2022_2023学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.5向量的线性运算学案新人教B版必修第二册

6．1.5　向量的线性运算
【课程标准】
1.通过实例，掌握平面向量的加、减运算及数乘向量的混合运算.
2.掌握向量的线性运算．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一　数乘向量的运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)
λ(a－b)＝λa－λb
知识点二　向量的线性运算
向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算．
状元随笔　向量的线性运算，规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项．[－(2)]＋(6)可以简单地写成－2＋6．
基础自测
1．化简：＝(　　)
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a－b
2．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝(　　)
A．4e2　 B．4e1
C．3e1＋6e2 D．8e2
3．下列计算正确的个数是(　　)
①(－3)·2a＝－6a；
②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；
③(a＋2b)－(2b＋a)＝0.
A．0B．1C．2D．3
4．设M是△ABC边BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1　向量的线性运算[经典例题]
例1　(1)计算：
①4(a＋b)－3(a－b)－8a；
②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c).
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求(a－b)－(a－b)＋(2b－a).
状元随笔　(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)对于向量的线性运算，关键是把握运算顺序，即先根据运算律去括号，再进行数乘运算，最后进行向量的加减．
方法归纳
向量线性运算的基本方法
(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
跟踪训练1　化简：
(1)－2(a＋b)；
(2).
状元随笔　先由运算律去括号，再进行数乘运算．
题型2　向量线性运算的应用[经典例题]
例2　(1)已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共线，则λ等于(　　)
由，共线，得＝，建立等式求λ.
A．－9 B．－4
C．4 D．9
(2)设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于(　　)
A、B、D三点共线，设＝λ，建立等式求k.
A．10 B．－10
C．2 D．－2
方法归纳
向量线性运算的基本方法
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)A，P，B三点共线 ＝(1－t)＋t (O为平面内任一点，t∈R).
(5)＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
跟踪训练2　(1)设m，n是两个不共线的向量，若＝m＋5n，＝－2m＋8n，＝4m＋2n，则(　　)
A.A，B，D三点共线
B．A，B，C三点共线
C．A，C，D三点共线
D．B，C，D三点共线
(2)若a，b是两个不共线的向量，＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________.
状元随笔　(1)若一个向量可以由另一个非零向量线性表示，则可以判断两个向量共线；
(2)若两个向量共线，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示．
题型3　用已知向量表示相关向量[直观想象、数学运算]
例3　如图，已知＝3e1，＝3e2，若C，D，E是AB的四等分点，求，，.
状元随笔　在数形结合的基础上，结合向量的加减法及数乘向量的几何意义和运算律，灵活运用平面几何中的重要定理和性质，进行合理转化即可．
方法归纳
已知向量表示未知向量的技巧
用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示，其实质是向量线性运算的反复应用．
跟踪训练3　如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝(　　)
A．＋ B．＋
C．＋ D．＋
6．1.5　向量的线性运算
新知初探·自主学习
[基础自测]
1．解析：原式＝[(a＋4b)－(4a－2b)]＝(－3a＋6b)＝2b－a，选B.
答案：B
2．解析：3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.
答案：D
3．解析：因为(－3)·2a＝－6a，故①正确；②中，左＝2a＋2b－2b＋a＝3a成立，故②正确；③中，左＝a＋2b－2b－a＝0≠0，故③错误．
答案：C
4．解析：因为M是△ABC边BC的中点，
所以＝，
因为＝λ＋μ，
所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝1.
答案：1
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b.
②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c.
(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝(－1－1)a＋(－1＋＋2)b＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝(－5＋)i＋(－)j＝－i－5j.
跟踪训练1　解析：(1)原式＝(2a＋b)－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(2)原式＝(4a－3b＋b－a＋b)＝[(4－)a＋(－3＋)b]＝a－b)＝a－b.
例2　【解析】　(1)由a，b共线知a＝mb，m∈R，于是2e1－3e2＝m(λe1＋6e2)，即(2－mλ)e1＝(6m＋3)e2.
由于e1，e2不共线，所以
所以λ＝－4.
(2)因为A，B，D三点共线，所以＝λ＝λ()，
所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，
所以λ＝1，k＝2.
【答案】　(1)B　(2)C
跟踪训练2　解析：(1)因为＝＝2m＋10n＝2，且与有公共点B，故A，B，D三点共线．
(2)因为A，B，D三点共线，所以向量与向量共线，所以＝λ，由＝a＋b，＝2a－b，得＝＝3a，所以2a＋kb＝λ(3a)，所以k＝0.
答案：(1)A　(2)0
例3　【解析】　方法一　＝＝＝＝＝(3e2－3e1)＝e2－e1，
所以＝＝3e1＋e2－e1＝e1＋e2，
＝＝e1＋e2＋e2－e1＝e1＋e2，
＝＝e1＋e2＋e2－e1＝e1＋e2.
方法二　因为D是AB的中点，所以
＝)＝(3e1＋3e2)＝e1＋e2.又C是AD中点，所以＝)＝ (3e1 +e1+e2)＝e1＋e2.
又E是DB中点，所以＝)＝ (3e1+e2＋3e2)＝e1＋e2.
跟踪训练3　解析：根据题意得：＝)，
又＝＝，
所以＝)＝.
答案：D
3