第2课时 指数函数的图象和性质
基础自测
1．函数f(x)＝的定义域为( )
A．R B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，0)
2．下列判断正确的是( )
A．1.51.5＞1.52
B．0.52＜0.53
C．e2＜e
D．0.90.2＞0.90.5
3．已知y1＝，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为( )
4．已知函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 指数函数的图象问题[经典例题]
例1 (1)如图所示是下列指数函数的图象：
①y＝ax ②y＝bx ③y＝cx ④y＝dx
则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
(2)函数y＝2－|x|的大致图象是( )
(3)若直线y＝2a与函数y＝│ax－1|＋1(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
方法归纳
1．指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：
(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．
(2)指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大．
2．图象变换法适用于相关函数图象已知或容易画出的情况，要熟悉y＝2x，y＝()x，y＝10x，y＝()x的图象．
3．画函数图象时，若解析式不是最简形式，需先化简解析式；若是分段函数，则分别画出各部分的图象，最后得到所求函数的整体图象．
跟踪训练1 (1)已知函数y＝ax、y＝bx、y＝cx、y＝dx的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是( )
A．b＋d>a＋cB．b＋d
C．a＋d>b＋cD．a＋d作出直线x ＝1，得到c >d >1 >a >b，即得解．
(2)若a＞1，－1＜b＜0，则函数y＝ax＋b的图象一定在( )
A．第一、二、三象限
B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、二、四象限
(3)函数y＝|2x－1|的大致图象是( )
题型2 解简单的指数不等式[经典例题]
例2 (1)不等式3x－2＞1的解集为________；
(2)若ax＋1＞(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．
状元随笔 首先确定指数不等式对应函数的单调性，然后根据单调性确定x的取值范围．
方法归纳
解指数不等式应注意的问题
(1)形如ax＞ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
(2)形如ax＞b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．
跟踪训练2 (1)解不等式)≤3；
(1)化成同底，确定指数函数的单调性．
(2)已知(a2＋2a＋3)x＞(a2＋2a＋3)1－x，求x的取值范围．
(2)判断a2＋2a＋3的范围．
(3)函数y＝的定义域是________．
题型3 指数型函数的定义域与值域
例3 (1)求y＝的值域；
(2)若函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a等于________；
(3)已知函数y＝a2x－2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1，1]上最大值是14，求a的值；
(4)已知函数f(x)＝的值域是( )
A．(－∞，2] B．(0，2]
C．[2，＋∞) D．
方法归纳
复合函数的值域
(1)分层：一般分为外层y＝at，内层t＝f(x)．
(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．
(3)值域复合：先求内层t的值域，再利用单调性求y＝at的值域．
跟踪训练3 (1)函数f(x)＝，x∈[0，3]时f(x)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．(e－3，1)
C．[e－4，1] D．(e－4，＋∞)
先求得x2－2x －3的取值范围，再求得f(x)的值域．
(2)求函数y＝4x－2x＋1的定义域、值域．
题型4 指数函数性质的综合应用
例4 已知函数f(x)＝a－(x∈R)．
(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；
(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1，5]上的最小值．
状元随笔 (1)用定义法证明函数的单调性需4步：
①取值；②作差变形；③定号；④结论．
(2)先由f(x)为奇函数求a , 再由单调性求最小值．
方法归纳
(1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题，可利用奇、偶函数的定义，根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，结合指数运算性质建立方程求参数；
(2)若奇函数在原点处有定义，则可利用f(0)＝0，建立方程求参数．
跟踪训练4 已知定义在R上的函数f(x)＝2x＋，a为常数，若f(x)为偶函数，
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用单调性定义给予证明；
(3)求函数f(x)的值域．
(1)由偶函数求a.
(2)4步法证明f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
(3)利用单调性求最值，得值域．
第2课时 指数函数的图象和性质
[基础自测]
1．解析：要使函数有意义，则2x－1>0，∴2x>1，∴x>0.
答案：B
2．解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.2，
所以0.90.2＞0.90.5.
答案：D
3．解析：方法一 y2＝3x与y4＝10x单调递增；y1＝与y3＝10－x＝单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.
方法二 y2＝3x与y4＝10x单调递增，且y4＝10x的图象上升得快，y1＝与y2＝3x的图象关于y轴对称，y3＝10－x与y4＝10x的图象关于y轴对称，所以选A.
答案：A
4．解析：令x－1＝0，得x＝1，此时f(1)＝5.所以函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P(1，5)．
答案：(1，5)
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)可先分为两类，③④的底数一定大于1，①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.
(2)函数y＝2－|x|＝
因为y＝2－|x|是偶函数，所以图象关于y轴对称，
所以函数图象在y轴右侧为减函数，0左侧为增函数，0(3)当a>1时，通过平移变换和翻折变换可得如图 (1)所示的图象，则由图知1＜2a＜2，即＜a＜1，与a>1矛盾．当0＜a＜1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图(2)所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1，即为所求．
【答案】 (1)B (2)C (3)(，1)
跟踪训练1 解析：(1)如图，作出直线x＝1，得到c>d>1>a>b，
所以b＋d(2)∵a＞1，且－1＜b＜0，故其图象如图所示．
(3)y＝|2x－1|＝，
当x＜0时，y＝1－2x的图象是将y＝2x图象先沿x轴对称下来，再沿y轴向上平移1个单位，此时x＜0时的图象在x轴上方，且为增函数，渐近线为y＝1，
只有C项满足题意．
答案：(1)B (2)A (3)C
例2 【解析】 (1)3x－2＞1 3x－2＞30 x－2＞0 x＞2，所以解为(2，＋∞)．
(2)因为ax＋1＞，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.
综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，
当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．
【答案】 (1)(2，＋∞) (2)见解析
跟踪训练2 解析：(1)＝(3－1)x2－2＝，
∴原不等式等价于≤31.
∵y＝3x是R上的增函数，∴2－x2≤1.
∴x2≥1，即x≥1或x≤－1.
∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．
(2)∵a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2＞1，
∴y＝(a2＋2a＋3)x在R上是增函数．
∴x＞1－x，解得x＞.
∴x的取值范围是.
(3)根据函数有意义条件可得，2x－1－8≥0，
即2x－1≥23.
因为函数y＝2x在R上单调递增，
所以x－1≥3，
所以x≥4.
答案：(1)(2)见解析 (3)[4，＋∞)
例3 【解析】 (1)∵对一切x∈R，3x≠－1；
∴函数的定义域为R；
∵y＝＝1－；
又∵3x>0，1＋3x>1；
∴0<<1，∴－1<－<0；
∴0<1－<1，∴值域为(0，1)．
(2)当a＞1时，函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)在[0，2]上单调递增，
则，解得：a＝
当a＜1时，函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)在[0，2]上单调递减，
则无解，
故a＝.
(3)y＝(ax－1)2－2；
∵y＝(ax－1)2－2在区间[－1，1]上最大值是14，
∴(ax)max＝5；
故当a＞1时，a＝5；
当0＜a＜1时，a－1＝5，
故a＝.
综上所述，a＝5或a＝.
(4)由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
所以0<()x2－2x≤()－1＝2，
所以函数f(x)＝()x2－2x的值域是(0，2].
【答案】 (1)见解析 (2) (3)见解析 (4)B
跟踪训练3 解析：(1)g(x)＝x2－2x－3的开口向上，对称轴为x＝1，所以最小值为g(1)＝－4，最大值为g(3)＝0，所以x2－2x－3∈[－4，0]，y＝ex在[－4，0]上递增，最小值为e－4，最大值为1，
所以f(x)在区间[0，3]上的值域为[e－4，1].
(2)函数的定义域为R：
y＝(2x)2－2x＋1＝(2x－)2＋；
∵2x>0，∴2x＝，即x＝－1时，y取最小值；
同时y可以取一切大于的实数；
∴值域为[，＋∞)．
答案：(1)C (2)见解析
例4 【解析】 (1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝
＝.
因为x1＜x2，
所以＜0，
又)＞0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
所以不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
(2)因为f(x)在x∈R上为奇函数，
所以f(0)＝0，
即a－＝0，解得a＝.
所以f(x)＝，
由(1)知，f(x)为增函数，
所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为f(1)．
因为f(1)＝＝，
所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为.
跟踪训练4 解析：(1)由f(x)为偶函数得对任意实数x都有2x＋＝成立，即2x(1－a)＝·(1－a)，
所以1－a＝0，
所以a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝2x＋，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
证明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝＝＝＝＝，
因为x1＜x2，且x1，x2∈(0，＋∞)，
所以＞1，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)由(2)知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又由f(x)为偶函数知函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，
所以f(x)≥f(0)＝2.
故函数f(x)的值域为[2，＋∞).
14．1.2 指数函数的性质与图象
【课程标准】
(1)通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．
(2)能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一 指数函数的定义
函数________(a>0且a≠1)称为指数函数，其中x是自变量．定义域为R.
状元随笔 1.指数函数解析式的3个特征
(1)底数a为大于0且不等于1的常数．
(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.
(3)ax的系数是1.
2．为什么指数函数的底数a>0，且a≠1
提示：(1)如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．
(2)如果a＜0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，…，该函数无意义．
(3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1.
知识点二 指数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域 ________
值域 ________
过定点 过点______，即x＝______时，y＝______
函数值 的变化 当x>0时，________； 当x<0时，________ 当x>0时，________； 当x<0时，________
单调性 是R上的________ 是R上的________
状元随笔 底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0第1课时 指数函数的概念
基础自测
1．下列各函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝
2．若指数函数f(x)的图象经过点(2，9)，则f(x)＝________，f(－1)＝________．
3．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝的图象之间的关系是( )
A．关于y轴对称
B．关于x轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
4．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－3－2必过定点________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 指数函数概念的应用[经典例题]
例1 (1)已知指数函数f(x)过点(－2，4)，则f(6)＝( )
A. B．
C． D．
先设指数函数为f(x)＝ax，借助条件图象过点(－2 ，4)求a，最后求值．
(2)指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)·f(2)等于________．
(3)若指数函数f(x)＝(2a－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(，1) D．(－∞，1)
方法归纳
(1)判断一个函数是指数函数的方法
①看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．
②明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．
(2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤
(3)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．因为底数a是大于0且不等于1的实数，所以a＝－3应舍去．
跟踪训练1 (1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，则实数a的取值范围是________；
指数函数系数为1．底数>0且≠1.
(2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)
①y＝2·()x ②y＝2x－1 ③y＝ ④y＝xx ⑤y＝ ⑥y＝.
题型2 指数函数的图象
例2 (1)函数y＝3－x的图象是( )
(2)已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为( )
A．(0，1) B．(2，3)
C．(3，2) D．(2，2)
状元随笔 (1)根据指数函数的性质知：y＝3－x单调递减，且函数值恒大于0，即可知正确选项．
(2)由y＝ax过定点(0，1)来求f(x)过定点．
方法归纳
指数型函数图象过定点问题的解法
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)．
跟踪训练2 (1)当a>1时，函数y＝ax和y＝(a－1)x2的图象只可能是( )
(2)已知函数f(x)＝ax＋1－(a>0，且a≠1)的图象过定点(m，n)，则m＋n＝( )
A． B．
C．－ D．－
题型3 利用指数函数的单调性比较大小
例3 (1)利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
①0.8－0.1与0.8－0.2；
②2.5a与2.5a＋1.
(2)已知a＝，b＝20.2，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是( )
A．a>b>cB．b>a>c
C．b>c>aD．c>b>a
状元随笔 (1)要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较．可以利用函数y＝0.8x和y＝2.5x的单调性，以及“x＝0时，y＝1”这条性质把它们联系起来．
(2)利用指数函数的性质比较即可．
方法归纳
1．由例题可以看出，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系．
2．比较幂值大小的三种类型及处理方法
跟踪训练3 (1)比较下列各题中两个值的大小：
①与；
②与；
③0.20.3与0.30.2.
(2)已知a＝1.80.8，b＝0.81.8，c＝1.81.8，则( )
A．aC．c4．1.2 指数函数的性质与图象
新知初探·自主学习
知识点一
y＝ax
知识点二
R (0，＋∞) (0，1) 0 1 y>1 01 增函数 减函数
第1课时 指数函数的概念
[基础自测]
1．解析：根据指数函数的定义y＝ax(a>0且a≠1)可知只有D项正确．
答案：D
2．解析：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，
因为f(x)的图象经过点(2，9)，
代入得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去)，
所以f(x)＝3x，所以f(－1)＝3－1＝.
答案：
3．解析：由两函数图象可知，两函数图象关于y轴对称，故选A.
答案：A
4．解析：当a＞0且a≠1时，总有f(3)＝a3－3－2＝－1，所以函数f(x)＝ax－3－2必过定点(3，－1)．
答案：(3，－1)
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
所以f(－2)＝a－2＝4，解得a＝，
所以f(6)＝()6＝.
(2)设y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，所以a－2＝，所以a＝2，
所以f(4)·f(2)＝24×22＝64.
(3)由已知，得0<2a－1<1，则【答案】 (1)B (2)64 (3)C
跟踪训练1 解析：(1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，
则解得a<且a≠1.
(2)①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.
答案：(1)(－∞，1) (2)③
例2 【解析】 (1)由y＝3－x＝()x知：函数在定义域内单调递减，且y>0恒成立，
∴只有B所表示的函数图象符合要求．
(2)任意a>0且a≠1，当x－2＝0，即x＝2时，恒有ax－2＝1，即f(2)＝a2－2＋2＝3，
所以函数f(x)＝ax－2＋2的图象恒过定点A(2，3)，即A的坐标为(2，3)．
【答案】 (1)B (2)B
跟踪训练2 解析：(1)当a>1时，指数函数y＝ax为增函数，二次函数y＝(a－1)x2的图象开口向上，且函数y＝(a－1)x2图象的对称轴为y轴，
因此，函数y＝ax和y＝(a－1)x2的图象只可能是A选项中的图象．
(2)由解析式知：f(－1)＝a0－＝1－＝，故f(x)过定点(－1，)．
∴m＝－1，n＝，则m＋n＝－.
答案：(1)A (2)D
例3 【解析】 (1)①因为0.8－0.1与0.8－0.2都是以0.8为底的幂值，所以考察函数y＝0.8x，由于这个函数在实数集R上是减函数，又因为－0.1>－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2.
②因为2.5a与2.5a＋1都是以2.5为底的幂值，所以考察函数y＝2.5x，由于这个函数在实数集R上是增函数，又因为a(2)因为y＝0.3x在R上为减函数，且>0.2>0，
所以<0.30.2<0.30，即<0.30.2<1，
因为y＝2x在R上为增函数，且0.2>0，
所以20.2>20＝1，
所以<0.30.2<1<20.2，所以b>c>a.
【答案】 (1)见解析 (2)C
跟踪训练3 解析：(1)①因为0＜＜1，所以函数y＝在其定义域R上单调递减，又－1.8＞－2.5，所以＜.
②在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝与y＝的图象，如图所示．当x＝－0.5时，由图象观察可得＞.
③因为0＜0.2＜0.3＜1，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，所以0.20.2＜0.30.2.
又根据指数函数y＝0.2x的性质可得，所以0.20.3＜0.30.2.
(2)设函数y＝1.8x，∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数，可得1.80.8>1.80＝1，且1.80.8<1.81.8；设函数y＝0.8x.∵0.8<1，∴y＝0.8x在R上为减函数，可得b＝0.81.8<0.80＝1.综上所述，0.81.8<1.80.8<1.81.8，即b答案：(1)见解析 (2)B
1