数学人教A版（2019）必修第一册1.5全称量词与存在量词 课件（共29张ppt）

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1.5 全称量词和存在量词
第一章 集合与常用逻辑用语
学习新知
下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，他们之间有什么关系？
(1)x>3；
(2)2x+1是整数；
(3)对所有的x∈R，x>3
(4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数
不是命题
不是命题
是命题，假命题
是命题，真命题
(3)对(1)中的变量x的取值范围进行了限定“对所有的x∈R”，就变成了命题。
(4)对(2)中的变量x的取值范围进行了限定“对任意一个 x∈Z”,
就变成了命题。
全称量词
全称量词： 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中称为全称量词
用符号 表示
全称量词命题:含有全称量词的命题.
通常将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x)...表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题可以抽象为
“对M中任意一个x，p(x)成立”
数学符号表示：
例题讲解
例1 判断下列全称量词命题的真假：
(1)所有的素数都是奇数；
(2) x∈R，|x|+1≥1；
(3)对任意一个无理数x，x2也是无理数.
假命题
真命题
假命题
（1）如果对给定集合M中每一个元素x，p(x)都成立（一般需要推导和证明），则此全称量词命题为真命题；
如何判定一个全称量词命题的真假？
全称量词命题 x∈M，p(x)真假判定
（2）如果在给定集合M中存在至少一个元素x0，使命题p(x0)不成立（即举出一个反例），则此全称量词命题为假命题.
知识总结
★ 要判断全称量词命题是真命题，需要证明；
★ 要判断全称量词命题是假命题，只需举反例.
习题演练
练习1 判断下列全称量词命题的真假：
(1)每个平行四边形的内角和都是 ；
(2)任意实数都有算术平方根；
(3) 是无理数， 是无理数.
解：(1)因为所有凸四边形的内角和是 ，所以每个平行四边形的内角和是 ，该命题为真命题.
(2)因为负数没有算术平方根，所以该命题为假命题.
(3)因为 是无理数，但是 是有理数，所以该命题为假命题.
学习新知
下列语句是命题吗 比较(1)和(3),(2)和(4)，它们之间有什么关系
(1)2x+1=3；
(2)x能被2 和3 整除；
(3)存在一个x∈R，使2x+1=3；
(4)至少有一个x∈Z，x能被2 和3 整除.
是命题，真命题
是命题，真命题
不是命题
不是命题
(3)对(1)中的变量x的取值范围进行了限定“存在一个x∈R”，就变成了命题。
(4)对(2)中的变量x的取值范围进行了限定“至少有一个x∈Z”,就变成了命题。
存在量词
存在量词： 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中称为存在量词
用符号 表示
存在量词命题:含有存在量词的命题.
数学符号表示：
存在M中的元素x，p(x)成立
假命题
真命题
假命题
例2 判断下列存在量词命题的真假：
(1)有一个实数x，使x2+2x+3=0；
(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
(3)有些平行四边形是菱形.
例题讲解
如果对给定集合M中的存在一个元素x0，使p(x)成立（举出一个例子即可），则此存在量词命题为真命题；
存在量词命题 x∈M，p(x)真假判定
问题4：如何判定一个存在量词命题的真假？
★ 要判断存在量词命题是假命题，需要推导证明.
★ 要判断存在量词命题是真命题， 只需要找出一个 满足条件；
知识总结
习题演练
练习： P28练习2
练习2 判断下列存在量词命题的真假：
(1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；
(2)至少有一个整数 ，使得 为奇数；
(3) 是无理数， 是无理数.
解：(1)因为菱形的对角线互相垂直，且菱形为平行四边形，所以该命题为真命题.
(2)因为 ，表示相邻两个整数的乘积，为偶数，所以该命题为假命题.
(3)因为 是无理数， 是无理数，所以该命题为真命题.
习题演练
例3 用符号“”“”表达下列命题.
（1）实数都能写成小数的形式；
（2）存在一实数对，使成立；
（3）任意实数乘，都等于它的相反数；
（4）存在实数，使得.
解：（1），能写成小数形式；
（2），使；
（3）；
（4）.
例题讲解
例4 已知集合，
（1）若命题是真命题，求的取值范围；
（2）命题是真命题，求的取值范围.
（1）因为命题是真命题，所以，
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，m的取值范围为.
注意讨论空集
例题讲解
例题讲解
例4 已知集合，
（1）若命题是真命题，求的取值范围；
（2）命题是真命题，求的取值范围.
（2）因为是真命题，所以，
所以，即，所以，
所以只需满足即可，即.
故m的取值范围为.
学习新知
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.
例如：(1)命题“56是7的倍数”的否定是：
(2)命题“空集是集合A={1,2,3}的真子集”的否定是：
注：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.
思考：如果是含有量词的命题，如何写出它的否定？下面我们一起来看一个探究.
“56不是7的倍数”；
“空集不是集合A={1,2,3}的真子集”；
学习新知
思考：写出下列命题的否定，它们与原命题在形式上有什么变化？
否定：并非所有的矩形都是平行四边形，
否定：并非每一个素数都是奇数，
否定：并非所有的
也就是说，存在一个矩形不是平行四边形.
（1）所有的矩形都是平行四边形;
（2）每一个素数都是奇数;
也就是说，存在一个素数不是奇数.
也就是说，
全称量词命题的否定变成了存在量词命题.
“改变量词，否定结论”
全称量词命题的否定
一般来说，对含有一个量词的全称量词命题的否定，只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.
全称命题p: x∈M ,p(x)，
它的否定 p: x0∈M, p(x0)
全称量词命题的否定是存在量词命题.
例题讲解
例5 写出下列全称量词命题的否定，并判断真假：
(1) p：所有能被3整除的整数都是奇数；
(2) p：每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
(3) p：对任意x∈Z， x2的个位数字不等于3.
真命题
真命题
假命题
(1) p：存在一个能被3整除的整数不是奇数.
(2) p：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.
(3) p： x∈Z，x2的个位数字等于3.
习题演练
练习1 写出下列命题的否定，并判断真假：
(1) n∈Z，n∈Q；
(2) 任意奇数的平方还是奇数；
(3) 每个平行四边形都是中心对称图形.
(2) 存在一个奇数的平方不是奇数；
(3)存在有一个平行四边形，它不是中心对称图形.
假命题
假命题
假命题
(1)
思考2：写出下列命题的否定，它们与原命题在形式上有什么变化？
否定：不存在一个实数，它的绝对值是正数，
否定：没有一个平行四边形是菱形，
否定：不存在
（1）存在一个实数的绝对值是正数；
（2）有些平行四边形是菱形；
也就是说，每一个平行四边形都不是菱形.
也就是说，所有实数的绝对值都不是正数.
也就是说，
“改变量词，否定结论”
存在量词命题的否定变成了全称量词命题.
学习新知
存在量词命题的否定
一般来说，对含有一个量词的存在量词命题的否定，只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可.
存在量词命题p: x0∈M ,p(x0)，
它的否定 p: x∈M, p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题.
例2 写出下列存在量词命题的否定，并判断真假：
(1) p： x∈R，x+2≤0；
(2) p：有的三角形是等边三角形；
(3) p：有一个偶数是素数.
(1) p： x∈R，x+2>0.
假命题；
(2) p：所有的三角形都不是等边三角形.
假命题；
(3) p：任意一个偶数都不是素数.
假命题.
例题讲解
(1) 所有三角形都不是直角三角形；
(2) 所有梯形都不是等腰梯形；
(3) 任意实数的绝对值都是正数.
练习2 写出下列命题的否定，并判断真假：
(1) 有些三角形是直角三角形；
(2) 有些梯形是等腰梯形；
(3) 存在一个实数，它的绝对值不是正数.
假命题
假命题
假命题.
习题演练
全称量词命题的否定：
“ x∈M，p(x)．”的否定为“ x∈M， p(x)．”
存在量词命题的否定：
“ x∈M，p(x)．”的否定为“ x∈M， p(x)．”
全称量词命题的否定变成了存在量词命题.
存在量词命题的否定变成了全称量词命题.
知识总结
习题演练