2．1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
课程标准
(1)从函数观点看一元二次方程．
(2)会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一 b2－4ac(Δ)的取值与根的个数间的关系
b2－4ac(Δ) 根的情况
b2－4ac＞0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有____________的实数根，即x1＝____________，x2＝____________
b2－4ac＝0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有____________，即x1＝x2＝－
b2－4ac＜0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____________
知识点二 一元二次方程根与系数的关系
若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝________________，x1x2＝________________．
状元随笔 应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形：
x1x2) －2x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2；
(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；
(3)|x1－x2|＝＝；
(4)＋＝；
(5)＋＝＝.
基础自测
1.方程x2－2kx＋3k2＝0的根的情况是( )
A．有一个实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
2．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为( )
A.(x＋1)2＝6B．(x＋2)2＝9
C．(x－1)2＝6D．(x－2)2＝9
3．若代数式x2－6x＋5的值是12，则x的值为( )
A．7或－1B．1或－5
C．－1或－5D．不能确定
4．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－5＝0的两个实数根，则＋3x1x2＝________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 方程根个数的判断及应用[经典例题]
例1 已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围．
(1)方程有两个不相等的实数根；
(2)方程有两个相等的实数根；
(3)方程有实数根；
(4)方程无实数根．
状元随笔 利用Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0的情况讨论根的情况．
方法归纳
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有
(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝；
(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－；
(3)当Δ＜0时，方程没有实数根．
跟踪训练1 一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5根的情况是( )
A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3
D．有两个正根，且有一根大于3
题型2 直接应用根与系数的关系进行计算[教材P50例2]
例2 已知一元二次方程2x2＋3x－4＝0的两根为x1与x2，求下列各式的值：
；
(2)|x1－x2|.
方法归纳
在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．
跟踪训练2 已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根分别是x1，x2，请利用根与系数的关系求：
；
(2).
题型3 应用根与系数的关系求字母系数的值或范围[经典例题]
例3 已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0，根据下列条件，求出k的值．
(1)方程两实根的积为5；
(2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|＝x2.
方法归纳
利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0.
跟踪训练3 (1)关于x的方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是( )
A．－2或3B．3
C．－2D．－3或2
(2)已知：方程2x2－(k＋1)x＋k＋3＝0的两根之差的绝对值为1，则k的值为________．
2．1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
两个不相等 两个相等的实数根 无实数根
知识点二
－
[基础自测]
1．解析：Δ＝(－2k)2－12k2＝12k2－12k2＝0.
答案：C
2．解析：因为x2－2x－5＝x2－2x＋1－6＝0，所以(x－1)2＝6.
答案：C
3．解析：由题意得x2－6x＋5＝12，x2－6x＋5－12＝0，
x2－6x－7＝0，∴x＝，
解得x1＝－1，x2＝7.故选A.
答案：A
4．解析：根据题意得x1＋x2＝2，x1x2＝－5，
＋3x1x2
＝(x1＋x2)2＋x1x2
＝22＋(－5)＝－1.
答案：－1
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)．
(1)因为方程有两个不相等的实数根，
所以Δ>0，即4(1－3k)>0，所以k<.
(2)因为方程有两个相等的实数根，
所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，所以k＝.
(3)因为方程有实根，
所以Δ≥0，即4(1－3k)≥0，所以k≤.
(4)因为方程无实根，
所以Δ<0，即4(1－3k)<0，所以k>.
跟踪训练1 解析：(x＋1)(x－3)＝2x－5，整理得x2－2x－3＝2x－5，
则x2－4x＋2＝0，(x－2)2＝2，
解得x1＝2＋＞3，x2＝2－＞0，
故有两个正根，且有一根大于3.
故选D.
答案：D
例2 【解析】 由一元二次方程根与系数的关系，得
x1＋x2＝－，x1x2＝－2.
(1)由上有＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－2×(－2)＝.
(2)因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×(－2)＝，
所以|x1－x2|＝＝.
跟踪训练2 解析：根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1.
＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×(－1)＝11.
(2)＝＝＝3.
例3 【解析】 Δ＝[－(k＋1)]2－4×＝2k－3，
Δ≥0，k≥.
(1)设方程的两个根为x1，x2，x1x2＝k2＋1＝5，
k2＝16，k＝4或k＝－4(舍)．
(2)①若x1≥0，则x1＝x2，Δ＝0，k＝.
方程为x2－x＋＝0，x1＝x2＝>0满足．
②若x1<0，则x1＋x2＝0，即k＋1＝0，k＝－1.
方程为x2＋＝0而方程无解，
所以k≠－1，所以k＝.
跟踪训练3 解析：(1)∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2，
∴m＋6＝m2，解得m＝3或m＝－2.
∵方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝[－(m＋6)]2－4m2＝－3m2＋12m＋36＝0，
解得m＝6或m＝－2.
∴m＝－2.
(2)设x1，x2为方程的两个根，则，
|x1－x2|＝1，－2(k＋3)＝1，k＝9或k＝－3.
检验当k＝9或k＝－3时，Δ≥0成立．
答案：(1)C (2)－3或9
12．1.3 方程组的解集
课程标准
(1)常用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组．
(2)能灵活解二元二次方程组．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点 方程组的解集
方程组中，由两个方程的解集____________称为这个方程组的解集．
状元随笔 1.当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．
2．本质：解二元方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”．
基础自测
1．方程组的解集是( )
A．{2，－1}B．{(2，－1)}
C．{－2，1}D．{(－2，1)}
2．若x，y满足方程组则x＋y的值是( )
A．5B．－1
C．0D．1
3．方程组的解集是( )
A．(±1，±1) B．{(±1，±1)}
C．{(－1，－1)，(1，1)}D．(－1，－1)，(1，1)
4．方程组的解集为
________________________________________________________________________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 二元一次方程组的解法
例1 选择合适的方法解下列方程组：
(1)
(2)
状元随笔 二元一次方程组主要用加减消元法和代入消元法求解．
跟踪训练1 已知关于x，y的方程组中，x，y的值相等，则k的值是( )
A．3 B．C．5 D．
题型2 三元一次方程组
例2 解方程组
状元随笔 三元一次方程组主要用加减消元法和代入消元法求解．
方法归纳
消元法解三元一次方程组的两个注意点
(1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数．
(2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的．
跟踪训练2 已知二次函数的图象过点(1，0)，(2，3)，(3，28)，求这个二次函数的解析式．
题型3 “二·一”型的二元二次方程组[教材P53例1]
例3 求方程组的解集．
方法归纳
“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把二元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断．
跟踪训练3 解方程组
题型4 “二·二”型的二元二次方程组[经典例题]
例4 解方程组
方法归纳
解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是：
(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组．解这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解．
(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解．
跟踪训练4 解方程组
2．1.3 方程组的解集
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点
得到的交集
[基础自测]
1．解析：，
①＋②得2x＝4，∴x＝2，代入①得y＝－1.
答案：B
2．解析：，
方法一 ②×2－①，得3y＝9，解得y＝3.
把y＝3代入②，得x＝2.
所以x＋y＝2＋3＝5.
方法二 由①＋②，得3x＋3y＝15.
化简，得x＋y＝5.故选A.
答案：A
3．解析：，
把①代入②得2x2＝2，∴x2＝1，
x＝±1，y＝±1.
答案：C
4．解析：①＋②＋③得x＋y＋z＝16 ④
④－①，得z＝8；
④－②，得x＝4.5；
④－③，得y＝3.5.
所以原方程组的解集为{(4.5，3.5，8)}．
答案：{(4.5，3.5，8)}
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)由①，得y＝2x－3， ③
把③代入②，得3x＋4(2x－3)＝10，解得x＝2.
把x＝2代入③，得y＝1.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(2，1)}．
(2)①×2，得2x＋4y＝6， ③
③＋②，得5x＝10，解得x＝2.
把x＝2代入①，得2＋2y＝3，解得y＝.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(2，)}．
跟踪训练1 解析：把方程组中的x都换成y，解出x＝y＝.把x＝y＝再代入第一个方程，从而求出k的值为.
答案：B
例2 【解析】 设＝＝＝k(k为常数，k≠0)，
则x＝3k，y＝4k，z＝5k.
将它们代入②中，得3k－4k＋10k＝18，解得k＝2.
所以x＝6，y＝8，z＝10，
所以原方程组的解集为{(6，8，10)}．
跟踪训练2 解析：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意，
得
②－①，得3a＋b＝3， ④
③－②，得5a＋b＝25， ⑤
由④和⑤组成方程组
解得a＝11，b＝－30，
把a＝11，b＝－30代入①，得11－30＋c＝0，解得c＝19.
所以a＝11，b＝－30，c＝19.
所以所求函数解析式为y＝11x2－30x＋19.
例3 【解析】 将②代入①，整理得x2＋x－2＝0，解得x＝1或x＝－2.
利用②可知，x＝1时，y＝2；x＝－2时，y＝－1.
所以原方程组的解集为{(1，2)，(－2，－1)}．
跟踪训练3 解析：方法一 由②得x＝2y＋5 ③
将③代入①，得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2＝4.
整理，得3y2＋10y＋7＝0.
解得y1＝－，y2＝－1.
把y1＝－代入③，得x1＝，
把y2＝－1代入③，得x2＝3.
所以原方程组的解是
所以方程组的解集为.
方法二 由①得(x＋y)2＝4，
即x＋y＝2或x＋y＝－2.
原方程组转化为或
解得或
所以方程组的解集为.
例4 【解析】 由①得(x－4y)(x＋y)＝0，
所以x－4y＝0或x＋y＝0，
由②得(x＋2y)2＝1，
所以x＋2y＝1或x＋2y＝－1.
原方程可化为以下四个方程组：
解这四个方程组，得原方程组的四个解是：
或或或
所以方程组的解集为
.
跟踪训练4 解析：由②得(x－y－3)(x－y＋1)＝0.
所以x－y－3＝0或x－y＋1＝0.
所以原方程组可化为两个方程组：
或
用代入消元法解方程组，分别得
或
所以原方程组的解集为.
62.1 等式 2．1.1 等式的性质与方程的解集
课程标准
(1)掌握等式的性质及常用的恒等式．
(2)理解方程的解集．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一 等式的性质
(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
状元随笔 用符号语言和量词表示上述等式的性质：
(1)如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c；
(2)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc.
知识点二 恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
状元随笔 初中学习的恒等式
(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)(平方差公式)；
(2)(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2(两数和的平方公式)；
(3)(a＋b)c＝ac＋bc；
(4)t3＋1＝(t＋1)(t2－t＋1)．
知识点三 十字相乘法
具体形式：
(1)二次项系数为1时，x2＋(a＋b)x＋ab＝____________________.
(2)二次项系数不为1时，acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝____________________．
记忆口诀：拆两头，凑中间．
知识点四 方程的解集
方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
基础自测
1．分解因式a2＋8ab－33b2得( )
A．(a＋11)(a－3) B．(a＋11b)(a－3b)
C．(a－11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b)
2．若多项式－6ab＋18abx＋24aby的一个因式是－6ab，那么另一个因式是( )
A．1＋3x－4yB．－1－3x－4y
C．1－3x－4yD．－1－3x＋4y
3．若4x2－3(a－2)x＋25是完全平方式，则a的值为( )
A．－B．
C．－或D．不存在
4．方程x2＋2x－15＝0的解集为________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 因式分解[经典例题]
例1 把下列各式因式分解：
(1)6x2＋11x－7；
(2)a2－2ab－8b2；
(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2；
(4)2x4－5x2＋3.
利用十字相乘法因式分解
方法归纳
对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1·a2，常数项c分解成c1·c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行．
跟踪训练1 把下列各式分解因式：
(1)x2－3x＋2＝______________________；
(2)x2＋37x＋36＝____________________；
(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝________________；
(4)4m2－12m＋9＝____________________．
题型2 一元一次方程的解集[经典例题]
例2 求下列方程的解集：
(1)4－3(10－y)＝5y；
(2)＝－1；
(3)求关于x的方程ax＝2的解集，其中a是常数．
状元随笔 把方程化成ax ＝b的形式，当a不等于零时，x ＝.当a等于零时，无解．
方法归纳
解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤．(1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子，分母必须同时扩大同样的倍数．(2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号．
跟踪训练2 (1)x－[x－(x－1)]＝；
(2)求关于x的方程ax＝x－1的解集，其中a是常数．
题型3 因式分解法解一元二次方程
例3 求下列方程的解集：
(1)x(x－2)＋x－2＝0；
(2)6x(x＋1)＝5(x＋1)；
(3)x2＋5x－6＝0；
(4)ax2－(a＋1)x＋1＝0.
方法归纳
用因式分解法解一元二次方程的步骤
(1)将方程右边化为0；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；
(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．
提醒：①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应该移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．
跟踪训练3 用因式分解法求下列方程的解集：
(1)x＝x；
(2)(x－3)2＋2x－6＝0；
(3)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0；
(4)12x2＋5x－2＝0；
(5)12x2－ax－a2＝0.
第二章 等式与不等式
2．1 等式
2．1.1 等式的性质与方程的解集
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点三
(1)(x＋a)(x＋b) (2)(ax＋b)(cx＋d)
[基础自测]
1．解析：a2＋8ab－33b2＝(a－3b)(a＋11b)．
答案：B
2．解析：－6ab＋18abx＋24aby＝－6ab(1－3x－4y)，
所以另一个因式是1－3x－4y.
答案：C
3．解析：因为4x2－3(a－2)x＋25＝(2x)2－3(a－2)x＋(±5)2＝(2x±5)2，
即4x2－3(a－2)x＋25＝(2x＋5)2或4x2－3(a－2)x＋25＝(2x－5)2.
所以－3(a－2)＝20或－3(a－2)＝－20.
解得a＝－或a＝.
答案：C
4．解析：x2＋2x－15＝(x－3)(x＋5)＝0，
所以x＝3或x＝－5.
所以方程的解集为{3，－5}．
答案：{3，－5}
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)由图，得
所以6x2＋11x－7＝(2x－1)(3x＋7)．
(2)(a＋2b)(a－4b)．
(3)(x＋y＋2z)(x＋y－3z)．
(4)由图，得
所以2x4－5x2＋3＝(x2－1)(2x2－3)＝2(x＋1)(x－1)(x＋)(x－)．
跟踪训练1 解析：(1)x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)；
(2)x2＋37x＋36＝(x＋1)(x＋36)；
(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28
＝[(a－b)＋4][(a－b)＋7]
＝(a－b＋4)(a－b＋7)；
(4)4m2－12m＋9＝(2m－3)2.
答案：(1)(x－1)(x－2) (2)(x＋1)(x＋36) (3)(a－b＋4)(a－b＋7) (4)(2m－3)2
例2 【解析】 (1)去括号，得4－30＋3y＝5y.移项，得3y－5y＝30－4.
合并同类项，得－2y＝26.系数化为1，得y＝－13.
所以该方程的解集为{－13}．
(2)去分母，得2(2x－1)＝(2x＋1)－6.
去括号，得4x－2＝2x＋1－6.
移项，得4x－2x＝1－6＋2.
合并同类项，得2x＝－3.
系数化为1，得x＝－.
所以该方程的解集为.
(3)当a≠0时，在等式ax＝2的两边同时乘以，得x＝，此时解集为.
当a＝0时，方程变为0x＝2，这个方程无解，此时解集为 .
综上，当a≠0时，解集为；当a＝0时，解集为 .
跟踪训练2 解析：(1)去小括号，得x－(x－x＋)＝，
去括号，得x－x＋x－＝，
去分母，得12x－6x＋3x－3＝8x－8，
移项，得12x－6x＋3x－8x＝－8＋3，
合并同类项，得x＝－5.
所以该方程的解集为{－5}．
(2)当a不等于1时，x＝.解集为{}．当a等于1时，无解，解集为空集．
例3 【解析】 (1)因式分解，得：(x－2)(x＋1)＝0.
于是得x－2＝0或x＋1＝0，即x＝2或x＝－1，因此方程的解集为{－1，2}．
(2)分解因式，得(6x－5)(x＋1)＝0，
所以6x－5＝0或x＋1＝0，所以x1＝或x2＝－1.
所以方程的解集为{，－1}．
(3)分解因式得：x2＋5x－6＝(x－1)(x＋6)，
1×(－1)＋1×6＝5，
因为x2＋5x－6＝0，所以(x－1)(x＋6)＝0，
所以x－1＝0或x＋6＝0，
即x＝1或x＝－6.
因此方程的解集为{－6，1}．
(4)当a＝0时，原方程可化为－x＋1＝0，
所以x＝1，解集为{1}．
当a≠0时，对于ax2－(a＋1)x＋1来说，因为a×1＝a，(－1)×(－1)＝1，a×(－1)＋1×(－1)＝－(a＋1)．如图所示，
ax2－(a＋1)x＋1＝(ax－1)(x－1)，所以原方程可化为(ax－1)(x－1)＝0，
所以ax－1＝0或x－1＝0，
所以x＝或x＝1.解集为{，1}．
跟踪训练3 解析：(1)x＝0，
即x＝0，
所以x1＝0，x2＝，
所以该方程的解集为.
(2)(x－3)2＋2(x－3)＝0，
(x－3)(x－3＋2)＝0，
所以x－3＝0或x－1＝0，
所以x1＝3，x2＝1，
所以该方程的解集为{3，1}．
(3)[3(2x＋3)＋2(2x－5)][3(2x＋3)－2(2x－5)]＝0，
所以(10x－1)(2x＋19)＝0，
所以10x－1＝0或2x＋19＝0，
所以x1＝，x2＝－.
所以该方程的解集为.
【解析】(4)分解因式得：
12x2＋5x－2＝(3x＋2)(4x－1)，
3×(－1)＋4×2＝5，
因为12x2＋5x－2＝0，
所以(3x＋2)(4x－1)＝0，
所以3x＋2＝0或4x－1＝0，
即x＝－或x＝，因此方程的解集为{－}．
(5)当a＝0时，原方程可化为：
12x2＝0，所以x＝0，当a≠0时，因为3×4＝12，－a×a＝，3×a＋4×(－a)＝3a－4a＝－a，如图所示，
所以12x2－ax－a2＝(3x－a)(4x＋a)，
所以原方程可化为(3x－a)(4x＋a)＝0.
所以3x－a＝0或4x＋a＝0，
所以x1＝，x2＝－.解集为{，－}．
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