1．2.3 充分条件、必要条件
课程标准
(1)通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．
(2)通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．
(3)通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一 充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．
状元随笔 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p /q．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
知识点二 充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p，就记作p q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
状元随笔 p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等．
基础自测
1.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A B”的________条件．
2．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的( )
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3．设A、B是两个集合，则“A＝A”是“A B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．用符号“ ”与“”填空：
(1)x2＞1________x＞1；
(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 充分条件、必要条件、充要条件的判断[教材P31例1]
例1 (1)判断下列各题中，p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件：
①p：x∈Z，q：x∈R；
②p：x是长方形；q：x是正方形．
状元随笔 p q由充分条件的定义来判断．
p q由必要条件的定义来判断．
(2)下列各题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)
①p：x≠0，q：x＋|x|>0.
②p：a>0，q：关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解．
③p：ab>0，a，b∈R，q：|a＋b|＝|a|＋|b|.
④p：c＝0，q：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点．
方法归纳
充分条件、必要条件、充要条件的判断方法
1．定义法
(1)分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．
(2)找推式：判断“p q”及“q p”的真假．
(3)根据推式及条件得出结论．
①若p q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②若q p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；
③若二者都成立，则p与q互为充要条件．
2．等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．
3．集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断．
4．传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断．
5．特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．
跟踪训练1 指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c.
题型2 用集合观点解充分条件、必要条件问题[数学运算]
例2 (1) 已知p：点M(1－a，2a＋6)在第四象限，q：a<1，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知p：{x|－1
方法归纳
(1)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A B且B A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
(2)根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
跟踪训练2 (1)设p：实数x满足a0)，q：实数x满足2(2)设A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5，a∈R}，B＝[3，22].
①A (A的充要条件为________；
②A (A的一个充分不必要条件为________.
题型3 充要条件的证明[逻辑推理]
例3 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
方法归纳
充要条件的证明策略
(1)要证明一个条件p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向．
跟踪训练3 求证：方程f(x)＝0有一根为1的充要条件是f(1)＝0.
1．2.3 充分条件、必要条件
新知初探·自主学习
[基础自测]
1．解析：因为A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A B，
所以a∈B且a≠1，所以a＝2或3，
所以“a＝3”是“A B”的充分条件．
答案：充分
2．解析：因为(－1，3)?(－∞，3)，所以p是q成立的必要不充分条件．
答案：C
3．解析：A、B是两个集合，则由“A＝A”可得“A B”，由“A B”可得“A＝A”，所以A、B是两个集合，则“A＝A”是“A B”的充要条件．故选C.
答案：C
4．解析：(1)命题“若x2>1，则x>1”是假命题，故x2>1x>1.
(2)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数 a＋b是偶数．
答案：(1) (2)
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)①因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即p q，因此p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②因为长方形不一定是正方形，即pq，因此p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
(2)①因为由x≠0推不出x＋|x|>0，如x＝－1≠0，但是x＋|x|＝0，所以pq，
由x＋|x|>0可得x>0，可推出x≠0，所以q p，
所以p是q的必要不充分条件．
②当a>0时，关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解x＝－，所以p q，
若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a≠0，推不出a>0，所以qp，
所以p是q的充分不必要条件．
③当ab>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立，所以p q，因为a＝0时，也有|a＋b|＝|a|＋|b|，
所以qp，所以p是q的充分不必要条件．
④当c＝0时，函数y＝ax2＋bx的图象经过原点；
当y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点时，
0＝a×02＋b×0＋c，所以c＝0，
所以p q，所以p是q的充要条件．
跟踪训练1 解析：(1)x－3＝0 (x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0 x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．
(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等 两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．
(3)a>b a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c a>b，故p是q的充要条件．
例2 【解析】 (1)因为点M(1－a，2a＋6)在第四象限，
所以解得a<－3.
因为(－∞，－3)?(－∞，1)，
所以p q，qp，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)由题意，p：{x|－1因为q是p的必要不充分条件，则m＋1>3，解得m>2，即实数m的取值范围是(2，＋∞)．
【答案】 (1)A (2)(2，＋∞)
跟踪训练2 解析：(1)因为q是p的充分不必要条件，
所以q对应的集合是p对应集合的真子集，所以(2，5]?(a，4a)，
则得得即实数a的取值范围是.
(2)①∵A (A
a．当A＝ 时，则2a＋1＞3a－5，解得a＜6，
b．A≠ 时，∵A B，∴，解得6≤a≤9，
综上所述：a＜6或6≤a≤9，即a≤9.
∴A (A的充要条件为a≤9.
②由①知，
当6≤a≤9时，A (A
当A (A时，a≤9，
∴A (A的一个充分不必要条件为6≤a≤9.
答案：(1) (2)①a≤9 ②6≤a≤9(答案不唯一)
例3 【证明】 因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，
得ax2＋bx－a－b＝0，
即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以a＋b＋c＝0 方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
所以有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1 a＋b＋c＝0，
从而a＋b＋c＝0 方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
因此a＋b＋c＝0是方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件．
跟踪训练3 证明：充分性：当f(1)＝0时，即x＝1代入f(x)＝0，等式成立，所以f(1)＝0是f(x)＝0有一根为1的充分条件；
必要性：当f(x)＝0有一根为1时，
即(1，0)为y＝f(x)与x轴的一个交点，
所以f(1)＝0，所以f(1)＝0是f(x)＝0有一根为1的必要条件，
综上所述：方程f(x)＝0有一根为1的充要条件是f(1)＝0.
11.2 常用逻辑用语
1．2.1 命题与量词
1．2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
课程标准
(1)全称量词与存在量词．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．
(2)全称量词命题与存在量词命题的否定．
①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．
②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一 命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的________称为命题．其中________的语句称为真命题，________的语句称为假命题．
知识点二 全称量词和全称量词命题
全称量词 ________、________、________
符号
全称量词命题 含有________的命题
形式 “对集合M中的所有元素x，r(x)”，可简记为________
知识点三 存在量词和存在量词命题
存在量词 ________、________、________
符号表示
存在量词命题 含有________的命题
形式 “存在集合M中的元素x，s(x)”，可用符号记为________
状元随笔 全称量词命题与存在量词命题的区别
(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．
(2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．
知识点四 命题的否定
1．命题的否定：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“ p”，读作“非p”或“p的否定”．
2．命题的真假与命题的否定的真假：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然．
3．常见的命题的否定形式有
原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个
否定形式 不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个
知识点五 全称量词命题和存在量词命题的否定
1．全称量词命题： x∈M，p(x)，它的否定： x∈M， p(x)．
2．存在量词命题： x∈M，p(x)，它的否定： x∈M， p(x)．
状元随笔 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
基础自测
1．下列语句中命题有________个，其中真命题有________个．
①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”；
②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”；
③“一个数不是正数就是负数”；
④“珠海是一个多么美丽的海滨城市啊！”；
⑤“x＋y为有理数，则x、y也都是有理数”；
⑥“作△ABC∽△A1B1C1”．
A.2，0 B．4，2C．3，2 D．4，3
2．(多选)下列命题中哪些是全称量词命题( )
A.任意一个自然数都是正整数
B.所有的素数都是奇数
C.有的正方形不是菱形
D.三角形的内角和是180°
3．下列命题中存在量词命题的个数是( )
①至少有一个偶数是质数；
② x∈R，x2≤0；
③有的奇数能被2整除．
A.0 B．1C．2 D．3
4．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是( )
A.对任意实数x，都有x＞1
B.不存在实数x，使x≤1
C.对任意实数x，都有x≤1
D.存在实数x，使x≤1
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 全称量词命题与存在量词命题的判断与其真假
[经典例题]例1 (1)判断下列命题哪些是全称量词命题，并判断其真假．
①对任意x∈R，x2＞0；
②有些无理数的平方也是无理数；
③对顶角相等；
④存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；
⑤对任意x∈{x|x＞－1}，使3x＋4＞0；
⑥存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．
正确地识别命题中的全称量词，是解决问题的关键．
(2)下列四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
状元随笔 判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题，就是判断这个命题中是否含有全称量词或存在量词，有些命题的量词可能隐含在命题之中，这时要根据命题含义判断形式．
方法归纳
(1)要判定全称量词命题是真命题，需要判断所有的情况都成立；如果有一种情况不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．
(2)要判定存在量词命题是真命题，只需找到一种情况成立即可；如果找不到使命题成立的特例，那么这个存在量词命题是假命题．
跟踪训练1 (1)下列命题中是全称量词命题，并且又是真命题的是( )
A．π是无理数
B． x0∈N，使2x0为偶数
C．对任意x∈R，都有x2＋2x＋1＞0
D．所有菱形的四条边都相等
(2)下列存在量词命题是真命题的是( )
A．有一个实数x，使x2＋3x＋4＝0
B．至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数
C．有些实数是无限不循环小数
D．存在一个三角形，它的内角和小于180°
题型2 含有一个量词的命题的否定[教材P29例2]
例2 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)p： a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点；
(2)q： x∈(－3，＋∞)，x2＞9.
状元随笔 先把命题否定，再判断真假．
方法归纳
全称量词命题的否定是一个存在量词命题，存在量词命题的否定是一个全称量词命题，因此在书写他们的否定时，相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，同时否定结论．
跟踪训练2 (1)命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
A.不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0
C．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0
D．存在x∈R，x3－x2＋1＞0
x∈M，p(x)的否定为 x∈M， p(x)．
(2)命题“ x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是( )
A. x∈R，x3－2x＋1≠0
B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0
C． x∈R，x3－2x＋1＝0
D． x∈R，x3－2x＋1≠0
x∈M，p(x)的否定为 x∈M， p(x)．
题型3 利用命题的否定求参数范围
例3 (1)若“ x∈R，x2＋2x－a<0”是真命题，则实数a的取值范围是________；
(2)已知命题p：“ x∈R，x2－2x＋m>0”是真命题，求实数m的取值范围．
方法归纳
利用含量词的命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决.
跟踪训练3 (1)能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为( )
A．3，2，1B．1，－2，－3
C．－1，－2，－3D．0，－2，－3
(2)已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋1＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≥1}B．{a|a＜1}
C．{a|a＞1}D．{a|a≤1}
第一章 集合与常用逻辑用语
1．2 常用逻辑用语
1．2.1 命题与量词
1．2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
陈述句 判断为真 判断为假
知识点二
所有 任意 每一个 全称量词 “ x∈M，r(x)”
知识点三
存在 至少有一个 有 存在量词 “ x∈M，s(x)”
[基础自测]
1．解析：①是一个反问句，不是命题；②是一个疑问句，不是命题；③符合命题的定义，是命题；是一个假命题；④是一个感叹句，不是命题；⑤符合命题的定义，是命题；是一个假命题；⑥是作图语言，不符合命题的定义，不是命题．
答案：A
2．解析：命题AB含有全称量词，而命题D可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，C是存在量词命题，故有三个全称量词命题．
答案：ABD
3．解析：①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命题；
②中含有存在量词符号“ ”，所以是存在量词命题；
③中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题．
答案：D
4．解析：命题“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．
答案：C
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)①③⑤是全称量词命题，①是假命题，∵x＝0时，x2＝0.③是真命题．⑤是真命题．
(2)A.锐角三角形的内角是锐角或钝角，是假命题；B.至少有一个实数x＝0，使x2≤0成立，因此为真命题；C.两个无理数的和必是无理数，是假命题，例如－＝0为实数，因此是假命题；D.不存在负数x，使＞2，因此是假命题．
【答案】 (1)见解析 (2)B
跟踪训练1 解析：(1)对于A，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题，不符合题意；对于B， x0∈N，使2x0为偶数，不是全称量词命题，不符合题意；对于C，对任意x∈R，都有x2＋2x＋1＞0，是全称量词命题，但当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，为假命题，不符合题意；对于D，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题并且是真命题，符合题意．
(2)没有实数x，使x2＋3x＋4＝0成立，所以A不正确；n为整数，n2＋n＝n(n＋1)，是两个连续的整数乘积，一定是偶数，所以B不正确；有些实数是无限不循环小数，例如无理数，所以C正确；三角形的内角和为180°，所以不可能存在一个三角形，它的内角和小于180°，所以D不正确．故选C.
答案：(1)D (2)C
例2 【解析】 (1) p： a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点．因为当a＝0时，一次函数y＝x＋a的图象经过原点，所以 p是假命题．
(2) q： x∈(－3，＋∞)，x2≤9.因为x＝0时，x2＝0＜9，所以 q是真命题．
跟踪训练2 解析：(1)∵命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”是全称量词命题，其否定是对应的存在量词命题，∴否定命题为：存在x∈R，x3－x2＋1>0.故选D.
(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A；由命题的否定要否定结论，故排除C；由存在量词“ ”应改为全称量词“ ”，故排除B.
答案：(1)D (2)D
例3 【解析】 (1)若“ x∈R，x2＋2x－a<0”是真命题，
则Δ>0，即4＋4a>0，解得a>－1，则实数a的取值范围是{a|a>－1}．
(2)p：“ x∈R，x2－2x＋m>0”是真命题，
即m>－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈R恒成立，
设函数y＝－(x－1)2＋1，由二次函数的性质知，
当x＝1时，ymax＝1，
所以m>ymax＝1，
即实数m的取值范围是(1，＋∞)．
【答案】 (1){a|a>－1} (2)见解析
跟踪训练3 解析：(1)所举反例应满足“若a＞b＞c，则a＋b≤c”，可设a，b，c的值依次为－1，－2，－3.
故选C.
(2)∵p： x∈R，ax2＋2x＋1＝0，
∴ p： x∈R，ax2＋2x＋1≠0.
∵命题p为假命题，∴命题 p为真命题，
∴当x∈R时，方程ax2＋2x＋1＝0没有实数根，
∴Δ＝4－4a＜0，即a＞1.
∴实数a的取值范围是{a|a＞1}．
故选C.
答案：(1)C (2)C
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