2022_2023学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.2向量的加法学案新人教B版必修第二册

6．1.2　向量的加法
【课程标准】
借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一　向量加法的定义
求__________的运算，叫作向量的加法．
知识点二　向量加法的运算法则
1．三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量________叫作a与b的和(或和向量)，记作________，即a＋b＝＝________．
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
规定：零向量与任一向量a的和都有a＋0＝________＋________＝a．
2．平行四边形法则
如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB，则以O为起点的__________就是a与b的和，我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则．
3．向量a，b的模与a＋b的模之间的关系：________≤|a＋b|≤________
知识点三　向量加法的运算律
1．交换律：a＋b＝________．
2．结合律：(a＋b)＋c＝________＋(________)．
状元随笔　1.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则
(1)两个法则的使用条件不同：
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
如图所示：
＝＋(平行四边形法则)，
又∵＝，∴＝＋(三角形法则)．
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
2．向量a→＋b→与非零向量a→，b→的模及方向的联系
(1)当向量a→与b→不共线时，向量a→＋b→的方向与a→，b→都不相同，且|a→＋b→|<|a→|＋|b→|，几何意义是三角形两边之和大于第三边．
(2)当向量a→与b→同向时，向量a→＋b→与a→(或b→)方向相同，且|a→＋b→|＝|a→|＋|b→|.
(3)当向量a→与b→反向时，且|a→|≤|b→|时，a→＋b→与b→方向相同(与a→方向相反)，且|a→＋b→|＝|b→|－|a→|.
基础自测
1．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于(　　)
A．　　　B．
C．　　　D．
2．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(　　)
A.＝ B．＝
C．＝ D．＝0
3．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则(　　)
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a、b是方向相反的向量
C．a＝－b
D．a、b无论什么关系均可
4．向量()＋()＋化简后等于(　　)
A． B．
C． D．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1　已知向量作和向量[经典例题]
例1　(1)如图，已知向量a，b，c，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a＋b＋c．
状元随笔　
(2)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：
①＝________；
②＝________．
(3)下列说法正确的是________．
①若|a|＝3，|b|＝2，则|a＋b|≥1,
②若向量a，b共线，则|a＋b|＝|a|＋|b|，
③若|a＋b|＝|a|＋|b|，则向量a，b共线．
方法归纳
(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤
①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．
②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．
(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤
①平移两个不共线的向量使之共起点．
②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．
③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．
跟踪训练1　(1)如图，已知向量a，b，c不共线，使用三角形法则或平行四边形法则作向量a＋b＋c．
本题是求向量的和问题，方法是使用三角形法则或平行四边形法则．
(2)已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是________．a＋b模长的最小值是________．
题型2　向量的加法运算律的应用
例2　(1)下列等式不正确的是(　　)
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②＝0；③＝.
A．②③　B．②　　
C．①　　D．③
(2)设A，B，C，D是平面上任意四点，试化简：①+；②.
状元随笔　先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量的加法运算求解．
方法归纳
向量运算中化简的两种方法
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．
(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简．
跟踪训练2　(1)化简：
①；
②()＋.
(2)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为中心，＝a，＝b，求.
状元随笔　多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行. 如
+=+；．
题型3　向量加法的应用[逻辑推理]
例3　(1)用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(2)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＝，且||＝||，则△ABC的面积为(　　)
A．　　　B．　　　C．2　　　D．1
状元随笔　(1)将互相平分利用向量表达，以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立．
(2)直角三角形斜边中线等于斜边的一半．
方法归纳
向量应用于几何、三角问题的关键
向量是沟通“数”与“形”的桥梁．利用向量的加法可以证明线段的平行和相等，在解决问题中应抓住向量及其加法的几何意义求解．
用向量证明几何问题的关键是把几何、三角问题转化为向量问题，通过向量的运算得到结论，然后把向量问题还原为几何、三角问题．
跟踪训练3　(1)在四边形ABCD中，＝，且||＝||，试求证四边形ABCD为矩形；
(2)若G为△ABC的重心，则＝________.
6．1.2　向量的加法
新知初探·自主学习
知识点一
两个向量和
知识点二
1.　a＋b　　0　a
2．对角线　
3．||a|－|b||　|a|＋|b|
知识点三
1．b＋a
2．a　b＋c
[基础自测]
1．解析：＝.
答案：D
2．解析：因为＝≠，故C错误．
答案：C
3．解析：只有a∥b，且a与b方向相同时才有|a＋b|＝|a|＋|b|成立，故A项正确．
答案：A
4．解析：()＋()＋
＝()＋＝
＝＝＝.
答案：C
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)方法一　可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.如图①，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c，然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求．
方法二　三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，
①在平面内任取一点O，作＝a，＝b；
②作平行四边形AOBC，则＝a＋b；
③再作向量＝c；
④作平行四边形CODE，则＝＋c＝a＋b＋c.即为所求．
(2)如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：
①＝＝.
②＝＝.
(3)①正确，当两向量反向时，和向量的模最小为1；
②中描述的只是向量同向时的情况，故不正确，反之正确，即③正确．
【答案】　(1)见解析　(2)①　②　(3)①③
跟踪训练1　解析：(1)方法一　如图(1)，在平面内作＝a，＝b，则＝a＋b；再作＝c，则＝a＋b＋c.
方法二　如图(2)，在平面内作＝a，＝b，以OA与OB为邻边作平行四边形OADB，则＝a＋b；
再作＝c，以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC，则＝a＋b＋c.
(2)因为|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，所以|a＋b|的最大值为8.|a＋b|≥||a|－|b||＝5－3＝2，所以|a＋b|的最小值为2.
答案：(1)见解析　(2)8　2
例2　【解析】　(1)由向量的加法满足结合律知①正确；因为＝0，故②不正确；＝＝成立，故③正确．
(2)①＝()＋＝＝.
②＝()＋()＝0＋0＝0.
【答案】　(1)B　(2)见解析
跟踪训练2　解析：(1)①＝＝＝0.
②方法一　()＋＝()＋()＝＝.
方法二　()＋＝＋()＋＝＝＋0＝.
方法三　()＋＝()＋＝＝.
(2)由向量的平行四边形法则，得＝＝a＋b.
在平行四边形ABCO中，
＝＝a＋a＋b＝2a＋b.
而＝2＝2(a＋b)，且＝＝＝a＋b，由向量的三角形法则，得＝＝b＋a＋b＝a＋2b.
例3　【解析】　(1)如图，设四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
则＝＝.
因为AC与BD互相平分，所以＝＝，所以＝，因此AB∥CD，且||＝||，即四边形ABCD是平行四边形．
(2)由于＝2，由向量加法的几何意义，O为边BC中点，因为△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，所以三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形，∠BAC＝，斜边BC＝2，又因为||＝||，所以|AC|＝1，|AB|＝，
所以S△ABC＝×|AB|×|AC|＝×1×＝.
【答案】　(1)见解析　(2)B
跟踪训练3　解析：
(1)证明：因为四边形ABCD中，＝，所以AB∥DC，且||＝||，
所以四边形ABCD为平行四边形，如图所以＝＝＝，因为||＝||，所以||＝||，
即平行四边形对角线相等，故四边形ABCD为矩形．
(2)延长AG至E交BC于D使得AG＝GE，则由重心性质知D为GE中点，又D为BC中点，故四边形BGCE为平行四边形，所以＝.
又＝－，所以＝0.
答案：(1)见解析　(2)0
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