6．2.2 直线上向量的坐标及其运算
6．2.3 平面向量的坐标及其运算
【课程标准】
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
2.会用坐标表示平面向量的加法，减法与数乘运算.
3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
第1课时 平面向量的坐标及运算
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一 直线上向量的坐标
1．给定一条直线l及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标．
状元随笔 值得注意的是，如果直线上向量的坐标为x，则x既能刻画的模，也能刻画向量的方向．事实上，此时
||＝|x|＝|x|||＝|x|；
而且：当x>0时，的方向与的方向相同；当x＝0时，是零向量；当x<0时，的方向与的方向相反．也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定．
2．事实上，设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点，则＝x1e，＝x2e，因此＝－＝x2e－x1e＝(x2－x1)e，所以不难看出AB＝||＝|x2－x1|.这就是数轴上两点之间的距离公式．
3．另外，假设M(x)是线段AB的中点，则＝ (＋)＝＝e，又因为＝xe，所以x＝.这就是数轴上的中点坐标公式．
知识点二 正交分解
1．向量垂直
平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b.为了方便起见，规定零向量与任意向量都垂直．
2．正交分解
如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
知识点三 平面向量的坐标表示
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).
状元随笔 1.对平面向量坐标的几点认识
(1)设＝x＋y(O为坐标原点)，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y).因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
(2)两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等．
(3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同．
2．符号(x，y)的意义
符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y).
知识点四 平面向量的坐标运算
(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么
a＋b＝____________________，
a－b＝____________________，
λa＝(λx1，λy1).
(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝________．
即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的________的坐标减去________的坐标．
基础自测
1．数轴上两点，A的坐标为1，B的坐标为－2，的坐标为( )
A．3 B．(3，0)
C．－3 D．(－3，0)
2．已知M(2，3)，N(3，1)，则的坐标是( )
A．(2，－1) B．(－1，2)
C．(－2，1) D．(1，－2)
3．已知数轴上的一个单位向量e，向量a＝－e，b＝e，则下列式子正确的是( )
A．b＝a B．b＝－a
C．b＝2a D．b＝－2a
4．若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 直线上向量的运算与坐标表示[经典例题]
例1 (1)若e是直线l上的一个单位向量，向量a＝e，b＝－e是这条直线上的向量，则|a＋2b|＝________．
(2)已知A，B是数轴上的点，B(－2)，且的坐标为4，求：
①点A的坐标．
②线段BA的中点C的坐标．
状元随笔 利用数轴上两点之间的关系与中点坐标公式求解．
方法归纳
数轴上A点坐标为x1，B点坐标为x2
(1)坐标x2－x1，||＝|x2－x1|
(2)线段AB的中点坐标为
跟踪训练1 (1)数轴上向量a的坐标为－2，b的坐标为3，则a＋2b的坐标为( )
A．－1 B．－8
C．4 D．1
(2)已知直线上向量a，b的坐标分别为3，－4，求下列向量的坐标．
①2a＋b.
②5a－b.
(3)已知数轴上两点A，B的坐标分别为x1，x2，根据下列条件，分别求点A的坐标x1.
①x2＝－5，的坐标为－3；
②x2＝－1，||＝2.
题型2 求向量的坐标[经典例题]
例2 如图，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标．
结合坐标系，写出、、、的坐标．
方法归纳
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．
(2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
跟踪训练2 在直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，分别求出它们的坐标．
由于向量，的起点在坐标原点，因此只需求出终点A，B的坐标．
题型3 平面向量的坐标运算[经典例题]
例3 (1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
方法一先求C点坐标，再求.
方法二先求，再求.
A.(－7，－4) B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标．
方法归纳
平面向量坐标(线性)运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．
跟踪训练3 (1)已知A、B、C的坐标分别为(2，－4)、(0，6)、(－8，10)，则＋2＝____________，＝____________；
(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，c＝(4，1)，若用a和b表示c，则c＝____________．
状元随笔 (1)先求坐标，再计算＋2，－的值．
(2)设＝＋，建立方程组，求出x，y.
题型4 向量坐标运算的应用[经典例题]
例4 已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及＝＋t.
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
状元随笔 (1)＝(1＋3t，2＋3t)，利用点在坐标轴及象限的特征求解．
(2)若四边形OABP为平行四边形，则有＝.
方法归纳
向量中含参数问题的求解策略
(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．
(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．
(3)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量，由此可建立相等关系求某些参数的值．
跟踪训练4 已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若＝＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，
(1)点P在一、三象限的角平分线上；
(2)点P在第三象限内．
6．2.2 直线上向量的坐标及其运算
6．2.3 平面向量的坐标及其运算
第1课时 平面向量的坐标及运算
新知初探·自主学习
知识点四
(1)(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (2)(x2－x1，y2－y1) 终点 始点
[基础自测]
1．解析：A的坐标为1，B的坐标为－2，则的坐标为－3.
答案：C
2．解析：＝(2－3，3－1)＝(－1，2)．
答案：B
3．解析：由题意，向量a＝－e，b＝e，所以a＝－2b，即b＝－a.
答案：B
4．解析：＝＝＝(2，3)－(4，7)＝(－2，－4)．
答案：(－2，－4)
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)由题意，向量a，b的坐标分别为，－，
所以a＋2b的坐标为＋2×(－)＝－，
故|a＋2b|＝.
(2)①由题意知，的坐标为－2，
又＝，且的坐标为4，
所以的坐标为－6，即A(－6)．
②由①知，A(－6)，B(－2)，
所以中点C的坐标为＝－4，
即C(－4)．
【答案】 (1) (2)见解析
跟踪训练1 解析：(1)∵b的坐标为3，∴2b的坐标为6，
∴a＋2b的坐标为－2＋6＝4.
(2)①2a＋b的坐标为2×3＋(－4)＝2.
②5a－b的坐标为5×3－×(－4)＝17.
(3)由题意，数轴上两点A，B的坐标分别为x1，x2，
①由向量的坐标为x1－(－5)＝－3，
所以x1＝－8.
②由||＝|－1－x1|＝2，
解得x1＝1或x1＝－3.
答案：(1)C (2)(3)见解析
例2 【解析】 如题图可知，a＝＝2i＋3j，
所以a＝(2，3)．
同理，
b＝－2i＋3j＝(－2，3)，
c＝－2i－3j＝(－2，－3)，
d＝2i－3j＝(2，－3)．
跟踪训练2 解析：设点A(x，y)，B(x0，y0)，
∵|a|＝2，且∠AOx＝45°，
∴x＝2cos45°＝，且y＝2sin45°＝.又|b|＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120°，
∴x0＝3cos120°＝－，y0＝3sin120°＝.故a＝＝()，b＝＝(－)．
例3 【解析】 (1)方法一 设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.
方法二 ＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，
＝＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A.
(2)a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)，3a＝3(－1，2)＝(－3，6)，
2a＋3b＝2(－1，2)＋3(3，－5)＝(－2，4)＋(9，－15)＝(7，－11)．
【答案】 (1)A (2)见解析
跟踪训练3 解析：(1)∵A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)，
∴＝(－2，10)，＝(－8，4)，＝(－10，14)，
∴＋2＝(－18，18)，＝(－3，－3)．
(2)设c＝xa＋yb，则(x，2x)＋(－2y，3y)＝(x－2y，2x＋3y)＝(4，1)．
故解得所以c＝2a－b.
答案：(1)(－18，18) (－3，－3) (2)2a－b
例4 【解析】 (1)＝＋t＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)．
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，
所以t＝－.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，
所以t＝－.
若点P在第二象限，则
所以－＜t＜－.
(2)＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，则＝，
所以该方程组无解．
故四边形OABP不能为平行四边形．
跟踪训练4 解析：设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，
＋λ＝[(5，4)－(2，3)]＋λ[(7，10)－(2，3)]
＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
因为＝＋λ，所以
则
(1)若P在一、三象限的角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，所以λ＝，
所以当λ＝时，点P在一、三象限的角平分线上．
(2)若P在第三象限内，则所以λ<－1，
所以当λ<－1时，点P在第三象限内．
3第2课时 两点间的距离、中点坐标公式及向量平行
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一 平面直角坐标系内两点之间的距离公
式与中点坐标公式
设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，AB＝||＝.这就是平面直角坐标系内两点之间的距离公式．
x＝，y＝.这就是平面直角坐标系内的中点坐标公式．
知识点二 向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x2y1＝x1y2.
状元随笔 已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
(1)当≠时，＝λ．
这是几何运算，体现了向量与的长度及方向之间的关系．
(2)x1y2－x2y1＝0.
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
基础自测
1．已知A(1，2)，B(－3，4)，的中点坐标为( )
A.(－4，2) B．(4，2)
C．(－1，3) D．(1，－3)
2．下列各组向量相互平行的是( )
A．a＝(－1，2)，b＝(3，5)
B．a＝(1，2)，b＝(2，1)
C．a＝(2，－1)，b＝(3，4)
D．a＝(－2，1)，b＝(4，－2)
3．已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝( )
A．－9 B．9
C．3 D．－3
4．已知点A(2，－4)，B(2，3)，则||＝( )
A．1 B．7
C． D．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 直角坐标系内两点间距离公式和中点坐标公式
例1 (1)求线段AB的中点坐标：
①A(2，1)，B(4，3)；②A(－1，2)，B(3，6);
(2)已知点A(2，－1)，B(－3，11)．
①求||的值；
②若点C满足＋3＝0，求点C坐标．
跟踪训练1 (1)在平面直角坐标系内，已知三点A(2，0)，B(1，1)，C(3，5)，求：
①的坐标；
②||的值；
(2)已知点A(－1，1)，B(2，－1)．
①若C是线段AB的中点，求C点坐标；
②若直线AB上的点D满足＝－2，求D点坐标．
题型2 向量共线的判定[经典例题]
例2 (1)下列各对向量中，共线的是( )
A．a＝(2，3)，b＝(3，－2)
B．a＝(2，3)，b＝(4，－6)
C．a＝(，－1)，b＝(1，)
D．a＝(1，)，b＝(，2)
(2)已知点A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB与直线CD平行吗？
状元随笔 (1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或＝λ验证．
(2)判断∥，只要把点的坐标代入公式x1y2－x2y1＝0，看是否成立．
方法归纳
向量共线的判定方法
跟踪训练2 下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－2，3)，b＝(4，6)
B．a＝(2，3)，b＝(3，2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7，14)
D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
状元随笔 ＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，若x1y2－x2y1＝0，则共线．
题型3 三点共线问题[经典例题]
例3 (1)在平面直角坐标系中，已知A(－2，－3)，B(0，1)，C(2，5)，求证：A，B，C三点共线．
(2)若A(3，－6)，B(－5，2)，C(6，y)三点共线，则y＝( )
A．13 B．－13
C．9 D．－9
方法归纳
判断向量(或三点)共线的三个步骤
跟踪训练3 设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．
方法一 由已知求，利用＝λ，求k.
方法二 与共线，则x1y2－x2y1＝0，求k.
题型4 向量共线的应用[经典例题]
例4 如图所示，已知△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
先求C、D坐标，设出M(x，y)，利用与共线，求M.
方法归纳
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
跟踪训练4 若平行四边形ABCD的三个顶点为A(1，5)，B(－1，－2)，C(3，－1)，求顶点D的坐标．
设D(x，y)，由已知得＝，求D.
第2课时 两点间的距离、中点坐标公式及向量平行
新知初探·自主学习
[基础自测]
1．解析：由A(1，2)，B(－3，4)，则中点坐标为()＝(－1，3)．
答案：C
2．解析：D中，b＝－2a.
答案：D
3．解析：因为a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，若a∥b，则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.
答案：B
4．解析：因为点A(2，－4)，B(2，3)，所以＝(0，7)，所以||＝＝7.
答案：B
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)①∵A(2，1)，B(4，3)，
∴x＝＝3，y＝＝2，
∴AB的中点坐标为(3，2)；
②∵A(－1，2)，B(3，6)，
∴x＝＝1，y＝＝4，
∴AB的中点坐标为(1，4)；
(2)①因为＝(－5，12)，
所以||＝＝13；
②设点C的坐标为(x，y)，
则＝(x＋3，y－11)．
由＋3＝(3x＋4，3y－21)＝0，
得解得
所以点C的坐标为(－，7)．
跟踪训练1 解析：(1)①＝(1，1)－(2，0)＝(－1，1)，
＝(3，5)－(2，0)＝(1，5)．
②因为＝(－1，1)－(1，5)＝(－2，－4)，
所以||＝＝2.
(2)①设C(x，y)，又A(－1，1)，B(2，－1)，
则＝(x＋1，y－1)，＝(2－x，－1－y)，
∵C是线段AB的中点，
∴＝，即，解得，
∴C(，0)
②设D(a，b)，又A(－1，1)，B(2，－1)
＝(a＋1，b－1)，＝(a－2，b＋1)，
∵＝－2，
∴，解得，
∴D(1，－)．
例2 【解析】 (1)由向量共线的充要条件可知：非零向量a与b共线，当且仅当存在唯一实数λ，使得b＝λa.而只有D满足：因为a＝(1，)，b＝(，2)，所以b＝a.
(2)因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－1，7－5)＝(1，2)，
因为2×2－1×4＝0，所以∥.
又＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2，6)，
＝(2，4)，2×4－2×6≠0，
所以与不平行．
所以A，B，C不共线，AB与CD不重合．
所以直线AB与CD平行．
【答案】 (1)D (2)见解析
跟踪训练2 解析：由两向量共线的坐标表示知，对于D，(－3)×(－4)－2×6＝0，所以共线，其他均不满足．
答案：D
例3 【解析】 (1)由已知得
＝(0，1)－(－2，－3)＝(2，4)，
＝(2，5)－(－2，－3)＝(4，8)．
因为2×8＝4×4，所以
∥，又与有公共点A，
因此A，B，C三点共线．
(2)因为A，B，C三点共线，所以(－5－3)(y＋6)－(6－3)(2＋6)＝0，
所以y＝－9.
【答案】 (1)见解析 (2)D
跟踪训练3 解析：方法一 ∵A，B，C三点共线，
∴存在实数λ，使得＝λ.
∵＝＝(4－k，－7)，
＝＝(10－k，k－12)，
∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，
即
解得k＝－2或k＝11.
方法二 由题意知共线．
∵＝＝(4－k，－7)，＝＝(10－k，k－12)，
∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，
∴k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.
例4 【解析】 ∵＝＝(0，5)＝(0，)，∴C(0，)．
∵＝＝(4，3)＝(2，)，∴D(2，)．
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝(2－0，－5)＝(2，－)．
∵∥，
∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①
又＝(x，y－)，＝(4，)，
∵∥，∴x－4(y－)＝0，即7x－16y＝－20.②
联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为(，2)．
跟踪训练4 解析：设D点的坐标为(x，y)，则＝(x－1，y－5)，＝(4，1)，由题意知＝，即(x－1，y－5)＝(4，1)，得解得因此，D点的坐标为(5，6)．
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