1．1.3 集合的基本运算
课程标准
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．
(2)在具体情境中，了解全集的含义．
(3)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．
(4)能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．
第1课时 交集与并集
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一 交集
自然语言 一般地，给定两个集合A、B，由既属于A又属于B的________(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集
符号语言 ____________________________________________________(读作“A交B”)
图形语言
知识点二 并集
自然语言 一般地，给定两个集合A、B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集
符号语言 A＝________________________________________________________________________(读作“A并B”)
图形语言
状元随笔 1.两个集合的并集、交集还是一个集合．
2．对于A不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合，因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．
3．A是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．
基础自测
1.已知集合A＝{0，2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则＝( )
A．{0，2}B．{1，2}
C．{0}D．{－2，－1，0，1，2}
2．已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M＝( )
A．{－1，0，1} B．{－1，0，1，2}
C．{－1，0，2}D．{0，1}
3．设集合A＝{1，2}，则满足A＝{1，2，3}的集合B的个数是( )
A．1 B．3 C．4 D．8
4．设集合A＝{x|2≤x＜5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A＝________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 交集的运算[经典例题]
例1 (1)已知集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则A＝( )
A．{3}B．{5}
C．{3，5}D．{1，2，3，4，5，7}
状元随笔 找出A、B的公共元素求A
(2)已知集合A＝{x|2x－1≤3}，集合B＝{y|y＝x2}，则A＝( )
A．{x|x≤1} B．{x|0≤x≤1}
C．{x|x≤2}D．{x|0≤x≤2}
方法归纳
求交集的基本思路
首先要识别所给集合，其次要化简集合，使集合中的元素明朗化，最后再依据交集的定义写出结果，有时要借助于Venn图或数轴写出交集．借助于数轴时要注意数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集．
跟踪训练1 (1)已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－2，0，1，2}，则A＝ .( )
A．{0，1}B．{－1，0，1}
C．{－2，0，1，2}D．{－1，0，1，2}
先求A再求A
(2)若集合A＝{x|－5≤x≤5}，B＝{x|x≤－2或x＞3}，则＝________．
利用数轴求A.
题型2 并集的运算[教材P17例3]
例2 (1)已知区间A＝(－3，1)，B＝[－2，3]，求
状元随笔 (1)由并集定义A是由A、B中所有元素组成的．
(2)利用数轴求并集更直观．
(2)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M＝( )
A．{0}B．{0，2}
C．{－2，0}D．{－2，0，2}
方法归纳
求并集的基本思路
(1)在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次．
(2)此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．
跟踪训练2 (1)已知集合A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，则集合A中元素的个数为________；
(2)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，那么＝( )
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|0＜x＜1}
C．{x|－1＜x＜0}D．{x|1＜x＜2}
状元随笔 (1)找出集合A，B中出现的所有元素，写出A求元素个数．
(2)画数轴，根据条件确定P
题型3 交集、并集性质的运用[经典例题]
例3 (1)已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋8＝2}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若 ?(A且A＝ ，求a的值；
(2)已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}．
①若A＝ ，求实数a的取值范围．
②若A＝B，求实数a的取值范围．
状元随笔
审结论 (明解题方向) 审条件 (挖解题信息)
求a的值，需建立关于a的方程 (1)集合A，B，C是由相应方程的解构成的，先要解方程求B，C . (2)由 ?(A知A结合A＝ ，可确定集合A中的元素，建立关于a的方程．
建关系——找解题突破口 ?(A＝ →确定集合A中的元素→建立关于a的方程→检验集合中元素的互异性．
方法归纳
(1)连续数集求交、并集借助数轴采用数形结合法．
(2)利用A＝A A B，A＝A B A可实现交、并运算与集合间关系的转化．
注意事项：(1)借助数轴求交、并集时注意端点的实虚．
(2)关注Venn图在解决复杂集合关系中的作用．
跟踪训练3 (1)已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A＝B，求实数a的取值范围．
状元随笔 由A＝B得B A，B分2类，B＝ ，B≠ ，再利用数轴求．
(2)设A＝{x|x2＋ax＋b＝0}，B＝{x|x2＋cx＋15＝0}，又A＝{3，5}，A＝{3}，求实数a，b，c的值．
1．1.3 集合的基本运算
第1课时 交集与并集
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
所有元素 A＝{x|x∈A且x∈B}
知识点二
{x|x∈A或x∈B}
[基础自测]
1．解析：∵A＝{0，2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，∴A＝{0，2}，故选A.
答案：A
2．解析：M表示属于M或属于N的元素组成的集合，故＝{－1，0，1，2}．
答案：B
3．解析：因为A＝{1，2}，A＝{1，2，3}．所以B＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，故选C.
答案：C
4．解析：∵A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，
∴A＝{x|3≤x<5}．
答案：{x|3≤x<5}
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)由题意得A＝{3，5}，故选C.
(2)由题意得A＝{x|x≤2}，B＝{y|y≥0}，所以A＝{x|0≤x≤2}．
【答案】 (1)C (2)D
跟踪训练1 解析：(1)化简A＝{x|－2
(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图．
由交集的定义可得A＝{x|－5≤x≤－2或3答案：(1)A (2){x|－5≤x≤－2或3例2 【解析】 (1)在数轴上表示出A和B，如图所示．
由图可知A＝[－2，1)，A＝(－3，3].
(2)M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0，2}，故M＝{－2，0，2}．
【答案】 (1)见解析 (2)D
跟踪训练2 解析：(1)∵A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，
∴B＝{3，7，9，15}，
∴A＝{1，3，4，7，9，15}．
∴集合A中元素的个数为6.
(2)因为P＝{x|－1所以P＝{x|－1答案：(1)6 (2)A
例3 【解析】 (1)A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{2，3}，C＝{－4，2}．
因为 ?(A且A＝ ，
那么3∈A，故9－3a＋a2－19＝0.
即a2－3a－10＝0.所以a＝－2或a＝5.
当a＝－2时A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意．
当a＝5时A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，不符合A＝ .
综上知，a＝－2.
(2)①因为A＝ ，所以解得－1≤a≤2，所以实数a的取值范围是[－1，2].
②因为A＝B，所以A B，
所以a>5或a＋3<－1，
即a的取值范围为a>5或a<－4，
所以实数a的取值范围是(－∞，－4)
跟踪训练3 解析：(1)①当B＝ 时，只需2a>a＋3，即a>3；
②当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为(－∞，－4)
【解析】(2)因为A＝{3}，所以3∈B，所以32＋3c＋15＝0，所以c＝－8.
由方程x2－8x＋15＝0，解得x＝3或x＝5.所以B＝{3，5}．
由A (A＝{3，5}，A＝{3}知，3∈A，5 A(否则5∈A与A＝{3}矛盾)，故必有A＝{3}，
所以方程x2＋ax＋b＝0有两个相同的根3，
由根与系数的关系得3＋3＝－a，3×3＝b，即a＝－6，b＝9.
所以a＝－6，b＝9，c＝－8.
1第2课时 补集及综合应用
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点 补集
1．全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示．
2．补集
状元随笔 全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题涉及的所有元素．
UA的三层含义：
(1) UA表示一个集合；
(2)A是U的子集，即A U；
(3) UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
基础自测
1.设全集U＝R，集合P＝{x|－2≤x＜3}，则 UP等于( )
A．{x|x＜－2或x≥3}
B．{x|x＜－2或x＞3}
C．{x|x≤－2或x＞3}
D．{x|x≤－2且x≥3}
2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合 U(A等于( )
A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}
3．已知集合U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，B＝{2，6，8}，则( UA)＝________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 补集的运算[教材P18例5]
例1 (1)已知A＝(－1，＋∞)，B＝(－∞，2]，求 RA， RB；
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜9，x∈R}和B＝{x|－4＜x＜4，x∈Z}关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所示集合中的元素共有( )
A．3个B．4个
C．5个D．无穷多个
方法归纳
求补集的原则和方法
(1)一个基本原则：
求给定集合A的补集，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．
(2)两种求解方法：
①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．
②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．
跟踪训练1 (1)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则 UA＝( )
A.
B．{1，3}
C．{2，4，5}
D．{1，2，3，4，5}
利用补集定义直接求．
(2)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩( RB)＝( )
利用数轴表示集合A、B，结合数轴求出结果．A.{x|0＜x≤1}
B．{x|0＜x＜1}
C．{x|1≤x＜2}
D．{x|0＜x＜2}
题型2 集合交、并、补的综合运算[经典例题]
例2 (1)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩( UB)＝( )
A.{2，5}
B．{3，6}
C．{2，5，6}
D．{2，3，5，6，8}
先求 UB，再求A∩ UB.
(2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝，求A∩B，( UB)∪P，(A∩B)∩( UP)；
状元随笔 根据集合的交集、补集、并集运算，画数轴，即可求解．
(3)某班共35人，其中21人喜爱篮球运动，15人喜爱乒乓球运动，10人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
方法归纳
求集合交、并、补运算的方法
跟踪训练2 (1)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3＜x≤3}．求 UA，A∩B， U(A∩B)，( UA)；
状元随笔 借助数轴求出 UA， UB再运算．
(2)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的人数有( )
A．10B．12
C．6D．8
题型3 补集思想的应用——正难则反[经典例题]
例3 (1)若集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}中至多有1个元素，则实数a的取值集合是________；
(2)已知集合A＝{y|y＞a2＋1或y＜a}，B＝{y|2≤y≤4}，若A则实数a的取值范围是________．
状元随笔 A＝ ，对于集合A而言，分A＝ 与A ≠ 两种情况. A＝ 显然不合题意，若情况很多种，而A＝ ，只有一种情形，故用补集思想解决．
方法归纳
(1)运用补集思想求参数范围的方法：
①否定已知条件，考虑反面问题；
②求解反面问题对应的参数范围；
③将反面问题对应参数的范围取补集．
(2)补集思想适用的情况：
从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．
跟踪训练3 设全集U＝{3，6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|，6}， UA＝{5}，求实数m.
状元随笔 根据补集的定义，得到关于m的方程m2－m－1＝5，解得m的值后还需检验．
第2课时 补集及综合应用
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点
UA {x|x∈U且x A}
[基础自测]
1．解析：由P＝{x|－2≤x<3}得 UP＝{x|x<－2或x≥3}．
答案：A
2．解析：A＝{x|x≤0或x≥1}，
所以 U(A＝{x|0答案：D
3．解析：先计算 UA，再计算( UA)
∵U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，∴ UA＝{6，8}．
∴( UA)＝{6，8}＝{6，8}．
答案：{6，8}
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)在数轴上表示出A和B，如图所示．
由图可知 RA＝(－∞，－1]， RB＝(2，＋∞)．
(2)由阴影部分可知对应的集合为B∩( UA)，
∵A＝{x|0＜x＜9，x∈R}，
∴ UA＝{x|x≥9或x≤0}，
∵B＝{x|－4＜x＜4，x∈Z}＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}
∴B∩( UA)＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}≥9或x≤0}＝{－3，－2，－1，0}，共有4个元素．
【答案】 (1)见解析 (2)B
跟踪训练1 解析：(1)∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，∴ UA＝{2，4，5}．
(2)由B＝{x|x≥1}，得 RB＝{x|x<1}，
借助于数轴，可得A∩( RB)＝{x|0答案：(1)C (2)B
例2 【解析】 (1)因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，B＝{1，3，4，6，7}，所以 UB＝{2，5，8}．又A＝{2，3，5，6}，
所以A∩( UB)＝{2，5}．
(2)将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示．
因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1所以A＝{x|－13}．
又P＝，
所以( UB)＝.
又 UP＝，所以(A∩B)∩( UP)＝{x|－1(3)某班共35人，其中21人喜爱篮球运动，
15人喜爱乒乓球运动，10人对这两项运动都不喜爱，
设两项运动都喜欢的人数为x，作出维恩图，如图，
则：15－x＋x＋21－x＋10＝35，解得x＝11，
∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为：
21－x＝21－11＝10.
【答案】 (1)A (2)见解析 (3)10
跟踪训练2 解析：(1)把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：
由图可知， UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
A＝{x|－2 U(A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
( UA)＝{x|－3解析：(2)方程组法．
由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组，
因为参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，
所以只参加物理的有15－6－4＝5人．
设同时参加数学和化学小组的人数有x人，
则只参加数学的有26－6－x＝20－x人，
只参加化学的有13－4－x＝9－x人．
又总人数为36人，即20－x＋x＋6＋4＋5＋9－x＝36，
所以44－x＝36，解得x＝8.
即同时参加数学和化学小组的人数有8人．
答案：(1)见解析 (2)D
例3 【解析】 (1)由题意可知，集合A中可能含有0个元素，1个元素和2个元素，
若集合A中含有两个元素，则：
求解不等式组可得实数a的取值集合为，
则实数a的取值集合为：.
(2)集合A＝{y|y＞a2＋1或y＜a}，B＝{y|2≤y≤4}，
若A＝ ，，可得a≤－或≤a≤2，
则A则实数a的取值范围是：－＜a＜或a＞2.
【答案】 (1) (2)－＜a＜或a＞2
跟踪训练3 解析：因为 UA＝{5}，所以5∈U但5 A，
所以m2－m－1＝5，解得m＝3或m＝－2.
当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，
此时U＝{3，5，6}，A＝{3，6}，满足 UA＝{5}；
当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，
此时U＝{3，5，6}，A＝{6，7}，不符合题意舍去．
综上，可知m＝3.
11．1.2 集合的基本关系
课程标准
(1)在具体情境中，了解空集的含义．
(2)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
(3)能使用维恩图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一 子集
文字语言 符号语言 图形语言
对于两个集合A，B，如果集合A中________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有________关系，称集合A为集合B的子集 对任意元素x∈A，必有x∈B，则____________，读作__________或________
状元随笔 “A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈B.
知识点二 真子集
一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A?B(或B?A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)．
状元随笔 在真子集的定义中，A ?B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A.
知识点三 集合相等
一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”．
由集合相等的定义可知：如果A B且B A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A B且B A.
知识点四 子集、真子集的性质
根据子集、真子集的定义可知：
(1)对于集合A，B，C，如果A B，B C，则A C；
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，则A?C.
基础自测
1．集合{0，1}的子集有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
2．下列各组中的两个集合M和N，表示相等集合的是( )
A．M＝{π}，N＝{3.14159}
B．M＝{2，3}，N＝{(2，3)}
C．M＝{x|－1＜x≤1，x∈N}，N＝{1}
D．M＝{1，，π}，N＝{π，1，|－|}
3．(多选)已知集合A＝{x|－1－x＜0}，则下列各式不正确的是( )
A．0 A B．{0}∈AC． ∈A D．{0} A
4．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B A，则实数m＝________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 集合间关系的判断[经典例题]
例1 (1)下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2} {2，1，0}；③ {0，1，2}；④ ＝{0}；⑤{0，1}＝{(0，1)}；⑥0＝{0}．
A.1 B．2
C．3D．4
状元随笔 根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断①②③④⑥，对于⑤应先明确两个集合中的元素是点还是实数．
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
(3)下列图形中，表示M N的是( )
方法归纳
判断集合间关系的方法
(1)用定义判断
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B A，否则B不是A的子集；
若既有A B，又有B A，则A＝B.
(2)数形结合判断
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
(3)利用维恩图
跟踪训练1 (1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1}，则M与T的关系是( )
A．M?TB．M?T
C．M＝TD.M T
(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．
学习完知识点后，我们可以得到B A，C A，D A，D B，D C.
题型2 子集、真子集及个数问题[教材P11例1]
例2 写出集合A＝{6，7，8}的所有子集和真子集．
状元随笔 写出集合的子集时易忘 ，真子集是在子集的基础上去掉自身．
方法归纳
(1)求集合子集、真子集个数的三个步骤
(2)若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
跟踪训练2 (1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0＜x＜5}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为( )
A.1 B．2
C．3D．4
(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为( )
A．－2B．4
C．0D．以上答案都不是
状元随笔 (1)先用列举法表示集合A，B，然后根据A ?C ?B确定集合C.
(2)先确定关于x的方程x2＝a解的个数，然后求a的值．
题型3 根据集合间的关系求参数[经典例题]
例3 (1)有三个元素的集合A，B，已知A＝{2，x，y}，B＝{2x，2，2y}，且A＝B，求x，y的值；
(2)设集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|k＋1＜x＜2k－1}，且A B，则实数k的取值范围是________；
(3)(多选)已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{0，1，2}，若A B，则实数a可以为( )
A．B．1
C．0D．以上选项都不对
(4)已知集合A＝{x∈R|x2＋ax＋1＝0}和B＝{1，2}，且A B，则实数a的取值范围是________．
方法归纳
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．
跟踪训练3 (1)设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
①若a＝，试判定集合A与B的关系；
②若B A，求实数a的取值集合．
(2)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}．若B A，则实数a的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
状元随笔 (1)解方程x2－8x＋15＝0，求出A，当a＝时，求出B，由此能判定集合A与B的关系．
(2)分以下两种情况讨论，求实数a的取值集合．
①B＝ ，此时a＝0；②B ≠ ，此时a≠0.
易错点 忽略空集的特殊性致误
例 设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N M，求所有满足条件的a的取值集合．
【错解】 由N M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，得N＝{－1}或{3}．
当N＝{－1}时，由＝－1，得a＝－1.
当N＝{3}时，由＝3，得a＝.
故满足条件的a的取值集合为.
【正解】 由N M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，
得N＝ 或N＝{－1}或N＝{3}．
当N＝ 时，ax－1＝0无解，即a＝0.
当N＝{－1}时，由＝－1，得a＝－1.
当N＝{3}时，由＝3，得a＝.
故满足条件的a的取值集合为.
【易错警示】
错误原因 纠错心得
错解忽略了N＝ 这种情况． 空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则．
1．1.2 集合的基本关系
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
任意一个 包含 A B(或B A) “A包含于B” “B包含A”
[基础自测]
1．解析：集合{0，1}的子集为 ，{0}，{1}，{0，1}．
答案：D
2．解析：选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0，1}，只有D是正确的．
答案：D
3．解析：集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0} A，ABC不正确．
答案：ABC
4．解析：∵B A，∴2m－1＝m2，∴m＝1.
答案：1
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}?{0，1，2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以 ?{0}；对于⑤，{0，1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0，1)}是以有序数组(0，1)为元素的单元素集合，所以{0，1}与{(0，1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.
【解析】(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
③方法一 两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
方法二 由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，所以N?M.
【答案】 (1)B (2)见解析 (3)C
跟踪训练1 解析：(1)因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，又T＝{－1，0，1}，所以M?T.
(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图
答案：(1)A (2)见解析
例2 【解析】 如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢？注意到集合A含有3个元素，因此它的子集含有的元素个数为0，1，2，3.可依下列步骤来完成此题：
(1)写出元素个数为0的子集，即 ；
(2)写出元素个数为1的子集，即{6}，{7}，{8}；
(3)写出元素个数为2的子集，即{6，7}，{6，8}，{7，8}；
(4)写出元素个数为3的子集，即{6，7，8}．
集合A的所有子集是 ，{6}，{7}，{8}，{6，7}，{6，8}，{7，8}，{6，7，8}．
在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集．
跟踪训练2 解析：(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C可为{1，2，3}，{1，2，4}．
(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；
若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.
答案：(1)B (2)C
例3 【解析】 (1)∵A＝{2，x，y}，B＝{2x，2，2y}，且A＝B，
∴ ①，或 ②.
由①得：x＝y＝0，此时A＝{2，0，0}，违背集合中元素的互异性；
由②得：x＝y＝0，此时A＝{2，0，0}，违背集合中元素的互异性．
∴满足A＝B的x，y的值不存在．
(2)因为集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|k＋1＜x＜2k－1}，且A B，
当B≠ 时，k＋1＜2k－1且，无解；
当B＝ 时，k＋1≥2k－1，∴k≤2，
综上，实数k的取值范围是(－∞，2].
(3)∵集合A＝{x|ax＝1}，B＝{0，1，2}，A B，
∴A＝ 或A＝{1}或A＝{2}，
∴不存在，＝1，＝2，
解得a＝0，或a＝1，或a＝.
(4)因为A B，所以A＝ 或A＝{1}，A＝{2}或A＝{1，2}．
若A＝ ，则Δ＝a2－4＜0，解得－2＜a＜2.
若A＝{1}应有Δ＝a2－4＝0且1＋a＋1＝0，解得a＝－2.
若A＝{2}时，应有Δ＝a2－4＝0且4＋2a＋1＝0，此时无解．
若A＝{1，2}，则1，2是方程x2＋ax＋1＝0的两个根，所以由根与系数的关系得1×2＝1，显然不成立．
综上满足条件的实数a的取值范围是－2≤a＜2.
【答案】 (1)见解析 (2)(－∞，2] (3)ABC (4)[－2，2)
跟踪训练3 解析：(1)①由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3，5}，当a＝时，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以B?A.
②当B＝ 时，满足B A，此时a＝0；当B≠ ，a≠0时，集合B＝，由B A得＝3或＝5，所以a＝或a＝.
综上所述，实数a的取值集合为.
【解析】(2)∵集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}，B A，
∴a≥2.
答案：(1)见解析 (2)A
11.1 集合
集合及其表示方法
课程标准
(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．
(2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．
(3)在具体情境中，了解空集的含义．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一 集合的概念
在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类．把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素．
知识点二 元素与集合的表示及关系
1．元素与集合的符号表示
表示
2．元素与集合的关系
关系 语言描述 记法 示例
a属于集合A a是集合 A中的元素 ________ 若A表示由“世界四大洋”组成的集合，则太平洋∈A，长江 A
a不属于集合A a不是集合 A中的元素 ________
状元随笔 对元素和集合之间关系的两点说明
1．符号“∈”“ ”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a A ”这两种结果．
2．∈和 具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．
3．集合中元素的特征
特征 含义
确定性 集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否构成集合的标准
互异性 给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现
无序性 集合中的元素无先后顺序之分
4.空集：一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作 .
5．集合的分类：集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集．
6．几种常见的数集及其记法：所有非负整数组成的集合，称为自然数集，记作N；
在自然数集N中，去掉元素0之后的集合，称为正整数集，记作N*或N＋；
所有整数组成的集合称为整数集，记作Z；
所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
所有实数组成的集合称为实数集，记作R.
知识点三 集合的表示
1．列举法：把集合中的元素________出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做________．
2．描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．
状元随笔
1．列举法表示集合时的5个关注点
(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素是无序的．
(5)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法表示集合时的3个关注点
(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；
(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；
(3)不能出现未被说明的字母．
知识点四 区间及其表示
1．区间的几何表示
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a＜x＜b} 开区间 (a，b)
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b)
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
2.实数集R的区间表示：实数集R可以用区间表示为____________，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．
3．无穷大的几何表示
定义 符号 数轴表示
{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x＞a} (a，＋∞)
{x|x≤b} (－∞，b]
{x|x＜b} (－∞，b)
状元随笔 关于无穷大的2点说明
(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．
(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．
基础自测
1．下列能构成集合的是( )
A．中央电视台著名节目主持人
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
2．集合{x∈N*|x－3＜2}的另一种表示法是( )
A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}
3．若1∈{a，a＋1，a2}，则a的值是( )
A．0B．1
C．－1D．0或1或－1
4．用区间表示下列集合：
(1)＝________；
(2){x|x＜1或2＜x≤3}＝________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 集合的概念[经典例题]
例1 下列对象能构成集合的是( )
①援助武汉抗击新型冠状病毒肺炎疫情的优秀医护人员；
构成集合的元素具有确定性．②所有的钝角三角形；
③2019年诺贝尔经济学奖得主；
④大于等于0的整数；
⑤我校所有聪明的学生．
A．①②④ B．②⑤C．③④⑤ D．②③④
方法归纳
判断一组对象组成集合的依据
判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．
跟踪训练1 下列各项中，不可以组成集合的是( )
A．所有的正数B．等于2的数
C．接近于0的数D．不等于0的偶数
题型2 元素与集合的关系[经典例题]
例2 (1)下列关系中，正确的有( )
①∈R；② Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q.
A．1个B．2个
C．3个D．4个
(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )
A．0B．1
C．2D．3
a分类处理：
①a＝0，a＝1，a＝2；
②a＝3，a＝4.
还讨论吗？
方法归纳
判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．
跟踪训练2 (1)下列说法正确的是( )
A.0 N
B．∈Q
C．π R
D．∈Z
N自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．
(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
题型3 集合的表示——列举法[教材P7例题1]
例3 用列举法表示下列集合：
找准元素，列举法是把集合中所有元素一一列举出来．
(1)方程x(x－1)＝0的所有解组成的集合A；
(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合．
(3)2022年冬奥会的主办城市组成的集合.
(4)函数y＝2x－1的图象与坐标轴交点组成的集合．
方法归纳
1．用列举法表示集合的三个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用“{ }”括起来．
2．在用列举法表示集合时的关注点
(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．
(2)元素不重复，元素无顺序．如集合{1，2，3，4}与{2，1，4，3}表示同一集合．
跟踪训练3 用列举法表示下列集合：
(1)方程组的解集；
(2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(3)方程x2－2x＋1＝0的实数根组成的集合．
题型4 集合的表示——描述法[数学抽象、逻辑推理]
例4 (1)用描述法表示平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B.
状元随笔 描述法注意元素的共同特征．
(2)已知集合M＝{x|x＝3n，n∈Z}，N＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，且a∈M，b∈N，c∈P，若d＝a－b＋c，则( )
A．d∈MB．d∈N
C．d∈PD．d∈M且d∈N
(3)若集合A＝{x|mx2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一个元素，则m的取值集合是________．
方法归纳
1．描述法表示集合的两个步骤
2．用描述法表示集合应注意的四点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}可以写成{x|x<1}，而不能写成{x<1}．
(2)所有描述的内容都要写在大括号内．例如，
{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
3．解答集合表示方法综合题的策略
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．
(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．
教材反思
列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素．
跟踪训练4 用适当的方法表示下列集合：
(1)所有被5整除的数；
(2)如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合．
(3)不等式组的解集；
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合．
题型5 用区间表示集合[数学运算、直观想象]
例5 用区间表示下列集合：
(1)3x－4<0的所有解组成的集合A＝________；
(2)2x＋6≥0的所有解组成的集合B＝________．
方法归纳
方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理
(1)准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质．
(2)解题时应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用．
跟踪训练5 用区间表示下列不等式，并在数轴上表示这些区间．
(1)－2(4)x≤4；(5)x>－3；(6)x≥－4.
易错点 忽略集合中元素的互异性出错
例 含有三个元素的集合，也可表示为集合{a2，a＋b，0}，求a，b的值．
【错解】 ∵＝{a2，a＋b，0}，
∴
解得或
【正解】 ∵＝{a2，a＋b，0}，
∴
解得或
由集合中元素的互异性，得a≠1.
∴a＝－1，b＝0.
【易错警示】
错误原因 纠错心得
错解忽略了集合中元素的互异性，当a＝1时，在一个集合中出现了两个相同的元素． 含有参数的集合问题，涉及的内容多为元素与集合的关系、集合相等，解题时需要根据集合中元素的互异性对参数的取值进行分类讨论．
1．1 集合
1．1.1 集合及其表示方法
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点二
1．a，b，c，… A，B，C，…
2．a∈A a A
知识点三
1．一一列举 列举法
知识点四
2．(－∞，＋∞)
[基础自测]
1．解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．
答案：C
2．解析：∵x－3<2，x∈N*，
∴x<5，x∈N*，
∴x＝1，2，3，4.故选B.
答案：B
3．解析：由已知条件1∈{a，a＋1，a2}知有三种情况，若a＝1，则a＋1＝2，a2＝1.则a＝a2＝1，与集合元素的互异性相矛盾，故a≠1.
若a＋1＝1，即a＝0，则a2＝0.与集合元素的互异性相矛盾，故a≠0.
若a2＝1，即a＝±1，当a＝－1时，符合题意．综上知a＝－1.
答案：C
4．解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x|－≤x<5}＝.
(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x<1或2答案：(1) (2)(－∞，1)
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 由集合中元素的确定性知，①中“优秀医护人员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．
【答案】 D
跟踪训练1 解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C中的对象不能构成集合．故选C.
答案：C
例2 【解析】 (1)是实数，是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－|＝是无理数．因此，①②③正确，④错误．
(2)∵a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4，此时A＝{0，4}满足要求；若a＝1，则4－a＝3，此时A＝{1，3}满足要求；若a＝2，则4－a＝2，此时A＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C.
【答案】 (1)C (2)C
跟踪训练2 解析：(1)A.N为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.是无理数，Q是有理数集合， Q，故本选项错误；C.π是实数，即π∈R，故本选项错误；D.＝2，2是正整数，则∈Z，故本选项正确．故选D.
(2)由∈N，x∈N知x≥0，>0，且x≠3，
故0≤x<3.又x∈N，故x＝0，1，2.
当x＝0时，＝2∈N，当x＝1时，＝3∈N，
当x＝2时，＝6∈N.
故集合A中的元素为0，1，2.
答案：(1)D (2)0，1，2
例3 【解析】 (1)因为0和1是方程x(x－1)＝0的解，而且这个方程只有两个解，所以A＝{0，1}．
(2)由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m，共6个元素，因此可以用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}．
(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可以用列举法表示为{北京，张家口}．
(4)函数y＝2x－1的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为(0，－1)，因此可以用列举法表示为.
跟踪训练3 解析：(1)解方程组得故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为{(4，－2)}．
(2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.可用列举法表示为{3，5，7，11}．
(3)方程x2－2x＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}．
例4 【解析】 (1)因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此B＝{(x，y)|x＞0，y＞0}．
(2)由题意，设a＝3k，k∈Z，b＝3y＋1，y∈Z，c＝3m－1，m∈Z，则d＝3k－(3y＋1)＋3m－1＝3(k－y＋m)－2.
令t＝k－y＋m，则t∈Z，则d＝3t－2＝3t－3＋1＝3(t－1)＋1，t∈Z，则d∈N，故选B.
【解析】(3)当m＝0时，方程mx2＋2x＋m＝0为2x＝0，解得x＝0，A＝{0}；
当m≠0时，若集合A只有一个元素，
则一元二次方程mx2＋2x＋m＝0有两个相等实根，
所以判别式Δ＝22－4m2＝0，解得m＝±1；
综上，当m＝0或m＝±1时，集合A只有一个元素．
所以m的值组成的集合是{－1，0，1}．
【答案】 (1)见解析 (2)B (3){－1，0，1}
跟踪训练4 解析：(1){x|x＝5n，n∈Z}．
(2).
(3)由得
所以不等式组的解集为[1，3)．
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．
例5 【解析】 (1)因为3x－4<0，
所以3x<4，即x<，所以A＝，
用区间表示为：A＝.
(2)因为2x＋6≥0，
所以2x≥－6，
即x≥－3，所以B＝{x|x≥－3}，
用区间表示为：B＝[－3，＋∞)．
【答案】 (1) (2)[－3，＋∞)
跟踪训练5 答案：(1)(－2，5)．
(2)(－3，4].
(3)[2，5)．
(4)(－∞，4].
(5)(－3，＋∞)．
(6)[－4，＋∞)．
2