__A__点；
(3)连接__AB__、__AC__，__△ABC__就是所求作的三角形(如图②)．
知识模块二 作一个角的角平分线
【自主学习】
认真阅读教材P90“做一做”，特别要注意作法．
已知一个角，求作这个角的平分线．(写出已知、求作、作法)
解：已知：∠MON.
求作：射线OC，使OC平分∠MON.
作法：1.以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于A、B；
2．分别以A、B为圆心，相等的长R(R＞AB)为半径画弧，两弧相交于点C；
3．作射线OC，则射线OC即为所求作的角平分线．
【合作探究】
思考：你能用已学知识说一说上面作出的射线为什么是已知角的平分线吗？
解：连接BC、AC.
由作图可知，OB＝OA，BC＝AC.
在△BOC和△AOC中，
∴△BOC≌△AOC(SSS)．
∴∠BOC＝∠AOC，即所作射线OC是∠AOB的平分线．
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活动1 小组讨论
例1 如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB＝a，直角边AC＝b.(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)
解：如图，△ABC为所求作的直角三角形．
活动2 跟踪训练
1．在下列作图题中，可直接用“SSS”条件作出三角形的是(A)
A．已知腰和底边，作等腰三角形
B．已知两条直角边，作直角三角形
C．已知高，作等边三角形
D．已知腰长，作等腰直角三角形
2．如图，已知∠AOB，按下列语句作图：
(1)用直尺和圆规作出∠AOB的平分线OP；
(2)在射线OP上任取一点C，过点C作OA，OB的垂线，垂足分别为点D、点E；
(3)试找出线段CD、线段CE的长度关系，并说明理由．
解：(1)如图所示：OP即为所求．
(2)如图所示：CD，CE，即为所求．
(3)DC＝EC，理由：∵OP平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，∴DC＝EC(角平分线上的点到角的两边距离相等)．
活动3 课堂小结
本课时主要学习了已知三边作三角形以及如何作一个角的平分线．第2课时 已知边、角作三角形
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1．掌握已知边、角作三角形的作图方法．(重点)
2．利用基本作图，掌握“已知两边及其夹角作三角形”和“已知两角及其夹边作三角形”的方法与步骤．(难点)
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知识模块一 基本作图“作一个角等于已知角”
【合作探究】
教材P91动脑筋．
探究：已知∠AOB.求作一个角，使它等于∠AOB.
作法：(1)作射线__O′A′__；
(2)以O为圆心，以任意长为半径画弧，交__OA__于点C，交__OB__于点D；
(3)以O′为圆心，以__OC__的长为半径画弧，交O′A′于点C′；
(4)以点C′为圆心，以__CD__的长为半径画弧，交前弧于点D′；
(5)过D′作射线__O′B′__，则∠A′O′B′就是所求作的角．
【自主学习】
运用所学知识，说一说为什么∠A′O′B′为所求作的角？
证明：∵在△C′O′D′和△COD中，
∴△C′O′D′≌△COD(SSS)．
∴∠C′O′D′＝∠COD，
即∠A′O′B′＝∠AOB，
∴∠A′O′B′为所求作的角．
知识模块二 已知边、角作三角形
【自主学习】
阅读教材P92，完成下题：
已知∠α和线段a，b，如何求作△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AC＝b呢？(画出草图，写作法)
作法：(1)作∠MCN＝__∠α__；
(2)在射线CM，CN上分别截取__CB＝a__，CA＝b；
(3)__连接AB__，则△ABC为所求作的三角形．
【合作探究】
已知两条线段a，b.求作△ABC，使∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a.
解：作法：
1．作直线MN，在直线MN上取点C；
2．作∠MCN的平分线CE；
3．在CE上截取CA＝b，在CM上截取CB＝a；
4．连接AB，则△ABC为所求作的三角形．
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活动1 小组讨论
例 已知∠α和线段a，b，如何求作△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AC＝b呢？(画出草图，写作法)
图略
(1)作∠MCN＝__∠α__；
(2)在射线CM，CN上分别截取__BC＝a__，CA＝b；
(3)__连接AB__，则△ABC为所求作的三角形．
活动2 跟踪训练
已知∠α和线段a.求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝2∠α，AB＝a.
解：图略．
活动3 课堂小结
本课时主要学习了已知边、角作三角形等基本尺规作图的方法．第2课时 作线段的垂直平分线
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1．知道尺规作图法及其具体要求．
2．会用尺规作线段的垂直平分线以及会写其作法，理解作图的原理．(重难点)
3．会用尺规作直线的垂线以及会写其作法，理解作图的原理．
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知识模块一 利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线
【合作探究】
教材P70做一做．
1．要作出一条线段的垂直平分线，只要找到线段的垂直平分线上的任意__两__点．
2．线段AB的垂直平分线的作法．
(1)分别以点__A__和点__B__为圆心，以__大于AB__的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D；
(2)过点C、D作直线__CD__，则直线__CD__就是线段AB的垂直平分线．
【自主学习】
1．已知线段AB，求作线段AB的中点O.
分析：线段的__垂直平分线__经过线段的中点．
作法：作线段AB的垂直平分线CD，交线段AB于点O.点O就是线段AB的中点．
2．教材P72“练习1”．
知识模块二 过已知点作已知直线的垂线
【合作探究】
教材P71动脑筋．
【自主学习】
1．已知直线l和l外一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P。
作法：1.在直线l与点P的另一侧任取一点M，以点P为圆心，以PM的长为半径作弧交直线l于A、B两点；2.分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点Q；3.作直线PQ，则直线PQ为直线l的垂线．
2．在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在AC上求作一点P，使点P到A、B两点的距离相等．(保留作图痕迹，不写作法和证明)．
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活动1 小组讨论
例1 如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线．
解：作法：①分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C和点D；
②过点C，D作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线．
例2 如何过一点P作已知直线l的垂线呢？
解：点P与已知直线l的位置关系有两种：点P在直线l上或点P在直线l外．
(1)当点P在直线l上．作法：
①在直线l上点P的两旁分别截取线段PA，PB，使PA＝PB；
②分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；
③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线．
(2)当点P在直线l外．作法：
①以点P为圆心，大于点P到直线l的距离的线段长为半径画弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；
③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线．
活动2 跟踪训练
1．下列作图属于尺规作图的是(D)
A．画线段MN＝3 cm
B．用量角器画出∠AOB的平分线
C．用三角尺作过点A垂直于直线l的直线
D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α
2．△ABC的边AB的垂直平分线经过点C，则有(C)
A．AB＝AC B．AB＝BC
C．AC＝BC D．∠B＝∠C
活动3 课堂小结
→→2.6 用尺规作三角形
第1课时
教学目标
1．已知三边会作三角形；
2．已知底边及底边上的高会作等腰三角形；
3．会作已知角的平分线．
教学重难点
【教学重点】
已知三边会作三角形，已知底边及底边上的高会作等腰三角形。
【教学难点】
作已知角的平分线。
课前准备
无
教学过程
一、情境导入
小明在一个工程施工图上看到一个三角形图形，他想用直尺和圆规画一个与这个三角形全等的三角形，应当怎样画？
二、合作探究
探究点一：已知三边作三角形
【类型一】 已知三边作三角形
例1 已知三条线段a、b、c，用尺规作出△ABC，使BC＝a，AC＝b、AB＝c.
解：作法：1.作线段BC＝a；
2．以点C为圆心，以b为半径画弧，再以B为圆心，以c为半径画弧，两弧相交于点A；
3．连接AC和AB，则△ABC即为所求作的三角形，如图所示．
方法总结：已知三角形三边的长，根据全等三角形的判定定理SSS知，三角形的形状和大小也就确定了．作三角形相当于确定三角形三个顶点的位置．因此可先确定三角形的一条边(即两个顶点)，再分别以这条边的两个端点为圆心，以已知线段长为半径画弧，两弧的交点即为另一个顶点．
【类型二】 已知三边作三角形的运用
例2 已知：线段a，b，m，求作△ABC，使AB＝a，AC＝b，BC边上的中线等于m.
解析：本题中，已知两边和第三边上的中线，可考虑倍长中线，即作△ABE，使AB＝a，AE＝2m，BE＝b，再取AE的中点D，倍长中线BD.
解：作法：1.作线段AB＝a；
2．分别以A、B为圆心，2m，b为半径画弧，两弧交于E，连接AE、BE；
3．取AE中点D，连接BD并延长至C，使DC＝BD；
4．连接AC，∴△ABC即为所求．
方法总结：有关三角形的中线的作图、计算或证明，如果直接解题较麻烦，一般可以把中线延长，使延长部分等于中线长．
探究点二：已知底边和底边上的高作等腰三角形
例3 已知线段c，求作△ABC，使AC＝BC，AB＝c，AB边上的高CD＝c.
解析：由题意知，△ABC是等腰三角形，高把底边垂直平分，且高等于底边长的一半．
解：作法：1.作线段AB＝c；
2．作线段AB的垂直平分线EF，交AB于D；
3．在射线DF上截取DC＝c，连接AC，BC，则△ABC即为所求作的三角形，如图所示．
方法总结：已知底边长作等腰三角形时，一般可先作底边的垂直平分线，再结合等腰三角形底边上的高可确定另一个顶点的位置．
探究点三：作已知角的平分线
【类型一】 作已知角的平分线
例4 用尺规作图作出∠ABC的平分线．
解：作法：1.在BA，BC上分别截取BM，BN，使BM＝BN；
2．分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，在∠ABC内两弧交于点O；
3．过点O作射线BP，则BP为所求作的∠ABC的平分线，如图所示．
方法总结：作角平分线的理论依据是全等三角形的判定定理SSS，如本题中，△BMO≌△BNO，从而有∠ABP＝∠CBP.
【类型二】 作已知角的平分线与作线段的垂直平分线的综合运用
例5 如图，已知点M、N和∠AOB，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且在∠AOB的角平分线上．
解析：P到点M、N的距离相等，则点P在线段MN的垂直平分线上，又在∠AOB的角平分线上，即是这两条线的交点．
解：1.作∠AOB的平分线OC；
2．作MN的垂直平分线DE，与OC交于点P；点P就是所求作的点，如图所示．
方法总结：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，所以要求作一点，使这一点到已知两点的距离相等，则这一点一定在连接已知两点的线段的垂直平分线上．
三、板书设计
1．已知三边作三角形
2．已知底边和底边上的高作等腰三角形
3．作已知角的平分线
四、教学反思
本节课学习了用尺规作图作三角形，作图时要学会分析．一般先画一个满足题目已知条件的草图，有时结合基本作图和已知条件可作一个与求作三角形相关联的三角形，然后应用有关条件结合基本作图考虑作出其余的图形．2.6 用尺规作三角形
第2课时
教学目标
1．会作一个角等于已知角；
2．已知两边及其夹角会作三角形；
3．已知两角及其夹边会作三角形．
教学重难点
【教学重点】
作一个角等于已知角.
【教学难点】
已知两边及其夹角会作三角形,已知两角及其夹边会作三角形．
课前准备
无
教学过程
一、情境导入
上节课我们学习了已知三边求作三角形以及作角的平分线，那么怎样作一个角等于已知角？
二、合作探究
探究点一：作一个角等于已知角
例1 如图，已知∠AOB，求作一个角，使它等于∠AOB.
解：作法：1.作射线O′A′；
2．以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
3．以O′点为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A′于点C′；
4．以C′点为圆心，以CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
5．过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′为所求作的角．
方法总结：作一个角等于已知角，实质是构造两个全等三角形，如本题中，△OCD≌△O′C′D′.
探究点二：已知两边及其夹角作三角形
例2 如图，已知∠α和线段m，n.求作△ABC，使∠B＝∠α，BA＝n，BC＝m.
解：作法：1.作∠MBN＝α；
2．在射线BN，BM上分别截取BC＝m，BA＝n；
3．连接AC，则△ABC就是所求作的三角形．
方法总结：已知两边及其夹角作三角形的理论依据是判定三角形全等的SAS，作图时可先作一个角等于已知角，再在角的两边分别截取已知线段长即可．探究点三：已知两角及其夹边作三角形
例3 已知∠α，∠β，线段c.求作△ABC，使得∠ABC＝∠α，∠ACB＝∠β，BC＝c.
解：作法：1.作线段BC＝c；
2．在BC的同旁，作∠DBC＝∠α，作∠ECB＝∠β，DB与EC交于A.则△ABC就是所求作的三角形．
方法总结：已知两角及其夹边作三角形的理论依据是判定三角形全等的ASA，作图时可先作一条边等于已知边，再在这条边的同侧，以边的两个端点为顶点作两个角分别等于已知角即可．
三、板书设计
1．作一个角等于已知角
2．已知两边及其夹角作三角形
3．已知两角及其夹边作三角形
四、教学反思
本节课学习了有关三角形的作图，主要包括两种基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角．作图时，鼓励学生一边作图一边用几何语言叙述作法，培养学生的动手能力、语言表达能力．
