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资源详情
高中数学
人教B版(2019)
必修 第一册
第二章 等式与不等式
2.2不等式
本节综合与测试
2.2不等式学案新人教B版必修第一册(共6课时学案)
文档属性
名称
2.2不等式学案新人教B版必修第一册(共6课时学案)
格式
zip
文件大小
664.7KB
资源类型
教案
版本资源
人教B版(2019)
科目
数学
更新时间
2022-09-21 20:56:04
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文档简介
2.2.1 不等式及其性质
课程标准
理解不等式的概念,掌握不等式的性质.
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一 实数大小比较
1.文字叙述
如果a-b是________,那么a>b;
如果a-b________,那么a=b;
如果a-b是________,那么a<b,反之也成立.
2.符号表示
a-b>0 a________b;
a-b=0 a________b;
a-b<0 a________b.
状元随笔 1.不等式“a≤b”的含义是“a<b”或“a=b”.
2.比较两实数a,b的大小,只需确定它们的差a-b与0的大小关系,与差的具体数值无关.因此,比较两实数a,b的大小,其关键在于经过适当变形,能够确认差a-b的符号,变形的常用方法有配方、分解因式等.
知识点二 不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b ________ 可逆
2 传递性 a>b,b>c ________
3 可加性 a>b ________ 可逆
4 可乘性 c的符号
5 同向 可加性 同向
6 同向同正 可乘性 同向
7 可乘方性 a>b>0 ________ (n∈N,n≥2) 同正
8 可开方 a>b>0 ______(n∈N,n≥2) 同正
状元随笔 (1)性质3是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边.即a +b>c a>c -b. 性质3是可逆性的,即a>b a +c>b +c .
(2)注意不等式的单向性和双向性.性质1和3是双向的,其余的在一般情况下是不可逆的.
(3)在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然成立”的思维定势.
知识点三 证明问题的常用方法
方法 定义
综合法 从________出发,综合利用各种结果,经过逐步推导最后得到结论的方法.
分析法 从要证明的________,________使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.
反证法 首先假设结论的________成立,然后由此进行推理得到矛盾,最后得出假设不成立.反证法是一种间接证明的方法.
基础自测
1.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌,是提示司机要安全通过该桥,应使车和货物的总质量T满足关系( )
A.T<40B.T>40
C.T≤40D.T≥40
2.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是( )
A.M>N B.M=NC.M<N D.与x有关
3.已知x<a<0,则一定成立的不等式是( )
A.x2<a2<0B.x2>ax>a2
C.x2<ax<0D.x2>a2>ax
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 比较大小[教材P60例1]
例1 比较x2-x和x-2的大小.
状元随笔 通过考察这两个多项式的差与0的大小关系,可以得出它们的大小关系.
方法归纳
用作差法比较两个实数大小的四步曲
跟踪训练1 若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是( )
A.f(x)<g(x) B.f(x)=g(x)
C.f(x)>g(x) D.随x值变化而变化
状元随笔
题型2 不等式的性质[经典例题]
例2 对于实数a、b、c,有下列说法:
①若a>b,则ac<bc;
②若ac2>bc2,则a>b;
③若a<b<0,则a2>ab>b2;
④若c>a>b>0,则>;
⑤若a>b,>,则a>0,b<0.
其中正确的个数是( )
A.2B.3
C.4D.5
状元随笔
方法归纳
(1)首先要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不凭想当然随意捏造性质.
(2)解决有关不等式选择题时,也可采用特值法进行排除,注意取值一定要遵循以下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.
跟踪训练2 (1)已知a<b,那么下列式子中,错误的是( )
A.4a<4bB.-4a<-4b
C.a+4<b+4D.a-4<b-4
状元随笔 利用不等式的性质,解题关键找准使不等式成立的条件.
(2)(多选)对于任意实数a,b,c,d,下列命题中不正确的是( )
A.若a>b,c≠0,则ac>bc
B.若a>b,则ac2>bc2
C.若ac2>bc2,则a>b
D.若a>b,则<
题型3 利用不等式性质求范围[经典例题]
例3 已知-2<a≤3,1≤b<2,试求下列代数式的取值范围:
(1)|a|;
(2)a+b;
(3)a-b;
(4)2a-3b.
状元随笔 运用不等式性质研究代数式的取值范围,关键是把握不等号的方向.
方法归纳
利用不等式性质求范围的一般思路
(1)借助性质,转化为同向不等式相加进行解答;
(2)借助所给条件整体使用,切不可随意拆分所给条件;
(3)结合不等式的传递性进行求解.
跟踪训练3 已知实数x,y满足:1<x<2<y<3,
(1)求xy的取值范围;
(2)求x-2y的取值范围.
题型4 利用不等式的性质证明不等式[逻辑推理、数学运算]综合法、分析法与反证法
例4 (1)已知a>b>0,c
;
(2)证明:<.
状元随笔 注意书写的规范性及易错点:
①分析法的步骤要规范,分析时一般按照“要证……,需证……,只需证……”的步骤进行.
②反证法,必须假设所证问题的反面成立,推出与之矛盾,从而肯定原结论成立.
③不等式两边含有根式,同时两侧均为正数的时候,通常选择平方处理,此时应该注意平方后尽量保证式子的最简化,如本例将和结合,剩余两数结合,好处在于平方后能消掉一部分,使问题简单化.
④应该明确问题的反面,如“>”的反面是“≤”,“至少有一个”的反面是“一个也没有”等.
方法归纳
利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点
(1)实质:就是根据性质把不等式变形.
(2)注意点:①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用;
②应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.
证明不等式常选用综合法,对于不方便用综合法证明的不等式可以灵活选择分析法与反证法.
跟踪训练4 (1)已知a>b>0,c
;
(2)将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整:要证≥ab,只需证a2+b2≥2ab,也就是证________,即证________,由于________显然成立,因此原不等式成立;
(3)已知x,y>0,且x+y>2.
求证:中至少有一个小于2.
2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
1.正数 等于0 负数
2.> = <
知识点二
b
c a+c>b+c ac>bc ac
b+d ac>bd an>bn >
知识点三
已知条件 结论出发 逐步寻求 否定
[基础自测]
1.解析:“限重40吨”是不超过40吨的意思.
答案:C
2.解析:因为M-N=x2+x+1=+>0,所以M>N.
答案:A
3.解析:因为x
a2;不等号两边同时乘x,则x2>ax,故x2>ax>a2.
答案:B
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 因为(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
又因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+1≥1>0,
从而(x2-x)-(x-2)>0,
因此x2-x>x-2.
跟踪训练1 解析:f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,
所以f(x)>g(x).故选C.
答案:C
例2 【解析】 对于①,令c=0,则有ac=bc.①错.
对于②,由ac2>bc2,知c≠0,
∴c2>0 a>b.②对.
对于③,由a
两边同乘以a得a2>ab,
两边同乘以b得ab>b2,
∴a2>ab>b2.③对.
对于④, 0
>.④对.
对于⑤, a>0,b<0.⑤对.
【答案】 C
跟踪训练2 解析:(1)根据不等式的性质,a
0 4a<4b,A项正确;a
-4b,B项错误;a
(2)对于选项A,当c<0时,不正确;对于选项B,当c=0时,不正确;对于选项C,∵ac2>bc2,∴c≠0,∴c2>0,∴一定有a>b.故选项C正确;对于选项D,当a>0,b<0时,不正确.
答案:(1)B (2)ABD
例3 【解析】 (1)|a|∈[0,3];
(2)-1
(3)依题意得-2
(4)由-2
由1≤b<2得-6<-3b≤-3, ②
由①②得,-10<2a-3b≤3.
跟踪训练3 解析:(1)∵1
(2)由(1)知1
例4 【证明】 (1)方法一 因为c
所以-c>-d>0,
因为a>b>0,所以a-c>b-d>0,
所以0<<,
又因为e<0,所以>.
方法二 =
=,
因为a>b>0,c
-d>0,
所以a-c>0,b-d>0,b-a<0,c-d<0,
又e<0,所以>0,
所以>.
(2)方法一 分析法:要证<,
只需证<,只需证()2<()2,展开得9+2<9+2,
只需证<,
即证14<18,显然成立,所以<.
方法二 反证法:假设,
则,
两边平方得9+2≥9+2,所以≥,
即14≥18,显然不成立,所以假设错误.
所以<.
跟踪训练4 解析:(1)证明:因为c
-d>0,
因为a>b>0,所以a-c>b-d>0,
所以(a-c)2>(b-d)2>0,
所以0<<,又e<0,
所以>.
(2)用分析法证明≥ab的步骤为:要证≥ab成立,只需证a2+b2≥2ab,也就是证a2+b2-2ab≥0,即证(a-b)2≥0.由于(a-b)2≥0显然成立,所以原不等式成立.
(3)证明:假设都不小于2,即≥2,≥2.
因为x,y>0,所以1+x≥2y,1+y≥2x.
所以2+x+y≥2(x+y),即x+y≤2与已知x+y>2矛盾.
所以中至少有一个小于2.
答案:(1)见解析 (2)a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥0 (3)见解析
12.2.3 一元二次不等式的解法
课程标准
从函数观点看一元二次不等式.①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.②借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一 一元二次不等式的概念
形如________________的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.
状元随笔 (1)不等式x2+>0是一元二次不等式吗?
提示:不是,一元二次不等式一定为整式不等式.
(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗?
提示:不可以,若a =0, 就不是二次不等式了.
知识点二 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1==- 没有实数根
ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠-} R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2}
状元随笔 一元二次不等式的解法:
(1)图象法:一般地,当a>0时,解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的一元二次不等式,一般可分为三步:
①确定对应方程ax2+bx+c=0的解;②画出对应函数y=ax2+bx+c的图象简图;③由图象得出不等式的解集.
对于a<0的一元二次不等式,可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解;也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式,再求解.
(2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式求解,
如果x1<x2,则不等式(x -x1)(x -x2) <0的解集是(x1,x2);不等式(x -x1)(x -x2)>0的解集是( -∞,x1)有口诀如下“大于取两边,小于取中间”.
(3)代数法:将所给不等式化为一般式后借助配方法:
一元二次不等式ax2+bx +c >0(a ≠0)通过配方总是可以变为(x -h)2>k或(x -h)2
k >0 k =0 k <0
(x -h)2>k 转化为|x -h| >,解集为( -∞,h -,+∞) ( -∞,h) R
基础自测
1.下列不等式中是一元二次不等式的是( )
A.a2x2+2≥0B.<3
C.-x2+x-m≤0D.x3-2x+1>0
2.不等式x(x+1)≤0的解集为( )
A.[-1,+∞) B.[-1,0)
C.(-∞,-1] D.[-1,0]
3.函数y=的定义域为( )
A.[-7,1]
B.(-7,1)
C.(-∞,-7]
D.
不等式1+2x+x2≤0的解集为________.
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 解不含参数的一元二次不等式
例1 (1)求不等式x2-x-2>0的解集;
(2)求不等式x2-6x-1≤0的解集;
(3)求不等式-x2+2x-1<0的解集.
方法归纳
我们以求解可化成ax2+bx+c>0(a>0)形式的不等式为例,用框图表示其求解过程.
跟踪训练1 解下列不等式:
(1)x2-7x+12>0;
(2)-x2-2x+3≥0;
(3)x2-2x+1<0;
(4)-2x2+3x-2<0.
状元随笔
题型2 三个“二次”之间的关系[经典例题]
例2 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集.
状元随笔 →
方法归纳
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系,在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.
(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式,则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根,要注意解集的形式与二次项系数的联系.
(2)若一元二次不等式的解集为R或 ,则问题可转化为恒成立问题,此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的范围.
跟踪训练2 已知一元二次不等式x2+px+q<0的解集为,求不等式qx2+px+1>0的解集.
状元随笔
题型3 含参数的一元二次不等式的解法[经典例题]
例3 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
状元随笔 二次项系数为a,故不能确定相应二次函数图象的开口方向,因此需对a的符号进行讨论,并且需要比较两根的大小.
方法归纳
含参数一元二次不等式求解步骤
(1)讨论二次项系数的符号,即相应二次函数图象的开口方向;
(2)讨论判别式的符号,即相应二次函数图象与x轴交点的个数;
(3)当Δ>0时,讨论相应一元二次方程两根的大小;
(4)最后按照系数中的参数取值范围,写出一元二次不等式的解集.
跟踪训练3 解关于x的不等式x2+x-a(a-1)>0,(a∈R).
题型4 解简单的分式不等式
例4 解下列不等式:
(1)≥0;
(2)>1.
方法归纳
1.解分式不等式的步骤
(1)移项.将不等式移项,使其一侧为0;
(2)通分.将不等式通分成同分母的分式不等式;
(3)转化.将分式不等式转化为整式不等式;
(4)求解.解出整式不等式的解集,并作答.
2.解分式不等式的关注点
(1)根据实数运算的符号法则,分式不等式经过同解变形可化为四种类型,解题思路如下:
①>0 f(x)g(x)>0;
②<0 f(x)g(x)<0;
③≥0 f(x)g(x)≥0且g(x)≠0 f(x)g(x)>0或f(x)=0;
④≤0 f(x)g(x)≤0且g(x)≠0 f(x)g(x)<0或f(x)=0.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先两边同时乘以分母的平方去分母,再移项,因式分解,转化为整式不等式后求解.
跟踪训练4 (1)不等式>0的解集是( )
A.{x|x>或x<-}
B.{x|-
C.{x|x>}
D.{x|x<-}
(2)不等式≥1的解集为________.
题型5 一元二次不等式的实际应用[经典例题]
例5 某工厂的固定成本为3万元,该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元,设生产该产品x(百台),其总成本为g(x)万元(总成本=固定成本+生产成本),并且销售收入r(x)满足r(x)=
假定该产品产销平衡,根据上述统计规律求:
(1)要使工厂有盈利,产品数量x应控制在什么范围?
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大?
状元随笔 (1)求利润函数f(x) 解不等式f(x)>0 回答实际问题.
(2)根据第(1)题所求范围,分类讨论求函数最值 回答实际问题.
方法归纳
解不等式应用题的四步骤
(1)审:认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系;
(2)设:引进数学符号,用不等式表示不等关系;
(3)求:解不等式;
(4)答:回答实际问题.
提醒:确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.
跟踪训练5 某农贸公司按每担200元收购某农产品,并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式;
(2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.
状元随笔 根据题意,列出各数量之间的关系表,如下:
原计划 降税后
价格(元/担) 200 200
税率 10% (10-x)%(0<x<10)
收购量(万担) a a(1+2x%)
收购总金额(万元) 200a 200·a(1+2x%)
税收y(万元) 200a·10% 200·a(1+2x%)(10-x)%
2.2.3 一元二次不等式的解法
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
ax2+bx+c>0
[基础自测]
1.解析:选项A中,a2=0时不符合;选项B是分式不等式;选项D中,最高次数为三次;只有选项C符合.
答案:C
2.解析:解不等式得-1≤x≤0,故选D.
答案:D
3.解析:由7-6x-x2>0,得x2+6x-7<0,即(x+7)(x-1)<0,所以-7
答案:B
4.解析:不等式1+2x+x2≤0化为(x+1)2≤0,解得x=-1.
答案:{-1}
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)因为x2-x-2=(x+1)(x-2),
所以原不等式等价于(x+1)(x-2)>0,因此所求解集为{x|x<-1或x>2}.
(2)因为x2-6x-1=x2-6x+9-9-1=(x-3)2-10,
所以原不等式可化为(x-3)2-10≤0,即(x-3)2≤10,
两边开平方得|x-3|≤,从而可知-≤x-3≤,
因此3-≤x≤3+,所以不等式的解集为
{x|3-≤x≤3+}.
(3)原不等式可化为x2-2x+1>0,
又因为x2-2x+1=(x-1)2,所以上述不等式可化为
(x-1)2>0.
注意到只要x≠1,上述不等式就成立,所以不等式的解集为{x|x<1或x>1}.
跟踪训练1 解析:(1)因为Δ=1>0,所以方程x2-7x+12=0有两个不等实根x1=3,x2=4.再根据函数y=x2-7x+12的图象开口向上,可得不等式x2-7x+12>0的解集是{x|x<3或x>4}.
(2)不等式两边同乘-1,原不等式可化为x2+2x-3≤0.因为Δ=16>0,所以方程x2+2x-3=0有两个不等实根x1=-3,x2=1.再根据函数y=x2+2x-3的图象开口向上,可得不等式-x2-2x+3≥0的解集是{x|-3≤x≤1}.
(3)因为Δ=0,所以方程x2-2x+1=0有两个相等的实根x1=x2=1.再根据函数y=x2-2x+1的图象开口向上,可得不等式x2-2x+1<0的解集为 .
(4)原不等式可化为2x2-3x+2>0,因此Δ=9-4×2×2=-7<0,所以方程2x2-3x+2=0无实根,又二次函数y=2x2-3x+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.
例2 【解析】 方法一 由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2
0,即x2-x+>0,解得x<或x>,所以不等式cx2+bx+a<0的解集为.
方法二 由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2
跟踪训练2 解析:因为x2+px+q<0的解集为,所以x1=-与x2=是方程x2+px+q=0的两个实数根,
由根与系数的关系得解得
所以不等式qx2+px+1>0即为-x2+x+1>0,
整理得x2-x-6<0,解得-2
即不等式qx2+px+1>0的解集为{x|-2
例3 【解析】 ①当a=0时,原不等式即为-x+1<0,解得x>1.
②当a<0时,原不等式化为(x-)(x-1)>0,解得x<或x>1.
③当a>0时,原不等式化为(x-)(x-1)<0.
若a=1,即=1时,不等式无解;
若a>1,即<1时,解得
若0
1时,解得1
综上可知,当a<0时,不等式的解集为{x|x<或x>1};
当a=0时,不等式的解集为{x|x>1};
当0<a<1时,不等式的解集为{x|1
当a=1时,不等式的解集为 ;
当a>1时,不等式的解集为{x|
跟踪训练3 解析:因为关于x的不等式x2+x-a(a-1)>0,(a∈R),
所以(x+a)(x+1-a)>0,
当-a>a-1,即a<时,x
-a,
当a-1>-a,即a>时,x<-a或x>a-1,
当a-1=-a,即a=时,x≠-,
所以当a<时,原不等式的解集为{x|x
-a};
当a>时,原不等式的解集为{x|x<-a或x>a-1};
当a=时,原不等式的解集为{x|x≠-,x∈R}.
例4 【解析】 (1)原不等式等价于
即 -2≤x<3.
所以原不等式的解集为{x|-2≤x<3}.
(2)原不等式可化为-1>0,即<0.
等价于(3x-2)(4x-3)<0.
所以
所以原不等式的解集为{x|
跟踪训练4 解析:(1)>0 (4x+2)(3x-1)>0 x>或x<-,故不等式的解集为{x|x>或x<-}.
(2)因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于
解得-4
答案:(1)A (2){x}
例5 【解析】 (1)依题意得g(x)=x+3,设利润函数为f(x),则
f(x)=r(x)-g(x),所以f(x)=
要使工厂有盈利,则有f(x)>0,因为f(x)>0 或
或 或则3<x≤7或7<x<10.5,即3<x<10.5,所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内.
【解析】(2)当3<x≤7时,f(x)=-0.5(x-6)2+4.5,故当x=6时,f(x)有最大值4.5,而当x>7时,f(x)<10.5-7=3.5,所以当工厂生产600台产品时盈利最大.
跟踪训练5 解析:(1)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万担,收购总金额为200a(1+2x%)
依题意得,y=200a(1+2x%)(10-x)%
=a(100+2x)(10-x)(0
(2)原计划税收为200a·10%=20a(万元).
依题意得,a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%,
化简得x2+40x-84≤0,∴-42≤x≤2.
又∵0<x<10,∴0<x≤2.
∴x的取值范围是{x|0<x≤2}.
12.2.4 均值不等式及其应用
课程标准
掌握基本不等式(a,b>0).结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一 算术平均值与几何平均值
给定两个正数a,b,数________称为a,b的算术平均值;数________称为a,b的几何平均值.
知识点二 基本不等式
(1)重要不等式:对于任意实数a、b,都有a2+b2________2ab,当且仅当________时,等号成立.
(2)基本不等式:________(a>0,b>0),当且仅当________时,等号成立.其中和分别叫做正数a,b的________和________.
状元随笔 基本不等式(a,b∈R+)的应用:
(1)两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a>0,b>0,且a+b=M,M为定值,则ab≤,当且仅当a=b时等号成立.即:a+b=M,M为定值时,(ab)max=.
(2)两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a>0,b>0,且ab=P,P为定值,则a+b≥2,当且仅当a=b时等号成立.
基础自测
1.已知a,b∈R,且ab>0,则下列结论恒成立的是( )
A.a2+b2>2abB.a+b≥2
C.>D.≥2
2.已知x>0,则x+的最小值为( )
A. B.1C. D.
3.(多选)下列不等式中,不正确的是( )
A.a+≥4B.a2+b2≥4ab
C.D.x2+≥2
4.已知x,y都是正数.
(1)如果xy=15,则x+y的最小值是________;
(2)如果x+y=15,则xy的最大值是________.
2.2.4 均值不等式及其应用
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
知识点二
(1)≥ a=b (2)≤ a=b 算术平均值 几何平均值
[基础自测]
1.解析:对于A,当a=b时,a2+b2=2ab,所以A错误;对于B,C,虽然ab>0,只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,B,C错误;对于D,因为ab>0,所以>0,>0,所以≥2 (当且仅当b=a时,等号成立),即≥2成立.
答案:D
2.解析:因为x>0,所以x+≥2=,故最小值为,当且仅当x=,即x=时取到最小值.
答案:D
3.解析:a<0,则a+≥4不成立,故A错;a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,a=4,b=16,则<,故C错误;由基本不等式可知D项正确.
答案:ABC
4.解析:(1)x+y≥2=2,即x+y的最小值是2;当且仅当x=y=时取最小值.
(2)xy≤==,
即xy的最大值是.
当且仅当x=y=时xy取最大值.
答案:(1)2 (2)
12.2.2 不等式的解集
课程标准
掌握不等式的解集,理解绝对值不等式,会解简单的不等式组.
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一 不等式的解集与不等式组的解集
一般地,不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说,这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.
知识点二 绝对值不等式的几何意义
(1)数轴上两点之间的距离公式:数轴上两点A(a),B(b)之间的距离AB=________.
(2)数轴上两点的中点坐标公式:数轴上两点A(a),B(b)的中点坐标x=________.
(3)绝对值不等式的几何意义
不等式(m>0) 解集的几何意义
|x|
|x|>m 数轴上与原点的距离________m的所有数的集合
|x-b|
|x-b|>m 数轴上与表示b的点的距离大于m的所有数的集合
知识点三 绝对值不等式及其解法
(1)绝对值不等式的定义:含有绝对值的不等式.
(2)绝对值不等式的解集.
不等式(m>0) 不等式的解集
|x|
|x|>m {x|x>m或x<-m}
(3)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax+b|≤c -c≤ax+b≤c.
②|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤-c.
基础自测
1.在数轴上从点A(-2)引一线段到B(1),再同向延长同样的长度到C,则点C的坐标为( )
A.13 B.0C.4 D.-2
2.不等式的解集是( )
A.{x|x<-2}B.{x|x<2}
C.{x|-2<x≤3}D.{x|-2<x<3}
3.一元一次不等式组的解集是,则a与b的关系为( )
A.a≥bB.a>b
C.a≤bD.a
4.不等式|x+1|<5的解集为________.
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 不等式(组)的解集[经典例题]
例1 (1)解不等式组,并把解集在数轴上表示出来:
①
②
熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此类问题的关键.
(2)求关于x的不等式的解集:
①2x+a>0;②ax>1.
方法归纳
一元一次不等式组的求解策略
(1)解不等式常用到的不等式的性质
性质1 a>b a+c>b+c
性质2 a>b,c>0 ac>bc
性质3 a>b,c<0 ac
推论 a+b>c a>c-b
(2)解不等式(组)的注意点
①移项要改变项的符号.
②利用性质3时要改变不等号的方向.
③不等式组的解集是构成不等式组的各个不等式解集的交集.
跟踪训练1 (1)不等式组的解集是( )
A.{x|x<-2}B.{x|-2<x≤1}
C.{x|x≤-2}D.{x|x≥-2}
(2)已知不等式ax-1>x+2的解集为(2,+∞),求a的值.
题型2 解绝对值不等式
例2 求下列绝对值不等式的解集:
(1)|3x-1|≤6;
(2)3≤|x-2|<4.
方法归纳
1.绝对值不等式的解题策略:等价转化法
(1)形如|x|
a(a>0)型不等式:
|x|
|x|>a x>a或x<-a.
(2)形如a<|x|
a>0)型不等式:
a<|x|
2.解绝对值不等式的基本步骤
(1)去绝对值号,进行等价转化;
(2)解不含绝对值号的不等式.
跟踪训练2 解不等式:1<|x-2|≤3.
例3 解下列不等式:
(1)|x-1|>|2x-3|;
(2)|x-1|+|x-2|>2.
跟踪训练3 不等式|x+3|-|x-3|>3的解集是( )
A.{x|x>}B.{x|
C.{x|x≥3}D.{x|-3<x≤0}
题型3 数轴上的基本公式及应用[经典例题]
例4 已知数轴上的三点A、B、P的坐标分别为A(-1),B(3),P(x).
(1)点P到A,B两点的距离都是2时,求P(x),此时P与线段AB是什么关系?
(2)在线段AB上是否存在一点P(x),使得P到A和B的距离都是3?若存在,求P(x),若不存在,请说明理由.
方法归纳
数轴上基本公式的应用
(1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离,若已知两点间的距离,也可用距离公式求相应点的坐标;
(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题.其中已知两点坐标,可用公式求第三点的坐标.
跟踪训练4 已知数轴上三点P(-8),Q(m),R(2).若PQ的中点到线段PR中点的距离大于1,求实数m的取值范围.
2.2.2 不等式的解集
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点二
(1)|a-b| (2) (3)小于 大于
[基础自测]
1.解析:根据数轴标好相应的点易判断.
答案:C
2.解析:由可得则x<-2,故选A.
答案:A
3.解析:因为不等式组的解集是(a,+∞),所以a≥b.
答案:A
4.解析:|x+1|<5 -5
答案:{x|-6
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)分别求出各不等式的解集,再求出各个解集的交集,并在数轴上表示出来即可.
①解不等式2x+3>1,得x>-1,
解不等式x-2<0,得x<2,
则不等式组的解集为{x|-1
将解集表示在数轴上如下:
②解不等式x->,得x>2,
解不等式x+8<4x-1,得x>3,
则不等式组的解集为{x|x>3},
将不等式组的解集表示在数轴上如下:
(2)①2x>-a,x>-,
所以不等式解集为{x|x>-}.
②当a=0时,无解;当a>0时,得x>;
当a<0时,得x<.
所以不等式解集:
当a>0时,(,+∞);当a<0时,(-∞,);
当a=0时, .
跟踪训练1 解析:(1)
解①,得x≤1,解②,得x<-2,
∴不等式组的解集为{x|x<-2},故选A.
(2)化为:ax-x>3,(a-1)x>3.
当a-1>0即a>1时,得x>,
所以=2,所以a=.
答案:(1)A (2)见解析
例2 【解析】 (1)因为|3x-1|≤6 -6≤3x-1≤6,
即-5≤3x≤7,从而得-≤x≤,
所以原不等式的解集是{x|-≤x≤}.
(2)因为3≤|x-2|<4,所以3≤x-2<4或-4
所以原不等式的解集为:{x|-2
跟踪训练2 解析:原不等式等价于不等式组
即
解得-1≤x<1或3<x≤5,
所以原不等式的解集为{x|-1≤x<1或3<x≤5}.
例3 【解析】 (1)因为|x-1|>|2x-3|,
所以(x-1)2>(2x-3)2,即(2x-3)2-(x-1)2<0,
所以(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0,
即(3x-4)(x-2)<0,
所以<x<2.
即原不等式的解集为{x}.
(2)原不等式 或或 或或 x<或x>,
所以原不等式的解集为{x}.
跟踪训练3 解析:当x<-3时,-(x+3)+(x-3)>3,-6>3,无解.当-3≤x≤3时,x+3+x-3>3,所以x>,故<x≤3.当x>3时,x+3-(x-3)>3,6>3,所以x>3.综上可知原不等式的解集为{x|x>}.
答案:A
例4 【解析】 (1)由题意知可以化为或或或解得x=1.
∴点P的坐标为P(1),此时P为AB的中点.
(2)不存在这样的P(x),理由如下:
∵|AB|=|3-(-1)|=4<6,
∴在线段AB上找一点P使|PA|+|PB|=3+3=6是不可能的.
跟踪训练4 解析:由题意,知||>1,
即|-1|>1,
所以-1>1或-1<-1,解得m>4或m<0,
所以实数m的取值范围是(-∞,0)
5第2课时 基本不等式的应用
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 利用基本不等式证明不等式[经典例题]
例1 已知a、b、c>0,求证:≥a+b+c.
方法归纳
(1)在利用a+b≥2时,一定要注意是否满足条件a>0,b>0.
(2)在利用基本不等式a+b≥2或(a>0,b>0)时要注意对所给代数式通过添项配凑,构造符合基本不等式的形式.
(3)另外,在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用.
跟踪训练1 已知x>0,y>0,z>0.
求证:()()()≥8.
状元随笔 分别对+++用基本不等式 同向不等式相乘.
题型2 灵活利用基本不等式a+b≥2求最值
例2 (1)已知a>0,b>0,a+2b=1,的最小值为( )
A.3B.2
C.3-2D.3+2
(2)若a>0,b>0,a+b=ab,则a+b的最小值为( )
A.2 B.4C.6 D.8
方法归纳
常数代换法求最值的方法步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为:
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数);
(2)把确定的定值(常数)变形为1;
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式;
(4)利用均值不等式求最值.
跟踪训练2 (1)已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为( )
A.8 B.4C.2 D.0
(2)设x,y为正数,若x+=1,则的最小值是________,此时x=________.
题型3 利用基本不等式解决实际问题
例3 某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天支付的总费用最少?
状元随笔 两个正数的积为常数时,它们的和有最小值;两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.
教材反思
利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时,首先审清题意,然后将实际问题转化为数学问题,再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行:
(1)理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;
(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;
(4)正确写出答案.
跟踪训练3 某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.
(1)问捕捞几年后总盈利最大,最大是多少?
(2)问捕捞几年后的平均利润最大,最大是多少?
状元随笔 1.盈利等于总收入-支出,注意支出,由两部分组成.
2.利用基本不等式求平均利润.
第2课时 基本不等式的应用
课堂探究·素养提升
例1 【证明】 ∵a,b,c,均大于0,
∴+b≥2 =2a.
当且仅当=b时等号成立.
+c≥2 =2b.
当且仅当=c时等号成立.
+a≥2 =2c,
当且仅当=a时等号成立.
相加得+b++c++a≥2a+2b+2c,
∴≥a+b+c.
跟踪训练1 证明:因为x>0,y>0,z>0,
所以>0,
>0,
>0,
所以=8,当且仅当x=y=z时等号成立.
例2 【解析】 (1)==3+≥3+2=3+2,
当=即a=-1,b=时等号成立.
所以()min=3+2.
(2)因为a>0,b>0,a+b=ab≤,所以a+b≥4,当a=b=2时取等号,则a+b的最小值为4.
【答案】 (1)D (2)B
跟踪训练2 解析:(1)由x+2y-xy=0,得=1,
且x>0,y>0.所以x+2y=(x+2y)×()=+4≥2+4≥4+4=8,当且仅当x=2y时等号成立.
(2)=()(x+)=2+≥2+2=4,当且仅当=即y=2x,x=时等号成立.
答案:(1)A (2)4
例3 【解析】 设该厂每x天购买一次面粉,其购买量为6x吨.
由题意可知,面粉的保管费等其他费用为3×[6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1]=9x(x+1)(元).
设平均每天所支付的总费用为y元,
则y=[9x(x+1)+900]+6×1 800=9x++10 809≥2 +10 809=10 989(元),
当且仅当9x=,即x=10时,等号成立.
故该厂每10天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少.
跟踪训练3 解析:(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元.则
y=50n-98-
=-2n2+40n-98=-2(n-10)2+102,
∴当捕捞10年后总盈利最大,最大是102万元.
(2)年平均利润为
=-2≤-2=12,
当且仅当n=,即n=7时上式取等号.
所以,当捕捞7年后年平均利润最大,最大是12万元.
1第1课时 基本不等式
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 对基本不等式的理解[经典例题]
例1 (1)不等式a+1≥2(a>0)中等号成立的条件是( )
A.a=0B.a=
C.a=1D.a=2
状元随笔 ①举反例、基本不等式 逐个判断.
②明确基本不等式成立的条件 逐个判断.
(2)给出下列命题:
①若x∈R,则x+≥2;
②若a<0,b<0,则ab+≥2;
③不等式≥2成立的条件是x>0且y>0.其中正确命题的序号是________.
状元随笔 基本不等式的两个关注点
(1)正数:指式子中的a,b均为正数,
(2)相等:即“=”成立的条件.
跟踪训练1 设0<a<b,则下列不等式中正确的是( )
A.a<b<<B.a<<<b
C.a<<b<D.<a<<b
状元随笔 利用基本不等式时先要确定成立的条件,有的要适当变形处理.
题型2 利用基本不等式求最值
例2 (1)若x>0,则y=12x+的最小值为( )
A.2B.2
C.4D.8
(2)已知t>0,求y=的最小值.
方法归纳
1.利用基本不等式求最值的策略
2.通过消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解.
提醒:利用基本不等式求函数最值,千万不要忽视等号成立的条件.
跟踪训练2 已知x>0,y>0,且x+y=8,则 (1+x)(1+y)的最大值为( )
A.16B.25
C.9D.36
状元随笔 展开(1 +x)(1 +y) 将x +y =8代入 用基本不等式求最值.
题型3 利用均值不等式借助拼凑法求最值
例3 (1)已知x<0,则3x+的最大值为________;
(2)已知x>2,求x+的最小值;
(3)已知0
(4)当x>1时,求的最小值.
方法归纳
1.负数在均值不等式中的应用
当所给式子均小于0时,也可以利用均值不等式求最值,但是要注意不等号方向的变化.
2.通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.
(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.
跟踪训练3 (1)当x<1时,试求y=3(x-1)+的最大值;
(2)设0
(3)若x>1,则求y=的最小值.
易错点 利用基本不等式求最值
例 若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )
A.B.
C.5D.6
【错解】 由x+3y=5xy 5xy≥2,
因为x>0,y>0,所以25x2y2≥12xy,即xy≥.
所以3x+4y≥2≥2=,
当且仅当3x=4y时取等号,
故3x+4y的最小值是.
状元随笔 错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式,等号成立的条件必须一致.
【正解】 由x+3y=5xy可得=1,所以3x+4y=(3x+4y)=+2==5,
当且仅当x=1,y=时取等号,
故3x+4y的最小值是5.
【答案】 C
第1课时 基本不等式
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)因为a>0,根据均值不等式,当且仅当a=b时等号成立,故a+1≥2中等号成立当且仅当a=1.
(2)只有当x>0时,才能由基本不等式得到x+≥2 =2,故①错误;当a<0,b<0时,ab>0,由基本不等式可得ab+≥2 =2,故②正确;由基本不等式可知,当>0,>0时,有≥2 =2成立,这时只需x与y同号即可,故③错误.
【答案】 (1)C (2)②
跟踪训练1 解析:0
答案:B
例2 【解析】 (1)因为x>0,所以y=12x+≥2 =4,当且仅当12x=,即x=时等号成立.
(2)依题意得,y=t+-4≥2 -4=-2,当且仅当t=时等号成立,即t=1,函数y=(t>0)的最小值是-2.
【答案】 (1)C (2)见解析
跟踪训练2 解析:因为x>0,y>0,且x+y=8,
所以(1+x)(1+y)=1+x+y+xy=9+xy≤9+=9+42=25,
因此当且仅当x=y=4时,
(1+x)·(1+y)取最大值25.
答案:B
例3 【解析】 (1)因为x<0,所以-x>0.
则3x+=-[+(-3x)]≤-2 =-12,当且仅当=-3x,即x=-2时,3x+取得最大值为-12.
(2)因为x>2,所以x-2>0,所以x+=x-2++2≥2 +2=4,
所以当且仅当x-2=(x>2),
即x=3时,x+的最小值为4.
【解析】(3)因为0
0,
所以x(8-2x)=×2x(8-2x)≤=8,
所以当且仅当2x=8-2x,
即x=2时有最大值,x(8-2x)的最大值为8.
【解析】(4)令t===(x-1)++2,
因为x-1>0,所以t≥2 +2=8,当且仅当x-1=,即x=4时,t的最小值为8.
【答案】 (1)-12 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析
跟踪训练3 解析:(1)因为x<1,所以x-1<0,故-(x-1)>0,所以3(x-1)+=-[-3(x-1)+]≤-2 =-12,
当且仅当-3(x-1)=-,
即x=-1时,3(x-1)+取得最大值-12.
(2)由题得x(1-2x)=·2x(1-2x)≤=.
当且仅当2x=1-2x,即x=时取到等号.所以x(1-2x)的最大值为.
解析:(3)==2(x-1)+.
因为x>1,所以2(x-1)+≥2=4(当且仅当x=2时取等号),
因此的最小值是4.
1
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同课章节目录
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1集合
1.2 常用逻辑用语
第二章 等式与不等式
2.1等式
2.2不等式
第三章 函数
3.1函数的概念与性质
3.2函数与方程、不等式之间的关系
3.3函数的应用(一)
3.4数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点
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