6.3平面向量线性运算的应用学案新人教B版必修第二册

6．3　平面向量线性运算的应用
【课程标准】
了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一　物理学中的量与向量的关系
(1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是________.
(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________法．
知识点二　用向量方法解决平面几何问题的三个步骤
状元随笔　向量方法解决平面几何问题的六个应用
(1)证明线段相等：通过向量运算，证明()2＝()2，即可证明AB＝CD.
(2)证明线段平行：利用＝λ，点A，B，C，D不共线，可以证明AB∥CD，特别地，当λ＝1时，AB綊CD.
(3)证明三点共线：利用＝λ(λ∈R)可以证明A，B，C三点共线，也可变形为＝＋y(x，y∈R，x ＋y＝1)，其中O为空间任意一点．
(4)证明四点共面：利用＝＋μ(λ，μ∈R)可以证明点P，A，B，C四点共面．
基础自测
1．已知点A(－2，－3)，B(2，1)，C(0，1)，则下列结论正确的是(　　)
A．A，B，C三点共线
B．⊥
C．A，B，C是等腰三角形的顶点
D．A，B，C是钝角三角形的顶点
2．若向量＝＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)
A．(5，0) B．(－5，0)
C． D．－
3．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝(　　)
A．b＋c B．c－b
C．b－c D．b＋c
4．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3，4)，则力F对质点P做的功是________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1　向量在平面几何中的应用
例1　(1)已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是(　　)
A．梯形
B．邻边不相等的平行四边形
C．菱形
D．两组对边均不平行的四边形
(2)如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝AC.试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．
方法归纳
1．用向量方法解决平面几何问题的步骤
2．利用向量证明问题
(1)常见的利用向量证明的问题．
①利用共线向量定理证明线段平行或点共线．
②利用向量的模证明线段相等．
(2)常用的两个方法．
①基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明．
②坐标法：先建立直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明．
跟踪训练1　(1)在四边形ABCD中，若＝0，·＝0，则四边形为(　　)
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
由＋＝0可得∥，||＝||，·＝0可得⊥.
(2)若O是△ABC内一点，＝0，则O为△ABC的(　　)
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
作出图形，取AB的中点E，连接OE.
(3)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5，2)，C(－1，－4)，则该三角形为(　　)
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
题型2　向量在物理中的应用[经典例题]
例2　(1)如图所示，求力F1，F2的合力F的大小(精确到0.1N)和方向(精确到分)．
(2)一个人在静水中游泳时，速度的大小为2km/h．当他在水流速度的大小为2km/h的河中游泳时，
①如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进速度的大小为多少？
②他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进(可用三角函数值表示)？实际前进速度的大小为多少？
状元随笔　(1)设人游泳的速度为，水流的速度为，根据向量加法的运算法则进行求解；
(2)根据向量加法的运算法则以及向量模长的公式进行求解．
方法归纳
用向量方法解决物理问题的“三步曲”
跟踪训练2　(1)一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与水流速间的夹角表示)；
用相关向量表示行驶速度和水流速度，再利用平行四边形法则求解．
(2)已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4的大小为________．
6．3　平面向量线性运算的应用
新知初探·自主学习
知识点一
(1)向量　(2)加减
知识点二
向量　向量问题　运算
[基础自测]
1．解析：因为＝(－2，0)，＝(2，4)，所以·＝－4<0，所以∠C是钝角．
答案：D
2．解析：F1＋F2＝＝(1，1)＋(－3，－2)
＝(－2，－1)．
|F1＋F2|＝＝.
答案：C
3．解析：如图所示，可知＝＝＝)＝c＋(b－c)＝b＋c.
答案：A
4．解析：因为W＝F·s＝(－1，－2)·(3，4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11.
答案：－11
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)因为＝(8，0)，＝(8，0)，
所以＝，
因为＝(4，－3)，所以||＝5，而||＝8，故为邻边不相等的平行四边形．
(2)设＝a＝b，
则＝a＋b，＝＝－a＝b－a，＝＝b－＝b－a，所以＝，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形．
【答案】　(1)B　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)由题可知∥，||＝||，且⊥，故四边形为菱形．
(2)如图，取AB的中点E，连接OE，
则＝2.
又＝0，
所以＝－2.又O为公共点，
所以O，C，E三点共线，且||＝2||.
所以O为△ABC的重心．
(3)＝(2，－2)，＝(－4，－8)，
＝(－6，－6)，
所以||＝＝2，
||＝＝4，
||＝＝6，
所以||2＋||2＝||2，
所以△ABC为直角三角形．
答案：(1)D　(2)D　(3)B
例2　【解析】　(1)设F1＝(a1，a2)，F2＝(b1，b2)，
则a1＝300cos30°＝150，a2＝300sin30°＝150，b1＝－200cos45°＝－100，b2＝200sin45°＝100，
所以F1＝(150，150)，F2＝(－100，100)，
则F＝F1＋F2＝(150，150)＋(－100，100)
＝(150－100，150＋100)，
|F|＝
＝100≈314.6.
设F与x轴的正方向的夹角为θ，则tanθ＝≈2.4616.由F的坐标知θ是第一象限的角，所以θ≈67°53′.
故两个力的合力约是314.6N，与x轴正方向的夹角大约为67°53′，与y轴的正方向的夹角大约为22°7′.
(2)①如图(1)，设人游泳的速度为，水流的速度为，以OA，OB为邻边作 OACB，则此人的实际速度为＝.
在Rt△AOC中，tan∠AOC＝＝，所以∠AOC＝60°，
实际前进的速度大小为||＝＝4(km/h)，
故此人沿与水流方向成60°的方向前进，实际前进速度大小为4km/h；
②如图(2)，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为＝.
在Rt△AOD中，||＝2，||＝2，
所以||＝＝2(km/h)，cos∠DAO＝＝，
故此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度的大小为2km/h.
跟踪训练2　解析：(1)
如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度．
在Rt△ABC中，||＝2，||＝2，
∴||＝＝＝4，
∴tan∠CAB＝＝，∴∠CAB＝60°，
故船实际航行速度的大小为4km/h，方向与水流速间的夹角为60°.
(2)由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，
故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1，2)，
所以|f4|＝＝.
答案：(1)见解析　(2)
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