2022_2023学年新教材高中数学 6.1.3向量的减法学案 新人教B版必修第二册

6．1.3　向量的减法
【课程标准】
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，理解其几何意义．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一　相反向量
与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作________.
(1)零向量的相反向量仍是零向量，即－0＝0.
(2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝________.
(3)如果a，b是互为相反的向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
知识点二　向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的________．
(2)三角形法则：已知a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为____________指向____________的向量．
状元随笔　1.准确理解向量减法的三角形法则
(1)向量减法是向量加法的逆运算．
设＋＝，则＝－，
如图，设＝，＝．
由向量加法的三角形法则可知
＝＋，
∴＝－＝－．
(2)对于两个共起点的向量，它们的差就是连接这两个向量的终点，方向指向被减的向量．
(3)以向量＝，＝为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝＋，＝－，＝－.
2．若，是不共线向量，|＋|与|－|的几何意义比较，如图所示，设＝，＝．根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有＝＋，＝－．因为四边形OACB是平行四边形，所以|＋ |＝||，|－ |＝||分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长．
基础自测
1．(多选)非零向量m与n是相反向量，下列正确的是(　　)
A．m＝n B．m＝－n
C．|m|＝|n| D．方向相反
2．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝(　　)
A．a－b B．b－a
C．a＋b D．－a－b
3.－＝________．
4．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则可用a，b，c表示为________.
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1　已知向量作差向量[经典例题]
例1　(1)如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d；
(2)已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
方法归纳
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
跟踪训练1　(1)如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c；
先作－，再作－－.
(2)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　)
A．8B．4C．2D．1
题型2　向量的减法运算[经典例题]
例2　化简(－)－(－).
方法归纳
1．向量减法运算的常用方法
2．向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和．
(2)起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
跟踪训练2　(1)在四边形ABCD中，－－＝________；
(2)化简下列各向量的表达式：
①＋－；②(－)－(－)；③(＋＋)－(－－).
利用加法、减法的三角形法则求解．
题型3　向量加减运算几何意义的应用——利用已知向量表示未知向量[直观想象、逻辑推理、数学运算]
例3　(1)已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，用a，b分别表示向量，；
(2)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
状元随笔　由平行四边形的性质可知＝＝，由向量的减法可知：＝－，由向量的加法可知＝＋.
方法归纳
利用已知向量表示其他向量的思路
解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法．
常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即＝＋以及＝－ (M，N均是同一平面内的任意点).
跟踪训练3　如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
利用三角形法则，用已知向量表示未知向量．
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
6．1.3　向量的减法
新知初探·自主学习
知识点一
－a　(2)0
知识点二
(1)相反向量　(2)从向量b的终点　向量a的终点
[基础自测]
1．解析：非零向量m与n是相反向量，则有m＝－n，|m|＝|n|.
答案：BCD
2．解析：＝＝－＝－a－b.
答案：D
3．解析：＝.
答案：
4．解析：＝＝＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　
(1)作法，如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d.则＝a－b，＝c－d.
(2)因为|||－|||≤||≤||＋||，
且||＝9，||＝6，
所以3≤||≤15.
当与同向时，||＝3；
当与反向时，||＝15.
所以||的取值范围为[3，15].
跟踪训练1　解析：(1)
如图所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量＝(a－b)－c.则向量即为所求作的向量a－b－c.
(2)由||＝||可知，与垂直，故△ABC为直角三角形，||即斜边BC的中线，所以||＝2.
答案：(1)见解析　(2)C
例2　【解析】　方法一　(统一成加法)()－()＝＝＝＝＝0.
方法二　(利用＝)　()－()＝＝()－＝＝＝0.
方法三　(利用＝)　设O是平面内任意一点，则()－()＝＝()－()－()＋()＝＝0.
跟踪训练2　解析：(1)＝＝()＋＝＝.
(2)①＝＝.
②()－()＝()－()＝＝0.
③()－()＝()－()＝＝0.
答案：(1)　(2)见解析
例3　【解析】　(1)
如图所示，由向量求和的平行四边形法则可知
＝＝a＋b.
按照减法的定义可知
＝＝a－b.
(2)因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c，＝＝b－a，
故＝＝b－a＋c.
跟踪训练3　解析：由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则
(1)＝＝a＋d＋e.
(2)＝＝－＝－b－c.
(3)＝＝a＋b＋e.
(4)＝－＝－()＝－c－d.
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