3.3函数的应用一学案新人教B版必修第一册

3．3　函数的应用(一)
课程标准
在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一　几类常见函数模型
名称 解析式 条件
一次函数模型 y＝kx＋b k≠0
反比例函数模型 y＝＋b k≠0
二次函数模型 一般式：y＝ax2＋bx＋c 顶点式：y＝a＋ a≠0
分段函数模型 会利用分段函数解决与之相关的实际问题 数学 建模
f(x)＝x＋ (a＞0)模型 建立目标函数f(x)＝x＋(a＞0)的形式，然后利用均值不等式求解 数学 建模
知识点二　数学建模
建模示例：
(1)发现问题，提出问题．
(2)分析问题，建立模型．
(3)确定参数，计算求解．
(4)验证结果，改进模型．
状元随笔　建立函数模型解决实际问题的基本思路
基础自测
　
1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为(　　)
A.200副　　B．400副
C.600副D．800副
2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　)
A.45.606万元B．45.6万元
C.45.56万元D．45.51万元
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：
y=
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为________．
　课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1　一次、二次函数模型[经典例题]
例1　某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．
状元随笔　可根据实际问题建立二次函数模型解析式．
方法归纳
1．利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点：
(1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法．
(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数．
2．二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题．
跟踪训练1　某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km，之后以120km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求离开北京2h时火车行驶的路程．
状元随笔　求出火车匀速行驶的总时间，可得定义域，再建立总路程关于时间的函数模型．
题型2　分段函数
例2　提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
方法归纳
(1)分段函数是刻画现实问题的重要模型，由自变量变化所遵循规律的不同决定的，函数的分段表示是建模的关键．
(2)求分段函数值域或最值时，应对分段函数中的每段函数分别求出值域或最值，然后再由各段函数的值域或最值确定本函数的值域或最值．分类讨论思想是本类问题的主要思想方法．
跟踪训练2　为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(日净收入＝一日出租自行车的总收入－管理费用)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多？
状元随笔　(1)利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出分段函数，注意实际问题中自变量的取值范围．
(2)利用一次函数的单调性及二次函数的性质分别求分段函数各段上的最大值，取其最大的即可．
题型3　基本不等式的应用[数学运算、数学建模]
例3　某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
方法归纳
基本不等式解决实际问题的关注点
在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：①先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
②建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
④根据实际背景写出答案．
跟踪训练3　某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示．池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价为每米250元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．
3．3　函数的应用(一)
新知初探·自主学习
[基础自测]
1．解析：利润z＝10x－y＝10x－(5x＋4 000)≥0.
解得x≥800.
答案：D
2．解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.
答案：C
3．解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，总利润S＝L1+L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(0≤x≤15且x∈N)，所以当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．
答案：B
4．解析：令y＝60，
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．
故拟录用人数为25人．
答案：25
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　设每个提价x元(x≥0，x∈N)，利润为y元．
每天销售总额为(10＋x)(100－10x)元，
进货总额＝8(100－10x)元，
显然100－10x>0，即x<10，
则y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)
＝(2＋x)(100－10x)
＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)．
当x＝4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元．
即当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元．
跟踪训练1　解析：因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝ (h)，所以0≤t≤.
因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为
s＝13＋120t.
离开北京2 h时火车匀速行驶的时间为2－＝(h)，此时火车行驶的路程s＝13＋120×＝233(km)．
例2　【解析】　(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
【解析】(2)依题意并结合(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)单调递增，故当x＝20时，f(x)在区间[0，20]上取得最大值60×20＝1 200；
当20＜x≤200时，f(x)＝x(200－x)＝－(x－100)2＋，当且仅当x＝100时，等号成立．
所以当x＝100时，f(x)在区间(20，200]上取得最大值.
综上可得，当x＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值≈3 333.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．
跟踪训练2　解析：(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x>2.3.
因为x∈N*，所以x≥3，所以3≤x≤6，x∈N*.
当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115.令[50－3(x－6)]x－115>0，得3x2－68x＋115<0.
解得2≤x≤20，又x∈N*，所以6故y＝
定义域为{x|3≤x≤20，x∈N*}．
(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N*)，显然当x＝6时，ymax＝185，对于y＝－3x2＋68x－115＝＋(6185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使日净收入最多．
例3　【解析】　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
则f(x)＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)．
所以f(x)＝560＋48x＋
≥560＋2＝2 000，
当且仅当48x＝，即x＝15时取等号．
因此，当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2 000，即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
跟踪训练3　解析：设污水处理池的长为x米，
则宽为米，总造价y＝(2x＋2·)·200＋2×250·＋80×400＝400(x＋)＋32 000≥400×2＋32 000＝56 000(元)，当且仅当x＝，即x＝30时取等号．故污水处理池的长为30米、宽为米时，最低造价为56 000元．
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