第二讲-一元二次函数
一、单选题
1．若0A． B．或
C．或 D．
2．已知实数a，b，c，若a>b，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．有最小值4 B．有最小值1
C．有最大值4 D．有最小值4
5．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价（元/个）的取值范围应是（ ）
A． B． C． D．
6．不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
7．已知函数的图象与x轴交于、两点，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
9．已知，，若，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
10．若不等式对任意的恒成立，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
12．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆E交于A，B两点.若四边形面积的最大值为8，则a的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
14．设实数满足，函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
15．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________.
17．若正数满足，则的最小值为______.
18．已知，则的最小值是_______．
19．已知，则的最大值为________．
20．若，，，则t的取值范围为______．(共41张PPT)参考答案：第二讲-一元二次函数、方程和不等式
1．D
【分析】利用一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】∵01>m，
故原不等式的解集为，
故选：D．
2．C
【解析】直接利用不等式的基本性质即可.
【详解】由可判断A错误，
由可判断BD错误，
由不等式的性质易知C正确.
故选：C.
【点睛】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键，属于基础题.
3．C
【分析】使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则不等式的解集是的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解.
【详解】解：由得，
因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式
则不等式的解集是的子集，
又由得，
当，，符合；
当，，则，，
当，，符合，
故实数的取值范围为.
故选：C.
4．A
【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可
【详解】解： ，，且，
对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确，
对于B，因为，所以，当且仅当时取等号，即有最大值1，所以B错误，
对于C，因为，当且仅当时取等号，即有最小值4，所以C错误，
对于D，因为，当且仅当时取等号，即有最大值4，所以D错误，
故选：A
5．A
【分析】首先设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，结合条件列式，根据，求的取值范围，即可得到的取值范围.
【详解】设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，
则.
要使商家利润有所增加，则必须使，即，得，所以的取值为.
故选：A
6．A
【分析】根据二次不等式的解法求解即可.
【详解】可化为，
即，即或．
所以不等式的解集为或.
故选：A
7．D
【解析】利用函数图象与的交点，可知的两个根分别为或，再利用根与系数的关系，转化为，，最后代入不等式，求解集.
【详解】由条件可知的两个根分别为或，
则，，得，，
，
整理为：，
解得：或，
所以不等式的解集是.
故选：D
【点睛】思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示，，再代入不等式化简后就容易求解.
8．B
【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
9．C
【分析】将，转化为，由，利用基本不等式求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C
10．B
【分析】由选项可知，故原不等式等价于
，当时，不满足题意，故，再由二次函数的性质即可求解
【详解】由选项可知，故原不等式等价于
，
当时，显然不满足题意，故，
由二次函数的性质可知，此时必有，即，
故选：B
11．D
【分析】根据题意，结合基本不等式计算的最小值，即可求解.
【详解】由题意得
，
当且仅当时取等号．因此，结合，可知．
则符合条件，因此正实数的取值范围是.
故选：D．
12．C
【分析】由题得，再利用基本不等式“1”的代换求最值.
【详解】因为，，，所以，
∴，
当且仅当取得等号，则的最小值为9.
故选：C
13．C
【分析】当直线与x轴垂直，即时，四边形的面积最大，由面积公式及基本不等式求解即可.
【详解】设椭圆E的半焦距为c.直线过原点，
当其与x轴垂直，即时，四边形的面积最大，此时，
所以，
所以，当且仅当时等号成立.
故
故选：C
【点睛】本题考查椭圆的标准方程和几何性质，利用基本不等式求最值，属于中档题.
14．A
【解析】将函数变形为，再根据基本不等式求解即可得答案.
【详解】解：由题意，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为.
故选：A．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
15．D
【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.
【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.
所以，即实数a的最小值为.
故选：D.
16．
【解析】设每个小矩形长为米，宽为米，则依题意可知，代入矩形的面积公式，根据基本不等式求出围成矩形面积的最大值．
【详解】如图所示：
设每个小矩形长为米，宽为米，显然，则依题意可知，
设围成的整个矩形场地的面积为，
所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，因此.
故答案为：
17．16
【分析】利用基本不等式求得的最小值.
【详解】依题意，
当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查基本不等式求最值，属于基础题.
18．
【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
19．1
【分析】直接利用基本不等式求最大值.
【详解】，则，
当且仅当即时取等号．
故答案为：
20．
【分析】设，然后求出x,y，进而根据不等式的性质求出答案.
【详解】设，则，解得．因为，，所以，即．
故答案为：.
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