3．1.2 函数的单调性
第1课时 单调性的定义与证明
课程标准
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一 定义域为A的函数f(x)的单调性
状元随笔 定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1＜x2；
(3)属于同一个单调区间．
知识点二 单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间M上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)________，区间M叫做y＝f(x)的________．
状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝在(－∞，0)∪(0，+∞)上单调递减．
知识点三 函数的最值
一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)(记作f(x)max＝f(x0))，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)(记作＝f(x0))，而x0称为f(x)的最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．
状元随笔 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.
基础自测
1．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则( )
A．m＞ B．m＜
C．m＞－D．m＜－
2．函数f(x)＝在[1，＋∞)上( )
A．有最大值无最小值
B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值
D．无最大值也无最小值
3．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)＞f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．
4．如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)的单调递减区间是( )
A．(－1，0)
B．(1，＋∞)
C．(－1，0)
D．(－1，0)，(1，＋∞)
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 利用函数图象求单调区间[经典例题]
例1 (1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )
A.(－3，1)
B．(－5，－3)
C．(－3，－1)，(1，4)
D．(－5，－3)，(－1，1)
状元随笔 观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．
(2)下列函数在区间(0，1)上是增函数的是( )
A．y＝1－2xB．y＝
C．y＝D．y＝－x2＋2x
(3)函数y＝|x－1|的单调增区间是________.
跟踪训练1 (1)函数f(x)的图象如图所示，则( )
A．函数f(x)在[－1，2]上是增函数
B．函数f(x)在[－1，2]上是减函数
C．函数f(x)在[－1，4]上是减函数
D．函数f(x)在[2，4]上是增函数
状元随笔 图象上升或下降趋势判断．
(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
题型2 函数的单调性判断与证明
例2 证明函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．在(0，2)上是减函数．
状元随笔 先根据单调性的定义任取∈(2，＋∞)，且x1＜x2，再判断f(x1)－f(x2)的符号．
方法归纳
利用定义证明函数单调性的步骤
注：作差变形是解题关键．
跟踪训练2 利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．
题型3 利用函数的单调性求最值[经典例题]
例3 已知函数f(x)＝，x∈[3，5].
(1)判断函数在区间[3，5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
方法归纳
1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝，求函数f(x)在[1，5]上的最值．
状元随笔 (1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
题型4 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]
例4 (1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.
①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；
②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
方法归纳
“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别
单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
跟踪训练4 (1)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围；函数的单调递减区间为(－∞，4]，则a为何值？
状元随笔 首先求出f(x)的单调减区间，(1)求出f(x)的对称轴为x＝1－a，利用对称轴应在直线x＝4的右侧或与其重合求解．(2)求出函数的减区间，用端点值相等求出a.
(2)若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)3．1.2 函数的单调性
第1课时 单调性的定义与证明
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
f(x1)f(x2) 增函数 减函数
知识点二
单调性 单调区间
[基础自测]
1．解析：使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<.
答案：B
2．解析：函数f(x)＝是反比例函数，当x∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f(x)为减函数，f(1)为f(x)在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A.
答案：A
3．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，
∴x1>x2.
答案：x1>x2
4．解析：若函数单调递减，则对应图象为下降的，由图象知，函数在(－1，0)，(1，＋∞)上分别下降，则对应的单调递减区间为(－1，0)，(1，＋∞)．
答案：D
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4)．
(2)由y＝1－2x，y＝的图象易知在(0，1)上为减函数，而y＝的定义域为[1，＋∞)，不合题意．
(3)作出函数的图象，如图所示，所以函数的单调递增区间为[1，＋∞)．
【答案】 (1)C (2)D (3)[1，＋∞)
跟踪训练1 解析：(1)函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.
(2)y＝－x2＋2|x|＋3＝函数图象如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数，所以函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间是[－1，0]和[1，＋∞)．
答案：(1)A (2)见解析
例2 【证明】 x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋＝.
因为2＜x1＜x2，
所以x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
证明： x1，x2∈(0，2)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋
＝.
因为0＜x1＜x2＜2，
所以x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
所以函数f(x)＝x＋在(0，2)上是减函数．
跟踪训练2 证明：设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x1∵－10，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴>0.即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2).
∴y＝在(－1，＋∞)上是减函数．
例3 【解析】 (1)函数f(x)在[3，5]上是单调递增的，
证明：设任意x1，x2，满足3≤x1因为f(x1)－f(x2)＝
＝
＝，
因为3≤x10，x2＋1>0，x1－x2<0.
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)(2)f(x)min＝f(3)＝＝，
f(x)max＝f(5)＝＝.
跟踪训练3 解析：先证明函数f(x)＝的单调性，设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>，
f(x1)－f(x2)＝＝.
由于x2>x1>，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝在区间上是单调递减的，所以函数f(x)在[1，5]上是单调递减的，因此，函数f(x)＝在区间[1，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，
即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝.
例4 【解析】 (1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3
＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1].
①由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1，即a≤－4.
②由题意得－a－1＝3，a＝－4.
(2)因为函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，
所以2x－3>5x－6，解得x<1，
即实数x的取值范围为(－∞，1)．
【答案】 (1)①a≤－4 ②－4 (2)(－∞，1)
跟踪训练4 解析：(1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，
∴f(x)的减区间是(－∞，1－a].
∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴1－a≥4，解得a≤－3.
故a的取值范围为(－∞，－3].
由知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]，
∴1－a＝4，a＝－3.
(2)函数的定义域为R，由条件可知，x－2>3，解得x>5.
答案：(1)见解析 (2)(5，＋∞)
1第2课时 函数的平均变化率
课程标准
理解函数的平均变化率与函数单调性的关系；了解直线斜率的概念；会用函数的平均变化率证明函数的增减性．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一 直线的斜率
一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称________为直线AB的斜率；当________时，称直线AB的斜率不存在．
知识点二 函数的平均变化率
1．一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则：
(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是______0在I上恒成立；
(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是______0在I上恒成立．
一般地，当x1≠x2时，称＝为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的________________________．
2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性为：
(1)当a＞0时，f(x)在____________上单调递减，在______________上单调递增，函数没有最大值，但有最小值________________；
(2)当a＜0时，f(x)在____________________上单调递增，在____________________上单调递减，函数没有最小值，但有最大值____________________.
基础自测
1．直线l经过两点A(－1，3)，B(－1，6)，则直线l的斜率是( )
A．1B．－1
C．D．不存在
2．斜率为2的直线过(3，5)，(a，7)，(－1，b)三点，则a＋b等于( )
A．4B．－7
C．1D．－1
3．函数f(x)＝x2－3x－4在区间[0，2]上的最小值点为________，最大值为________.
4．如图是函数y＝f(x)的图象．
(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 三点共线问题
例1 已知平面上三点A、B、C，其中A(2，1)，B(3，2)，C(x，4)，则直线AB的斜率为________，若A、B、C三点共线，则x＝________．
教材反思
直线斜率的计算方法
(1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；
(2)若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝(其中x1≠x2)进行计算；
(3)判断三点共线的问题，就是由这三点任意构造两条直线，若构造的两条直线的斜率相等，则三点共线，否则此三点不共线．
跟踪训练1 (1)已知直线经过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为( )
A．3 B．－2
C．2D．不存在
(2)求证：A(－3，－5)，B(1，3)，C(5，11)三点共线．
题型2 求函数的平均变化率
例2 已知函数f(x)＝2x2＋1.
(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；
(2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；
(3)求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
方法归纳
求函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的方法步骤是：
(1)先求Δx＝x2－x1；
(2)再求Δy＝f(x2)－f(x1)；
(3)由定义求出＝.
跟踪训练2 函数f(x)＝－2x2＋5在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率为________．
题型3 用函数的平均变化率判断单调性
例3 证明函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
状元随笔 用函数递增递减的充要条件不必关注x1，x2间的大小，只需x1≠x2即可．
方法归纳
利用函数递增递减的充要条件证明单调性的步骤：
(1)设 x1，x2∈I 定义域，且x1≠x2；
(2)计算；
(3)判断与0的关系；
(4)依据充要条件得结论．
跟踪训练3 证明f(x)＝是定义域上的增函数．
题型4 一元二次函数的最值
例4 (1)函数f(x)＝－2x2＋x＋1在区间[－1，1]上最小值点为________，最大值为________；
(2)f(x)＝x2－2ax＋1，试求函数在区间[0，2]上的最值．
方法归纳
一元二次函数的最值
(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴，根据对称轴和定义域的关系确定最值点，代入函数解析式求最值．
(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图象开口向上、对称轴为x＝m，区间[a，b]为例，
当开口向下、区间不是闭区间等时，类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝x2－2ax＋a，
(1)当a＝2时，求函数f(x)在[0，3]上的最大值与最小值；
(2)若a<0，求使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1，1]，值域为[－2，2]的a的值．
第2课时 函数的平均变化率
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
x1＝x2
知识点二
1．(1)＞ (2)＜ 平均变化率
2．(1)
f＝
(2) f＝
[基础自测]
1．答案：D
2．解析：由题意得2＝＝，∴a＝4，b＝－3，∴a＋b＝1.
答案：C
3．解析：函数的对称轴为x＝，开口向上，所以最小值点为，最大值为f(0)＝－4.
答案： －4
4．解析：(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为＝＝.
(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝.
答案：(1) (2)
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 直线AB的斜率为＝1，因为A、B、C三点共线，所以AB与BC斜率相等，即＝1，解得x＝5.
【答案】 1 5
跟踪训练1 解析：(1)直线AB的斜率为＝－2，故选B.
(2)证明：直线AB的斜率为＝2，直线BC的斜率为＝2，因此A，B，C三点共线．
答案：(1)B (2)见解析
例2 【解析】 (1)由已知得Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝－1＝2Δx(2x0＋Δx)，
∴＝＝4x0＋2Δx.
(2)由(1)可知＝4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)由(1)可知＝4x0＋2Δx，当x0＝1，Δx＝时，＝4×1＋2×＝5.
跟踪训练2 解析：∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，∴＝－8－2Δx，即平均变化率为－8－2Δx.
答案：－8－2Δx
例3 【证明】 设 x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，则＝＝＝＝，
＞0，
∴＜0，∴f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
跟踪训练3 证明：函数f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，
设 x1，x2∈[0，＋∞)且x1≠x2，
则＝＝，
＝＝＞0，
∴函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上是增函数．
例4 【解析】 (1)函数f(x)＝－2x2＋x＋1的对称轴为x＝－＝，函数的图象开口向下，所以函数的最小值点为－1，最大值为f＝－2×＋1＝.
(2)函数的对称轴为x＝a，
①当a<0时，f(x)在区间[0，2]上是增函数，
所以f(x)min＝f(0)＝1；
当0≤a≤2时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋1；
当a>2时，f(x)在区间[0，2]上是减函数，
所以f(x)min＝f(2)＝5－4a，
所以f(x)min＝
②当a≤1时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；
当a>1时，f(x)max＝f(0)＝1，
所以f(x)max＝
答案：(1)－1 (2)见解析
跟踪训练4 解析：(1)当a＝2时，f(x)＝x2－4x＋2的图象关于x＝2对称，
因为x∈[0，3]，所以f(x)在[0，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(2)＝－2，
又因为f(0)＝2，f(3)＝－1，
所以f(x)的最大值为2.
(2)当－1≤a<0时，有
即解得a＝－1；
当a＜－1时，
所以解得a＝－1，舍去
综上所述，a＝－1.
1
