数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.4数学归纳法（共48张ppt）

(共48张PPT)
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当堂练习
课堂小结
高中数学
数学归纳法
问题导入
问题1 如何证明与正整数n有关的数学命题？
数学归纳法
等差数列 的通项公式：
令n=1，有
令n=2，有
令n=3，有
，
，
.
.
猜想：
问题导入
类比迁移
问题3 能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
问题3 能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
类比迁移
使所有骨牌都能倒下的条件有两个：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
追问（1）：条件（1）的作用是什么？
类比迁移
使所有骨牌都能倒下的条件有两个：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
提供了基础
追问（2）：条件（2）的作用是什么？
类比迁移
使所有骨牌都能倒下的条件有两个：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
提供了基础
递推关系：
第k块骨牌倒下
第k+1块骨牌倒下
由 及递推关系
追问（3）：证明猜想“数列的通项公式是 ”与多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
类比迁移
由 及递推关系
……
递推关系：
命题：当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立.
如果n=k时猜想成立，
那么
即当n=k+1时，猜想也成立.
，
即
追问（3）：证明猜想“数列的通项公式是 ”与多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
类比迁移
骨牌原理 猜想的证明步骤
（1）第一块骨牌已经倒下 （1）证明n=1时，猜想正确
（2）证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下”这句话是真实的 （2）证明“当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立”是真命题
根据（1）（2），所有骨牌都能倒下 根据（1）（2），这个猜想对一切正整数n都成立
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
问题4 什么是数学归纳法？
学习新知
追问（1）：数学归纳法中的两个步骤都必要吗？
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
归纳奠基
归纳递推
学习新知
追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
归纳奠基
归纳递推
学习新知
追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
记 是一个关于正整数n的命题.
学习新知
追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
为真；
记 是一个关于正整数n的命题.
学习新知
追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
为真；
记 是一个关于正整数n的命题.
学习新知
，
追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
记 是一个关于正整数n的命题.
归纳奠基
归纳递推
为真；
真，
真
真，
真 .
……
……
条件：
学习新知
，
追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
记 是一个关于正整数n的命题.
归纳奠基
归纳递推
为真；
条件：
结论：
为真.
学习新知
，
追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
记 是一个关于正整数n的命题.
归纳奠基
归纳递推
为真；
条件：
结论：
为真.
学习新知
追问（3）：如何理解 的意义？
学习新知
，
例1
典例巩固
证明：
当n=1时，左边 ，
右边 ，
①式成立.
根据等差数列的定义，有 ，
（1）
（2）
于是
，即当n=k+1时，①式也成立.
把“证明的目标”
牢记在心
复习导入
两个步骤 缺一不可
归纳奠基
归纳递推
问题1 什么时候需要应用数学归纳法？
复习导入
数学归纳法一般被用于证明某些与无限多个正整数n有关的命题
证明对任意的正整数n，等式 恒成立.
不必应用数学归纳法
证明 的单调性.
难以应用数学归纳法
( )
例1 证明： ①
(1)当n=1时，
①式的左边
，
右边
，
所以①式成立.
证明：
(2)假设当n=k ( )时， ①式成立，即
，
在上式两边同时加上 ，有
，
目标
(2)假设当n=k ( )时， ①式成立，即
，
，
在上式两边同时加上 ，有
，
，
即当n=k+1时， ①式也成立
由(1)(2)可知， ①式对任何 都成立.
方法归纳
问题2 怎样正确地使用数学归纳法？
不能缺少第一步的验证；
用上假设，递推才真
（ ）
（ ）
例2 已知数列 满足 ， （ ），试猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
典例剖析
解：由 ，可得
由 可得
.
.
同理可得
，
，
.
归纳上述结果，猜想
.
例2 已知数列 满足 ， （ ），试猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
典例剖析
下面用数学归纳法证明这个猜想
(1)当n=1时，
②
②式左边
，
右边
，
猜想成立.
②式成立，即
，
例2 已知数列 满足 ， （ ），试猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
典例剖析
下面用数学归纳法证明这个猜想
(1)当n=1时，
②
②式左边
，
右边
，
猜想成立.
②式成立，即
，
那么
，
即当n=k+1时，猜想也成立.
由(1)(2)可知， 猜想对任何 都成立.
追问：把例2中的“ ”换成“ ”，其他条件不变，试猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
典例剖析
体会初始值的改变对其通项公式繁简程度的影响
设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列
1，1+x， ，…， ，… 的前n项和为 ，
试比较 与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
例3
典例剖析
解法1：
由已知可得
当n=2时，
，
由x＞0，可得
当n=3时，
由x＞0，可得
；
由此，我们猜想，
.
，
.
.
设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列
1，1+x， ，…， ，… 的前n项和为 ，
试比较 与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
例3
典例剖析
解法1：
由已知可得
当n=2时，
，
由x＞0，可得
当n=3时，
由x＞0，可得
；
.
，
.
由此，我们猜想，
.
典例剖析
解法1：
用数学归纳法证明
猜想
(1)当n=2时，
由上述过程知，不等式成立.
(2)假设当n=k时，不等式成立.
典例剖析
(2)假设当n=k 时，不等式成立，
即 ，
当n=k+1时，不等式也成立.
由x＞0，可得1+x＞1，
所以
.
于是
解法1：
用数学归纳法证明
猜想
(1)当n=2时，
由上述过程知，不等式成立.
典例剖析
(2)假设当n=k 时，不等式成立，
即 ，
由x＞0，可得1+x＞1，
所以
.
于是
解法1：
用数学归纳法证明
猜想
(1)当n=2时，
由上述过程知，不等式成立.
当n=k+1时，不等式也成立.
，所以，
由(1)(2)可知， 不等式 对任何大于1的正整数n都成立.
设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列
1，1+x， ，…， ，… 的前n项和为 ，
试比较 与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
例3
典例剖析
解法2：
显然，所给数列是等比数列，公比为1+x，
于是
设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列
1，1+x， ，…， ，… 的前n项和为 ，
试比较 与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
例3
典例剖析
解法2：
显然，所给数列是等比数列，公比为1+x，
于是
当n=2时，
由x＞0，可得
当n=3时，
由x＞0，可得
；
由此，我们猜想，
.
，
，
.
(1)当n=2时，
由上述过程知，不等式成立.
典例剖析
解法2：
用数学归纳法证明
猜想
典例剖析
解法2：
用数学归纳法证明
猜想
(2)假设当n=k 时，不等式成立，
即 ，
当n=k+1时，不等式也成立.
由x＞0，知
由(1)(2)可知， 不等式 对任何大于1的正整数n都成立.
.
所以
=xk+k+1.
又x＞0，所以
所以，
这节课学习了哪些知识？
课堂小结
数学归纳法
证明与正整数n有关的数学命题
追问（1）：为什么要应用数学归纳法？
通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立
数学归纳法
常规方法很难解决
课堂小结
两个步骤 缺一不可
追问（2）：数学归纳法是怎样的一种方法？
归纳奠基
归纳递推
课堂小结
追问（3）：本节课用到了哪些研究方法？
类比、迁移
从特殊到一般
数学抽象
课堂小结
课堂小结
什么时候需要应用数学归纳法？
怎样正确地应用数学归纳法？
通过本节课，你有哪些收获？
课后作业
2.若数列 的前n项和为 ，
计算 ， ， ，由此推测计算 的公式，并用数学归纳法
进行证明.
课后作业
1.用数学归纳法证明： .