3.2函数与方程不等式之间的关系学案新人教B版必修第一册（共1课时学案）

第三章　函数
3.2　函数与方程、不等式之间的关系
课程标准
运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一　函数的零点
1．零点的定义
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．
2．方程的根与函数零点的关系
状元随笔　函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
知识点二　二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 __________ __________ R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 __________ __________ __________
知识点三　函数零点的判定
　函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且f(a)f(b)＜0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即 x0∈[a，b]，f(x0)＝0.
状元随笔　定理要求具备两条：
①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)f(b)＜0.
基础自测
　
1．函数y＝3x－2的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是(　　)
A.；
B.；
C.－；－
D.；－
2．函数f(x)＝x3－x的零点个数是(　　)
A.0B．1
C.2D．3
3．函数f(x)＝x3＋x－5的零点所在区间为(　　)
A.(0，1) B．(1，2)
C.(2，3) D．(3，4)
4．不等式－x2－3x＋4＞0的解集为________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1　函数零点的概念及求法
例1　(1)下列图象表示的函数中没有零点的是(　　)
(2)函数f(x)＝的零点为________．
状元随笔　(1)由函数图象判断函数是否有零点是看函数的图象与x轴是否有交点．
(2)求函数对应方程的根即为函数的零点．
方法归纳
函数零点的求法
求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
跟踪训练1　若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．
状元随笔　由函数f(x)的零点是－3，得f(－3)＝0，求a.
题型2　确定函数零点的个数
例2　已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88
则下列说法正确的是(　　)
A.函数y＝f(x)在区间[1，6]上有3个零点
B.函数y＝f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点
C.函数y＝f(x)在区间[1，6]上至多有3个零点
D.函数y＝f(x)在区间[1，2]上无零点
教材反思
判断函数零点个数的三种方法
(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．
(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象．根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．
(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．
跟踪训练2　(1)函数f(x)＝x－－2的零点个数为(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
(2)判断函数f(x)＝x－3＋lnx的零点个数．
状元随笔　思路一：解方程求零点，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；
思路二：画出函数图象，依据图象与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．
题型3　判断函数的零点所在的大致区间
例3　设x0是函数f(x)＝lnx＋x－4的零点，则x0所在的区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
状元随笔　根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图象分析．
方法归纳
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
跟踪训练3　函数f(x)＝2x－1＋x－5的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
状元随笔　利用f(a)f(b)＜0求零点区间．
题型4　函数零点的应用[经典例题]
例4　(1)已知函数f(x)＝其中m＞0.
若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
(2)已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
①若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；
②若方程有两个不相等实根均在区间(0，1)内，求m的取值范围．
方法归纳
已知函数零点情况求参数的步骤及方法
(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．
(2)方法：常利用数形结合法．
跟踪训练4　(1)已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________；
(2)函数f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k有两个不等零点x1，x2，且0状元随笔　求解这类问题可先将原式变形为f(x)＝g(x)，则方程f(x)＝g(x)的不同解的个数等于函数f(x)与g(x)图象交点的个数，分别画出两个函数的图象，利用数形结合的思想使问题得解．
3．2　函数与方程、不等式之间的关系
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
2．交点的横坐标　零点
知识点二
{x|xx2}　　{x|x1[基础自测]
1．解析：令3x－2＝0，则x＝，∴函数y＝3x－2的图象与x轴的交点坐标为，函数零点为.
答案：B
2．解析：f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函数的零点为－1，0，1，共3个．
答案：D
3．解析：根据函数零点存在定理可得，函数f(x)的零点所在区间为(1，2)，故选B.
答案：B
4．解析：由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得：－4所以不等式－x2－3x＋4>0的解集为(－4，1)．
答案：(－4，1)
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)由图观察，A中图象与x轴没有交点，所以A中函数没有零点．
(2)当x＜0时，x＋2＝0，则x＝－2.
当x＞0时，x2－1＝0，则x＝1，x＝－1(舍)．
所以函数f(x)的零点为－2和1.
【答案】　(1)A　(2)－2和1
跟踪训练1　解析：由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6.所以f(x)＝x2＋x－6.
解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.
所以函数f(x)其余的零点是2.
例2　【解析】　由表可知，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0.由函数零点存在定理知，函数y＝f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别至少存在一个零点，所以函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．虽然f(1)·f(2)＞0，但函数y＝f(x)在[1，2]上也有可能存在一个或多个零点．
【答案】　B
跟踪训练2　解析：(1)令f(x)＝0得x－－2＝0，设t＝(t≥0)，则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)．
故＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．
解析：(2)令f(x)＝x－3＋lnx＝0，则lnx＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝lnx与y＝－x＋3的图象，如图所示：由图可知函数y＝lnx，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋lnx只有一个零点．
答案：(1)B　(2)一个
例3　【解析】　因为f(2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞ln e－1＝0，f(2)·f(3)＜0.由零点存在性定理，得x0所在的区间为(2，3)．
【答案】　C
跟踪训练3　解析：f(2)＝22－1＋2－5＜0，f(3)＝23－1＋3－5＞0，故f(2)·f(3)＜0，又f(x)在定义域内是增函数，则函数f(x)＝2x－1＋x－5只有一个零点，且零点所在的区间为(2，3)．
答案：C
例4　【解析】　(1)作出f(x)的图象如图所示．
当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，
∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，
则4m－m20.
又m>0，解得m>3.
(2)
①令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，依题意得函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出图象如图所示：
由图象得即
所以－＜m＜－，即m的取值范围是(－，－)．
②根据函数图象与x轴的两个交点均在区间(0，1)内，画出图象如图所示：
由图象得
即所以－＜m＜1－，
即m的取值范围是(－，1－)．
【答案】　(1)(3，＋∞)　(2)见解析
跟踪训练4　
解析：(1)如图，由图象知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图象有三个交点，
则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1.
解析：(2)因为函数f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k有两个零点x1，x2，且0画出函数的大致图象如图.
据图象有f(0)＝1－3k>0，且f(1)＝－4k<0，且f(2)＝1－5k>0，
所以0答案：(1)1　(2)见解析
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